《2022年高考《数学》二轮复习讲义（空间中的平行与垂直）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高考《数学》二轮复习讲义（空间中的平行与垂直）.pdf（20页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、专属教育考试复习专用考试参考习题一系统复习备考题库训练一习题强化考前模拟测试一模拟演练通关宝典梳理一真题体验技巧提升冲刺一技能技巧注：文本内容应以实际为准，下载前需仔细预览助你一战成名2022年高考数学二轮复习讲义(空间中的平行与垂直)精 研 考 纲 归 纳 核 心 题 海 训 练 归 纳 总 结 体 验 实 战 梳 理 复 习解 密14 空 间 中 的 平 行 与 垂J t内容索引核心考点1空间点 线、面位置关系的基本问题核心考点2平行与垂直关系的证明核心考点3平面图形的翻折与存在性问题O解 密 高 考高考考点三年高考探源预测平行与垂直关系的证明2 0 2 1 全国甲卷理科1 9 (1)2
2、0 2 1 全国甲卷文科1 9 (2)2 0 2 1 全国乙卷文科1 8 (2)2 0 2 0 课标全国文科I 1 9 (1)2 0 2 0 课标全国理科I 1 8 (1)2 0 2 0 课标全国文科H 2 0 (1)2 0 2 0 课标全国理科II2 0 (1)2 0 2 0 课标全国文科IH1 9 (1)2 0 1 9 课标全国1 1 8 (1)2 0 1 9 课标全国H 1 7 (1)2 0 1 9 课标全国m i9 (1)从近三年的考查情况来看，本节是高考的热点，主要考查直线与平面以及平面与平面平行的判定和性质和有线与平面以及平面与平面垂直的判定和性质，以解答题的形式重点考行空间平行关
3、系和垂直关系的证明，常出现在解答题的第(1)问中，难度中等.平面图形的翻折与存在性问题2 0 1 9 课标全国山全方 育 对 点 解 密核心考点一空间点、线、面位置关系的基本问题C二 考法解密考法 空间点、线、面位置关系的基本问题第1页，共19页1/152022年高考数学二轮复习讲义（空间中的平行与垂直）精 研 考 纲 归 纳 核 心 题 海 训 练 归 纳 总 结 体 验 实 战 梳 理 复 习C【变式解密】变式一位置关系的判断1、（2022江西赣州高：期 末（文）已知直线/,两个不同的平面a,P ,则下列命题正确的 是（)A.若a_L，Ila,则/力B.若/a,/，则a 夕C.若/a,/!
4、，则D.若a，/?,l/a,则/【答案】C【解析】对于A,/可能在户 内,故可判断A；对于B,a/可能相交,故可判断B;对于C,根据线面垂直的判定定理，可判定C;对于D,1 和夕可能平行，或斜交或在尸内,故可判断D.【详解】对于A,除了/外，还有可能/在夕内，故可判断A 错误;对于B,/a,/6 那么a,尸可能相交，故可判断B 错误:对于C 根据线面平行的性质定理可知,在a 内一定存在和/平行的直线,那么该直线也垂直 P.所以a,耳，故判定C 正确:对于D,a L/i,l/a,则/和夕可能平行，或斜交或在夕内，故可判D.错误,故选：C.2、（2021 安徽六安一中高：阶段练习（文）设a,P，/
5、是互不重合的平面，”，是互不重合的宜线，给出四个命题:若?a,力，则a 夕若aJ.y,pL y ,则a_L8若mla,m工。，则a/若?a,n la,则，_ L其中正确命题的个数是（)A.IB.2C.3D.4【答案】B【解析】根据线面位置关系的判定定理、性质定理，以及推论，逐项判定，即可求解.【详解】由a，0 y 是互不重合的平面，m,是互不近合的直线，对 中，由尸，则a尸或a 与夕相交，所以不正确：对 F中，由夕，九则a_L或a尸或a 叮夕相交，所以不正确：对于中，十LamJ八根据垂直于同一直线的两平面平行,可得aW，所以正确的：对于中，由m。.“，可得11.，所以正确.故选：B.技巧点拨空
