《2021年普通高等学校招生全国统一考试模拟演练数学试题解析版(一).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021年普通高等学校招生全国统一考试模拟演练数学试题解析版(一).pdf（19页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2021年 1 月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试（八省联考）数学试题学校:姓名：班级：考号：一、单选题1 .已知M,N均为R的子集，且QVi N,则Mu（N）=（）A.0 B.M C.ND.R【答案】B【分析】由题意利用集合的包含关系或者画出住 图，结合以图即可确定集合的运算结果.【详解】解法一：YMM j N ,:.M =6RN,据此可得.M U（6RN）=M.故选：B.解法二：如图所示，设矩形A B C。表示全集上矩形区域A 8 H E表示集合M,则矩形区域C D E/7表示集合为M,矩形区域C。尸G表示集合N,满足3RM q N,结合图形可得：MU（a N）=M.故选：B.2.在
2、3张卡片上分别写上3位同学的学号后，再把卡片随机分给这3位同学，每 人1张，则恰有1位学生分到写有自己学号卡片的概率为（）1112A.-B.-C.-D.一6 3 2 3【答案】C【分析】由题意列出所有可能的结果，然后利用古典概型计算公式即可求得满足题意的概率值.【详解】设三位同学分别为A,a C,他们的学号分别为1,2,3,用有序实数列表示三人拿到的卡片种类，如（1,3,2）表示A同学拿到1号，8同学拿到3号，C同学拿到2号.三人可能拿到的卡片结果为:（1,2,3）,（1,3,2）,（2,1,3）,（2,3,1）,（3,1,2）,（3,2,1）,共 6种,其中满足题意的结果有（1,3,2）,（
3、2,1,3）,（3,2,1）,共3种,3 1结合古典概型计算公式可得满足题意的概率值为：6 2故选：C.【点睛】方法点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数.（1）基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时,要做到不重复、不遗漏.（2）注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.3.关于x的 方 程/+以+/,=0,有下列四个命题：甲：x =l是该方程的根；乙：x =3是该方程的根；丙：该方程两根之和为2；丁：该方程两根异号.如果只有一个假命题，则该命题是（）A.甲B.乙C.丙D.丁【答案】A【分析】对甲、乙、丙、丁分别是假命题进行分类讨论，
4、分析各种情况下方程f+以+/?=（）的两根，进而可得出结论.【详解】若甲是假命题，则乙丙丁是真命题，则关于%的方程/+办+人=0的一根为3,由于两根之和为2,则该方程的另一根为一1，两根异号，合乎题意；若乙是假命题，则甲丙丁是真命题，则x =l是方程V+以+人=（）的一根，由于两根之和为2,则另一根也为1，两根同号，不合乎题意；若丙是假命题，则甲乙丁是真命题，则关于X的方程f+以+/,=（）的两根为1和3,两根同号，不合乎题意；若丁是假命题，则甲乙丙是真命题，则关于“的 方 程/+办+人=0的两根为1和3,两根之和为4,不合乎题意.综上所述，甲命题为假命题.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题考
5、查命题真假的判断，解题的关键就是对甲、乙、丙、丁分别是假命题进行分类讨论，结合已知条件求出方程的两根，再结合各命题的真假进行判断.4.椭 圆 匚+与=1(加 0)的 焦 点 为 耳、F,上 顶 点 为A,若NF J A玛=g,则厂+1 m 3m=()A.I B.V 2C.7 3 D.2【答 案】C【分 析】分析出居 为 等边三角形，可 得 出。=20,进而可得出关于”的等式，即可解得加的值.【详 解】2 2在 椭 圆 一-F=1 (m 0)中，a-IITT+1,b=m,c=J a，-=,m+i m如下图所示：2 2因为椭圆 一 匕+二=1(m 0)的上顶点为点A，焦 点 为K、工，所以|AFJ
