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1、2021学年上学期广安市岳池县高二数学(理)期中考试卷一、单选题1.过两点&O,y),8(26,-3)的直线的倾斜角为6 0。，则 =A.-9 B.-3 C.5 D.62.在空间直角坐标系中，已知P(0,0,5),Q(3,4,5),则 线 段 的 长 为()A.5 B.57 2 C.3石 D.尽3.已知直线 4：-y-l=O,Z,：6 u-+(a +2)y+l=0.若 则实数。=()A.-1 或 1 B.()或 1 C.-1 或2 D.一 3或24.圆 G：J+y 2=9 与圆 G：(x-l)2+(y +2)2=36 的位置关系是()A.相交 B.相离 C.内切 D.内含故选：D.5.某双曲线
2、的一条渐近线方程为y =且上焦点为(0,旧)，则该双曲线的方程是()A.-X2-V-2 =1 B.V-2 X2 =1 C.X2-V-2 =1 D.V-2 X2=19 4 9 4 18 8 18 86.已知过点尸(2,2)的直线与圆(1-1)2+产=5 相切，且与直线如一+1 =0 平行，则。=()A.2 B.1 C.D.227 .已知双曲线C：4 其=1的两个焦点是士、尸 2,点 P 在双曲线。上.若。的离心率为：，且 阀|=10,a 16 3则 归 国=()A.4 或 16 B.7 或 13 C.7 或 16D.4 或 138 .已 知 圆(x-l7+(y +2)2=9 的一条直径通过直线2
3、x +y-4=0 被圆所截弦的中点，则该直径所在的 直 线 方 程 为()A.x +2y-5=0 B.x-2y-5=0?C.x-2y +5=0 D.x +2y+5=09 .已知双曲线g-金=1的一个焦点在直线x+y =5 上，则双曲线的渐近线方程为()a2 16A.y=?%B.y =g x c.y=+x D.y =乎 Xr2 v21 0.己知尸为椭圆C：鼻+与=13/0)的右焦点，O为坐标原点，尸为椭圆C 上一点，若IO PI=|。外a bZPOF=20f则椭圆C 的离心率为()1A.B.包 C.V 2-1 D.7 3-12 311.已知直线+y +l=O 及两点P（-2,l）,。（3,2）.
4、若直线与线段尸。（尸指向。）的延长线（不含。点）相交，则实数。的取值范围是（）A.y,-l）U（M）B.f-1C.f,1 j D.（-1,1）12.已知A、FZ 分别为双曲线*-=l（0乃0）的左、右焦点，且 内 闾=子，点尸为双曲线右支一点，/为尸耳苞的内心，若 S勺=S，+/%的 成 立，给出下列结论：当轴时，N P 耳居=30。离心率6 =巨 叵 义=五二1 点/的横坐标为定值。2 2上述结论正确的是（）A.B.C.D.二、填空题1 3.已知圆G：/+y 2=4 与圆C2：/+y 2-6 x +2），+6 =（）关于直线/对称，则直线/方程.214.若双曲线=一 2=（“0）的右焦点与圆
5、/+2-版=0 的圆心重合，则。=.CT15.若直线y =x+与曲线）,=3-后 与 有公共点，则方的 取 值 范 围 是.16 .已知椭圆C：+/=1（。6 0）的右焦点尸（*0）,点尸在椭圆。上，线段尸尸与圆卜一|）+丁=5相切于点。，且 而=2/，则椭圆C 的 离 心 率 为.三、解答题17 .如图所示，在长方体A B C。-A 蜴C Q,|A B|=4,|阳=3,|例|=5,N为棱C G 的中点，分别以AB,AD,A,所在的直线为x 轴、丫 轴、z 轴，建立空间直角坐标系.（1）求点 A,8,C,Q,A，4 C，口的坐标;2(2)求点N的坐标.18 .已知圆 C：x2+y2-8 y +
