《2022-2023学年北京市汇文中学九年级数学上学期期中考数学试卷含详解.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022-2023学年北京市汇文中学九年级数学上学期期中考数学试卷含详解.pdf（36页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、北京汇文中学教育集团2022To23学年度第一学期期中考试初三年级数学一、选择题（共16分，每题2分）第18题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1.图，点 A,8,C 在上，NAOB=60。，则/4 C 3 的大小为（）B.40C.30 D.202.在 平 面 直 角 坐 标 系 中，抛物线y=2 f 向上平移3 个单位长度得到的抛物线为（）A.y=2（x+3）B.y=2（x-3）-C.y=2x2-3 D.y=2x2+33.将 一 元 二 次 方 程 6 x+5=0 通过 配 方 转 化 为+的形式，下列结果中正确的是（）A.（x+3）=l B.（x 6）-=1 C.（x-3）一 =4 D
2、.（X6）=44.在平面直角坐标系尤。），中，抛物线丁 =次 2+云+。/0）的示意图如图所示，下列说法中正确的是B.b 0 D.A0A.x2+2x=0C.3x2-4 x+1 =0B.5X2-4X-2 =0D.4，-3 x +2=()6.如图，0。是正方形ABC。的外接圆，若。的半径为4,则正方形ABCD的边长为（）C.2 V 2D.4A/27 .下列说法中，正确的是（）A.“射击运动员射击一次，命中靶心”必然事件B .事件发生的可能性越大，它的概率越接近1C.某种彩票中奖的概率是1%,因此买1 0 0张该种彩票就一定会中奖D.抛掷一枚图钉，“针尖朝上”的概率可以用列举法求得8 .如图，点P是
3、以O为圆心，A B为直径的半圆上的动点，A B=2,设弦A P的长为x,A P O的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是二、填空题（共 16分，每题2 分）9 .在半径为3 c m 圆中，1 5 0 的圆心角所对弧的弧长是 c m.1 0 .如图，A B为。的直径，弦于点从 若A B=1 0,C D=8,则 的 长 度 为B 1 1.若 点A（-l，x）,8（3,%）在抛物线y =f上，则M，内 的大小关系为:%（填“，=或）1 2.关于X的一元二次方程f+优+4 =0有一个根为,则加的值为.1 3.如图，PA,P B 是。的切线，A,8是切点，点C为。上一点，若N A
4、C B =7 0。，则/P的度数为.AOP 1 4.据了解，2 0 2 2 年 9月，某展览中心参观人数为1 2.5 万人，比 7 月份B的参观人数增加了 2.5 万人，设参观人数的月平均增长率为x,则 可 列 方 程 为.1 5 .已知二次函数y =+瓜图像上部分点横坐标、纵坐标的对应值如下表:X01y-3-4234-305直接写出该二次函数的图像与X 轴的交点坐标1 6 .抛物线y =2+Zu+c的顶点为4（2,。，且经过点3（5,0）,其部分图像如图所示，对于此抛物线有如下四个结论：abc 0 i 4a+b =0；m+9a=0；若此抛物线经过点C（r,）.则r-4 一 定 是 方 程+匕
5、 x +c =的一个根.其 中 所 有 正 确 结 论 的 序 号 是.三、解答题（总分68）1 7 .解方程：Y 一 4%5 =0.18 .下面是小石设计的“过三角形一个顶点作其对边的平行线”的尺规作图过程.己知：如图，AABC.求作：直线8。，使得B O A C.作法：如图,12,两直线交于点0；以点A 圆心，8 c 长为半径作弧，交 AB于 点 作直线BD.所以直线8。就是所求作 直线.根据小石设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明.证明：连接A Q,.点 A,B,C,。在。上，A D =BC,A D =-A Z D B A =Z C A
