2021年新高考数学三轮冲刺训练：数列.pdf

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1、数 列数列是高考重点考查的内容之一，命题形式多种多样，大小均有.其中，小题重点考查等差数列、等比数列基础知识以及数列的递推关系；解答题的难度中等或稍难，将稳定在中等难度.往往在利用方程思想解决数列基本问题后，进一步数列求和，在求和后可与不等式、函数、最值等问题综合.在考查等差数列、等比数列的求和基础上，进一步考查“裂项相消法”、“错位相减法”等，与不等式结合，“放缩”思想及方法尤为重要.等差数列1、定义：数列 q若从第二项开始，每一项与前一项的差是同一个常数，则称 4是等差数列，这个常数称为 凡 的公差，通常用d表示2、等差数列的通项公式：4=4+(l)d,此通项公式存在以下几种变形：(1)a

2、n=am,其中加工：已知数列中的某项“和公差即可求出通项公式(2)d=%&：已知等差数列的两项即可求出公差，即项的差除以对应序数的差n m(3)二4+1：已知首项，末项，公差即可计算出项数d3、等差中项：如果a,8,c成等差数列，则b称为a,c的等差中项(1)等差中项的性质：若。为0c的等差中项，则有=一。即=a+c(2)如果 ,为等差数列，则V 2 2,GN*,a“均为a,-,a”的等差中项(3)如果 可 为等差数列,则 am+an=+/=?+=p+q4、等差数列通项公式与函数的关系：q,=q+(l)d =d-+4d,所以该通项公式可看作为关于的一次函数，从而可通过函数的角度分析等差数列的性

3、质。5、等差数列前项和公式：5“=区土殳-，此公式可有以下变形：2an+a z、(1)由 2 +=+9 =“+%可得：Sn=-+q =+,作用：在求等差数列前项和时，不 一 定 必 须 已 知 只 需 已 知 序 数 和 为 +1的两项即可(2)由通项公式a,=q+(-l)d可得：S“=L.=w+_:d作用：这个公式也是计算等差数列前项和的主流公式 S”=6 +当心/=g 2+1 6 ；)，即S“是关于项数的二次函数(e N*),且不含常数项，可记为5“=4 2 +3的形式。从而可将S“的变化规律图像化。(3)当 =2%1(%e N*)时，S2 1 =因为 q+1=2%.S2*T=(2%T)4

4、 而%是S2 1的中间项，所以此公式体现了奇数项和与中间项的联系当=2k(k w N )时2女=%(4 +4+J，即偶数项和与中间两项和的联系6、等差数列前项和的最值问题：此类问题可从两个角度分析，一个角度是从数列中项的符号分析,另一个角度是从前项和公式入手分析等比数列1、定义：数列%从第二项开始，后项与前一项的比值为同一个常数q(4/0),则称 4为等比数列，这个常数称为数列的公比注：非零常数列既可视为等差数列，也可视为g =l的等比数列，而常数列0,0,0,只是等差数列2、等比数列通项公式：a“=a-q ，也可以为：a =am-qn-m3、等比中项：若a,c成等比数列，则b称为a,c的等比

5、中项(1)若b为a,c的等比中项，则有*=2 =若 风 为等比数列，则V e N*,a,.均为可,%+2的等比中项(3)若 ,为等比数列，则有机+=p+q o aman=apaq4、等比数列前项和公式：设数列 4的前项和为S“当4 =1时，贝U a“为常数列，所以S,=4a-qn当夕7 1时，则S.=-Li-q可变形为：s“=。二4)=2/一 刍一，设&=一，可得：Sn=k-q-kl-q q-l q-l 5、由等比数列生成的新等比数列(1)在等比数列 q 中，等间距的抽取一些项组成的新数列仍为等比数列(2)已知等比数列%,则有 数 列 ,(%为常数)为等比数列 数 列 4 (/I为常数)为等比

