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1、绝密启用前备横2021年高考数学名校全真模抵卷第五模拟考生注意：1.本试卷共4页，21道试题，满 分150分，考试时间120分钟.2.本试卷分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或 写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.3.答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息.一、填 空 题（本大题共有12题，满分54分，其 中16题每题4分，712题每题5分）【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.】1.（2020上海高三专题练习）已知集合 A=0,1,2,3,8 =x|x -1|0 ,则 A B=.【答案】R【分析】解出集合从
2、根据并集运算法则即可得解.【详解】由题解|x 1|0得?（卜,1）（1,+?）所以 8=x|x 1|0 =（-C O,1）U（1,+8）,A=0,l,2,3,所以 A B=R.故答案为：R.2.（2019上海市奉贤区奉城高级中学高三期中）抛物线的准线方程是【答案】y=14【分析】先判断抛物线焦点位置，再利用2 =1,即得到准线方程.【详解】由抛物线方程V=-y可知，焦点在y轴负半轴，又由标准方程方程特征知2P=1,p=g,故准线是 丁=.4故答案为：y=一 .4x+y-2 03.（2020上海徐汇区位育中学高三期中）已 知 满 足 0【答案】-1【分析】作出可行域，利用直线截距的几何意义解决.
3、【详解】首先画出可行域，由z=y -2x得y=2 x+z,易知截距越大，z越大，平移直线y=2x当直线y=2 x平移至点A时，z取得最大值,x+y=2,得 x+2 y-3=0山，X=11 所以 Z m a x=1 一 2X 1=7b=1故答案为：-14.（2020上海黄浦区格致中学高三期中）已知复数2=。+/.（aeR,i为虚数单位）在复平面内对应的点位于第二象限，且 忖=2,则复数z=【答案】7+四【分析】根据忖=2得到回=2+3=2,解方程即可.【详解】因为z =a +J i，所以国=J/+3 =2,解得a =l.又因为z=a+币 i在复平面内对应的点位于第二象限，所以。=1.所以 z =
4、1 +5/3;.故答案为：7+亚5.(2 0 2 0上海市建平中学高三期中)已知角。和角。的始边均与8轴正半轴重合，终边互相垂直，若角。的终边与单位圆交于点尸 不，g，则cosg=.【答案】-3JI1【分析】由题意可得：(p=9+k 兀+-,k e Z,利用已知条件可以求出s i n 6 =-,利用2 3c o s 9 =s i n。即可求解.【详解】因为角。和角。的始边均与1轴正半轴重合，终边互相垂直，JT所以。二夕+左乃+万,攵w Z,1若角。的终边与单位圆交于点P ,所以s i n 8 =,则 c o s。=s i n0 -,故答案为：L36.(2 0 2 0上海市洋泾中学高三期中)己知
5、函数/(X)是定义在R上奇函数，且满足对任意XWR,都有y(x+2)=/(-x),若x e 0,l时，f(x)=3x-i,则 1 9)=.【答案】-2【分析】利用奇函数的定义，己知条件推出函数/(X)是周期函数，周期为4,然后由周期函数和奇函数的定义求值.【详解】因为函数/(x)是定义在R上奇函数，所以/(-)=-x),所以/(X+2)=/(T)=4 X)所以/(x+4)=/(x +2)=/(x),即f(x)是周期函数，周期为4.所以/(1 9)=/(T)=_/(1)=_ 2故答案为：-2.7.(2 0 2。上海市建平中学高三期中)li m ,2-+51 1 8 H+4+1 0【答案】2【分析
6、】分子分母同时除以2,再求极限即可.【详解】圾岛捻 2 +01 +0 +0=2,故答案为：28.(2 0 2 0上海高三其他模拟)如图，一个球形广告气球被一束入射角为3 0。的平行光线照射，其投影是一个最长的弦长为5米的椭圆，则制作这个广告气球至少需要的面料是试题分析：由椭圆的最长的弦长为5米，知桶圆的2 a=5，设气球的半径为R，入射角为3 0。的平行光线与底面所成角就为6 0,则 有 勿 si n 6 0 0 =2R,即/?=述，从而气球的表面积为痴 心=冬 病4 4考点：球及球的表面积计算.9.(2 0 2 0 上海普陀区高三月考)在平面四边形A8CQ 中，A B B C A D D C
