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1、第二十讲双变量问题之极值点消元知识与方法一般地，设函数/（九）有两个极值点西、马，如果我们需要证明与/（%）和/（%）有关的 不等式，或者根据给出的与/（不）和/（9）有关的不等式，求参数的取值范围，由于有两个 变量（%和%）和参数，处理起来往往较为困难，这个时候可以运用石、是方程尸（x） = 0 的实根，来建立不、和参数的关系，消元化归成单变量问题处理.典型例题【例题】（2018 新课标I卷）已知函数f（x） = -x-anx.X（1）讨论了（另的单调性；（2）若存在两个极值点不、证明：,（%）一/伍）2时，令-（力=0得：%=-，。2-4或/= + 。2心,且当。，干a + Va2-4 +
2、qo 时，/，（力o,当7a-a1 -4 xe 2ci + J/ _ 42时，/（%）0 ,所以 /（X）在 0,6-47空F，+8）上单调递减，在纥尹笆斗单调递埴（2）由（1）知，当且仅当a2时，“X）存在两个极值点不、，且%、%是方程/ 一以+ 1 = 0的两根，所以玉+工2=。，药&=1，不妨设% 超知西1，0 X2 1 ,因为/（%）-/（）X -x2+alnXx2% -x26rln 1x91 +L-2 , xx2x -x2所以要证/(*)/(Jx -x24 2 ，an -只需证一区一2。一2 ，即证 x -x2In 土,也即证Xj -x2In - Xy x7 In - Xj x7 (
3、T),x2- x9由x)x2=1矢口 =,，代入式知只需证InX； %)-,即证21nx 西+ ,0 ,1)2-yLl),则 g(x) =1-=XX调递减，因为X1,所以g(xjg=。，从而21nx不+0 ,故不等式 %/(%)T “一2 成立.xl -x2【反思】消元思想是高中数学中基本思想方法之一，本题要证明的不等式/(内)/(占)_2中含有与、左和。三个变量，但它们之间显然是有关联的，可以利用 X)-x2X和x2是方程Y 以+ 1 = 0的两根这一层联系，来达到消元的目的.强化训练1 . (2009 全国II卷)设函数+aln(l + x)有两个极值点芭、x2,且石 、1-,0 上有一个
4、零点 / ,且 g(x)0o-xT) x + 117由题意，方程2工2+2工+。= 0在(一l,+oo)上有两个实根，注意到二次函数y = 2Y+2x +，的对称轴为x = -,所以2，解得：06Z 0 2(-1)2+2(-1) + 6/ = 6/0令r(x) = 0得：x =边卫里或由 22口“、- 2a +1 f- 2a 1且 / (%) 0 0 -1 x v或 x，/、V1 2a+1 2a 1/(x)0ox匚lI、1 r / ( 1 2a+1) ( 2a 1) , m、小( J1 - 2 +1I 2cl 1所以/(x)在-L-，-,+8 上单调递增，在-乙乙乙乙上单调递减.( (2)由(
5、1)可得 g -1,一一2) 1 A?x, ,0 ,且 2巧 + 2x)+a = 0,所以 a = 2x1 2%， 2 J代入/(%) = +E(1 + 工2)得：W)= -(2xf +2x2 jln(l +x2),令 g(x) = X -(2x1 J2 +2x)ln(x + l) , -x0 , 则 gr(x) =-(4x +2)ln(x +1) -升出上故)冶吗2 .设函数 = Jr? + Qn(x +1), 6/ e R .(1)若函数y = /(x)在1,+s)上是增函数，求。的取值范围；(2)若函数y = /(%)有两个极值点不、羽(占)，求证：。 /() 0所以, 、2/ 、，解得
6、:2(-1) +2(1) + = 0由韦达定理，X +工2 =-1，所以 =-1 一%2，由/(%2)=0得：+ 2x2+ (2 = 0 ,ci = -2x; - 2x)(1 1修e,0 ，其中令 g(M = F +2xln(l + x),-%0oxo xvO ,所以/(X)在-一,x0上单调递减，在(,0)上单调递增， 12 J(n( 1 A结合短 =1 ln40和5(0)= 0知/(x)0,从而g(x)在 ,0上单调递减， 2) 2 J1f(x1又 g(0)= 0 g =fIn2 , 所以。g(x)FIn2 ,0 fIn2 . 2 722Xi23 .设函数/(X)= - + bx-21n光