6、数列，特别的，当4=一1时，即 为 等 比 数 列 数 列 。也 为等比数列 数 列|4|为等比数列6、等比数列的判定：(假设。,不是常数列)(1)定义法(递推公式)：=q(e N*)a(2)通项公式：a“=hq(指数类函数)(3)前项和公式：Sn=kqn-k数列的求和的方法(1)等差数列求和公式：S,=与2=级爱(+夕=+1)S=W+/d-ow l(2)等比数列求和公式：S,=J -q 叫axn,q=1(3)错位相减法：通项公式的特点在错位相减法的过程中体现了怎样的作用？通过解题过程我们可以发现：等比的部分使得每项的次数逐次递增，才保证在两边同乘公比时实现了“错位”的效果。而等差的部分错位部

7、分“相减”后保持系数一致（其系数即为等差部分的公差），从而可圈在一起进行等比数列求和。体 会 到“错 位 与“相减”所需要的条件，则可以让我们更灵活的使用这一方法进行数列求和（4）裂项相消：应 的表达式能够拆成形如一 女）的形式（4=1,2,），从而在求和时可以进行相邻项（或相隔几项）的相消。从而结果只存在有限几项，达到求和目的。其中通项公式为分式和根式的居多（5）分组求和 如果数列无法求出通项公式，或者无法从通项公式特点入手求和，那么可以考虑观察数列中的项，通过合理的分组进行求和（1）利用周期性求和：如果一个数列的项按某个周期循环往复，则在求和时可将一个周期内的项归为一组求和，再统计前项和中

8、含多少个周期即可（2）通项公式为分段函数（或含有（-1）”,多为奇偶分段。若每段的通项公式均可求和，则可以考虑奇数项一组，偶数项一组分别求和，但要注意两点：一是序数的间隔（等差等比求和时会影响公差公比），二是要对项数的奇偶进行分类讨论（可见典型例题）；若每段的通项公式无法直接求和,则可以考虑相邻项相加看是否存在规律，便于求和（3）倒序相加：若数列%中的第左项与倒数第2项的和具备规律，在求和时可以考虑两项为一组求和，如果想避免项数的奇偶讨论，可以采取倒序相加的特点，1、对于选择题中的选项，可以运用代入法进行排除。2、对于解答题若涉及到求和问题一定眼验证，确保答案的正确。真题回顾1、记S,为等差数

9、列 4的前项和.已知$4=0,%=5,则A.an=2 n-5 B.an=3 n-1 0C.S“=2 2-8 D.Sn=rr-2n“2【答案】Adc【解析】由题知，S44=4 a H x4 x3 =0 a,=-3 71 2 ,解得 -,：.an=2 n-5,Sn=n2-4 n,.,_ a =2a5=a+4 d =J i选A.2、已知各项均为正数的等比数列 a,J的前4项和为1 5,且%=34+4q,则4=A.1 6B.8C.4 D.2【答案】C 2 3【解析】设正数的等比数列 m的公比为夕，则I 4 7，%q=3aq+4弓解得 4=7+a8,b6=al+at 2,/78=al5+1 6.7.2b

10、&=2(%+4)，2+%=3+a4+n+&-根据等差数列的下标和性质，由3+11=7+7,4+12=8+8可得伪+4=%+%+41+&=2（e+4）=2Z74,B 正确；对于 C,a：-a2a8 =（4+3d）（4+d）（4+7。）=2d2-2ayd=2d（d-a J ,当 i=d 时，“：=4 4，C 正确；对于 D,公=（%+为 了 =（2q+13d）2 =4/+52Q0 +169d2,b2b8 =3 +4）（阳 +）=（2q+5d）（2q+29d）=4；+68qd+l45d2,b：b2b&=24 0时，a 0即 代-b2hs 0；当 dvO 时，a d,，3d-2q=d+2（。-q）（）

11、,所以/?：一打勿。，D不正确.故选：D.5、在等差数列%中，q=9,6=T记 方=的2。（=1，2,），则数列 Z jA.有最大项，有最小项B.有最大项，无最小项C.无最大项，有最小项 D.无最大项，无最小项【答案】B【解析】由题意可知，等差数列的公差=四 二8=*2 =2,51 5 1则其通项公式为：%=q+（1）。=9+（1）x 2=2-11,注意至|J q a2a3a4a5 0&=1%，且由不 0可知工 1（后7,i e N）可知数列 1 不存在最小项，由于 4=-9,&=7,%=5,4 =3,%=-1，。6=1，故数列 ,中的正项只有有限项：岂=6 3,4=6 3 x1 5 =9 4

