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1、题目：讨论平面静电场中复变函数方法n n汇报人：李利萍 PB04005036n n指导老师：翁惠民第1页一、引言n n（1 1）在电磁学中，我们对电场问题总是在一个三）在电磁学中，我们对电场问题总是在一个三维空间进行讨论，而电场中很多对称性让我们想维空间进行讨论，而电场中很多对称性让我们想到在一个剖切面进行考虑问题到在一个剖切面进行考虑问题n n(2)(2)复变函数有时在平面处理问题一个很好工具。复变函数有时在平面处理问题一个很好工具。本文正是把电场中问题变换成复变函数模型，进本文正是把电场中问题变换成复变函数模型，进而进行分析。而进行分析。第2页二、把静电场中一些问题化为复变函数模型第3页
2、对于普通平面静电场，我们选取一个有代表性平面作为z平面，设D是电场中一大单连通区域，假如D内每一点电场强度 散度：(1)以C表示一光滑曲线，是D所围有界区域，且 ，由格林公式：上式表示沿闭曲线C电通量，确定单值函数：(2)称为电场力函数，等值线 =a（常数）叫电力线。第4页电场旋度：(3)类似有：上式表示沿闭曲线C所作功，确定单值函数：(4)称为电场势函数，其等值线 =b（常数）叫 电势线。第5页由(1)(3)得 (5)满足C-R方程，故 是D内全纯函数同理，复势 是D内全纯函数且知 与E满足以下关系:(6)第6页应该指出:在多连同区域内,复势可能是一个多值函数,对于 此区域内任意一条光滑曲线
3、C,有 (7)其中 Q分别是平面静电场沿C所做功与电通量.第7页三、简单初等函数表示平面静电场几个例子第8页（一）考虑一足够长(能够看成无限长)均匀带电直线所产生电场,以表电荷线密度,任取垂直于一个平面为平面,且原点在平面上,现来求此平面静电场电场强度和复势.第9页分析以下:库伦定理知，点电荷q在相距其r处产生电场:则本题中 其中是点电荷线密度，dh是直线上长度微元，是真空介电常数所以，|dE|在z平面投影为第10页推出因为E方向与z相同，其单位向量为 所以电场强度E初等复变函数表示为:-(8)第11页 而依据(6)复势为：(9)为了方便,上式中取常数c=0.这不影响电场强度E所以 为力函数.
4、（常数）表示电力线(虚线).为势函数.表示等势线（实线）.（如右图所表示）第12页以C表示一原点为中心一个圆周,则由(7)式得 令 ，则 即易知:所以,该点电荷C环量为0,沿C电通量为这与电场环路定理和高斯定理相吻合.第13页(二)在Z平面点 .处罚别有电量为 点电荷.求这些点电荷所形成电场电场强度和复势.分析以下:由上计算知依据电路叠加原理,上述电荷所组成电场电场强度为:复势为：第14页尤其地,当 ，（即电偶极子），且在点 电荷电量为 ，则由这两异性点电荷所形成复势为：而力函数 ，当(为常数)，电力线是经过 圆周又势函数 ，当 （b为常数），等势线是以 为对称 圆周.（见下列图）第15页第1
5、6页四.用复变方法处理静电场详细问题-平行板电容器所形成电场.第17页考虑在平行板电容器内部,而不是两端附近静电场,那么能够近似把电场看成是均匀.在两端附近是不均匀.但我们考虑一端附近静电场,能够忽略另一端影响,那么能够把平行板电容器表示成两个半平面形状,下列图就是垂直与一平行板剖面图.以表示平行板间距离2h,又设它们电势分别为第18页所以,要求出此平面静电场复势 ,只有解以下边值问题.即上图中所表示区域内解析函数,使它满足边界条件：且使 实际上,这只要找出区域D到W平面上宽为2b带形区域G共形映射（见下列图）第19页?施瓦兹-科利斯多费尔定理第20页这么我们就找到了从映射G到D单叶解析函数：
6、将上式分成实部和虚部得：分别在上式中取 常数，与 常数，便得电力线和等势线参数方程第21页由上式及(6)还求电场强度：在此平行板电容器内部,即z靠近A点，又w靠近 ，故电场强度 也就是靠近匀强电场.当z在平行板电容器一端附近,即靠近B或E，此时,E趋于 。上式E值反应了电容器所形成电场强度大小情况.第22页五.总结n n本文先把平面静电场一些问题化为复变函数问题,然后用共形映射与边值问题方法处理这些问题.n n经过着篇论文我学到了很多知识，对电场问题有了更多地了解，也更深刻地了解到变函数这个工具强大力量第23页参考资料:n n张玉民,戚伯云,电磁学.科学出版社中国科学技术大学出版社 n n郑建华,复变函数.清华大学出版社.1n n闻国椿,殷慰萍,复变函数应用.首都师范大学出版社.1999.7第24页谢谢 谢谢第25页