6、间中点、线、面的位置关系的判定方法:第2页，共19页1/152022年高考数学二轮复习讲义（空间中的平行与垂直）精 研 考 纲M纳 核 心 题 海 训 练 归 纳 总 结 体 验 实 战 梳 理 复 习（1）可以从线、面的概念、定理出发，学会找特例、反例.（2）可以借助长方体，在理解空间点、线、面位置关系的基础上，抽象出空间线、面的位置关系的定义.变式二位置关系的判断与其他知识相结合1、（2022陕西武功县普集岛级中学高三期末（文）设/,，”，均为直线，其 中 在平面a 内，“/La”是“/且/的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解
7、析】根据充分以及必要条件的判定，分别判断和“/且/推出关系，即可得到答案.【详解】设/，m,均为直线，其中加，在平面a内，/_ L a.则/_L，且/_L，反之若/_L m且/_L,当m/n时，推不出/_L a,./7 1 a ”是“/_L，且/_L ”的充分不必要条件,故选：A.2、（2022 浙江镇海中学高-：期末）如图，在正方体A 8 C 0-A A G R中，点E,分别为A为 8 c的中点，设过点E,F,。的平面为a,则下列说法正确的是（）A.在正方体A G中，存在某条楼与平面a平行B.在正方体4 G中，存在某条面时角线与平面。平行C.在 正 方 体A G中，存在某条体对角线与平面。平
8、行D.平面。截正方体A G所得的截面为五边形【答案】D【解析】根据题意“得B C交平面a于点F,A 4交平面Q F点E,D Q 交平面a于点A，故不存在某条棱与平面a平行，即可以判断选项A错误:第3页，共19页1/152022年高考数学二轮复习讲义（空间中的平行与垂直）精 研 考 纲M纳 核 心 题 海 训 练 归 纳 总 结 体 验 实 战 梳 理 复 习由六个面的1 2 条面对角线与平面a都相交，即可判断选项B错误;体对角线全部与面a相交，即可判断选项C错误：补全图形可得平面a截正方体AG所得的截面为冗边形D P F M，即可以判断选项D正确.I详解】对 选项A,B C交平面a 干点F .
9、B C a平面a ,B C,A D，AA，4G都不与平面a平行，A鸟交平面。尸点E,AM a平面a .A4，GG，A B,C 都不与平面a平 行,D D交平面a f 点 R,D,D A 向 C D 中,E 为 BB的中点.证 明:B。/平面A D/E：第4页，共19页1/152022年高考数学二轮复习讲义（空间中的平行与垂直）精 研 考 纲M纳 核 心 题 海 训 练 归 纳 总 结 体 验 实 战 梳 理 复 习（2）求直线A A/与平面A D/E所成角的正弦值.2【答案】（1）证明见解析（2）：【解析】（I）由四边形ABCQ是平行四边形铸出皿川,再由线血平行的判定证明即可;（2）利用等体积
10、法得出点A到平面AD/E的距离，进而得出直线小/与平面AD,E所成角的正弦值.（1）:4 8=。（7 8 6，.四边形4 8。是 平 行 四 边 形，.4。8 6又 AD,u 平 面 ADiE,BC,E所成角的正弦值为：.2、（2 0 2 2河南原阳一中模拟预测（理）在四棱锥P-A B C D中,B C =B D =D C =2 4 3 ,A D =A B=P D=P B =2.（1）若E为尸C的中点，求证：8 E平面 D（2）当 平 面 平 面A 8 C。时，求二面角C-P D-8的余弦值.【答案】证 明 见 解 析 姮1 3【解析】（1）作出辅助线，利用中位线证明线线平行，进而证明线面平行
11、：（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量解决二面角.（1）取C。的 中 点 连 接E M,BM,第5页，共19页1/152022年高考数学二轮复习讲义(空间中的平行与垂直)精 研 考 纲M纳 核 心 题 海 训 练 归 纳 总 结 体 验 实 战 梳 理 复 习由己知得，BCD为等边:角形，二8W_LC.V AD=AB=2,BD=2 0 ：.ZADB=ZABD=30P,ZADC=9QP,：.BM/A D.又:RM(z 平面 PAD,ADcz 平 面 PAD,：.BM 平 面 PAD.为PC的中点，M为。)的中点，：.EM/PD.又,：EM 平 面 PAD,PDu F面 PAD,：.EM/平 面