6、 B（）（填推理的依据）.A B D/A C.19.已知二次函数 y=/2x 3.(2)画出此函数的图像(不需要列表);若 点4(0,y)和 都 在 此 函 数 的 图 像 上，且“%，结合函数图像，直接写出?的取值范围.20.已知关于x的一元二次方程d-(4+5)x+6+2左=0.(1)求证：此方程总有两个实数根；(2)若此方程恰有一个根小于-2,求k的取值范围.21.有甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中装有两个相同的球，它们分别写有数-2,2；乙口袋中装有三个相同的球，它们分别写有数-5,m,5.小明和小刚进行摸球游戏，规则如下：先从甲口袋中随机取出一个球，其上的数记为“；再从乙口袋中随机取
7、出一个球，其上的数记为从若a。，小明胜；若。=人，为平局；若。，小刚胜.(1)若帆=-2,用树状图或列表法分别求出小明、小刚获胜的概率；(2)当m为何值时，小明和小刚获胜的概率相同？直接写出一个符合条件的整数机的值.22.如图，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过格点A(0,4)、8(-4,4)、C(-6,2),若该圆弧所在圆的圆心为。点，请你利用网格图回答下列问题：(1)圆心。的 坐 标 为；(2)若扇形AOC是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥底面圆的半径长(结果保留根2 3如图，&4 8 c内接于。，高 经 过 圆 心。.AO(1)求证:AB=AC；BDC（2）若 3 c =1
8、6,。的半径为1（）.求“4 8 C 的面积.24.“母亲节”前夕，我市某校学生积极参与 关爱贫困母亲”的活动，他们购进了一批单价为20 元的“孝文化衫”在课余时间进行义卖，并将所得利润捐给贫困母亲，在义卖的过程中发现，这种文化衫每天的销售件数y（件）与销售单价x （元）满足一次函数关系：y=-3 x+1 0 8（2 0 x 是 的 切 线；（2）若 A B =1 0,B C =8,求 加9 的长.2 6.在平面直角坐标系x O y 中,抛物线y=（X-A）2-8 的顶点为A,0 h -.2（1）若 a =1,点A 到X 轴的距离为；求此抛物线与x 轴的两个交点之间的距离；（2）已知点人到 轴
9、的距离为4,此抛物线与直线y=-2 x +l的 两 个 交 点 分 别 为C（x2,y2）,其中王尤 2，若点。（x,yo）在此抛物线上，当玉 /X2时，总满足力 求a的值和的取值范围.2 7.在 4 4 B C 中，Z A C B =90 ,C A =C B,。是 A 8的中点，E为边A C 上一动点（不与点A,C 重合），连接OE,点 A 关于直线8。的对称点为尸，过点尸作FH _ L 见于点H,交 射 线 于 点 G.（1）如 图 1,当A E EC 时，写出图1图2N A D E与N B F G的大小关系;（2）如 图 1,当A E EC 时，依题意补全图2,用等式表示线段 ,C G
10、,A C 之间的数量关系（不需证明）.2 8.对于平面直角坐标系X。），中的图形G 和点P给出如下定义；。为图形G 上任意一点，若 P,。两点间距离的最大值和最小值都存在，且最大值是最小值的左倍，则称点P为图形G 的“k 分 5-4-3-1 -点”.xI I I I I_ I I I I I.-5-4-3-2-1 Q 1 2 3 4 厂己知点N（3,0）,A（1,O）,B（0,3）,C（L-l）.（1）在点A,B,C 中，线段ON的“0 分 点 是；点。（。,0）,若点C 为线段。的“二分点”，求 a的值;（2）以点。为圆心，r 为半径画图，若线段A N上 存 在 的 二 分 点 ，直接写出厂
11、的取值范围.北京汇文中学教育集团2022To23学年度第一学期期中考试初三年级数学一、选择题(共16分，每题2分)第18题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1 .图，点A,8,C在上，NAOB=60。，则/4 C 3的大小为()【答案】C【解析】【分析】由圆周角定理可直接得出答案.【详解】解：N A O B是A S所对的圆心角，N A C 3是A 8所对的圆周角，N A Q B =6 0 ,Z ACB=-Z AOB=30 .2故选C.【点睛】本题考查圆周角定理，熟练掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半是关键.2 .在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2 x2向上平移3个单位长度得到的抛物线为
