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1、专题3 0圆的根基性质【常识要点】常识点一圆的根本概念圆 的 概 念：在 一个平面内，线段。4 绕它固 定 的 一 个端点。旋 转 一 周，另一个端点A所形成的图形叫圆.这个固定的端点。叫做圆心，线段。A叫做半径.以0 点为圆心的圆记作。，读作圆0.特点：圆 是 在 一个平面内，所有到一个定点的间隔等于定长的点组成的图形.确定圆的前提：圆 心；半 径，其中圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小.增补常识：1）圆心一样且半径相等的圆叫做同圆；2）圆心一样，半径不相 等 的 两个圆叫做同心圆；3）半径相等的圆叫做等圆.弦 的 概 念：连结圆上随意率性两点的线段叫做弦。经由圆心的弦叫做直径，并且直径是
2、同一圆中最长 的 弦.弧 的 概 念：圆上随意率性两点间的部分叫做圆弧，简称弧.觉得/、B端 点 的 弧 记 作 读 作 弧A B.在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧.圆的随意率性一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆.在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧.弦心距概念：从圆心到弦的间隔叫做弦心距.弦心距、半径、弦长的关系：（考点）半径2二弦心距2+（g弦长）2常识点二垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.推论：平 分 弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造R 7A
3、 用勾股，求长度；2）有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分.常识点一圆的根本概念圆 的 概 念：在一个平面内，线段。4 绕它固 定 的 一个端点。旋转一周，另一个端点/所形成的图形叫圆.这个固定的端点。叫做圆心，线段。A叫做半径.以。点为圆心的圆记作。0,读作圆0.特点：圆 是 在 一个平面内，所有到一个定点的间隔等于定长的点组成的图形.确定圆的前提：（4）圆心；半 径，其中圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小.增补常识：1）圆心一样且半径相等的圆叫做同圆；2）圆心一样，半径不相 等 的 两个圆叫做同心圆；3）半径相等的圆叫做等圆.弦 的 概念：连结圆上随意率性两点的线段叫做弦。经由圆心的弦叫做
4、直径，并且直径是同一圆中最长的弦.弧 的 概 念：圆上随意率性两点间的部分叫做圆弧，简称弧.觉得/、B端 点 的 弧 记 作 读 作 弧A B.在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧.圆的随意率性一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆.在一个圆中大于半圆的 弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧.弦心距概念：从圆心到弦的间隔叫做弦心距.弦心距、半径、弦长的关系：（考点）半径2二弦心距2+6弦长）2常识点二垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.推论：平 分 弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧;常见辅助线做法（考点）：3）过圆心，作垂线，连半径
5、，造用勾股，求长度；4）有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分.常识点三圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系圆心角概念：极 点 在 圆 心 的 角叫做圆心角.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。推论：在同圆或等圆中，参加两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等常识点二圆周角定理（考点）圆周角概念：极 点 在 圆 上，并且两边都和圆订交的角叫做圆周角.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.-1圆心角=;圆周角推 论1:在同圆或等圆中，参加两个圆周角相等，它们所对的弧必然相等.推
6、论2:半 圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径.（在同圆中，半弧所对的圆心角等于全弧所对的圆周角）常识点三圆内接四边形圆内接四边形概念：参加一个多边形的所有极点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形。这个圆叫做这个多边形的外接圆。性质：圆内接四边形的对角互补，一个外角等于其内对角.【考查题型】考查题型一圆的周长与面积问题典 例 1.如图中三个小圆周长之和与大圆周长对照，较 长 的 是（）A.三个小圆周长之和 B.大圆周长C.一样长 D.不能确定【答案解析】C【提示】如图，设大圆的直径为d,三个小圆的直径依次为d;d,d ,根据圆的周长公式即可解答.【详解】如图，设大圆
7、的直径为d,三个小圆的宜径依次为d,d,d、则大圆周长为n d;三个小圆周长之和为n c T+n d +J t c r=j r(d+d +d).因 为d=d +d +d ,所以三个小圆周长之和与大圆周长一样长.变 式1-1.如图，。的 半 径 为1,分别以。的 直径A5上 的 两 个四等分点。“。2为 圆 心，,为半径作圆，则图中阴影部分的面积为()2A.n B.-7 12C.-71 D.2兀4【答案解析】B【提示】把阴影部分进行对称平移，再根据半圆的面积公式计算即可.,1 1 1【详解】；r x l x =；r x l x =不，2 2 2 图 中 阴 影 部 分 的 面 积 为,故 选B.