12、 PAD.；EM 1 BM=M,PDcD4=),二平面 BEM 平面 网DBE u 平面 BEM,：.BE 平面 PAD.(2)连接A C,交B D广点O,连接PO,由对称性知，。为8)的中点，IL AC J.8 A POLBD.平面 P8O_L 平 面 ABCD,交线为 BD,POLBD,：.POL 平 面 A8CO.PO AO=.CO=3.以O为坐标原点,反的方向为x轴正方向，OB的方向为y轴正方向,OP的方向为z轴正方向，建,上如图所示的空间在角坐标系o-x y z.则(0,-G,0),C(3,0,0),P(0,0,l).第6页，共19页1/152022年高考数学二轮复习讲义（空间中的平
13、行与垂直）精 研 考 纲M纳 核 心 题 海 训 练 归 纳 总 结 体 验 实 战 梳 理 复 习易知平面PBD的 个 法 向 为X=(1,0,0).设平面PCD的法向S为兀=(x,y,2),V DC=(3./3,0),DP=(0,x/3.1)fn,D C =0(3.r+/3y=O则小 J.D C，n,lD P,A-八。r n2DP=0 V3y+z=0令y=/5,得x=-l,z=-3,n,=-l,/3,-3),设二面角C-P-8的大小为0由图可知，6为锐角，则cos=巫.13变式二垂直的判定及性质1、（辽宁省葫产岛市2021-2022学年高二上学期期末数学试题）三棱锥A-3C各棱长为2,E为
14、AC边上中点.（2）求二面角E-B D-C的正弦值.【答案】（1）证 明 见 解 析（2也3【解析】（1）根据线面垂直的判定定理即可证明：（2）建立如图所示坐标系，则8（0,0.0）,易知平而BCD的法向状,利用空间向量法求出面BDE的法向量，结合向量的数量积计算即可得出结果.（1）正四面体A-5 C D中各面分别是正三角形,E为A C边 上 中 点,D E L AC,B E A C,乂 DE、B E u 平面 8D E.l i DEBE=E，所以 ACL而 BDE 建U如图所示坐标系，广是8（0,0。，C（A/3,1,0）,A住半）E（当,以0,2,0）,易知平面BCD的法向员）=（0,0,
15、1）.第7页，共19页1/152022年高考数学二轮复习讲义（空间中的平行与垂直）精 研 考 纲 归 纳 核 心 题 海 训 练 归 纳 总 结 体 验 实 战 梳 理 复 习没面B D E 的法向M电=（x,y,z）,2 y =02G 底 ,、，-y +z =03 .3令x=T,则y=。，z =Ji，所以%=（T.Q 上），所以8sH动=漪邛,得s i n（同邛所以二面角E-B D-C的正弦值为巫.32、（2 0 2 2 河南南乐高邛介段练习（文）如图，在直三棱柱ABC-AB中，底面.A B C 是边长为3 的等边三角形，且 8 4=3,E 为 B C 的 中 点,。是棱C C,上一动点（不
16、包括端点）.（1）若。为CG的中点，证明：8 O_ L 平面44；（2）若c o =gcG，求点G到平面曲的距离.【答案】（1）证 明 见 解 析:（2）生叵.3 1【解析】（1）证明出A J 平面BCGM，可得出A E _ L B。，证明出可推导出BD B.E ,利用线面垂宜的判定可证得结论成 九第8页，共19页1/152022年高考数学二轮复习讲义（空间中的平行与垂直）精 研 考 纲M纳 核 心 题 海 训 练 归 纳 总 结 体 验 实 战 梳 理 复 习2)ill,的体积以及ABO的而枳,利用等体积法可求得点G 到平面的距离.(1)证明：因为E 为8 c 的中点，在AABC中，A C=