7、 O|AB|=|/1 )|=1,A B -A D=一 g 若点M是边B C上的任一动点，则A M -D M的 最 小 值 为.2 1【答案】1 6【分析】连接BO,则可证ABCD是等边三角形，建立平面直角坐标系，设 (x,0)，用x表示出AM D M，则根据配方法得出最小值.【详解】解：连接30，AB B C =A D D C =0，：.Z A B C =Z A D C =90,AB A D=|A 8 1|A。|c o s A B A D=c o s A B A D =-,.Z B A Z)=1 2 0,B D =lAB2+A D2-2AB AD cosZB AD =G -Z A B D =Z
8、 A D B =30,：.N D B C =Z B D C =6 0 ,.B C D 是等边三角形，以8为原点，以为x轴，以84 为 轴建立平面直角坐标系，则 4(0,1),C(B 0),D也,I),设M(x,0)(原k 6)，则 A M=(x,-l),D M=(x-，-J).A KA 2 g 3 不、2 2 1 A M DM =x-x H =(x ,)H-，2 2 4 1 6二当x =时，A M DM取得最小值.4 1 6【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算，坐标法是常用方法之一，属于中档题.1 0.（2 0 2 0 上海市五爱高级中学高三期中）第三届进博会招募志愿者，某校高一年级有3 位
9、同学报名，高二年级有6 位同学报名，现要从报名的学生中选取5人，要求高一年级和高二年级的同学都有，则不同的选取方法种数为（结果用数值表示）【答案】1 2 0【分析】由高一年级有3 位同学报名，高二年级有6 位同学报名，且要求高一年级和高二年级的同学都有,故可用总情况数减去5 人都是同一个年级的情况数，可得出答案.【详解】由题意，从 9 位学生中选取5人，选取方法总共有C；=1 2 6 种,从报名的学生中选取5人，若 5人都是同一个年级的学生，则 选 取 方 法 有=6种，所以要求高一年级和高二年级的同学都有，不同的选取方法种数为1 2 6-6 =1 2 0.故答案为：1 2 0.1 1.（2
10、0 2 0 上海市建平中学高三期中）已知首项为;的数列 4 满足 用=也d+2（e N*），若3 2a也对任意正整数恒成立，则实数2的最大值为2【答案】4 分析】推导出。,用4 九乎，利用不等式的基本性质以及累加法可得出6 1 a-4 -4 J+；（2 2）,结合已知条件可得出（-1）2-对任意的2 2且4 J3 2 eN*恒成立，结合参变量分离法可求得实数;I的最大值，再利用数学归纳法说明当4=变时，正4 2恒成立，由此可得出结果.【详解】4=；且可+1 =孝 片+；1（%*）,对任意的eN*，*/一，a3-a2 A-an-an-九一 2 2),上述不等式全加得1）（九 一4 J1+3,当
11、=1 时，a.=-1 3 2当”2 2且“eN*时，若 为 乎恒成立，则（-1）4一也+上也.4 J3 2所以，彳工企，A -1-n-1 472 1由于0 T 3 3/3 丘 1 ,-h 3 4 n-4 -4 3也4.-.2 0 ,%0 ,任意的wN*,。，4，即0 可得=鼻；+a噂w3 2 2 4 3 6假设当 =（z *）时，0%*，则当 =%+1时，ak+l,进而可知，对由上可知，对任意的 e N*，a 2）；4 J 3（2）在求解数列不等式恒成立问题时，可充分利用参变量分离以及数单调性求解.1 2.（2 0 2 0上海市洋泾中学高三期中）已知/（力 二 口 -卜-4在（T,l）上有且仅