12、 5.故数列(中存在最大项，且最大项为4.故 选:B.6、设 a,6 G R,数歹！J。满足 4 i=a,an+-an2+b,”eN*，则A.当 =；,%0 1 0 B.当力=；,%0 1 0C.当匕=-2,6 0 1 0 D.当6 =4,0 1 0【答案】A【解析】当6=0时,取a=0,则a“=0,r N*.当人 0,即必存在不,使得片一小+6 =0,则一定存在a,=a=x0,使得an+=a；+b =a”对任意 e N*成立,解方程。2-a+b =0,得 a=2当雪时即 葭-9。时，总存在”丐9使(-/=2=.=。0 0 时，a?=a；+b N b,则？=；+匕2 /+匕，%=+b.(/+b

13、)+h.r-i2当寸，44 4+II2|_ l2 j 2 j 2 1 61 Y i ii-则 线 1 +2+厂 2,29*5+1 10,72 4,1则 4=国+1。，、14 o=/+1。，故 A项正确.(i i )当人=时，令4=a=0,则+,4 -4 3 4 291所，以。4 =%+W n+-=以此类推,4 2、2所以4 o1 1H-=4 2故 B项不正确.故本题正确答案为A.7、北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，

14、已知每层环数相同，且下层比中层多7 2 9 块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）A.3 6 9 9 块C.3 4 0 2 块【答案】CB.3 4 7 4 块D.3 3 3 9 块【解析】设第n环天石心块数 为 凡，笫一层共有n环,则 4是以9为首项，9为公差的等差数列，%=9+(1)x 9 =9”,设S“为%的前项和，则第一层、第二层、第三层的块数分别为S“，S2.5,邑“一S2”，因为下层比中层多7 2 9块，所以 5加S2“=S2.S.+7 2 9,u n3 n(9 +27H)2(9 +1 8)2(9 +1 8)(9 +9 )即-1-7 2 92 2 2 2即9/=7 2 9，解得=9,

15、所以 S3=S2 7 =27(9?27)=3 4 0 2.故选：C8、我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列 誓 就是二阶等差数 列.数 列 4*(e N*)的前3项和是.【答案】1 0【解析】因为a“=-，所以 q =1，4=3,%=6 .即 S3 =q +a,+/=1 +3 +6 =1 0.故答案为：H).9、设 为 是公差为d的等差数列，d 是公比为q的等比数 列.已知数列 为+小 的前项和S=rr-n+2 -1(e N*),则 d+q 的值是 .【答案】4【解析】设等差数列 4的公差为d，等比数列 d 的公比为。，根据题意等差数列(41 的前几项和公式为与=n

16、an(n-1)d 2(d t+:4=万+%-，等比数列也 的前项和公式为0=I-、)=_ 也 d+&，-q -q -q依题意s=R，即八 +2 一=以 2+，-曰”告，+告2dQ -通过对比系数可知 24 =2氏二d=24=0q=2l=1故d+q=4.故答案为：4.1 0、将数列 2-1 与 3-2 的公共项从小到大排列得到数列 斯,则 斯 的前n项和为【答案】3 2 -2n【解析】因为数列 2-1 是 以 1 为首项，以2为公差的等差数列，数列 3-2 是 以 1 首项，以3为公差的等差数列,所以这两个数列的公共项所构成的新数列%是 以 1 为首项，以6为公差的等差数列，所以%的前项和为 1

17、 +（；1）-6 =3 2 2,故答案为：3 n2 2n.1 71 1、记S n为等比数列 的前n项和.若 4 =耳，=4，则 5=.1 2 1【答案】3【解析】设等比数列的公比为4，由已知4=；,42=4,所以又q#0,所以 g=3,所以 s _（15-q 1-3 3S1 2、记 S,为等差数列”“的前项和，qWO，。2=34，则 詈=【答案】4【解析】设 等 差 数 列 的 公 差 为 土因4=3 1,所以 4 +d=3 q ,即 2 q =d,所 以 一世/二臀=4.S 5 q+j 2 5 61 21 3、设等差数列 斯 的前“项和为S”若。2=-3,S5=-1 0,则“5=，S,的最小