8、2变 式1-2.图案的地砖，要求灰、白两种颜色面积大抵一样，那么下面最吻合要求的是（）【答案解析】D【提示】设正方形边长为2 a,依次示意出每个图形灰色和白色区域的面积，对照即可得出结论.【详解】设正方形边长为2 a,则：A、灰色区域面积=正方形面积一圆的面积=（2。）2-7 =（4万）4 ,白色区域面积=圆面积=万/，两者相差很大；B、灰色区域面积=正方形面积一圆的面积=（2a）2-%/=（4一万）/,白色区域面积=圆面积=乃 ，两者相差很大；C、色区域面积=正方形而积一圆的面积=（2。）2-%/=（4一万）/,白色区域面积=圆面积=%足,两者相差很大；D、灰色区域面积=半圆的面积一正方形面
9、积=3万（2。）2-（2。）2=（27一4）,白色区域面积=正方形面积一灰色区域面积=（2）2 （2乃 4）=（8 2幻 ,两者对照接近.故选D.变 式1-3.如 图，一枚半径为r的硬币沿着直线滚动一圈，圆 心 经 由 的 间 隔 是（）A.471rB.271rC.TirD.2r【答案解析】B【提示】一枚半径为r 的硬币沿着直线滚动一圈，圆心经由的间隔就是圆的周长.【详解】圆心经由的间隔就是圆的周长，所 所 以 2仃.，故选B.考查题型二操纵垂径定理进行计算典例2.（2021.贵州黔东南苗族侗族自治州.中考真题）如图,。的 直径C=20,AB是。的弦,A B C D,垂足为 M,O M:。=3
10、:5,则 AB 的 长 为（）A.8B.12C.16 D.2.791【答案解析】C【提示】毗邻0 A,先根据。的 直径C=20,OM-OD=3:5 求出0。及的 长,定理可 求 出 的 长，进而得出结论.【详解】毗邻0A,再根据勾股:。的 直径 CD=20,0M 0 0=3:5,.00=10,0M=6,-：A/iCD,A M =y/o -O M2=7102-62=8，：.AB=2AM=16.故选：C.变式2-1.(2021湖北中考真题)如图，点A 5,C,。在。0 上，O A 1 B C,垂足为 E.若Z4DC-300,A=l,则 8 C=()AA.2B.4C.也D.2百【答案解析】D【提示】
11、毗邻OC,根据圆周角定理求得Z4OC=6 0 ,在 RtCOE中可得 0七=。=,04,2 2可 得OC的长度,故CE长度可求得，即可求解.【详解】解：毗邻0c,?ZADC=30P,：.ZAOC=60,OE 1在 RtaCOE中，=cos60=-,OC 2OE=-O C =-O A,2 2:.AE=-O C =-O A2 2A E =,OA-OC 2,CE=#）：O A 1 B C,垂足为 E,BC=2 故选：D.变式2-2.如 图，在。0中，A E 是 直径，半径0 C 垂直于弦A B 于 D,毗邻BE,若 A B=2 j 7,则 B E 的 长 是（）C D=1,A.5 B.6 C.7 D
12、.8【答案解析】B【提示】根据垂径定理求出A D,根据勾股定理列式求出半径，根据三角形中位线定理计算即可.【详解】解：.半径0 C 垂直于弦AB,.AD=DB=AB=V?在 RtAAOD 中，OA2=（OC-CD）2+AD2,即 OA2=（OA-1）2+（币）2,解 得，OA=4，OD=OC-CD=3,:AO=OE,AD=DB,BE=2OD=6故选B变式2-3.（2021 曲 阜 模拟）。的 半 径 是 13,弦ABUCD,715=24,C D=0,则 A 8与 8 的 间隔 是（）A.7 B.17 C.7 或 17 D.34【答案解析】C【提示】先作出图象根据勾股定理分别求出弦AB.CD的