12、()A.y=2(x +3)z B.y=2(x-3)-C.y=2x2-3 D.y=2x2+3【答案】D【解析】【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可.【详解】解：抛物线y=2f向上平移3个单位长度得到的抛物线为y=2/+3,故选D.【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，掌握平移规律是解题的关键.3.将一元二次方程2一6%+5=0通过配方转化为(x +a)2 =人的形式，下列结果中正确的是()A.(X+3)2=1 B.(x-6)=1 C.(x-3)2=4 D.(x-6)=4【答案】C【解析】【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上9,然后把方程作边写成完全平方形式即可.【
13、详解】解：移项得V 6%=-5，配 方 得/一6+9 =-5 +9,即（X-3）2=4.故选：C.【点睛】此题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方.选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数.4 .在平面直角坐标系X。），中，抛物线 =0 2+灰+。/（）的示意图如图所示，下列说法中正确的是（）【答案】A【解析】【分析】根据图像可知对称轴大于o,开口向上，与y轴交于负半轴，与“轴无交点，据此即可求解.【详解】解：.根据图像可知对称轴大于0,开口向
14、上，与）轴交于负半轴，与X轴无交点，a of c0,AO,一元二次方程有两个不相等的实数根；B、V=(-4)2-4X 5X(-2)=560,一元二次方程有两个不相等的实数根；C、：A=(-4)2-4 X 3 X l=4 0,一元二次方程有两个不相等的实数根；D、：=(-3)2-4X 4X 2=-230,一元二次方程没有实数根.故选：D.【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，牢 记“当 -故选 A-2 2 4 4方法2 （求函数解析式）：设AP的中点为H,作O/7 L A P,如图所示.若AP =x,则利用勾股定理可求O H =jS 此 时 久 o=；x x x j l 。.代人特殊值 如令
15、”=1，则S =j故选A-二、填空题（共16分，每题2分）9.在半径为3 c m的圆中，1 5 0的圆心角所对弧的弧长是 c m.【答案】一兀2【解析】【分析】根据弧长公式进行计算即可求解.【详解】解：半径为3 c m的圆中，1 5 0的圆心角所对弧的弧长是 理 万x 3 =.1 8 0 2故答案为：71.2【点睛】本题考查了求弧长，掌握弧长公式是解题的关键.1 0.如图，AB为。的直径，弦COLAB于点“，若AB=10,8=8,则8 的长度为【答案】2【解析】【分析】连接O C,由垂径定理可求出CH的长度，在RfOCH中,根据CH和。的半径，由勾股定理求出。的长，即可求解.【详解】解：连接。
16、C,由勾股定理，得：OH-CH?7守=3；BH=OB OH=2.故答案为：2.【点睛】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，也考查了勾股定理.掌握相关基本性质是解题的关键.11.若点8(3,%)在抛物线y=f上，则 弘，力 的大小关系为：,%(填“”，“=”或 v ).【答案】【解析】【分析】由抛物线开口向上可得距离对称轴越远的点y值越大，从而求解.【详解】解：由y=f可得抛物线开口向上，对称轴为y轴，y%，故答案为：P V =70 ,/.ZAOB=2ZACB=AO0,：PA,P B是0的切线,A OALPA,OBLPB,，Z P =3 60 -90 -90 -1