6、12=0,直线/：ax+y+2a=0.(1)当 a为何值时，直线/与圆C 相切；当直线/与圆C 相交于A,8两点，且|A 剧=2立 时，求直线/的方程.19 .已知直线/经过点尸(2,5),且斜率为二.(1)求直线/的方程；(2)若直线掰与直线/平行，且点尸到直线?的距离为3,求直线的方程.20 .己知圆C 的圆心在x 轴上，且经过点4(-3,0),8(-1,2).求 圆 C 的标准方程；a过尸(0,2)斜率为；的直线与圆C 相交于M,N,两点，求弦MN的长.21 .已 知 椭 圆 以 直 线 x +?y 一石=0 所过的定点为一个焦点，且短轴长为4.(1)求椭圆G 的标准方程；(2)过点C(
7、L O)的直线/与椭圆G 交于A,B两个不同的点，求AOAB面积的最大值.22.已知双曲线C:-=l(a ()/0)的一个焦点为尸(虚,0),且经过点7(当,g)(1)求双曲线C 的标准力程；(2)己知点A是 C 上一定点，过点3(0,1)的动直线与双曲线C 交于P,。两点，若我a+原2为定值2,求点4的坐标及实数2 的值.31.A【解析】根据直线的斜率公式即可求解.【详解】因为过两点4(0,y),B Q瓜-3)的直线的倾斜角为60,所以&=1皿60。=亲,解 得y=-9,故选：A【点睛】本题主要考查了直线斜率的公式，属于容易题.2.A【分析】根据空间中两点距离公式，计算即得解【详解】根据空间
8、中两点距离公式：I PQ I=J(3-0)2+(4-0尸+(5 5尸=5.故选:A3.C【解析】利用两条直线斜率之积为-1求解.【详解】若/J/一 则6+(T)(a+2)=0,解得a=2或a=l.故选：C.【点睛】若直线I A x+8 j+G=0和直线/2：4X+BQ，+C 2=0,当直线4JL4时有，A 4 +与为=0.4.D【解析】根据两圆的方程，求得圆心坐标和半径，根据圆心距和两圆半径的关系，即可求解.【详解】由圆G：d +V=9与圆C2：(x T+(y+2)2=36,可得4(0,0),4=3,G(l,-2),2=6,则|CC|=(1-0)2+(-2-0)2=亚,又由4-=3,所以C G
9、 k -、所以圆G和圆G的位置关系式内含.故选：D.5.B【分析】根据双曲线的渐近线方程设双曲线方程，然后由焦点坐标结合“2+=0 2可得.【详解】双曲线的一条渐近线方程为y=且焦点在y轴上 可设双曲线的方程为二-二=4 0.9 4 双曲线的上焦点为(0,万),，9/1+42=1 3,解得4=1,4,2.双曲线的方程为上-三=1.故选：B9 46.C【分析】先根据垂直关系设切线方程，再根据圆心到切线距离等于半径列式解得结果.【详解】因为切线与直线-y+i=O 平行，所以切线方程可设为奴-y+机=0因为切线过点尸(2,2),所以2a-2+w=0;.m =2-2。|一 0 +2 2|fr A A
10、1 n 1因为与圆(x _ l)、y J 5 相切，所以一 丁 7一 =V 5 .-.4 a-+4 a +l =0.-.a =-故选：C7.A【解析】求出。的值，结合双曲线的定义可求得归用的值.2 2【详解】在双曲线C:-当=1 中，6 =4,=五+1 6,a 1 6因为双曲线C 的离心率为e =2+1 6=5,.”=3,c=5,a a 3由双曲线的性质可知|P 剧 2c-a =2,由双曲线的定义可得|用 H-|=2a =6,解得归周=4 或1 6.故选：A.【点睛】关键点点睛：在利用双曲线的定义求解问题时，需要注意以下两点：(1)双曲线定义的集合语言：P=间|用一|用|=24,0 2”怩用