13、弦 心 距 OE,O F,再根据两弦在圆心同侧和在圆心异侧两种情况会商.设 E、F 为 AB、CD 的中点,11A E=-A B=-X24=12,2 2C F=-C D=-x 10=5,2 2OE=A O2-A B2=V132-1 22=5,OF=yJoC2-C F2=#132-52=12,当两弦在 圆心同侧时，间隔=OF-OE=12-5=7;当两弦在圆心异侧时，间隔=OE+OF=12+5=17.所以间隔为7 或 17.故选C.变式2-4.（2021.陕西中考真题）如图，ZVIBC内接于。0,NA=50.是 边 8 C 的 中 点，毗邻OE并耽误，交。于点。，毗邻则N O 的 大 小 为（）D
14、A.55 B.65 C.60 D.75【答案解析】B【提示】毗邻C Q,根据圆内接四边形的 性质得 到NCDB=180。-乙4=130。，根据垂径定理得至U 0。B C,求 得 B D=C D,根据等腰三角形的 性质即可得 到结论.【详解】解：毗邻8,ZA=50,ZCDB=180-ZA=130,是 边 8 c 的 中 点，:.OD1.BC,:,BD=CD,ZODB=ZODC=-ZBDC=65,2故选：B.考查题型三 垂径定理的 现实应用典例3.（2021广东广州市.中考真题）往 直 径 为52c机 的 圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB=4 8 c w,则 水 的 最 大
15、深 度 为（）A.8cm B.Qcm C.16cm D.20cm【答案解析】C【提示】过点。作于C,交。于E,毗邻O A,根据垂径定理即可求得AO的 长，又由。的 直 径 为5 2 c m,求 得OA的 长，然后根据勾股定理，即可求得。的 长，进而求得油的最大深度。石 的 长.【详解】解：过点。作于。，交。于E,毗邻04,由垂径定理得：A D =A B=x 48=24cm,2 2的 直 径 为52cm,:.OA=OE=26cm,在 RA40Z）中，由勾股定理得：OD=VOA2-AD2=A/262-242=10c/n-DE=O E-O D =26-10=16cm,二油的最大深度为16cm,故选：
16、C.变式3-1.(2021.宁夏中考真题)我国古代数学经典著作 九章算术 中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺.问径几何？”意 思 是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小.用锯去锯这木材，锯口深1寸，锯道长AB=1尺(1尺=1()寸).问 这 根 圆 形 木 材 的 直 径 是 寸.【答案解析】26【提示】根据题意可得0E_LA 5,由 垂 径 定 理 可 得=1尺=5寸，设半径2 2OA=OE=r,则0。=1,在RQ4 中，根据勾股定理可得：（r-1）2+52=r2,解方程可得出木材半径，即可得出木材直径.【详解】解：由题可知O E
17、 _ L AB,;OE为。半径，/.A）=8 =，AB=，尺=5 寸，2 2设半径。4 =O E=r,;ED=1,：.O D=r-在AQ4 中，根据勾股定理可得：（1）2+52解 得：r =1 3,二木材直 径 为2 6寸；故 答 案 为：2 6.变式3-2.（2 0 2 1湖南湘潭市中考真题）九章算术 是我国古代数学成就的杰出代表作，其 中 方田 章计算弧田面积所用的履历公式是：弧 田 面 积=!（弦X矢+矢2）.孤田是由圆弧和其所对的2弦 围 成（如图中的阴影部分），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的间隔之差，运用垂径定理（当半径。C _ 弦4 8 时，平分A 6）可