18、值为【答案】0,-1 0.【解 析】等 差 数 列 凡中，S5 =5%=-1。，得 =-2,又 的=-3 ,所 以 公 差d=a3a2=1,%=%+2 d 0,由等差数列 q的性质得n 5时.为 0.之6时,大于0.所以Sn的最小值为S4或S5，即为-1 0.1 4、已知数列%(N*)是等差数列，S“是其前”项和.若%+%=0,5 9=2 7,则Sg的值是【答案】1 6【解析】由题意可得：a2 a5 +/=（4 +d）（4 +4 d）+（q +7 d）=09 x 8S g=9q+d =2 7解得：c i,5 8 x 71,则 Sg=8 q+d=4 0 +2 8 x 2 =1 6.d=2 21

19、5、设%是公比不为1的等比数列，4为。2，%的等差中项.(1)求%的公比；(2)若%=1,求数列 的前项和.【解析】(1)设 4的公比为4,由题设得2q=%+生，即2 4=4 4 +4/.所以d+q-2 =0,解得q =l (舍去)，q=-2.故 4的公比为-2.(2)设5“为 ,的前项和.由(1)及题设可得，4 =(一2严.所以S“=1+2X(-2)+X(-2)T,-2 S=-2 +2 x (一 2)2 +(1)x (2)T +n x (-2)n.可得 3 S“=1 +(-2)+(-2)2+(-2)n-n x (一 2)=1-(-2)_n x(_2)3所以s“=9(3+1)(-2)91 6、

20、设数列 ”满足 ai=3,an+l=3an-4 n.(1)计算4 2,4 3,猜想 斯 的通项公式并加以证明；(2)求数列 2 小 的前n项和S“.【解析】(1)见=5,%=7,猜想q=2 +1,由已知可得-(2 +3)=3an-(2 +1)，a (2n+1)=3 m“t-(2 -1)，a,-5 =3(q -3).因为6 =3 ,所以a“=2 +1.(2)由(1)得 2 Z=(2 +1)2,所以S“=3 x 2 +5 x 2 2 +7 x 2 3+(2 +l)x 2.从而2 s“=3 x 2?+5 x 2,+7 x 2*+(2 +1)x 2 叫 -得-S“=3 x 2 +2 x 2 2 +2

21、x 2,+2 x 2-(2 +1)x 2、所以 5“=-1)2”+2.1 7、已知公比大于1 的等比数列 为 满足a2+a4=2 0,%=8 .(1)求 凡 的通项公式:(2)记篇为 在区间(0,河(机 N*)中的项的个数，求数列 超 的前1 0 0 项和，0 G.【解析】(1)设%的公比为心 庄 I 题设得4 4 +4/=2 0 ,aq2=8.解得4 =(舍去)，7=2.由题设得q =2.所以 4 的通项公式为an=2.(2)由题设及(1)知4=。，且当2 机2 向时，粼=.所以 E o o =+(4+4)+S4+“7)1(2 +”3 3 1 6 3)+(3+%*-卜 始)=0 +l x2

22、+2 x 22+3 x 23+4 x 24+5 x 25+6 x(1 0 0 -6 3)=4 80.1 8、己知 4 为等差数列，为等比数列，q =伪=1,火=5(%_/),=4(&_ 4).(I )求%和 也 的通项公式；(I I)记 的前项和为 Sn,求证：SnSn+2 S*(e N*)；(3。“-2)4,“为奇数,(HI)对任意的正整数，设c =司+2 求数列 cj的前2 项和.马丛,为偶数.也向【解析】(I)设等差数列 4 的公差为d，等比数列 的 公 比 为 由 q=l，%=5(%一 ),可得d =l，从而 ,的通项公式为4=.由=1,4=4他 一 么)，又“H 0,可得炉一4 4

23、+4 =0,解得4 =2,从而也,的通项公式为“=2，(I I)证明：由(【)可得S =(”+1),故S“S“+2 =工(+1)(+2)(+3),“丁 4I91S3=(+1)2(+2)一，从而S +2 -S 工=5(+1)(+2)0，所以S +2 QK 1+心卜-2-+-1-9-x-4-49所以,数列%的前2 项和为6+59x4 491 9、己知数列%,5，金 满足4 =4 =。=1,%=%,|川=-c,weN*%-(I )若 5 为等比数列，公比4 0,且 仿+么=6 4，求 q的值及数列 为 的通项公式;(H)若 瓦 为等差数列，公差4 0,证明：q+C z+G+c“0 得%八0,因此 G