7、a.h e R)X(1)若a = b,且函数在定义域上是增函数，求。的取值范围；(2)若 b = l,且/(x)有两个极值点不、x2 (Xj x2),证明：/(x2) 0,XXX因为/(力在定义域上是增函数，所以以22X + QZ0恒成立，故C后二JCI 12r 2因为 =二x2+lx + 一X7 0一,0，解得：061 0因为/(X)有两个极值点为、当，所以方程X-2x + a =。在(0,+oo)上有两个实根,考虑到二次函数g(x) = f2x + 的对称轴是x = l,故只需g =。0此时，g(l) = l0从而 /(x2)-x2+1 =hx2.21nx2 -x2+ = x2-21nx2
8、 -1 工2令 (x) = x 21nx 1 (lx2),则“(x) = 0,所以/?(九)在(1,2)上单调递减, X从而,(X)力=。，故 W)0,所以/仇)0).(1)若直线 =20+根与函数y = /(x), y = g(x)的图象均相切，求实数的值；(2)设函数(x) = /(x) + g(x)-(a + 2)x + 3(i)证明:函数/z(x)有两个极值点不、%；(ii)对(i)中的两个极值点不、x2,若(xj + /z(%2)-。-3 ,求实数的取值范围.?1【解析】(1)由题意，f(x) = 4，令/(x) = 2e得：- = 2e,所以X xxe故直线y =2ex + z与函
9、数y = x)相切于点-,-2，代入y =2ex + /n得：2e,+ 2 = -2,从而直线y = 2ex-4与y = g(x)的图象相切，联立0,又o(0)= 20,所以e(x)在(0,+8)上有2个零点不，羽， 2a不妨设x 00(X)0 =。%2，/f(x)0(x)0oX xv/，所以力(%)在(O,xJ上单调递增，在(不)上单调递减，在(尤2,+8)上单调递增，从而力(%)有两个极值点X , x2.(ii) 由 (i)可得曰+马二4 + 4, xx2 = a - a以力(药)+ /1(%)=2111% H uXy (q + 4)%+ 3 + 2InX)H ax (。+ 4)/ + 3
10、212=21n(不/)+ %2) (Q + 4)(司 +) + 6 = 2In I。(玉 + X) 2XX) (q+ 4)2Q 2 L-= 2n- + -aa 2q + 42a )4 (q + 4)22 (。+ 42 a 8- + 6 = 21n+ 4 = 21na 2aala因为(玉)+ /?(x2) -a3,所以 21n2 2 q 3, 21n- + - + 30,所以加()在(O,y)上单调递增，又加(2) = 0,所以不等式M)= 21n2 + 3 + 30的解 a 2 a集为（0,2,故实数的取值范围为（0,2.19、5.已知函数/（x） = -（x-2y mnx （me R）,若函
11、数/（x）在定义域上存在两个极值点不、X2,且与 %2 （1）求实数机的取值范围；（2）证明：止）小）.% x2【解析】（1）函数“X）的定义域是（0,+00）,厂（司=（1-2）+上=匚汩”， XX/（X）有2个极值点等价于（%）有2个零点，即方程V -2x +m=0在（0,+8）上有2个不等A = 4 4/77 0一八 ，解得：0相1.m0（2）由（1）知不，（不马）是方程犬-2X +m=0在（0,+8）上的两个不等实根, x + x - 2所以,其中001%2 -1 +(2-x)ln(2-x,),设 9(x) = x-l +(2-x)ln(2-x) (0xl),贝 ij (x) = -ln(2 x) 0=。，故夕(不)=芯 _l +(2_xJln(2_xJ0 ,又见）一玉），所以这1 见1（）,故小）山1. X x2X, x2xl x2