6、|=|A/S|-a,Q N6AK为等边三角形，则|筋|=忻 用，即=a=2c=2，因此，m=V 3 .故 选：C.5.已 知 单 位 向 量 满 足4 =0，若 向 量2=则s i n z,c=()A V 7 拒V 7 n V 2A.-B.C.-D.3 3 9 9【答 案】B【分 析】本 题 借 助co sa,c=将=+血石代入化简即可.【详 解】因 为 石 是单位向量，所 以 同=网=1.因为c=V?c i +/2 b，所以_a-c+友 利 y/la+l2 a-b J 7 J 7所以加神二r T所以 s i na,c=V 23故选：B.6.(l +X)2+(l +X)3+.+(l +X)9的
7、展开式中x 2的系数是。A.60B.80C.84D.120【答案】D【分析】(1+4+(1+x)3 +(1+4的展开式中/的系数是C；+C；+C；,借助组合公式：，+禺=G 1,逐一计算即可.【详解】(1+4+(1 +力3 +(1+力9的展开式中X?的系数是C；+C；+C：+C；因为 C；-+c；=C,N 且 c；=c；,所以 c；+c；=c；+c；=c：,所以第+c；+c：=c：+c；=c；,以此类推，C；+C；+C：+C j=+窃=C*=1 0 XX8=120.3 x 2x 1故选：D.【点睛】本题关键点在于使用组合公式：C+C；=C；、,以达到简化运算的作用.7 .已知抛物线)，2=2p
8、 x上三点A(2,2),B,C,直线A B,A C是圆(X 2)2+V=I的两条切线，则直线3c的方程为()A.x+2y +l =0B.3 x +6y +4=0C.2x +6y +3 =0D.x +3 y +2=0【答案】B【分析】先 利 用 点A(2,2)求抛物线方程，利 用相切关系求切线4B,A C,再分别联立直线和抛物 线 求 出 点8,。，即 求 出 直 线8 C方程.【详 解】42,2)在 抛 物 线y 2=2p x上，故2?=2 p x 2,即=1,抛 物 线 方 程 为 尸=2,设 过 点42,2)与 圆(2 y+V=i相切的直线的方程为：一2=攵(-2),即k x-y +2-2
9、 k =0,则 圆 心(2,0)到切线的距离=国 力7网=1,解得%=士 百，如图，直 线AB：y-2=g(x2),直 线A C:y 2=6(x2).联 立 卜 2=6(一2),得 力2+(46-14)犬+1 6-8 6 =0,y2=2 x 故央产若正，由4=2得无，故力=卒,联 立 卜：2=同-2),得 力2 _(4 6 +1小+16+8 6 =0,2=2X 故 3”!,由.2得“三，故 此=4一6,故 力+先27 3-6-2 -6-1-3 3-4 1又 由B,C在抛物线上可知,k=力 一%=%先=2=2-1直线 8 C 的斜率为 B C xB-xc-ly._ lyf yB +yc-A-22
10、J 3-6 1 (8-4百、故 直 线BC的 方 程 为y-=-x-,即3 x+6y +4=().故 选：B.【点 睛】方法点睛：求圆的切线的方程的求法：(1)几何法：设直线的方程，利用圆心到直线的距离等于半径构建关系求出参数，即得 方 程；(2)代数法：设直线的方程，联立直线与圆的方程，使判别式等于零解出参数，即可得方程.8.已知。5且ae，=5 e ,人 4且b e =4e,c 3且ce，=3 e，贝!J()A.cbaB.b c a C.acbD.a h 0,利用导数研究其单调性后可得”,Ac的大小.【详解】因为ae5=5e,a 0,同理人 0,c 0,令 x)=Jx0,则/，(尤，XX当
11、0 c xe 1 时，f (x)l时,/,(x)0,故在(0,1)为减函数，在(1,+8)为增函数，因为 ae Se,a5 ,故 上=J,即,f(5)=/(a),而 0 a 5,5 a故0 a l,同理0 1,0 c ),/(3)=/(c)因为“5)f(4)/,故 W)f(c),所以0 a/?c0,-0,.e./(x)0 ,1 +x故/(x)在(0,+8)单调递增，A正确；由/1(0)=。,当-I v x c O时,l n(l+x)0,当l n(l +x)0,/(x)0,所以.f(x)只有0一个零点，B错误；令 =-；，/(g)=l n g 1 =l n 2 1,故曲线y =/(x)在点(处切
12、线的斜率为_l n 2,C正确：由函数的定义域为(-1,+8),不关于原点对称知，/(x)不是偶函数，D错误.故选：A C【点睛】关键点点睛：解决本题时，利用函数的导数判断函数的增减性，利用导数的几何意义求切线的斜率，属于中档题.1 0.设z”z2,Z3为复数，z,*0,下列命题中正确的是OA.若 冈=闾，则 Z2=Z3B.若 Z/2=ZZ3,则 Z2=Z3C.若彳2=Z 3，则 上,卜 卜 。.若 平2=团2,则4=Z2【答案】B C【分析】取特殊值法可判断A D错误，根据复数的运算及复数模的性质可判断B C.【详解】由复数模的概念可知，|z21 T z 不能得到Z2=Z3，例如Z2=l +