18、以求解.现已知弦AB=8 米，半径等于5米的弧田，根据上述公式计算出弧田的面积为 平方米.0【答案解析】10【提示】根据垂径定理得到A D=4,由勾股定理得到OD=JQ42_A）2=3,求 得。4OD=2,根据弧田面积=2（弦义矢+矢 2）即可得到结论.【详解】解：弦AB=8 米，半径。C_L弦 AB,AT=4.OD=YIOA2-AD2=3OA.OD 2,二弧田面积=：（弦x 矢+矢 2）=1X（8X2 +22）=1 0,故 答 案 为 10变式3-3.（2 0 2 1 佳木斯市模拟）如图是一圆形水管的截面图，已知。的 半径0 4 =13,水面宽AB=24,则 水 的 深 度 CD是【答案解析
19、】8【提示】先根据垂径定理求出A C的 长，再根据勾股定理求出OC的 长，根据C D=【详解】解：的 半径。4 =13,水面宽 4 8=2 4,ODLAB,，0 =0 A=1 3,4 c=8=1 2,2在 Rt ZXAO C 中，*=而2 _ 1 2 2 =5,：.C D=0 D-0 C=1 3 -5=8.故 答 案 为：8.变式3-4.（2 0 2 1 广西梧州市九年级二模）如图，圆柱形水管的截面半径是分，水面宽4 3 =1.6 加，则水的最大深度是.-0C即可得出结论.1m,阴影部分为有水部B【答案解析】L6【提示】如 图（见解析），先根据圆的性质得出水的最大深度为CD的 长，再根据垂径定
20、理、勾股定理求出 0 C 的 长，由此即可得.【详解】如图，设 圆 心 为 点 0,过点O 作 O C L 4 3 于点C,耽误CO交圆0 于点D,毗邻0A由圆的性质可知，圆 的 半 径 为O A =O D =m,水的最大深度为CD的 长由垂径定理得：A C =-A B =O.Sm2在 R t N A O C 中，O C =A/O42-AC2=V l2-0.82=0.6（加）则 CD=OC+。=0.6+1 =1.6（m）即 水 的 最 大 深 度 是 1.6加1.6.考查题型四操纵弧、弦、圆心角的关系求解典例4.（2021四川泸州市中考真题）如图，。中，为？=*C，NABC=70.则 Z B
21、O C 的 度数 为（）A.100 B.90 C.80 D.70【答案解析】C【提示】起首根据弧、弦、圆 心 角 的 关 系 得 到 A B=A C,再根据等腰三角形的性质可得N A 的 度数，然后根据圆周角定理可得N B O C=2/A,进而可得答案.【详解】解：.彘=泥，/.AB=AC,ZABC=ZACB=70,二 ZA=180o-70ox2=40o,圆O 是 ZABC的 外接圆，ZBOC=2ZA=40X2=80,故选c.变式4-1.（2021.山东青岛市.中考真题）如图，BO是。的 直径，点A,。在上，ABAD,AC交BD于点G.若NCOD=1 2 6.则NAGB的 度 数 为（）A.9
22、9 B.108 C.110 D.117【答案解析】B【提示】先根据圆周角定理得到NBAD=9 0 ,再根据等弧所对的弦相等，得 到AB=AD,ZABD=4 5 ,未了根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，得 到/CAD=63,ZBAG=27,即可求解.【详解】解：是。的直径./BAD=90,-AB=筋/.AB=AD，/A B D =45,/ZCOD=126A Z CAD=-Z C O D =632；./B A G =90。63=27，Z AGB=180-27-45=108故 选：B.变 式4-2.（2021山西模拟）如图，AB是。O的 直 径，BC=CD=DE,Z C O D=3 4,则NAE