17、A B,所以A_L8C,在直三棱柱A 8 C-A 8 C 中，84_1平面48。.；/1匚平面4 8(7.则4_184，Q 8 cl 故4，平面8。(7 4，乂因为B D u 平面B C C M .所以A E Y BD.因为四边形8C G 4为正方形，E 为8C 中点，。为CCJKJ中点，则 C=BE,BC=B、B,N B C D =N B,BE=90,所以 a BiBEq ABCD,所以 N B B g =N CBD,又.N881E+N8EBI=90,N C B D +N BEB、=90,BD BtE.AE nqE=E,.8j.平面A4E.(2)解：若C D =g c C ,则 CO=1,C
18、,D=2,SA a c=1C,D.B,C,=1 x2x3=3,因为 A_LBC,M l AE =J AB2-BE2=.2,_ I .F_ l,373 373匕-6CQ _ AE _ X 3 X，AD=VA C2+CD2=V32+l2=Vio BD=yBC2+Ciy=732+l2=Vio-所以ABO为等腰三角形，底边8。上的高为A=J(何图=孚，所以 SA M=TA8/=；X3X 粤设点C,到平面A B D的距离为d,由等体积法得忆网 =匕。.所 以 曲 s丽刀,、观”=空，解得G为平行四边形，ILD F F，故四边形EF0G为矩形，所以，E G 1 A C.因为8 E _ L A C,所以，：
19、面角8-A C-D的平面角为N8EG,在 一 ABEG 中,BE=EG=，cos ZBG=-.2 3fh 余弦定理可得 8G2 =B E2+E G2-2BE-EG cos N B E G=2，.DG/AC,EGA.AC.BE L A C,则 E G 1D G，BEJLDG,因为8 0反7=,，。0_1_平面8 6,SG u 平面 B E G,则 OG_LBG,.D G =E F =,由 勾 股 定 理 可 得=+=.故选：C.3、(2022吉林长春外国语学校高：期 末)如图，在三棱锥P-ABC中,AABC是以AC为底的等腰直角三角形，PA=PB=PC=AC=4,。为AC的中点.(2)若点M在棱
20、BC上，且B M=g 8 C,求平面MAP与平面CAP所成角的大小.【答案】(1)证 明 见 解 析(2)?O 解析(1)接BO,由APC是等边二角形得尸。J.A C,由PB2=P O2+BO?得出POA.BO.再利用线面垂H懒|断 定 理 可 得PO_L平面ABC：(2)建立以。为坐 标 原 点,OB,OCOP分别为x,y,z轴的空间直角坐标系，求出平面R4C的法向量、平面MR4的法向址,利用二面角的向出求法可得答案.连 接8 0,由已知AA8C是以AC为底的等腰直角三角形，且 附=P8=PC=AC=4,。为AC的中点，则APC是等边三角形，P O l A C,O P =2y/3,OA=O
21、B =O C =2,在 APBO 中，PB=4、PO=2 瓜 B O =2,满足PB2=PO-+B O2.即 APBO 是 在 角：角形，则 P O _L8O,又 AC20=。，4C.8。u平面4B C，所以P O L平面A5C.(2)建立以0为坐标原点,0 5,0 0,“分别为x,y,z轴的空间也用坐标系如图所示，则第11页，共19页1/152022年高考数学二轮复习讲义（空间中的平行与垂直）精 研 考 纲M纳 核 心 题 海 训 练 归 纳 总 结 体 验 实 战 梳 理 复 习4(0.-2,0),尸(0,0,2 6)，C(0,2,0),B(2,0,0),则平而 P A C 的法向求为正=
22、。,0,0),由 已 知=；B C ,得到M 点坐标（昔,0）,A A/=（g,g,0）,力 户=（0,2,2 g），_A M =0 _设平面M A A 的法向M =（x,y,z）,则 ，令 z =J 5，则x=6,y =-3,即3 =（6,3,G）,设平面MAP与平面C A P 所 成 角 为 则6 7 3V 3 6 +9 +3 -2则平面MAP与平面C A p所成角为幺O技巧点拨记住以下几个常用结论：（1）夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等.（2）经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.（3）两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例.（4）如果两个平面分别平行于第三个平面