13、i,Z3=l-Z,A错误；由 N R?=ZZ3 可得Z(Z2-Z3)=0 ,因为Z#0,所以 Z?-Z3=0,即 Z2=Z3,B 正确；因为 I 4 Z2HZ1 I I Z2I，|马马|=j Z|Z3l,而 为=Z 3,所以 1 2 2 H z 3|=|Z2I，所以忆 司=以 局,C正确；取Z1=l+i,z2=l-z,显然满足卒2=上/，但Z产Z?,D错误.故选：BC11.下图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中()A.AE/CDB.CH/BEC.DGA.BHD.BGVDE【答案】BCD【分析】由平面展开图还原为正方体，根据正方体性质即可求解.【详解】由正方体的平面展开图还原正方体如图，由
14、图形可知，A E 1 C D,故A错误；由HE/BC,HE=BC,四 边 形 为 平 行 四 边 形，所以C H/B E,故B正确；因为DG上HC,DG上BC,HCCBC=C，所以DG上平面BHC,所以DG上BH,故C正确；因为BGHAH,而所以3G _LE,故D正确.故选：BCD12.设函数/(%)=竺4一，则()2+sinxcosxA./(x)=/(x +)B.f(x)的最大值为:C.f(x)在(-?,()单调递增D.7(x)在(0,单调递减【答案】AD【分析】先证明f(x)为周期函数，周期为万，从而A正确，再利用辅助角公式可判断B的正误,结合导数的符号可判断C D的正误.【详解】cos
15、2x/(X)的定义域为R，且/(X)=-，2+sinxcosx/(%+)=cos(2x+24)2+sin(x+)cos(x+)cos 2%2+sinxcosx=/(x),故A正确.又 以x)=2cos2x4+2sinxcosx2cos2x4+sin 2xA2cos2x令、二-4+sin 2x则 4y=2cos2 x-y sin 2x=14+y?cos(2x+),2 y其中 COSQ=i,sm=iV4+r 44+y-,B n 2/4,2yf15 1 B P y ,故-y ,15 15 15当 y=2-时,有cos9=#,sinQ =；,此时cos(2x+0)=l 即=%万 一 故 丁 侬=誓，故
16、B错误,2(-2sin 2x)(4+sin 2x)-2cos22x-4(1+4sin 2x)f(X)=：72=72，(4+sin 2x)(4+sin 2x)当寸，/(x)0,故/(x)在(0,()为减函数，故D正确.当x e(一时，一l sin 2 x 0,故一3l+4sin2x 0即/8)X =-/(幻，即是奇函数；根据最小正周期T=2 =2,可得0 =万.C D故函数可以是/(x)=A si n乃(A/0)中任一个，可取/(x)=si n;rx.故答案为：/(x)=si n;rx.1 5 .对一个物理量做次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果.已知最后结果的误差邑N(0,2 ,
17、为 使 误 差 在(-0.5,0.5)的概率不小于0.9 5 4 5,至少要测量_ _ _ _ _ 次(若 x ,则 p(|X-|2b)=0.9545).【答案】32【分析】0.9545,要使误差%在(-。5,0.5)的概率不小于则(-2cr,M+2cr)u(-0.5,0.5),得到不等式计算即可.【详解】根据正态曲线的对称性知：要使误差%在(-0.5,0.5)的概率不小于0.9545,则(4一27,+27)(=(-0.5,0.5)且=0,(712n所以 0.522*/2 0 232.V n故答案为：32.【点睛】本题是对正态分布的考查，关键点在于能从邑 读出所需信息.四、双空题1 6.若正方
18、形一条对角线所在直线的斜率为2,则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为，.【答案】|-3【分析】先设对角线的倾斜角。，利用斜率定义列关系tan6=2,结合正方形性质求得直线。4与直线0 8的倾斜角，计算正切值求斜率即可.【详解】正方形0ABe中，对角线。8所在直线的斜率为2,建立如图直角坐标系,设对角线。8所 在 直 线 的 倾 斜 角 为 则tan6=2,由正方形性质可知，直线Q 4的倾斜角为9-45。，直线0 8的倾斜角为6+45。,故 Z.A=tan(e 45)t a n t a n 45 _ 2-11+tan 6 tan 450 1 +2_3A08=tan(e+45)=tan 2 2