23、O的 度数 是（）A.51B.56C.68D.78【答案解析】A【试题解答】如图，在。O中,.-Z-/-s BC=CD=DE,二 NBOC=/COE=NDOE=34,：AB是。O 的直径,，Z BOC+ZCOE+Z DOE+Z AOE=180,二 NAOE=180-34-34-34=78,VOA=OE,/AEO，AJ 8 0-N A O J 理潭=51。.22故选A.变式4-3.（2021扬州市一模）如图，AB是。的 弦，OA、0 C 是 O O 的半径,=BC,ZBAO=37。，则/A O C 的 度 数 是（）度.0A.74B.106C.117D.127【答案解析】D【提示】毗邻OB,进
24、而 得 出/A O B 的 度 数，然后根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得 NAOC的度数.【详解】毗邻OB,VOA=OB,ZBAO=37,二 Z AOB=180-2x37=106,-AC=BC,360-106:.ZAOC=ZBOC=-=127,2故选D.考查题型五操纵弧、弦、圆心角的关系求证典例5.（2021富顺县中考真题）如图，。中，弦 A 3 与 8订交于点E,A 3=C D,毗邻AD.BC.求证：检=BC;AE=CE.【答案解析】（1）见解析；（2）见解析.【提示】（1）由 AB=CD知 筋=/，即 筋+公=京+泥，据此可得答案；（2）由 筋=病知 AD=BC,联
25、合NADE=/CBE,ZDAE=ZBCE nJijEAADEACBE,从而得出答案.【详解】证 明（1）VAB=CD,-AB=CD,即4。+AC=8C+AC,二端=BC（2）：AD=BC,AAD=BC,XVZADE=ZCBE,ZDAE=ZBCE,/.ADEACBE(A S A),AAE=CE.变式5-1.(2021安徽中考真题)如图，A 3是 半 圆。的 直径，C。是 半 圆。上 差 别 于A B的 两点AD=BC,AC与3。订交于点F,B E是 半 圆。所任圆的切线，与A C的耽误线订交于点E,(1)求证：ACB4也S 4 B；(2)若 B E =B F,求 A C 平分 N D A B .
26、【答案解析】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【提示】(1)操纵AD=BC,证明NA8D=/8A C,操纵A 3为 直 径，证明NAOB=NBC4=90,联合已知前提可 得 结 论；(2)操纵等腰三角形的性质证明：N E B C =N F B C,再证明NC3P=Z D A P,操纵切线的性质与直径所对的圆周角是直角证明：NEBC=NCAB,从而可得答案.【详解】(1)证明：V AD=BC,：.AD BC,：.ZABD=ZBAC,QA8为 直 径，.ZAB=ZBC4=90,V AB=BA,.ACBADAB.(2)证明：.郎=B尸,ZACB=90,NFBC=NEBC,ZADC=NACB=90,
27、ZDFA=ZCFB,ZDAF=NFBC=NEBC,BE为半圆。的 切线,ZABE=90,ZABC+NEBC=90,NAC3=90。，ZCAB+ZABC=90,：.ZCAB=ZEBC,:.NDAF=NCAB,A C 平分 ZDAB.考查题型六圆周角定理典例6.（2021吉林长春市中考真题）如图，A 5是。0的 直 径，点C、。在0 0 ,ZBDC=2 0 ,则NAOC的 大 小 为（）A.40B.140C.160D.170【答案解析】B【提示】根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2 倍 得 到/BOC=2NBDC=40。，即可求出答案.【详解】V ZBDC=20,二 ZBOC=2ZBDC=40,二
