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1、第1页一、弧微分一、弧微分要求：要求：第2页单调增函数单调增函数如图，如图，弧微分公式弧微分公式第3页二、曲率及其计算公式二、曲率及其计算公式曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）量曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）量)弧段弯曲程度弧段弯曲程度越大转角越大越大转角越大转角相同弧段越转角相同弧段越短弯曲程度越大短弯曲程度越大1、曲率定义、曲率定义)第4页)yxo（设曲线设曲线C是光滑，是光滑，（定义定义曲线曲线C在点在点M处曲率处曲率第5页2、曲率计算公式、曲率计算公式注意注意:(1)直线曲率处处为零直线曲率处处为零;(2)圆上各点处曲率等于半径倒数圆上各点处曲率等于半径倒数,且半径且半径越小曲率越
2、大越小曲率越大.第6页第7页例例1 1解解显然显然,第8页点击图片任意处播放点击图片任意处播放暂停暂停例例2 2第9页第10页证证如图如图（在缓冲段上在缓冲段上,实际要求实际要求第11页第12页三、曲率圆与曲率半径三、曲率圆与曲率半径定义定义第13页1.曲线上一点处曲率半径与曲线在该点处曲率曲线上一点处曲率半径与曲线在该点处曲率互为倒数互为倒数.注意注意:2.曲线上一点处曲率半径越大曲线上一点处曲率半径越大,曲线在该点处曲线在该点处曲率越小曲率越小(曲线越平坦曲线越平坦);曲率半径越小曲率半径越小,曲率越曲率越大大(曲线越弯曲曲线越弯曲).3.曲线上一点处曲率圆弧可近似代替该点附近曲线上一点处
3、曲率圆弧可近似代替该点附近曲线弧曲线弧(称为曲线在该点附近二次近似称为曲线在该点附近二次近似).第14页例例3 3解解如图如图,受力分析受力分析视飞行员在点视飞行员在点o作匀速圆周运动作匀速圆周运动,O点处抛物线轨道曲率半径点处抛物线轨道曲率半径第15页得曲率为得曲率为曲率半径为曲率半径为即即:飞行员对座椅压力为飞行员对座椅压力为641.5千克力千克力.第16页四、小结四、小结利用微分学理论利用微分学理论,研究曲线和曲面性质数研究曲线和曲面性质数学分支学分支微分几何学微分几何学.基本概念基本概念:弧微分弧微分,曲率曲率,曲率圆曲率圆.曲线弯曲程度描述曲线弯曲程度描述曲率曲率;曲线弧近似代替曲率圆曲线弧近似代替曲率圆(弧弧).第17页思索题思索题 椭圆椭圆 上哪些点处上哪些点处曲率最大？曲率最大？第18页思索题解答思索题解答要使要使 最大，最大，必有必有 最小，最小，此时此时 最大，最大，第19页练练 习习 题题第20页第21页练习题答案练习题答案第22页