19、RC O C O SN 8D C =，2BC=-,2(2)设B C =x,则A B =2 x,整理可得x?+2 x 2 =0，因为x 0,W-Mx=5/3 1 在A 3。中，A B2+B D2-A D2 4X2c os Z A B D =-=-=x ,2 A B B D 4 尤在 B C D中，f B D1+C D2-B C2 2-x2c os Z.BDC=-=-，2B D C D 2由(1)可知，2-x2N B D C =Z A B D,所以，cosZBDC=c o s Z A B D,即-=x,2因此，c os Z B D C=c os Z A B D=x =7 3 -1.【点睛】方法点睛
20、：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：(1)若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；(2)若式子中含有。、b.c的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；(3)若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；(4)代数式变形或者三角恒等变换前置；(5)含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；(6)同时出现两个自由角(或三个自由角)时，要用到三角形的内角和定理.19.一台设备由三个部件构成，假设在一天的运转中，部 件1,2,3需要调整的概率分别为0.1,0.2,0.3,各部件的状态
21、相互独立.(1)求设备在一天的运转中，部 件1,2中至少有1个需要调整的概率；(2)记设备在一天的运转中需要调整的部件个数为X,求X的分布列及数学期望.【答案】0.28；分布列见解析,(X)=0.6.【分析】(1)由题意利用对立事件概率公式即可求得满足题意的概率值；(2)首先确定X可能的取值，然后分别求解其概率值，最后确定其分布列并求解数学期望即可.【详解】(1)设部件1需要调整为事件A,部件2需要调整为事件B,部件3需要调整为事件C,由题意可知:尸 =0.1,P(B)=0.2,P(C)=0.3.部 件1,2中至少有1个需要调整的概率为：1-1-P(A)i-P(B)=1-0.9x0.8=1-0
22、.72=0.28.(2)由题意可知X的取值为0,1,2,3.且：P(X=O)=1 P(A)J P(3)1 P(C)=(l-0.1)x(l-0.2)x(l-0.3)=0.504,=0.398,=0.092.P(X=3)=P(A)P(JB)P(C)=O.lxO.2xO.3=O.(X)6,故X的分布列为：X0123P(x)0.5040.3980.0920.006其数学期望：E（X）=0.5 0 4x 0+0.3 9 8 x l+0.0 9 2 x 2+O.（X）6 x 3 =0.6.【点睛】思路点晴：求离散型随机变量X的数学期望的一般步骤：（1）先分析X的可取值，根据可取值求解出对应的概率；（2）根
23、 据（1）中概率值，得到X的分布列；（3）结 合（2）中分布列，根据期望的计算公式求解出X的数学期望.2 0.北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如：7 T正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是不，所以正四面体在各顶点的曲率为2乃一3、工=乃，故其总曲率为4万.3（1）求四棱锥的总曲率；（2）若多面体满足：顶点数-棱数+面数=2,证明：
24、这类多面体的总曲率是常数.【答案】（1）4 7；（2）证明见解析.【分析】（1）四棱锥的总曲率等于四棱锥各顶点的曲率之和，写出多边形表面的所有内角即可.（2）设顶点数、棱数、面数分别为、I、m,设第i个面的棱数为七，所以玉+X,”=2 ,按照公式计算总曲率即可.【详解】（1）由题可知：四棱锥的总曲率等于四棱锥各顶点的曲率之和.可以从整个多面体的角度考虑，所有顶点相关的面角就是多面体的所有多边形表面的内角的集合.由图可知：四棱锥共有5个顶点，5个面，其中4个为三角形，1个为四边形.所以四棱锥的表面内角和由4个为三角形，1个为四边形组成，则其总曲率为：2乃x5-（4乃+2不）=4不.（2）设顶点数