23、，那么这两个平面互相平行.（5）垂直于同一条直线的两个平面平行.（6）过一点有且只有一条直线与已知平面垂直.（7）过一点有且只有一个平面与已知直线垂直.核心考点三平面图形的翻折与存在性问题【考法解密】考法平面图形的翻折与存在性问题工【变式解密】变式一翻折问题1、（2 0 2 2 陕西高:期末（理）在四边形A B C D 中（如 图 1 所示）,A B =AD.480=4 5,B C =B D =C D =2,将四边形A 8 C D 沿 时 角 线 折 成 四 面 体 A B C Z）（如图2所示），使得/H8C=9 0 ,E,F,G分别为棱8 C,A D,A 8 的中点，连接E F,CG ,则
24、下列结论错误 的 是（）.第12页，共19页1/152022年高考数学二轮复习讲义（空间中的平行与垂直）精 研 考 纲 回 纳 核 心 题 海 训 练归纳总结体 验 实 战 梳 理 复 习A.ACBDB.直线EF与CU所成角的余弦值为勺515C.C,E,F,G 四点不共面D.四面体48C。外接球的表面积为87t【答案】D【解析】以线面垂直去证A C IB D.选基底以向量法去求直线EF与8所成角的余弦值;观察法去判断C E,F,G 四点不共面;先求四面体4 8 8 外接球的半径再求其外接球的表面积.【详解】如 图 1,取 的 中 点 O,连接OA,OC.对丁选项A,因为VAfiD为 等 腰 直
25、 角 涌 形,ABCD为 等 边 油 形,所以 A)=A8=&，OA 1 BD.OCLBD.囚为Q4cOC=O,所以BD _L平面QAC,所以AC 1 BD,故选项A 正确;对于选项B,设8。=，BB=b,BA，则CG=，-a,EF=-(b +c-a,2 2V Z.d c=0,a-h=b-c=2 则 国=出l=乎,同=曲b+c-4 =粤,EFCG=(h+c-a)-Q c-a l=2,cos(EF,CG)=i =,故选项 B 正确；对 r一选项C,如 图 1,连接GF,则 GF/BD.GF a 平面 BCD.D,AB=3,4）=1,E 为 C D 中 点,F 为线段CE（除端点外）的动点，如图2
26、,将VA尸。沿 AF折起，使平面A8O_L平面A B C,在【解析】过尸作/=7W_LA8之A 8于 M,连 F K,设 FC=x,0 x；,用f,x 表示A/K,D K .F K.然后在mDFK中,利用勾股定理求出r，x 的函数关系，求出，的范围.第14页，共19页1/152022年高考数学二轮复习讲义（空间中的平行与垂直）精 研 考 纲M纳 核 心 题 海 训 练 归 纳 总 结 体 验 实 战 梳 理 复 习3【详解】过尸做交A8 J M.连 F K,设FC=x,0 x/,cosNEA8=，由 A/=22AB 4可得：A G=%=W 由勾股定理得：*卮下等AD 4因为cosNDAC=；=
27、幺 3,在AAG D中，由余弦定理得:A C 2V5 5D V2=DfA2+A G2-2 D,A A G co s Z DAC=1 6+-2 x4 xx=，故 TG=5 5 5 5乂 DH =416-4=25 在AOT/G中，由余弦定理得:c o s U H G”电十四二驼=吧;x 返52 DH H G2 x 2 6Vl6515故二面角C 的余弦值 为 通.15技巧点拨折槌与展开，这两种方式的转变是空间几何与平面几何问题转化的集中体现，求解眦折问题的关键是把握翻折前后的变量和不变量.第16页，共19页1/152022年高考数学二轮复习讲义（空间中的平行与垂直）精 研 考 纲M纳 核 心 题 海