12、有1个零点，则。的取值范围为.【答案】（-g,0）u 2应一 1 3 2收）9 2【分析】令/（x）=0得，-=x-a,令 乂=旨，刈=w一同，在同一坐标系中作出两函数的图象，分”的范围分别作出图象可得范围.2 2【详解】令/（九）=0得,=忖 一 ，令%=y 2 T工一。|,x+l x+12当a =0时，%=W，在同一平面直角坐标系中作出y =二 斤（一1 X 1）,%=上一。|的 图 象（如下图1所示），从图象看出，当a 0时，=（-1 X1）,%=|x 4两个图象在（-1,1）上有且只有一个交点，即2函数X）=qy 卜 在（T 1）上有且仅有1个零点，故4 0时，当y =，（1 X 1）
13、,%=,一。|两图象相切时，两函数图象有且只有一个交点（如下图2所示），y.=9/、又x0时，且%=a X过点（1,1）时，两函数y =m（T x2时，由图4所示，由图象得出，此时两函数*=H（-1 X 0（a 0）的解集是X|X H,则下列四个命题：/-2 W 4：a2+-4 ；b若不等式2+以 _/,。；若不等式/+以+0 3的解集为（不 毛），且1%-1=4,贝卜=4.其中真命题的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【分析】因为/（）=/+依+优a 0）有且只有一个零点，故可得 =/4 8=0,即可=4匕0，再利用基本不等式和不等式的性质以及韦达定理，即可得答案；【详解】由
14、题意，=-4）=0，2.入 _Q-b=4对于：a2 b=4 b-b2=（/?2）2+4 2.1a2-=4,h a2 V a-94 等号当且仅当/=,即。=0时成立，Q 正 确；2对于：由韦达定理，知玉/=6=?-4 =0 时，-m =，机无解，3m（4 4/n、当三条直线经过同一个点时，把直线/1和4 的 交 点-代入4-m 4-mJ-+-!4=0，解得加=-1 或 机=.4-/4-m 31?综上，满足条件的机的值为4 或一一或一 1或一，共4 个.6 3故选：C.【点睛】本题考查直线的位置关系，相互平行的充要条件，考查推理能力与计算能力，属于中档题.16.（2020上海浦东新区高三二模）如图
15、，正方体A g G Q-A B C D 中，E、尸分别为棱BC的点，在 平 面 内 且 与 平面。平 行 的 直 线（）A.有一条C.有无数条【答案】cB.有二条D.不存在【分析】设/u平面AAA，且/O E,可证明/平而。所，从而可得正确的选项.【详解】设/u平面A D D ,且U/D E，又 D E u 平面D E F ,/u平面。户,：./平面D E F，显然满足要求的直线/有无数条.故选：C.【点睛】本题考查线面平行的判断，注意根据所求直线在定平面中去构造与平面平行的直线，本题属于容易题.三、解答题（本大题共有5题,满分7 6 分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤1 7
16、.（本题满分1 4 分，第 1 小题满分6分，第 2 小题满分8分）（20 20 上海普陀区高三期中）如图所示的多面体防-A B C。中，/是正方形，A B C D 是梯形，EDA.平面 A B C。，ABI/CD,A D L C D,A B =A D =2,C D =4.（1）求多面体E尸 A B C。的体积；（2）设 为EC的中点，求直线B E和平面8D0所成角.【答案】（1）；（2）3 3【分析】（1）根据E D _L 平面A B C D,得至U C D 1平面A D E F，A O 平面C D E,进而求得VB.A B E F，VB.CD E，然后 1 1 1 EF-ABCD VR-A
17、DEF+VB.CDE 求解.（2）以。为原点，以O A,D C,。石分别为汇，y,Z坐标轴，建立空间直角坐标系，分别求得3E，和平面师.”B D M的一个法向量=（x,y,z）,然后由 s in(9=gs(BF,”求解.【详解】（1）因 为 田，平面ABCZ），所以石。_1 _ 8,E D Y A D，乂A)J _C D,A D E D =D,C D E D=D所以平面AD E户，A 0 _ L平面。，因为 A B/C O,所以A B L平面A D E产，1 1 8所以外n _ nAiBf tFtFr =_3 .S1“5 rAyDU tFFr .AB=3 x2x2x2=3 （J J Q所以 V
