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1、2021年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1 .已知集合4 =%|-1%1 ,B =x|0 x 2 ,则 A UB=（）A.（-1,2）B.（-1,2 c.0,1）D.0,1【答案】B【分析】结合题意利用并集的定义计算即可.【详解】由题意可得：A U6 =x|-l x/5【分析】先求得圆心到直线距离，即可表示出弦长，根据弦长最小值得出阳【详解】由题可得圆心为(0,0),半径为2,m则圆心到直线的距离d=-=,则弦长为2,4 舌1，则当左=0时，弦长取得最小值为2,4
2、_ 加2 =2,解得机=土内.故选：C1 0 .数列 叫 是递增的整数数列，且4 2 3,4+/+4=1 0 0,则的最大值为（A.9 B.10 C.11 D.12【答案】C【分析】使数列首项、递增幅度均最小，结合等差数列的通项及求和公式即可得解.【详解】若要使尽可能的大，则可,递增幅度要尽可能小，不妨设数列 4是首项为3,公差为1的等差数列，其前 项和为S“，则4=+2,S,=1 x l l =8 8 1 0 0,所以的最大值为H.故选：C.第二部分（非选择题共110分）二、填空题5小题，每小题5分，共25分.1 1 .展 开 式 中 常 数 项 为.X【答案】-4/I 4 4_ /1 r【
3、详解】试题分析：的展开式的通项7；M=C：（d）f 一 上=（一1）父 但2-圻令r =3得常数项为7；=（I），C；=-4 .考点：二项式定理.1 2 .已知抛物线。：尸=4%，焦点为F，点M为抛物线C上的点，且怛叫=6,则 的横坐标是；作轴于N,则S/M N=.【答案】.5 .4石【分析】根据焦半径公式可求”的横坐标，求出纵坐标后可求【详解】因为抛物线的方程为尸=4%，故，=2且尸(1,0).因为|MF|=6,xM+-=6,解得天”=5,故 y“=2 石，所 以 凡 初=3(5-1*26=4后，故答案为：5,4 石.1 3 .a=(2,1),b=(2,-1),c=(0,1),则(a+5)c
4、=；a-b=.【答案】.0 .3【分析】根据坐标求出2+5,再根据数量积的坐标运算直接计算即可.【详解】M=(2,1),5 =(2,-1)忑=(0,1),：.a+b=(4,0),.1.(5 +)-c =4 x 0 +0 x l =0)a,B =2 x 2 +l x(-1)=3.故答案为：0；3.1 4 .若点尸(c o s a s in。)与点Q(c o s S+3),s i n(e+m)关于N轴对称，写出一个符合题意的6 68=一.【答案】(满足。喑+br#eZ即可)TT【分 析】根 据P,Q在 单 位 圆 上，可 得。,。+二 关 于 y 轴 对 称，得出6TT。+6 =+2ki,k e
5、Z求解.6【详解】P(c o s O,s i n。)与 Q(c o s(6 +?,s i n(e +。卜 于 丁轴对称，TT即e,e+关于y轴对称，6TT6 +-3=7V+2k7v,k e Z,65冗则6=上乃+二，Z eZ,1257r当=0时，可取。的一个值为二.1257r 57r故答案为：(满足e=k乃+二,Z eZ即可).12 1215.已知函数/(x)=|lgx|-依-2,给出下列四个结论:若左=0,则/(x)有两个零点；业 0,使得AM有一个零点；泉 0,使得了(X)有三个零点.以 上 正 确 结 论 得 序 号 是.【答案】【分析】由/(力=0可得出旭 耳=+2,考查直线y=丘+2
6、与曲线g(x)=|lgx|的左、右支分别相切的情形，利用方程思想以及数形结合可判断各选项的正误.【详解】对于，当A =0时，由/(%)=|怆-2=0,可得x=!、或x=l(X),正确;1 (X)对于，考查直线y=去+2与曲线y=lgx(0 x l)相切于点尸灯+2=-lgz对函数y=-lg x求导得y=-一，由题意可得1 ，解得xlnlO K=-et-100,100,k=-Igee所以，存在&=lg e 0,使得/(x)只有一个零点，正确;e对于，当直线丁 =丘+2过点(1,0)时，左+2=0,解得左=2,100所以,当_丁lge%-2时，直线丁 =米+2与曲线y=-lgx(O xl)有两个交
7、点,若函数“X)有三个零点，则直线y=依+2与曲线y=-lgx(Ox l)有一个交点，所以，100,-lg e K 0无解，因此，不 存 在&l)相切于点对函数y=1gX求导得y=-xlnlO&/+2=lg，,由题意可得L ijz _、zlniot-100c解得,Ig e，【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤：(1)转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；(2)列式，即根据函数零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；(3)得解，即由列出的式子求出参数的取值范围.三、解答题共6 小题，共 85