28、 训 练 归 纳 总 结 体 验 实 战 梳 理 复 习变式二探索性问题1 42021 安徽铜陵中高三阶段练习（文）如图，在楼长为2的正方体A 8 C 0-A 4 G R中，点E,尸分别是极BC,CC,的中点，尸是侧面BCG8,内一点，若凡尸平面A，则线段4尸长度的取值范围是（）【答案】BC.62何D.2夜,2网【解析】作出辅助线，找到过点A且与平面A F平行的平面，进而得到点。的轨迹，从而求出线段A尸长度的取值范围.【详解】如 图,取B G中点G,因 中 点”,连接G J A G,A，则A G A E,又A G a平 面 A E u平 面 所 以AG 平面4匕 同理G/EF,G H U平面A
29、EF,_E Fu平面A E F,所以GH 平面A E F,因为AG c G4=G,所以平血A.GH/4 二平而AE-因 为P是侧面8 C C 4内一点，当匕点在线段G 上时，能够满足A 2平面AE尸，因为正方体棱长为2,由勾股定理得：&G=A”=石，G H =近,n 4/故点尸落在G”中点时，Atp K度最小，此时人尸=用!=苧，当点p与G A 二3友 或，重合时，长度最大，此时4尸=石，综 匕 线 段A P长度的取值范围是三忌.故选：B2、（2022安徽合肥高三期末（文）如图，在三棱柱A B C-A B C中，M为棱的中点，B M n平面4181cl=N.第17页，共19页1/152022年
30、高考数学二轮复习讲义(空间中的平行与垂直)精 研 考 纲M纳 核 心 题 海 训 练 归 纳 总 结 体 验 实 战 梳 理 复 习(1)试确定点N 的位置，并证明GN|平面4C M：(2)若AABC是等边三角形，48=/U i=2,/.AABi=6 0,且平面ABC_L平面488人，求四面体4MNC1的体积.【答案】(I)延长8 M.交8送1的延长线F点N：证明见解析：(2)g.【解析】(I)延长BM，交 的 延 长 线 点 M由平面的班本性质可得点N 即为所求,然后利用棱柱的性质及线面平行的判定定理即证；(2)取线段A 4 的中点G,由题可得CW是三棱锥6-&M N 的高，然后利用三角形面
31、枳公式及棱锥的体积公式即求.延长交8 1 4 的延长线于点M：N e ABi，u平面4 8 也1，：.N 平面&B iG.又6 BM.BM C平面4 8 iG =N.点 N 即为所求.连接GN,G 8交直线81c于点。，连接。例.：.ANAVM-A/VBiH.又 为 线 段 的 中 点，等=霁=9,即 为线段N8的中点N O D D L在三棱柱ABC-AB,G中,四边形B C C g为平行四边形，/.。为线段6 8 中点，:.OM为A BNQ中位线，AG/V|OM.又YOM u平面&CM,C;NC平面&C M,二6 为平面81cM.(2)取线段A 片的中点G,连接GG.第18页，共19页1/1
32、52022年高考数学二轮复习讲义（空间中的平行与垂直）精 研 考 纲M纳 核 心 题 海 训 练 归 纳 总 结 体 验 实 战 梳 理 复 习由条件知，AA AG 为等边三角形，.CiGJ.&Bi，且=.平面 AB1G 1.平面 平而4B1G C 平面 4BBM1=G G u 平面 4 8 1 6，:G G 1 平面即GG是三棱锥G-&M N 的高.又=60,:wNAiM=120.由（1）知，NA=A$i=2,AjM=AAX=1,，SANA、M=：x 2 x 1 x sinl20=争二四 面 体 的 体 积 V=l-SANXjM.QG=|x y x V3=1.技巧点拨（1）推理型探索性问题推理型探索性问题，以探究空间中直线、平面的平行与垂直关系为主，解决此类问题主要采用直接法，即利用空间平行与垂直关系的判定与性质定理进行逻辑推理，将其转化为平面图形中的线线关系进行探究，逻辑推理的思维量较大.（2）计算型探索性问题计算型探索性问题，主要是对几何体的表面积、体积或距离等问题进行有关探究.解决此类问题主要采用直接法，即利用几何体的结构特征，巧设未知量，将所探究的问题转化为建立关于所设未知量的函数或方程，依据目标函数的性质或方程解的存在性求解.第19页，共19页1/15