18、 nt*iCDu nF.=3 _ .S mC D F.AO =x _ x 2 x 4x 2 =,匕3 2 3rr.8 8 1 6所 以 VEF-ABCD=VR-ADEF+VB-CDE=（2）以。为原点，以DA,D C,。石分别为X,y,z坐标轴，建立空间直角坐标系，如图所示:则 8（2 2 0）,尸（2,0,2）,0（0,0,0）,M（0,2,1）,所以=（0,-2,2）,。8=（2,2,0）,DM =（0,2/），设平面BDM的一个法向量为=（x,y,z）,2 x+2 y =02 y+z=0则D B-n=0,即D M =0令 y =l,贝i j 九=（-1,1,一2）,设直线BF和平面BDM
19、所成的角为。，I,.I BF|6所以$皿0 =卜。$(8尸,=。=+，任斗 J V 6-2 V 2 2JT解得。=；,3T T所以直线BF和平面BDM所成的角为一.3【点睛】方法点睛：利用向量求线面角的方法：(1)分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量,转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角.1 8.(本题满分1 4分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)(2 0 2 1长宁区上海市延安中学高三期中)函数y=/(力 是定义在实数集R上的奇函数，当x 0时，/(x)=2x-X1,(1
20、)求/(x)的解析式；(2)若函数 g(x)=“)7,xe(-oo,-,+oo),求 g(x)的值域.x 2 22x+x2,x0【答案】f(x)=0【分析】(1)工0，由奇函数的性版即可求出(2)分别求出尤2,和尤 一_1时函数的最值，即可求出值域.2 2【详解】(1)因为=/(%)是定义在实数集R上的奇函数，所以/(0)=0,设 X 0，所以 f(-x)=2(-x)-(-x)2 =-2 x-*2 =-/(x),所以/(x)=2x+x2,2X+X2,X0所以/(%)=0(2)当工时，g(x)=x)1=2/尤 +,02 2=0,2 x I x j当且仅当x=l 时取等号,当;时，g（x）=2+单
21、调递增，此时g（%*=g7所以g（x）的值域为（一哈.【点睛】关键点睛：本题考查奇函数解析式的求解，考查分段函数的值域的求解，解题的关键是利用好奇函数的性质，会判断函数的单调性.1 9.（本题满分14分，第 1 小题满分6 分，第 2 小题满分8 分）（2020上海杨浦区高三期中）某地区去年的水价为4.2元/立方米，年用水量为m 立方米，今年计划将水价降到2.8元/立方米至4 元/立方米之间，而用户期望水价为2.5元/立方米，经测算，下调水价后新增的用水量与实际水价和用户期望水价的差成反比（比例系数为0.5m）,该地区的成本为2 元/立方米.（1）今年水价下调后，为保证供水部门的收益不得低于去
22、年的收益，则实际水价%最低价格为多少？（保留 2位小数）（2）试问调价后，今年供水部门收益的最小值为多少？【答案】（1）3.43元/立方米（2）2m【分析】（I）解不等式 一 2）m+0.5加x-2.5)2m（4.2 2）即得解;(2)由题得 y=(x_2)m +F)，x e2.8,4,换元得 y=+0.5)1+产)=加1+5+1,再利用基本不等式求解.【详解】(1)由题得供水部门的收益为(x-2)m+0.5m)-,xx-2.5)e 2.8,4:由题得(x-2)|m+zn(4.2-2),1 x-2.5)x2-6.2x+9.5 0,/.x 2m,当且仅当 =,，即 =，4t 2即 =3时，等号成
23、立，所以今年供水部门收益的最小值为2加元.(0 5 m、【点睛】关键点睛：解答本题的关键是对y=(x-2)机+换元，设X 2.5=tw 0.3,1.5,换元得I x Z.J)到y=?(/+,+1),才能用基本不等式求解.2 0.（本题满分1 6分，第 1 小题满分4分，第 2小题满分6 分，第 3小题满分6 分）（2 0 2 0 上海市七宝中学高三期中）已知双曲线C:二 1 过点M（3,点）,且右焦点为（2,0）.（1）求双曲线C的方程;t i l l LlUtl U U LILUI（2）过点尸的直线/与双曲线C的右支交于A3两点，交 V 轴于点尸，若尸4 =P B =n BF，求证：m十为定