24、I+G2 +G3 +,+?”vi dd,H s N”名校预测一、单选题1、莱茵德纸草书（Rh i ndPa pyrus）是世界上最古老的数学著作之一.书中有这样一道题目：把93个面包分给5个人，使每个人所得面包个数成等比数列，且使较小的两份之和等于中间一份的四分之三，则最小的一份为（）A.3 B.4 C.8 D.9【答案】A【解析】设等比数列为 凡,其公比为9，a （）3 3由题意知，S5=-=93,+a2=a3,可得q+4可=二4 4 2，-q 4 43 9因为qw O,所以l +q =j/,解得4=2或夕=一（舍去），当q=2时，可 得 址22=9 3,解得q=3.1-2故选：A.2、已知

25、等差数列%的前项和为S,，若4=1 2 5 =9 0,则等差数列%公 差 公（）3A.2 B.-C.3 D.42【答案】C【解析】V a i=1 2,S 5=90,5x4A 5 x1 2+-d=90,2解得d=3.故选C.3、已知数列%满足4+i =a 0+2且%+%+&=9 ,则（6+为+的 厂（）1 1A.-3 B.3 C.D.3 3【答案】B【解析】.4+=a“+2:.a,+-a“=2；.数列 4是以2为公差的等差数列，%+%+g =（冉+3d）+（4 +3d）+（4 +=（劣+g +4）+9d,a2+a4+ah-9 ,a5+a7+a9=9+9x2=27,.,.lo g tZ j+tz9

26、）=log327=3,故选：B.4、在公差不为0的等差数列 4 中，,%，%，4，%成公比为4的等比数歹U，则%=（）A.84 B.86 C.88 D.96【答案】B【解析】设等差数列 ,的公差为d,根据为，a2,%,ak2,4,成公比为4的等比数列，由=4 4，得d=3q,再结合%=4%=256al求解.【详解】设等差数列 4 的公差为因为4,a2,%，叫，气，成公比为4的等比数列，所以4=4 6，所以4+1=4 4，得d=3q.所 以%=4%=256q,所以4+（6-l）d=256q.即（占 _ 1）3q=255，解得 ky=86.故 选:B.5、已知数列%的前项和是S,且S“=2%-1,

27、若见 e（O,2O21）,则称项。“为“和谐项”，则数列%的所有“和谐项”的 和 为（）A.1022 B.1023 C.2046 D.2047【答案】D【解析】由4 =S“-S,i（N2）求出 “的递推关系，再求出生后确定数列是等比数列，求出通项公式，根据新定义确定“和谐项”的项数及项，然后由等比数列前项和公式求解.【详解】当“2 2 时，4 =S 一 S一|=2a-1 -(2an,-1)=2a-2a_,二 an=2_,，又q=E=2 q-l,q=l,.4是等比数列，公比为2,首项为1,所以4=2。由%=2T 2021 得应一110，即 W11,1-2所求和为5=20471-2故 选:D.6、

28、6知数列 为 满足。“+1 =a；数列 q 的首项4的 值 为(2A.-B.13【答案】C【解析】若存在%=1,由c 1 1 1由 S=-1-1 可得，%2 a”所以 q 中恒有4,#1由=a”a“+l，可得4用1 1所以 1一 /1 1 1 所 以 s“-1-1 q a2 an(1 _ 1 _4-1 a+1c所以S9 -1 1 -2awq _ i%o _ 1 4o所以，=2,则a _ i=l,q-1 2_a“+l(/eN#),设S,=1+1 +-+1 ，且S9=24 ci3,则 q%an%)-i)3C.-D.22i+l，则可得a0T =1或a“=0，2Q 10-3Z“H 0,由$9=J可得0