17、 4 0 =4 0 ,故答案为：4 0 .【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键.1 4 .据了解，2 0 2 2 年 9 月，某展览中心参观人数为1 2.5 万人，比 7 月份的参观人数增加了 2.5 万人，设参观人数的月平均增长率为无，则 可 列 方 程 为.【答案】(1 2.5-2.5)(1 +%)2=1 2.5【解析】【分析】设参观人数的月平均增长率为x,根据题意列出一元二次方程即可求解.【详解】解：设参观人数的月平均增长率为x,根据题意得，(12.5 2.5)(1+X)2=12.5,故答案为：(1 2.5-2.5)(l+x)2 =1
18、2.5 .【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键.1 5 .已知二次函数 =公 2+笈+c(a/0)图像上部分点横坐标、纵坐标的对应值如下表：X01y-3-4234-305直接写出该二次函数的图像与X 轴 的 交 点 坐 标.【答案】(7,0),(3,0)【解析】【分析】利用表中数据和抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x =l,再利用抛物线的对称性写出点(3,0)关于直线x =1 的对称点即可.【详解】解：抛物线经过点(0，-3),(2,-3),/.抛物线的对称轴为直线x =1,.抛物线与X 轴的一个交点坐标为(3,0),.抛物线与x 轴的另一个交点坐标为(一1
19、,0),即该二次函数图象与x 轴的交点坐标为(一1，0),(3,0).故答案为：(-1-0),(3,0).【点睛】本题考查了抛物线与无轴的交点：把求二次函数y =尤+。(a,b,c 是常数，与 x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程.也考查了二次函数的性质.1 6.抛 物 线,=依 2+陵+。的顶点为4(2,。，且经过点3(5,0),其部分图像如图所示，对于此抛物线有如下四个结论:abc0；4a+b-Q；m+9a-0；若此抛物线经过点C&).贝h-4一定是方程依2+笈+0=的一个根.其 中 所 有 正 确 结 论 的 序 号 是.【答案】【解析】【分析】由抛物线开口和抛物线与y轴交点，
20、对称轴，判断，由抛物线的对称性及经过点3(5,0)可判断，由对称轴为x=2,得出匕=T a,即可判断，由抛物线对称轴为直线x=2可得8=由a Z?+c=0可得c=一5。,从而判断，点C对称点横坐标为4 T可判断.【详解】解：；抛物线开口向下，。02a:b 0,abc 0,正确.抛物线y=ax2+灰+。的顶点为4(2,间,，对称轴为x=2.抛物线过点8(5,0),由对称性可得抛物线经过点(-1,0),：.a-b+c =0,错误，b.=2,2a/.h=4 a 即 4。+/?=0,故正确；5。+c=0,/.c=5 a A(2,?)为抛物线顶点,4。+2 +c=m,；4。一8。-5。=T?2,即m+9
21、。=0,正确，.点c(f,)在抛物线上，.点。关于对称轴对称点(4一方,)在抛物线上，4-f为 分2+版+c=的一个根，错误.故答案为：.【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系.三、解答题(总分68)1 7.解方程：X2-4X-5=0.【答案】玉=5,=1【解析】分析】直接利用因式分解求解一元二次方程即可.【详解】解：Y 4 x 5 =0(x-5)(x+l)=0 5 =0或x+l=0解得：X I=5,X2=-1.【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程常规的求解方法，因式分解法，直接开方法，配方法，公式法.1 8 .下面是小石
22、设计的“过三角形一个顶点作其对边的平行线”的尺规作图过程.己知：如图，M BC.求作：直线2 D,使得50 AC.作法：如图,以点。为圆心，0 A 长为半径作圆;以点A 为圆心，B C 长为半径作弧，交于点。作直线BZX所以直线B Z）就是所求作的直线.根据小石设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明.证明：连接A,.点 A,B,C,。在。上，A D =BC,A D =-A Z D B A =Z C A B ()(填推理的依据).B D/A C.【答案】（1）作图见解析；（2）8 C,在同圆中，等弧所对的圆周角相等【解析】【分析】（1）根据题干的