28、ZAOC=1800-ZBOC=140,故选：B.变式6-1.（2021.浙江杭州市.中考真题）如图，已知BC是 O O 的 直 径，半径。A_LBC,弧 AC上（不与点A,点 C 重合），BD与OA交于点、E.设/A M=a,ZAOD=,点。在 劣（）A.3a+p=180 B.2a+p=180 C.3a-p=90 D.2a-0=90。【答案解析】D【提示】根据直角三角形两锐角互余性质，用 a 示意NC8R 进而由圆心角与圆周角关系,Z C O D,末了由角的和差关系得 成果.【详解】解：用 a 示意，NAOB=NAOC=90,ZDBC=90-ZBEO=90-ZAED=90-a,：.ZCOD=2
29、ZDBC=180-2a,V NAOD+NCOD=90。,，B+180。-2a=90。，/.2a-p=90,故选：D.变式6-2.（2021黑龙江牡丹江市朝鲜族学校中考真题）如图，点 A,民 S 在 圆 上，若弦A 3 的长度等于圆半径的6倍,则 NA阳 的 度 数 是（）.A.22.5B.30C.45D.60【答案解析】C【提示】设圆 心 为。，毗邻。4、O B,如图，先证明AOA5为等腰直角三角形得到NAO3=90。,然后根据圆周角定理确定NASB的度数.【详解】解：设 圆 心 为。，毗邻Q4、Q B,如图，弦A B 的长度等于圆半径的 亚倍,即=夜。4，；O +OB2=AB2,.0 4 8
30、 为等腰直角三角形，ZAOB90,二 ZASB=-ZAOB=45.2故选C.变式6-3.（2021辽宁鞍山市中考真题）如图，。是AABC的外接圆，半 径 为2 c m,若3C =2 c m,则N A的 度 数 为（）A.30 B.25 C.15 D.10【答案解析】A【提示】毗邻OB和O C,证明aO B C为等边三角形，得 到NBOC的 度 数，再操纵圆周角定理得出NA.【详解】解：毗邻OB和OC,.圆O半 径 为2,BC=2,.OBC为等边三角形，二 ZBOC-600,，NA=30,故 选A.变 式6-4.（2021四川广元市中考真题）如图，是。的 两 条 彼 此 垂 直 的 直 径，点P
31、从 点O出发，沿Of Cf O的 路 线 匀 速 运 动，设=y（单 位：度），那 么y与 点P运动的时 间（单 位：秒）的 关 系 图 是（）【答案解析】B【提 示】根据图示，分三种情况：（1）当点P 沿。T C 运动时；（2）当点P 沿CTB运动时；（3）当点P 沿B-0 运动时；分别判断出y 的取值情况，进而判断出y 与点P 运 动 的 时 间 x（单位：秒）的关系图是哪个即可.【详解】解：（1）当点P 沿 O-C 运动时，当点P 在 点 O 的位置时，y=90。,当点P 在 点 C 的位置时，VOA=OC,.y=45,A y 由90。逐渐减小到45；（2）当点P 沿 C-B 运动时，根
32、据圆周角定理，可得y 三 90+2=45；（3）当点P 沿 B-0 运动时，当点P 在 点 B 的位置时，y=45,当点P 在 点 0 的位置时，y=90。,，y由45。逐渐增添到90。.故选：B.考查题型七同弧或等弧所对的圆周角相等典例7.（2021 四川眉山市中考真题）如图，四边形A8CD的 外 接 圆 为Q O,B C =CD,ZZMC=35,NACD=4 5 ,则 NADB的 度 数 为（）A.55 B.60 C.65 D.70【答案解析】C【提示】根据同弧所对的圆周角相等及等边对等角，可 得NCDB=35。，根据三角形的 内 角 和可得ZAC=1 0 0 ,操纵角的和差运算即可求解.