25、、棱数、面数分别为、I、m ,所以有一/+m=2设第i个面的棱数为 ,所以x+X,”=2 1所以总曲率为:所以这类多面体的总曲率是常数.【点睛】本题考查立体几何的新定义问题，能够正确读懂“曲率”的概率是解决问题的关键.2 22 1.双曲线C:=l（a 0力 0）的左顶点为A,右焦点为F ,动点8在C上.当ar b-时，|A E|=|8 b|.（1）求C的离心率；（2）若3在第一象限，证明：Z B F A =2 Z B A F.【答案】（1）2；（2）见解析.【分析】b2（1）根据已知条件可得幺=a+c,据此可求离心率.a 设 8a，治），则 t a n Z B F A =-,t a n Z B
26、 A F =,再计算 t a n 2Z B A F,C*（）利用点在双曲线上化简后可得t a n Z Z B A/ut a n N B E A ,从而可得结论成立.【详解】,(从(1)设双曲线的半焦距为C,则尸(c,o),B c,-ab2因为 1 A/71=1 8 b|,故 一=+c,故,2 Q C 2/二a故 e =2.(2)设8(%),其 中%因为 e =2,故。=2。，b=6a ,故渐近线方程为：y=+y/3 x,所以N 8 A E e(0，W)又 t a n/8 E 4=-_=,t a n N 8 A F =x0-c xQ-2 a2%所以 t a n 2的*/，=2%(x+a)=.所以
27、 +)*X o +%、7二0，即e 2-e-2 =0，,Z B F A e(0仔)，%+Q，2%(公+。)xQ+a y -b2 存1 a 7/=t a n N B F A,x0-2 a因为故 2 N B A P e o,4故 N B E 4=2 N 8 4 尸.【点 睛】方法点睛：(1)圆锥曲线中离心率的计算，关键是找到d c一 组 等 量 关 系(齐 次 式).(2)圆锥曲线中与有角有关的计算，注意通过动点的坐标来刻画角的大小，还要注意结合点在曲线上满足的方程化简目标代数式.2 2.已 知 函 数/(x)=e*-s i n x-c o s x,g(x)=e*+s i n x +c o s x
28、.(1)证 明：当尤一二 时，/(x).O；4(2)若g(x).2 +o x,求a .【答 案】(1)证明见解析；(2)。=2.【分 析】(5 7 r 7 C(乃、由 题 意 分 类 讨 论 当-一 了o j,X G0,+O O),几种情况即可证得题中的结论.5 7 rST T(2)观察(1)中的结论，首先讨论 尤 一 二 时4的取值，然 后 验 证 当 国,-现 时 不 等 式 成4 4立即可求得实数。的值.【详 解】(1)分类讨论：.当无(-第，一(,/(x)=e 啦s i n x+?0：.当 时，(x)=ex-c o s x+s i n x,f(0)=0，fx)=ex+s i n x +
29、c o s x =e*+0s i n x +(0,则 函 数/(x)在上单调增，则/(x)0-从而函数/(%)=6-$1 1 1%85%之 一%1 2 0；综上可得，题中的结论成立.（2）当x 乃时,4则/(X)=ex+c o s x-s i n x-c z,=/(x)0,故”(x)单调递增,当。2时，4(0)=2-0,/(i n(a+2)=2-7 2 s i n l n(a +2)-0,3%!(0,1 1 1(。+2)使得(3)=0,当0 x 玉时，（x）0,（x）单调递减，M x）M）=0不符合题意;当a 2时，（0）0,若在X G手0）上，总有（X）2 0（不恒为零）,51,+8上为增函
30、数，但/?（）=0,/z(x)0,不合题意.(x)0 有解,故切且当/x O,(x)单调递增，故当(工2,0)时，(x)(0)=0,不符合题意;故。2不符合题意，当 a=2 时，(x)=e*+c o s x-s i n x-2,由于(x)单调递增，(0)=0,故：-；%x0时，(x)0时，/z(x)O,(x)单调递增，此时(x)N/z(O)=O ；综上可得，a=2.【点睛】对于利用导数研究不等式问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题；3、根据恒成求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，通常要设出导数的零点，难度较大.