23、作图步骤依次作图即可；（2）由作图可得证明A 0=8C，利用圆周角定理可得 84=NC4B,从而可得答案.【详解】解：（1）如图，直线8。就是所求作的直线（2）证明：连接AD,ADBC-：.ZDBA=ZCAB（在同圆中，等弧所对的圆周角相等）.BD/AC.故答案为：，在同圆中，等弧所对的圆周角相等【点睛】本题考查的是作线段的垂直平分线，三角形的外接圆，平行线的作图，圆周角定理的应用，掌 握“圆周角定理”是理解作图的关键.1 9.已知二次函数-2 x 3.（1）求此函数图像的对称轴和顶点坐标;（2）画出此函数的图像（不需要列表）；（3）若点A（O,y J和 都 在 此 函 数 的 图 像 上，且
24、X%，结合函数图像，直接写出，的取值范围.【答案】（1）对称轴为直线x =l,顶点坐标为（1,-4）；（2）见解析;(3)1 2.【解析】【分析】（1）把抛物线解析式化为顶点式求解即可;（2）先列表，然后描点、连线即可；（3）由函数图像过点（0,-3）和（2,-3）,根据函数图像求解即可.【小问1详解】解：抛物线解析式为y=x2-2 x-3=（x-l）2-4 ,.抛物线对称轴为直线x=l,顶点坐标为（L T）；【小问2详解】解：列表得：X 1 0 1 2 3.y=x2-2 x-3 .0-3-4-3 0函数图像如下图所示：4322/4 5*【小问3详解】解：函数图像过点（0,3）和（2,-3）,
25、由函数图像可知，当X%时，加0或加2.【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质，画二次函数图像,图像法求自变量的取值范围，熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键.2 0.已知关于x的一元二次方程V（左+5）x+6+2 k =0.（1）求证：此方程总有两个实数根；（2）若此方程恰有一个根小于-2,求A的取值范围.【答案】（1）见解析（2）k-5【解析】【分析】（1）计算一元二次方程根的判别式，根据根的判别式进行判断即可得证；（2）根据公式法求得方程的解，得出 =2,乙=4+3,根据题意列出不等式，解不等式即可求解.【小问1详解】解：关于x的一元二次方程一（%+5）X+6+2%=0,a =l,b
26、=-（k +5）,c =6+2 Z .=-4 c =-（/:+5）-4 x l x（6+2/c）=+1 0 A:+2 5-2 4-8 A:=公+2%+1=（k+1）2“；.此方程总有两个实数根；【小问2详解】解：x（左+5）x+6+2攵=0,=（4 +1）-,._-b +y/b2-4-ac _ k+5+（k+l）X 2a 2-解得内=2,=%+3,此方程恰有一个根小于一2,左+3 2，解得&()时，方程有两个不相等的实数根；当 =()时，方程有两个相等的实数根；当A 0时，方程没有实数根，掌握以上知识是解题的关键.2 1.有甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中装有两个相同的球，它们分别写有数-2,
27、2；乙口袋中装有三个相同的球，它们分别写有数-5,m ,5.小明和小刚进行摸球游戏，规则如下：先从甲口袋中随机取出一个球，其上的数记为“；再从乙口袋中随机取出一个球，其上的数记为从若a ，小刚胜.(1)若，*=-2,用树状图或列表法分别求出小明、小刚获胜的概率；(2)当机为何值时，小明和小刚获胜的概率相同？直接写出一个符合条件的整数机的值.【答案】(1)见详解；(2)m=-l【解析】【分析】(1)先画出树状图，再利用概率公式计算，即可求解；(2)取一个符合条件的根的值，即可.【详解】解：(1)画树状图如下：2，一 N-5-2 5-5-2 5可能，a b,有3种可能，.小明获胜的概率=2+6,，
28、小刚获胜的概率=3+6=；32(2)当初=-1时，画树状图如下:b2小明和小刚获胜的概率相同.【点睛】本题主要考查等可能时间的概率，掌握画树状图是解题的关键.2 2.如图，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过格点&。,4）、仇T,4）、C（-6,2）,若该圆弧所在圆的圆心为。点，请你利用网格图回答下列问题：（1）圆心。的坐标为；（2）若扇形A OC是一个圆锥 侧面展开图，求该圆锥底面圆的半径长（结果保留根【答案】（1）（-2,0）；（2）该圆锥底面圆的半径长为好.2【解析】【分析】（1）连接A 3、B C,分别作A 3、的垂直平分线，两直线交于点 ,则点。即为该圆弧所在圆的圆心，进