8、分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.1 6.己知 AA J 3 c 中，c=2 b c o s B,C -.3（1）求3的大小；（2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使6c存在且唯一确定，并求出6C边上的中线的长度.c=M）；周长为4 +2 6；面 积 为 几 版=手；【答案】（1）5；（2）答案不唯一，具体见解+析.6【分析】（1）由正弦定理化边为角即可求解；（2）若选择：由正弦定理求解可得不存在；若选择：由正弦定理结合周长可求得外接圆半径，即可得出各边，再由余弦定理可求;若选择：由面积公式可求各边长，再由余弦定理可求.【详解】（1）.c =2/?c o s 3,则由正弦定理可得s
9、 i n C =2 s i n 5 c o s 3,.七山2岭哼=冬.吟,2研0仔）4 T T；.2B=,解得8 =；3 6.（2）若选择：由正弦定理结合（1）可得=出 =?=石，b si n B 12与=而 矛 盾，故这样的AAB C不存在；T F若选择：由（1）可得A =一,6设 A BC的外接圆半径为R,71则由正弦定理可得a=b=27?si n-=R ,6c =2 R s i n =G/?,3则周长 a +8+C=2R +J5R=4 +2 6，解得H =2,则a =2,c =20，由余弦定理可得B C边上的中线的长度为:T T若选择：由（1）可得A =”，即。=6,6则 S AHC=a
10、bsinC =cr=,解得Q=百，2 2 2 4则由余弦定理可得3c边上的中线的长度为：L+2_2X/,XXCOS =卜+3艮 等=殍.17.已知正方体A B C D -4与G A,点 为 A。中点，直线反。|交平面CD E于点尸.（1）证明：点尸为B|G 的中点；（2）若点M为棱A 圈上一点，且二面角M-C F-E 的 余 弦 值 为 好，求 然 的值.3 A4【答案】（1）证明见解+析；（2）4v=l-A用2【分析】（1）首先将平面。石进行扩展，然后结合所得的平面与直线4c的交点即可证得题中的结论；（2）建立空间直角坐标系，利用空间直角坐标系求得相应平面的法向量，然后解方程即可求得实数的值
11、.【详解】（1）如图所示，取 gG 的中点 尸，连结。石,尸,尸C,由于A B C。为正方体，尸 为 中点，故 EFI I CO,从而E,F,C,力四点共面，即平面C D E即平面C D E尸,据此可得：直线4G交平面C D E于点尸;当直线与平面相交时只有唯一的交点，故点F与点尸 重合,即点F为4G中点.(2)以点。为坐标原点，。4。,。9方向分别为了轴，轴，z轴正方形，建立空间直角坐标系。一W Z,不妨设正方体的棱长为2,设 第 =4(O W1),则：M(2,22,2),C(0,2,0),F(l,2,2),E(l,0,2),从而：M C =(-2,2-2/1,-2),C F =(1,0,2
12、),FE=(0,-2,0),设平面M C E的法向量为：而=(3,y,z j,则：f f i ,M C=2x)+(2 2%)X 2Z 1=0m C F=2+2Z =0令 Z =-1 可得:设平面C E E 的法向量为：n =（x2,y2,z2）,则:n-FE=-2y2=0n-CF=x2+2Z2=0令 Z 1=-l 可得：=（2,0,-l）,【点睛】本题考查了立体几何中的线面关系和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.18.为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取“&合 1检测法
13、”，即将上个人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性的；若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测.现有10 0 人，已知其中2人感染病毒.（1）若采用“10 合 1检测法”，且两名患者在同一组，求总检测次数；已 知 10 人分成一组，分 10 组，两名感染患者在同一组的概率为上，定义随机变量X为总检测次数，求检测次数X的分布列和数学期望E（X）；（2）若采用“5 合 I检测法”，检测次数y 的期望为E（y）,试比较E（X）和 E（y）的大小（直接写出结果）.3 2 0【答案】（1）2 0 次；分布列见解+析；期 望 为=-；（2）（/）（%）.【分析】（1）由题设条件还原情境
14、，即可得解；求出X的取值情况，求出各情况下的概率，进而可得分布列，再由期望的公式即可得解;（2）求出两名感染者在一组的概率，进而求出E（y）,即可得解.【详解】(1)对每组进行检测，需 要 10 次；再对结果为阳性的组每个人进行检测，需要次;所以总检测次数为2 0 次：由题意，X 可以取2 0,3 0,P(X=2 0)=(,P(X=3 0)=l则X的分布列：X2 03 0P1T7107 71 in 3 7 0 （X）=2 0 x-+3 0 x-=-r；(2)由题意，丫可以取2 5,3 0,2 0 c 2 c3 4 9 5两名感染者在同一组的概率为4 =产.=,不在同一组的概率为P ,4 9 5