29、 Hlaw-111 11 1i，即 一 1 iT an an a.T 4+1T1 1 W 1 1 )(1 1 )-+-+.+-%-1 a2 a2T a3)an+.3 _ +2、io-3 _ 20-2 _i，即 i 1 i i/一 1 q _ 1 4o-1 4。-1 4o-13所以4=-故选：C7、在“全面脱贫”行动中，贫困户小王2 0 2 0 年 1 月初向银行借了扶贫免息贷款1 0 0 0 0 元，用于自己开发的农产品、土特产品加工厂的原材料进货，因产品质优价廉，上市后供不应求，据测算：每月获得的利润是该月初投入资金的2 0%,每月底街缴房租8 0 0 元和水电费40 0 元，余款作为资金全

30、部用于再进货，如此继续，预计2 0 2 0 年小王的农产品加工厂的年利润为（）（取 1.2”=7.5，1.2 2=9）A.2 5 0 0 0 元 B.2 6 0 0 0 元 C.3 2 0 0 0 元 D.3 6 0 0 0 元【答案】C【解析】设 1 月月底小王手中有现款为4=（1 +2 0%）x 1 0 0 0 0 -8 0 0 -40 0 =1 0 8 0 0 j t,月月底小王手中有现款为a,+1 月月底小王手中有现款为。用，则 a“+i =l-2 a -1 2 0 0 ,即 a+l-6 0 0 0 =1,2（an-6 0 0 0）,所以数列 4 -6 0 0 0 是首项为48 0 0

31、,公比为1.2 的等比数列，A t?l 2-6 0 0 0 =48 0 0 x l f f i ,即&=48 0 0 x 1。+6 0 0 0 =42 0 0 0,年利润为 42 0 0 0-1 0 0 0 0 =3 2 0 0 0 元,故选：C8、设等比数列 4 的前“项和为S”,首项q =1,且 2 s 2 +S4=3 s 3,已知m,n e N+,若存在正整数使得加、m n、%成等差数列，则 加 的 最 小 值 为（）A.1 6 B.1 2 C.8 D.6【答案】C【解析】由。1=1,且 2 s 2 +0 4=3 0 3 ,整理得：4=24，所以 q=2 ,an=V 1,因为加q、mn,

32、成等差数列，所以 2nm=m2+n2j)所以 n m =m 2,-2 4-初一?，因为正整 数 仃(l i m +2 n，所以 2+i,m n当1 W机 0,一 2 ,此时小8；n m所以相的最小值为8.故选：C.二、多选题9、已知等比数列 4 的公比4=1,等差数列抄“的首项4=1 2,若 为 4且4。40,则以下结论正确的有()A.ag-al0 I 0 C.bm 0 D.b9 bi 0【答案】AD【解析】2 等比数列 4 的公比4=一,二。9和40异号，。9 4 0 91 10 1 0，仇和中至少有一个数是负数，又.白=1 2 0 ,.-.d。，故 D 正确，.久)一定是负数，即4)0,(

33、),则【答案】B C【解析】若S“=1+1,当N 2时，an=2n-1,q =2不 满 足=2 -1,故A 错误.,2-3n-,n 2 ,若S“=3 -1,则,囚=2满足4=23-，所以 4 是等比数列，故B正确.2,二 1若%是等差数列，则 9 =9(3；引=9/，故C正确.S S 3 5；=a；(1 +q +)a；(l+q)=_%q 0,公差d#0,贝IJ()A.若S 4 S 8,则%o B.若$4=S 8,则$6是S“中最大的项C.若 S 4 S s，则 S 5S 6 D.若 S 4S 5,则 凡 其【答案】B C【解析】等差数列%的前项和s,=4+次 产 =-5)八 乂 ，dH()，可

34、得d&,则S”的对称轴 -5 =6,所以根据对称4+8性可知S 1 2 S 5,则为 0,又d 0,所以可得。6=%+1S 6；%=4-d不能判断正负，所以$3与S 4不能比较大小.故选：B C.1 2、设等比数列 见 的公比为名其前n项和为S,，前n项积为Ta，并满足条件a 1q 1,a2019a2020 0，下列结论正确的是（）。2020-A.S2019Vs2020 B.。2019。2021 一1 V 0C.T2020是数列 中的最大值 D.数列 4无最大值【答案】AB【解析】当“0时，。20194020=2 3 9”1,2020 1,.9_ 1,。%020 5,2019，A 正确；%01