29、而即可求解；（2）根据网格结构，可得A D =C =2 6，A C =2而，根据勾股定理的逆定理，可得Z A）C =9 0 ,结合弧长公式与圆周长公式，即可求解.【详解】（1）连接A 3、B C,分别作A 3、B C 垂直平分线，两直线交于点O,则点O即为该圆弧所在圆的圆心，可知点。的坐标为（-2,0）.故答案是：（-2,0）；（2）圆。的半径长=疗百=2石，A C =V 2 W =2 V i O-A D2+C D2=2 0+2 0 =40.AC2=40 AD2+CD2=AC2，:.ZADC90.设圆锥的底面圆的半径长为八,.9 0%x 2后1 80解 得：/,=,2答：该 圆 锥 底 面 圆
30、 的 半 径 长 为 今【点 睛】本题主要考查垂径定理以及弧长公式，掌握圆锥的底面周长与侧面扇形弧长的关系，是解题的关键.2 3.如 图，AABC内接于。0,高A D经过圆心。.求 证：AB=A C；（2）若8C=1 6,。的 半 径 为1 0.求的面积.【答 案】（1）见解析（2）1 2 8【解 析】【分 析】（1）根据垂径定理可得过B=*C，根据等弧所对的弦相等，即可求解.（2）连 接O B,勾 股 定 理 求 得OQ,继 而 得 出A。，根据三角形面积公式进行计算即可求解.【小 问1详解】证明：舫=今。，AB-A C；【小问2详解】如图，连接0 8,VA D 1B C，：.B D -B
31、C S,2V 0。的半径为为.BO=1 0,在 中，BO=10,BD=8,*-O D =IOB2-B D2=6:.A D =AO-OD=1 0+6 =1 6,/.S AAnBrC =-2 B C x A ）=-2x l 6 x l 6 =1 2 8.【点睛】本题考查了垂径定理，弧与弦的关系，勾股定理，掌握以上知识是2 4.“母亲节”前夕，我市某校学生积极参与“关爱贫困母亲”的活动，他们购进了一批单价为2 0元的“孝文化衫”在课余时间进行义卖，并将所得利润捐给贫困母亲，在义卖的过程中发现，这种文化衫每天的销售件数y （件）与销售单价x（元）满足一次函数关系：y =-3 x+1 0 8（2 0 x
32、3 6）.如果义卖这种文化衫每天的利润为P（元），那么销售单价定为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？（1）求出/?与X的关系式；（2）当销售单价定为多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？【答案】（1）Z?=-3X2+1 6 8X-2 1 6 0；（2）当销售单价定为2 8元时，每天获得的利润最大，最大利润是1 9 2元.【解 析】【分 析】(1)根据题意得出每天获得的利润 =(3 x+1 0 8)(x 2 0)；(2)关 系 式 转 换 为p =-3(x-2 8尸+1 9 2,利用二次函数的性质即可求出每天获得的利润p最大时的销售价格.【小 问1详 解】解：根据题意得：p
33、=(3x+1 0 8)(%-2 0)=-3 x2+1 6 8x-2 1 6 0 ；【小 问2详 解】解：p =3/+168X2 1 6 0 =-3(x 2 8-+1 9 2.,/。=-3 0,当x=2 8时，利 润 最 大 为1 9 2元；答：当销售单价定为2 8元 时，每天获得的利润最大，最 大 利 润 是1 9 2元.【点 睛】本题主要考查二次函数的应用的知识点；解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质以及最值得求 法，此题难度不大.2 5.如 图，A 3是 O。的直径，四 边 形A 8C。内接于O。，。是AC的中点，交6 C的延长线于 点E -(1)求 证：是 的 切 线;(2)若4 3
34、=1 0,B C=8,求 的长.【答 案】(1)见详解；(2)3屈【解 析】【分 析】(1)连 接。，由圆周角定理可得/A OD=N A B C,从 而 得OOB C,进而即可得到结论；(2)连 接A C,交。于 点F,利用勾股定理可得A C=6,Ob =4,再证 明 四 边 形Q FC E是矩形，进而即可求解.【详解】(1)证明：连接OD,/。是AC的中点，ZABC=2ZABD,：NA0D=2NABD,：.ZAOD=ZABC,：.OD/BC,D E IB C,：.DE八 OD,.,o n为半径，O E是。的切线；(2)连接A C,交0。于点F,D 是直径,D：.ZACB=90,心 A B2-