33、【详解】解：NZi4C=35,r.Z D B C =35,B C =CD,：.ZCDB=35,/NACO=45。，ZAC=KX）,二 Z A D B =Z A D C-Z C D B=65,故选：C.变式7-1.（2021.四川内江市.中考真题）如图，点 A、B、C、。在。上，Z A O C =n O ,点B 是 泥 的 中 点，则 的 度 数 是（）A.30 B.40 C.50 D.60【答案解析】A【提示】根据圆心角、弧、弦的关系定理得到/A O B=g/A O C,再根据圆周角定懂得答.2【详解】毗邻OB,点B 是 泥 的 中点，:.ZAOB=ZAOC=60,2由圆周角定理得，Z D=-
34、Z A O B =30,故选：A.变式7-2.（2021江苏扬州市中考真题）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点 A,B,C都 在 格 点 上，以 AB为 直 径 的 圆 经 由 点 C、D,则sinNAD C的 值 为（）2万13371323【答案解析】A【提示】起首根据圆周角定理可知，N A B C=/A OC,在 RtAC B中，根据锐角三角函数的定义求出NABC的正弦值.【详解】和NABC所 对 的 弧 长 都 是 A C，根据圆周角定理知，N A B C=/A D C,.在 RtAACB 中，A B ZAC B C?=技+学=标根据锐角三角函数的定义知，sinN A B C=4
35、G =窘=2 叵A B V13 13sin Z A D C=13故选A.考查题型八直径所对的圆周角是直角典例8.（2021甘肃金昌市中考真题）如图，A 是 圆。上 一点，5 c 是 直 径，A C =2,A B =4,点。在 圆。上且平分弧B C,则。的 长 为（）A.272 B.75 C.2旧 D.回【答案解析】D【提示】由8 c 是 圆。的 直 径，可 得 ZA-ZD-9O0,又。在 圆。上 且平分弧5 C,则/CBD=NBCD=45,即4B C D 是等腰直角三角形.在RtZABC中，根据勾股定理求出BC长，从而可求DC的长.【详解】解：BC是 圆 0 的 直径，/.ZA=ZD=90.又
36、。在 圆。上 且平分弧8C,A ZCBD=ZBCD=45,即4B C D 是等腰直角三角形.在 RtABC 中，AC=2,A B =4,根据勾股定理，BC=7AC2+AB2=275.BCD是等腰直角三角形，.C D=-=V10.故选:D.变式81.（2021 江苏镇江市.中考真题）如图，4 8 是 半圆的直径，C、D 是 半圆上 的 两点，ZA D C=106 ,则 NC45 等 于（）A.10B.14C.16D.26【答案解析】c【提示】毗邻8。，如图，根据圆周角定理得到/4。8=90,则可计算出N8OC=16,然后根据圆周角定理得到/。B的度数.【详解】解：毗邻BZ）,如图，.MB是 半
37、圆 的 直 径，A ZADB=90Q,：.ZBD C ZADC-ZADB=106-90=16,：.Z C A B=Z B D C=6a.故选：C.变式8-2.（2021海南中考真题）如图，已知A B是。的 直径，C O是 弦，若NBC=36,则NABO等 于（）DA.54 B.56 C.64 D.66【答案解析】A【提示】先由圆周角定理得至叱DAB=/BCD=36,然后根据A B 是。的 直径确定/ADB=90。，末/根据直角三角形两锐角互余即可解答.【详解】解：C D是 弦，若Z B C D=36,.ZDAB=ZBCD=36.A B 是。的 直径二 ZADB=90ZABD=90-ZDAB=54.故 选:A.变式8-3.（2021辽宁营口市中考真题）如图，A 8为。的 直 径，点 C,点。是。上 的 两 点,毗邻C4,CD,A D 若/C 4B=40。，则NADC的 度 数 是（）DA.110B.130C.140D.160【答案解析】B【提示】毗邻8 C,如图，操纵圆周角定理得到N4C8=90,则NB=50,然后操纵圆的内接四边形的性质求NADC的度数.【详解】解：如图，毗邻3C,；A B为的直径,A ZACB=90,：,ZB=90-ZCAB=90-40=50,.N8+NAOC=180,/.ZADC=180-50=130.故选：B.