11、是解决与焦点三角形有关的计算问题的关键，切记对所求结果进行必要的检验.(2)利用定义解决双曲线上的点与焦点的距离有关问题时，弄清点在双曲线的哪支上.8.B【解析】求出圆心的坐标和直线的斜率，即得直线的方程.【详解】由题得圆的圆心坐标为(1,-2),所求的直线的斜率为-4=!，-2 2所以所求直线的方程为y+2=：(x-l),即x-2y-5 =0.故选：B【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，考查直线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.9.B5【分析】由双曲线的焦点在X轴上可得焦点坐标为（5,0）,c=5,然 后 求 出 即 可 得 渐 近 线 方 程.【详解】,双曲
12、线=1的焦点在x 轴上，直线+5 与*轴的交点为（5,0）,.=5.a 16:.16+/=2 5，解得/=9,双曲线的方程为反-q=1,其渐近线方程为 =2，故选：B.9 16 310.D【分析】记椭圆C 的左焦点为E,在APOF中，通过余弦定理得出归尸|,归耳，根据椭圆的定义可得（6+l）c=2 a,进而可得结果.【详解】记椭圆C 的左焦点为E,在 d O F 中，可得|尸 产|=Jc2+c2 2xcxcxcosl20=丘,在中，可得|P E|=c,故|阳+|尸 尸|=（6 +l）c=2a,故e=?=&T,故选：D.11.B【分析】直线以+丫+1 =0 过定点M（0,-l）,求出直线PQ、M
13、Q的斜率，数形结合可求得直线ar+y+l=0斜率的取值范围.【详解】直线6+y +l=0 过定点M（0,-1）,作出图像如下图所示：“%MO=2土”=1 ,直线5+）+1=0的斜率为一4，3-3-0若直线与线段P。（尸指向。）的延长线（不含。点）相交，则g|J-l a l）,所以e =5,所以正确；2设 2/=；5的内切圆半径为八，由双曲线的定义可得归制-|尸段=为,由 段=,其中 5所=g|W，S,F 2 =g|P段/S/内=g，2 c ，因为近m=S 居+/5.外，所以俨/讣r =g|P/讣r+融，解得；1=史 生 =_ 1 =1二1,所以2 2 2c c e 2正确；设内切圆与 巧记与,
14、我也的切点分别为MMT,可得归M=pM，巧M|=|6 T l M因为归同一归用=山凹一|用M=|耳 刀 一|甲 卜 勿，花 段=山7|+T|=2 c,可得|T|=c-a,则点7的坐标为3,0）,所以/点横坐标为“，所以正确.故选：D.【点睛】求解桶圆或双曲线的离心率的三种方法：1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得，c得值，根据离心率的定义求解离心率e；2、齐次式法：由已知条件得出关于“，c的二元齐次方程，然后转化为关于e的一元二次方程求解；3、特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.1 3.3x-y-5=0【分析】求得两圆的圆心，可得过两圆心直线的斜率和中点坐标，根据对称性可得直线/
15、斜率，从而求7得直线/的方程.【详解】解：圆a：尤 2 +y 2=4,圆心为G(0,0),半径4 =2圆 C 2：x 2 +y 2-6 x +2 y +6 =0,经整理为(x-3 p+&+1)?=4,其圆心为 C?(3,1),半径4=2；故G C?中点为C悖 一 g),%=-；，由对称性知&%-，认=3./:y+l =3-|L整理得直线/的方程为3 x-y-5 =0.故答案为：3 x-y-5 =01 4.7 1 5【分析】由圆心坐标可得c,然 后 由 片+从=02 计算可得.【详解】因为双曲线二-丁=1(。0)的右焦点与圆x 2+V-8 x =0 的圆心重合，a所以由圆r+y2-8 x =0的