35、B C2=V 1 02-82=6，。是AC的中点，A OD.LAC,AF=CF=3,*OF=lo/lz AF2=V s2 32=4 9：.DF=5-4=f V ZE=ZEDF=ZDFC=90,四边形OFC E是矩形,：.DE=CF=3,CE=DF=,8=打+1 2 =M,：.ADCD=yJu),V Z A DB=9 0 ,BD=IAB2-AD2=1 02-(V 1 0)2=3 M【点睛】本题主要考查切线的判定定理，圆周角定理以及勾股定理，添加辅助线构造直角三角形和矩形,是解题的关键.,72 6.在平面直角坐标系x O y中，抛物线y =a(x-8。顶点为A,0/?-.(1)若a =l,点A到x
36、轴的距离为；求此抛物线与x轴的两个交点之间的距离；(2)已知点A到 轴的距离为4,此抛物线与直线y =-2 x+l的两个交点分别为8(E,必)，C(x2,y2),其中尤1 ，若点0(x0,%)在此抛物线上，当王 巧)时，力,总满足%X，求。的值和/?的取值范围.15 7【答案】(1)8；4 y；(2)a ,一 h 2 2 2【解析】【分析】当a =l时，y =a(x )2 8 =(尤)2 8,可得抛物线的顶点坐标为仇8),即可求解；令(x-)2-8 =0,可得此抛物线与x轴的两个交点为(+2夜,0),(-2&,0),即可求解；(2)根据点4到x轴的距离为4,可得。=工.分两种情况：当时，抛物线
37、为2 219y =-(x-/z)-4,由此抛物线与直线y =-2 x +l的两个交点分别为,其中王 0,进而得到7 1 9h 2 =1-2 +71 4-4 y =-2/7+5 +2,1 4-4%=-2 1 +5-2，1 4-4,丁 点。（而,y 0）在此抛物线上，当 再 马 时，yD总 满 足 M，抛 物线对称轴X =过 点C或 在 点c（x2,y2）的右侧,h h-2+J 1 4-4/.九.万,7*0 /i ,2X2-（2/Z+4）X+/Z2-6 =0,0,19把y n-l l x-Z z y+d ,y =联立得:y =_；（x _ 1+4y=-2x+1解 得：，x=+2 _ 5/4/2 +
38、1 0V j =-2/z -3 +j4/2 +1 0X-y=+2 +J 4 +1 0%=-2/z -3 -J 4/z +1 0:点）（）,力）在此抛物线上，当 再 马 当 时，总 满 足%必，抛 物线对称轴x =过B点 或 在 点8（X 1,y J的左侧，二%,/?+2 J 4 4 +1 0，K 一二，2,5,3%,2 27V 0/?-.2，无解.1 5 7综上，a=,的取值范围为一”。一.2 2 2【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，与一函数的交点问题，熟练掌握二次函数的图象和性质，并利用数形结合思想解答是解题的关键.2 7.在&4 8 C 中，Z A C B =9 0,C A =C
39、 B,。是 A B的中点，E为边A C 上一 动 点（不与点4,C 重合），连接）,点 A 关 于 直 线 的 对 称 点 为 尸，过点F作户于点从 交射线8c 于点G.N A D E与ZB F G的大小关系；（2）如 图 1,当A EC 时，依题意补全图2,用等式表示线段。E,C G ,A C 之间的数量关系（不需证明）.【答案】（1）ZA D E =/B F G,证明见解析（2）B G =2 A E,证明见解析（3）C G2+A C2=4 D E2,补图见解析【解析】【分析】（1）利用四边形内角和与平角，得到 E4=N”GC,利用对顶角相等，进而得到=尸，利用等腰直角三角形和对称点性质，得
40、到NC 8F=4 5,再利用三角形内角和即可得出结论；A n Ap（2）由（1）可得 A D E s B F G,得 到 隹=，又因为。是 A 3中点，即可得到结论；or DCJ（3）延长AC到点M,使得ME=AE，得到8 M=2。石，由（1）（2）同理可得3 G=2 AE,再利用勾股定理，即可得出结论.【小问 1详解】解：TF H 工 DE,:Z F H E =Z F H D=90,V Z A C S =90,.Z D E C+Z/y G C =360o-Z A C B-Z G W E =360o-90o-90o=180,VZDEC4-ZDE4=180,:.ZDEA=ZHGC,:NHGC=/