24、值.2 3（3）在（2）的条件下，若点。是点尸关于原点。的对称点，求证：三角形Q A5的面积S Q 相 记；【答案】（1）-y2=l；（2）证明见解析；（3）证明见解析.39 2【分析】根 据 题 意，得出/-屏=1 且 c =2结 合/=+，求 得 的 值，即可求解:（2）设4（%,乂）,8（毛,打），直线，：y =Mx-2）,联立方程组，得出为+,中 2，结合P A =*尸，P B =n BF，进而化简得到加+为定值，得到答案.（3）由（2）知尸Q T 舟，可得Q（0,2 Q,利用S T SQ P B S 2 P/=2 网打一|，进而得到（S3小?的表达式，结合基本不等式，即可求解.2 2
25、【详解】（1）由题意，双曲线C:=4 =1 过点历（3,四），且右焦点为尸（2,0）.a b9 2可得靛*1 且”2,又由解得所以双曲线。的方程为三 :/=；3 设 A（%，M）,B（孙）,由题意得出线I的斜率存在，所以设出线l-y=k（x-2）.二=2.3 1 ,，证毕QAB 3 10【点睛】解答圆锥曲线的最值问题的方法与策略：1、几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决；2、函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单调
26、性法；（4）三角换元法；（5）导数法等，要特别注意自变量的取值范围.3、此类问题通过联立直线方程与圆锥曲线方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解.21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）（2020上海市洋泾中学高三期中）己知项数为机（?e N m 2）的数列%为递增数歹U，且 满 足e N”,若匕,=1+%+/）-=,且 勿e N*,则称也 为 的“伴随数列”.（1）数列1,5,9,13,17是否存在“伴随数列”，若存在，写出其“伴随数列”若不存在，请说明理由;（2）若 也 为 何 的“伴随数
27、列，证明：b2.bm.(3)已知数列 存 在“伴随数列也 ,且 q =1,am=204 9,求m的最大值.【答案】存 在，11,10,9,8,7；(2)证明见解析;(3)3 3.【分析】(1)根据定义求出 2 即可;(2)证明0 即可得;(3)首先证明=1,4n=2 0 4 9 的伴随数列是在在的，最小的加=2,然后确定加的范 围 求 的 最 大 值，由(2)由(2)知，c i)t+i anm (H=1,2,，1),利用累加法可得 c i,1 (?-1)-,得出机一 1 4 J 2 0 4 8，2 0 48从而机0(1/1%,:心 瓦 bm.(3)因为4=l,a,“=2049,其中加之2当机=
28、2时，q=1吗=2049有,(1 +2049)-1,(1 +2049)-2049b,=-=2049.b,=-=1 均为止整数1 2-1 1 2-1即当机=2时，数列1,2049存 在“伴随数列”：2049,1因此加的最小值为2一方面，由(2)知，al l+i-an m-(n=l,2,，-1)于是,-1=(4-4,1)+(4-1-4”-2)+(o2-a1)(m-l)+(m-l)+(m-l)=(/w-l)2所以(m1)2048 n m 46(m e N*)另一方面，由数列 4 存在伴随数列也 ,知b _b=(“I +q+q”)ai _(.+q+册)金=4“q=2048 ym-m-m-m-所以加一1
29、是2048的正约数，m-l2,22,23,2即 m 取 3,5,9,17,33,65,2049综合上述加=33为最大值，取 为=64 一63(=1,2,33)有g型小4;，一(1 +6 5+3 +2。4 9 H 64-6%0 5 9 _ 2-条件 m-33-1因此加的最大值为33.【点睛】关键点点睛：本题考查数列的新定义，解题关键是理解新定义，应用新定义求解.在求的最大值时，注意数列与不等式的综合运用，解题时分为两个方面，两方面确定满足题意的伴随数列在在，至少加=2是可以的，另一方面，确定用的最大值，利用累加法估计出加的范围，再由伴随数列的性质得出用满足的性质，由这两个确定出，的最大值，但要构造出一 个满足题意的数列，它的项数是加，且在在伴随数列.否则解题过程不全面.