16、圆心(4,0),得双曲线中片4,所以“=二 1 =店.故 答 案 为：厉.1 5.1-2 7 2,3【解析】曲 线 产 3-后 二 7 表示圆心为(2,3),半径为2 的半圆，画出图象，结合点到直线的距离公式,得出b的取值范围.【详解】由4 x 炉.0,解得嘴次4根据二次函数的性质得出喷虑7 二 7 2,即倒上3曲线y=3-V耳可化为(x-2)2+(y-3)2=4,(既收 4,掇/3)所以该曲线表示圆心为(2,3),半径为2 的半圆因为直线丫=+人与曲线y=3-怎 二 7 有公共点，所以它位于/r 4 之间，如下图所示当直线y=x+。运动到4 时，过(0,3),代入y=得：6 =38当直线y=
17、x+6 运动至！时，此时y=x+6 与曲线相切|2 x l-3 x l +/?|6-1|则=2,解得6 =1 2 应 或 1 +2&（舍）要使得直线y=x+。与曲线y=3-而 二 7 有公共点，则6 u-2 立,3 1故答案为：1-2 忘,3【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，属于中档题.1 6.见3【解析】根据数形结合分析，可得P F J 尸 尸，并根据勾股定理，可得+-3匕 行 二 式/一 此,计算离心率.【详解】如图，首先画出函数图象,EF=OF-OE=c-c =c,=2一 c 13 _ 2 ,c+-c3_ _ QE 1又一;PQ=2QF,；PF i/Q E,且 帮 =,且 尸 尸
18、 尸，v|e|=p：.PF-b,根据椭圆的定义可知|P F|=2 -6,由勾股定理可知归产+|P F|2=出 局 2,即为+(2 4 一城=公 2 =4(/整理为力2 +4/+/一 4 出 7 =4。2 -4/?2,即 2 =,a 3.=，?=且故答案为：见a a2 3 39【点睛】方法点睛：本题考查椭圆离心率的取值范围，求椭圆离心率是常考题型，涉及的方法包含1.根据”,仇。直接求，2.根据条件建立关于“，c的齐次方程求解，3.根据几何关系找到”,仇。的等量关系求解.三、解答题17.(1)4(0,0,0),8(4,0,0),0(0,3,0),4(0,0,5),C(4,3,0),耳(4,0,5)
19、,D,(0,3,5),C,(4,3,5)(2)N(4.3,|)【分析】(1)根据点所在位置，结合几何体的棱长，即可容易求得点的坐标；(2)由中点坐标公式即可容易求得结果.【详解】(1)由已知，得4(0,0,0)由于点8在x轴的正半轴上，|A B|=4,故3(4,0,0).同理可得，(0,3,0),4(0,0,5).由于点C在坐标平面xOy内，B C 1 A B,C D A.A D,故C(4,3,0).同理可得，(4,0,5),。(0,3,5).与点C的坐标相比，点C,的坐标中只有竖坐标不同，阳=陷=5,则G(4,3,5).(2)由(1)知,知C(4,3,0),G(4,3,5),则GC的 中 点
20、 为(等，手，等)即N(4,3,|).【点睛】本题考查空间直角坐标系中某一点坐标的求解，属基础题.318.”；(2)1一)+2=。或7x-y+14=0.4【分析】(1)由题设可得圆心为C(o,4),半径厂=2,根据直线与圆的相切关系，结合点线距离公式列方程求参数。的值即可.(2)根据圆中弦长、半径与弦心距的几何关系列方程求参数”，即可得直线方程.【详解】(1)由圆C：X2+/-8J+12=0,可得f+(y-4=4,其圆心为C(0,4),半径r=2,若直线/与圆C相切，则圆心C到 直 线/距 离 =堆 丝=，=2,即4a=-3,可得：a=-.yjl+a2410(2)由(1)知：圆心到直线的距离d