15、 2 9 5 0则 E（Y）=25X +30X3 =-E（X）.99 99 993-2 r19.已知函数/(x)=一 +.若 a =0,求 y =/(x)在处 切 线 方 程；(2)若函数/(x)在 x =-l 处取得极值，求/(x)的单调区间，以及最大值和最小值.【答案】4 x+y-5 =0；(2)函数/(力 的增区间为(一 8,1)、(4,内)，单调递减区间为(1,4),最大值为1，最小值为-“【分析】(1)求出/(1)、/(1)的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；(2)由/(-1)=0 可求得实数a的值，然后利用导数分析函数/(x)的单调性与极值，由此可得出结果.【详解】(1)当 a
16、=0时，=则/，(.)=2。；3).=/=T,XX此时，曲线y =/(x)在点(1J(1)处的切线方程为y -l =4(x l),即4 x+y -5 =0；-2 ()_ 2 x(3 _ 2 x)2(x_ 3xQ)因 为 x)=导，则/(x)=.J/一二 J,xl+a(丁+a)(?+a),、2(4 t z)由 题 意 可 得=M=0,解得a =4,故 X)=/(另 一 )2).)，列表如下：，x+4(X +4)X-1(-1,4)4(4,+),单调递减区间为(一1,4).3Q当 o；当 时，y(x)0)过点人(0,-2),以四个顶点围成的四边形面积为右 b4 7 5 .(1)求椭圆E的标准方程；(
17、2)过点P(0,-3)的直线/斜率为A,交椭圆E于不同的两点B,C,直线4 8,A C交尸-3于点M、N,直线A C交尸-3于点N,若IPM+F M W 15,求的取值范围.2 2【答案】(1)J匕=1；(2)-3,-l)u(l,3 .5 4【分析】(1)根据椭圆所过的点及四个顶点围成的四边形的面积可求。力，从而可求椭圆的标准方程.（2）设8（石，x）,C（%,%）,求出直线AB,AC的方程后可得M,N的横坐标，从而可得PM+PN,联立直线6C的方程和椭圆的方程，结合韦达定理化简归M|+|P N|,从而可求A的范围，注意判别式的要求.【详解】（1）因为椭圆过4（0,-2 ）,故8=2,因为四个
18、顶点围成的四边形的面积为4 6，故;x2ax2b=4石，即“=2 2故椭圆的标准方程为：三+汇=1.5 4设 8（%，i），C（W，%），因 为 直 线 的 斜 率 存 在，故菁 y+2-x,x,故直线一x-2,令y=-3,则=-、，同理4,=-七玉 X+2%+2y =3直线5。：丁 =6一3,由，二 2 可得（4+5&2）/一3。依+25=0,4/+5;/=2 0 故 A=900公 一100（4+5炉）0,解得左一1 或左 1.又玉+=-2，=T-12，故 玉 工2 ，所以*M*N 4 I D K 4 i D KPM+P N =XM+X=-+-y 1十，%十/50 k _ 30 k_ X +
19、%|2 左gx?(,/+x j _ 4 +5：2 4 +5/=51用kxx-1 kx2-1|/:2XIX2-k(x+x2)+25k2 _ 3 0储 十 4 +5户-4工5记十故5网4 1 5即陶4 3,综上，一34 4 一1 或 1 左3.21.定义 R p 数列%：对实数 p,满足：4+。*0,生+。=；0,a2=0 ,由性质a,“+2 e a,“，4 +l，因此/=4或%=4+1，&=()或4=1，若%=0，由性质可知见 4，即q 0或4+1 0,矛盾；若&=1,%=4+1，由/%有 卬+1 1，矛盾.因此只能是。4=1，%=4 .又因为%=6+%或。4=4+。3+1，所以q=g或4=0.
20、若q=；,则/=4+G4+4+0,6?!+q+0+1)=2,2a,+1)=1,2,不满足=0,舍去.当q=0,贝Ua“前四项为:0,0,0,1,下面用纳法证明。4 +,=1,2,3)，4”+4 =+1(w N)：当=0时，经验证命题成立，假设当 利用性质：a+a4k+5_jjeN，,lj4k+4=k,k+l,此 时 可 得:a4k+5=k+l;否则，若a&k+5=k,取左=0可得：%=0，而由性质可得：。5=4+4 el,2,与%=0矛盾.同理可得：4+%*+&_/j e N*,1W/W 4%+5=伙,k+1,有*6=4+1；%+a4A&J j e M,2 W j W 4女 +6=伙+1,%+
21、2,有 a4k+i=k+2.aj+a4t+7.y I j G?/*,1 ./4 Z:+6)=Z:+1,又因为 a4A+7 0,b2=a2+p=Q,b4n_i=+p 0 ,S9-%=-“|0=-&*2+2=-(2-p)0 ,因 此P =2,此时4,生，4 o 0(j l l),满足题意.【点睛】本题属于数列中的“新定义问题”，“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.