41、B G F,:ZDEA=ZBGF,9CA=CB,：.ZA=ZABC=45 f 点F是点A关于直线BC的对称点，/.ZABF=90,BA=B F，.ZCBF=ZABF-ZABC=90-45=45,/.ZA=ZCBF,ZA+ZADE+ZDE4=180,ZCBF+ZBFG+ZBGF=180,:ZADE=ZBFG；【小问2详解】解：由（1）可知，在VA。石和 B/7G中，ZA=ZCBFZAED=NBGF：AADES A BFG,.AD AE 二 ,BF BG0.t D是A B中点,：.AB=2AD,:BA=BF,：,BF=2AD,.AD AE2 A D G，：.BG=2AE【小问3详解】解：补图如下图
42、所示，延长A C到点M,使得M E=A E，.D是AB中点,.DE是 A B M中位线，3M=2由（1）（2）同理可证BG=2AE,BG=AM,AC+CM=BC+CG,AC=BC,:.CM=CG,在MZXBCM中，由勾股定理得:BC2+CM2=B M2，/.AC2+CG2=（2D）2=4L2.中点性质，对称点性质,【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质,四边形内角和，勾股定理，熟练掌握相似三角形的对应角相等，对应边成比例是解题关键.2 8.对于平面直角坐标系xQ y中的图形G 和点P 给出如下定义；。为图形G 上任意一点，若 P,。两点间距离的最大值和最小值都存在，且最大值是最小值的上倍，则
43、称点P为图形G的 ”分己知点 N（3,0）,A（1,O）,5（0,3）,C（l,-1）.（1）在点A,B,C中，线段ON的“、历 分点”是点O(a,0),若点C为线段。的“二分点”，求。的值；(2)以点0为圆心，r为半径画图，若线段AN上存在O。的 二分点，直接写出厂 的取值范围.【答案】(1)点 a =l +G(2)或3(r 493【解析】【分析】(1)分别找出点A、B、C到线段O N的最小值和最大值，是否满足“血 分 点”定义即可，对。的取值分情况讨论：0 a W l,la 2和a 0,根 据“二分点”的定义可求解，(2)设线段AN上存在O。的“二分点”为对r的取值分情况讨论0 厂1,1广
44、3且机 r，l r 广，r 3,根据二分点的定义可求解.【小 问1详解】解：I点A在Q V上，故最小值为0,不符合题意，点B到O N的最小值为OB=3,最大值为BN=/32+32=3叵，点B是线段O N的“五分点”，点C到O N的最小值为1,最大值为CN=后而=75点C不是线段O N的“、口分点”，故答案为：点8；当0 a W 1时，点C到。的最小值为CD=J(l-4+(=y/2-2a+a2，点C到O D的最大值为CO=，点C为线段0。的“二分点”，V 2=2yl2 2a+a2，即 2。2-4+3=0，故无解，舍去：当l 2时，点C到。0的最小值为1,点 C到0 0的最大值为8=1)2+(0
45、1)2 7 a?-2a+2，点C为线段OQ的“二分点”，J a2 2a+2=2x 11=1 +V 3 1(舍去)，当。()时，点C到0 D的最小值为C O=12+(-1)2=V2，点 C到0 D 的最大值为C D=,J(l-t z)2+(-l-O)2=yJ a2-2a+2，点C为线段0。的“二分点”，同0。41时，无解，舍去；如图所示，设线段AN上存在。的“二分点”为“(加0)(1机3),当0 r W l时，最小值为：m-r,最大值为：m+r,2（mr）=m+r,即/=，,V l w 3,Z.-r 13当1 v r v 3且2 V厂时，最小值为：r-m,最大值为r+m，J 2（厂 一 /）=厂+机，即尸=3机，A 3 r 9,Vl r 3,不存在，当1广3且机 时，最小值为：m -r,最大值为：m+r,2（m r）=r+m,即/-=3加，1 ,；-r 1,3,.,l r 3,，r不存在.当时，最小值为：r-m,最大值为：m+r,/.2（r-m）=r +m,即 r =3/“，：.3 r 3/.3 r 9,综上所述，的 取 值 范 围 为 或3W r 9.3【点睛】本题考查坐标上的两点距离，勾股定理，点到圆的距离.根据题目所给条件，掌 握“二分点”的定义是解题的关键.