21、 =+24l,-J+a2因 为 怨 +d-=r,即(苧 J+3=22,解得：d=Q，所以4 =堆 驾=&,整理得：a2+8 a +7 =0,解得：。=-1或。=-7,7 1+a2则直线/为 x-y +2 =0 或 7 x-y +14 =0.19.(l)3 x-4 y-i-14 =0(2)3 x-4 y-l =0 J(；3 x-4 y +2 9 =0【分析】(1)根据点斜式写出直线方程并化为一般式即可；(2)由直线，与直线/平行，可设直线，的方程为3 x-4 y+c =0(c=14),根据点到直线的距离公式代入点坐标即可解出参数J进而得出答案.【详解】由点斜式写出直线/的方程为y-5=j(x-2
22、),即 3 x-4 y+14 =0.(2)由直线掰与直线/平行，可设直线机的方程为3 x-4.y +c =0(c、H 14),由点到直线的距离公式，得 P x jT x当=3,即 上 也 4=3,解得。=_ 1或。=2 9,V32+42 5，直线团的方程为3 X一 4 丫-1=0 或3%-4 义+2 9 =0.2 0.(l)(x+l)2+y2=4(2)2 7 3【分析】(1)由圆的性质可得圆心在线段A8的垂直平分线上，由题意求出A8的垂直平分线方程，从而得出圆心坐标，再求出半径，得到答案.(2)由题意先求出满足条件的直线方程，求出圆心到直线的距离，由垂经定理可得圆的弦长.【详解】由题意设圆C的
23、标准方程为(万一4)2+丁=，(厂0)设A8的中点为,则。(-2,1),由圆的性质可得C D 1 AB,2-0 ,则七3,砥=T,又&=_ I_(_ 3)=)所以 c =T则直线8 的方程为y-l=(X+2),即y =-x-l则圆C的圆心(a,0)在直线CO 上，即0 =a-1,故a =-l 所以圆心C(l,0),半径r=|A C|=211所以圆C的标准方程为(x+l)2+y 2=4a a(2)过P(0,2)斜率为;的直线方程为：)，=/+2_ _ _ _ _ _圆心C(-1,O)到该直线的距离为d=J(3J=1所以|M N|=2ylr2-d2=2 x/4 1=2 1.(1)+=1；(2)-V
24、2.9 4 3【分析】(1)由给定条件求出椭圆C/的半焦距，短半轴长即可得解；(2)设出直线/的方程，联立直线/与椭圆的方程组，消去x得关于y的一元二次方程，借助韦达定理表示出AOAB面积的关系式，再利用对勾函数的性质即可作答.【详解】(1)直线x +畋-6=0过定点(6,0),即椭圆的一个焦点为(道,0),依题意：椭圆G的半焦距。=石，短半轴长6 =2,长半轴长a有“2=尸+/=9,所以椭圆G的标准方程为+$=1；9 4(2)显然点C(LO)在椭圆内部，即直线/与椭圆必有两个不同的交点，由题意得直线/不垂直于)，轴，设直线/的方程为彳=6+1,由1 M=3 6消去x整理得S/+9)/+86-
25、3 2 =0,设义埠乂)，8(,、2),则,+为=3，弘必=3 ，Q K十V Q K十y从而有眦=：.|0口.回 吟|0。|.帆|=去-必|=(3+必)2-4%_ 12正+2-4公+912正 +24(r+2)+1_ _ _ _ _ _ _ _ _ 12 _ _ _ _ _ _ _4A/F+2+-TJ=42+2令 用5=r亚，函数“)=4/+；在 向 单 调 递 增，则/=&，即&=0时，42+2 +-j=4/4-y 4 A/2+-=-V 2 ,S 02t=匚 72I I,由1-*H0且(),解得/=。得2几=力解得加=J 5,此时A(J,l)在双曲线C上.综上，A(V2,1),入=6,或者A(-0,1),A=-7 2.【点睛】直线和双曲线位置关系有关问题，可采用设而不求，整体代入来进行求解.13