35、9%021-1 =。202（：-1 V。，故 5 止确；（019是数列 ,中的最大值，CO错误；故选：A B1 3、已知数列 4的前项和为S“，且满足4%-2%+血1 4也+n=0,4=l,则下列结论正确的是（）A.若4 =1,=；,则/是等差数列B.若4 =1,=,则数列 弁 的前项和为2 S,J n +1C.若/l =2,=g,贝i j a,+l是等比数列D.若/l=2,=g,贝i J S“=2i-一2【答案】AC D【解析】因为数列 an的前n项和为S,且 满 足 一2+乃一4%+=01当 4=1,=；时.，可得（2%了 一 2%.2册 一 2（2册 丫 =0，即（2汨+2）（2“一2

36、2%）=0,所以 2+|=2 2”，可得a“+i=%+l,即%+1-6=1,又因为q=1,所以。“=l+(-l)x l=,则S二中.可得一=2-,+L+=S,n+l)S,S2 S.,n+故A正确，B不正确.当X=2,=g时，由己知得(2N)2 2*22%-2(22乐)=0,即(2+22a)(20-,-2-22a)=0,所以a,M =2。“+1,所以4 I+1=2(4+1),所以4+1=2,所以。,=2 -1,所以s=1-22n+1-n-2-故C正确，D正确.故选：ACD.三、填空题14、设等比数列/满足4+%=2,。2+4=4,则%=32【答案】y【解析】因为 q+/=2,4 +%=4,a-.

37、+a,一所以 q=.=2,a+a3又q+4q=2,_ 2所以q=q,2 32所以生=gx24=三.故答案为：15、已知数列 a,的前几项和s =网产(G N*),则数列,言 一 的 前10项和为【答案】332【解析】e-3n +/2 /匚I、I o 3(7?I)2+/?1 3H-5n+2因为5 =(N ),所以S,i=-=-5 2 2)，E m”c c 3i厂十几 3 5 +2所以 4=S _ S _|=-=3H-1,(2),又4 =，=出巴=2满足上式，2所以 a“=3-l,(e N*),1 1 I f 1 1、所以-=-=-,anan+(3n -1)(3 +2)3 1 3/z -1 3/z

38、+2)所以数列 的 前10项 和 为(A4+J 31 2532故答案为：16、若数列%满足：a“+a“+i=5，q=l,则。2020=.【答案】504 9.【解析】4+%=5 =%+an=5n-5.两式相减，得%+1 -an_x=5.4 +%=5=/=4.故。2020是首项为4,公差为5的等差数列的第1 01 0项,故%)20=4+(1 01 0-1)x 5=504 9.故答案为：504 9.17、把数列 2+1中的各项依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数,第四个括号四个数，第五个括号一个数，进行排列，得到如下排列：(3),(5,7),(9,11,13),(15,17,1

39、9,21),(23),(25,27),(29,31,33),(35,37,39,41),(4 3),则第 100 个括 号 内 各 数 之 和 为.【答案】1992【解析】根据题意得到，从括号内的数字个数来说，每四个括号循环一次，因此第100个括号内共4个数；故前99个括号内共有数字个数为25x(1+2+3+4)-4 =246；又因为所有括号内的数字构成等差数列 q ，首项为3,公差为2；因此第100个括号内的数字分别为247，。248，。249，250，所以 47+。248+。25。=4*3+(246+247+248+249)*2=1992.故答案为：1992.四、解答题18、已知各项均不相

40、等的等差数列%的前4项和为1 0,且4，4，4是等比数列%的前3项.求 也；设+心而求%的前项和【解析】(1)设数列%的公差为4,4 x（4-l）由题意知：ay+%+3+%=4。+-d =4%+6d=10乂因为q,4,%成等比数列,所以，(4+dy=4 +3d),d =a 1，又因为dwO，所以q=.由得G =Ld=1,所以=,4=q=l,b2=6=2,q=2 f4.也=2，T(2)因为=2T +=2+n(n +l)i in n+1)所以 S“=20+2i+.+2T+(_，+，_+，I 2 2 3 n n+1 2-1-2+1-1n +1 +l所 以 数 列 g 的前项和s“=2 g.1 9、已

41、 知 公 比 大 于1的等比数列 4的 前“项 和 为S“，且03=1 4,%=8.(1)求 数 列 ,的通项公式;(2)在 与 与 用 之 间 插 入 个 数，使 这a+2个数组成一个公差为4,的等差数列，求 数 列 二 的前项和【解 析】(1)4Z1_1 4由 题 意 可 得 -q 一。4=8求 出 卬 和。，从而可求出数列 4的通项公式:1 +1 由 题 意 可 得 然 后 利 用 错 位 相 减 法 可 求 得 数 列【详 解】解：设%的公比为q,ql.(1)由%(1-01-q 81 4 整理得3 q 2 _4 q _ 4 =0,解得q=2或 q =_ g (舍去)./.q=a 2 ,

42、/.an=2,n e N*(2)d=a,+l an+.r_ 2 3 42 +11 _ n +1:dn=r n n+1 1 2 3 4+广+丁/=级+井 及+n 几 十 1H-1-2 2M+1，匕=1+2+4+!+L 空=1+2 22 23 24 2 2,+l1-2及+12 +32 0、已知等差数列%的前项和为5“,%+%=1 2,S 4=1 6.(1)求 q 的通项公式;数列也卜满足a=竟 二 7,1为 数 列 也 的前项和，是否存在正整数mk(l m k),使得或=3 图2?若存在，求出如k的值；若不存在，请说明理由.【解析】(I)设等差数列,的公差为d,由，+q=1 2-5 得 邑=1 6

43、向2a+53d仁=182,叫4=1d=2：.an=l +2(n l)=2 n 1,HGN,；(2)S =+M=2,2_j_=_Lp_ q4/I2-1 2 2 1，/3 m2-rti4m+1 2 m2，整理得 2m-m-i 八-T04 m +1-2mm 1解 得1 2 1+迈，2乂me N，：.m=2,：.k=12.存在m =2次=1 2满足题意.2 1、已知数列%满足4 =3,且an+l=2an-n +l.(1)证明：数列 4-为等比数列；2 +1 1(2)记 勿=-,S“是数列 a 前项的和，求证：S,-.【解析】(1)因为 a,*=2 a“一+1,所 以%+i-(+1)=2(。“一),又

44、q-1 =3-1 =2,所以数列%-是以2为首项，以2为公比的等比数列；(2)由(1)可得a“一 =2 x 2 T =2 ,则a“=2 +，2 +1 _ a“+i -%_ J_ 14 4+1 a，J4+i 4 。用所以勿12,+1+K +1结论点睛:-2021解得 1010,所以最小正整数为1011.23、在4S“=a；+2a“，q=2,附 用=2S“这两个条件中任选一个，补充到下面横线处，并解答.已知正项数列%的前项和为S“，(1)求数列 为 的通项公式；(2)若数列也卜满足1 0 gl2=；4-1,且c“=a,a,求 数 列 匕 的前项和M”.3 2注：如果选择多个条件分别进行解答，按第一

45、个解答进行计分.【解析】(1)选时，当=1 时，4 a,=+2a,因为q0,所以q=2，由4 5=a；+2%，可得4 5田=。“+:+2。用，一得，4 an+1=-a；+2an+i-2an，整理得 an+,2-a：-2 a+1-2an=0 ,所以-2)=。因为。“0，所以2+1-。“=2,所以数列 4是首项为2，公差为2的等差数列，所以a“=2；选时，因为4田=2 S“所以当2 2时，(一 1)%=2S,Ia+I n+1一得：n a“+|=(+l)a“，即-=-中，令 =1得 =2 4=4 ,幺=2适合上式q所以当N 2时，=an-an-2_aJL_2。：3 d -n-n-n-2-3x 2x 2 =2 o3 。2%一1 一2一3 2 1又 7 2 =1,4 =2 =2 x 1所以对任意 N 4 =2 因 为 l o gi%=?T 即噢 科=-15 2 3所以a于是 c“=a“=2 x1 (1 YM“=2 x l +4 x-+6 x -+.+2 x3 、一 I3；10 c 1 “门 丫 /=2x+4 x +6 x3 3(133+.+2 x 3 J一得 2 M,=2 +2 x 1+2 x(n +2 x3 3 3y、3+.+2 x/、T-2nx=2 x+.+3 _2X1-(3)27?xpY1-1 39所以M =23一+2-2n x