《2021年全国高考理数真题试卷（全国甲卷）(答案+解析).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021年全国高考理数真题试卷（全国甲卷）(答案+解析).pdf（26页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2021年高考理数真题试卷（全国甲卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（共12题；共60分）1.设集合乂=x|0 x 4 ,N=x|x 5,则 M nN=（）A.x|0 x B.x|x4 C.x|4x5 D,x|0 x511332.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：箜o.2o.0.14.0.100.04.0.02.j：0 /2 5 35 0,乙：Sj 是递增数列，则（）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的
2、充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件8.2020年 12月 8 日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.右图是三角高程测量法的一个示意图，现有以A,B,C 三点，且 A,B,C在同一水平而上的投影A，E，C 满足.由c 点测得B 点的仰角为15。，曲，4 C B =4 5 D 8 C =6 0 与 的差为100：由 B 点测得A 点的仰角为45。，则 A,C两点到水平面 的高度差BB cCA B C约 为（）AA-CC(y/3 1.7 3 2 ；D.473B.C.A.7T造5V53V15T10.将4 个 1 和
3、 2 个 0 随机排成一行，则 2 个 0 不相邻的概率为()A.B.C.D.122353C11.已知A,B,C是半径为1 的求O 的球面上的三个点，ACBC,AC=BC=1,则三棱锥O-ABC的体积为()A.B.C.D.逛 迈V2涯12 124412.设函数f(x)的定义域为R,f(x+l)为奇函数，f(x+2)为偶函数,当时，.若4口,2 f(x)=a +6，则()K0)+f(3)=6 6=A.B.C.D._ 9_ 3754 242二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分。(共4 题；共 20分)13.曲线 在 点(-1,-3)处的切线方程为 oy -x+214.已知向量 a=
4、(3,l),b=(l,0),若 2_1:,则 1k)0.0500.0100.001K3.8416.635a 10,82818.已知数列 an的各项均为正数，记 Sn为 an的 前 n 项 和，从 下 面 中 选 取 两 个 作 为 条 件，证明另外一个成立.数 列 an是等差数列：数 列 是等差数列；a2=3aiVSn注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.19.已知直三棱柱ABC-AiBiCi.中，侧 面 AAiBiB为正方形，AB=BC=2,E,F 分 别 为 AC和 CCi的中点，D 为棱 AiBi 上的点，BF AiBi.(1)证明：BFXDE；(2)当 为 BiD何值时，面
5、 BBiCiC与 面 DFE所成的二面角的正弦值最小？20.抛 物 线 C 的顶点为坐标原点0,焦 点 在 x 轴上，直 线 L：x=lX C P,Q 两点，且 OP1.OQ.已 知 点 M(2,0),且 M 与 L 相 切，OO(1)求M 的方程;(2)设 A1,A2,A3,是 C上的三个点，直线A1A2，A1A3均与 M 相切，判断A2A3与 M 的位置关系，O O并说明理由.21.己知 a0 且 a w l,函数 f(x)=(x 0),xaax(1)当 a=2时，求 f(x)的单调区间；(2)若曲线y=f(x)与直线y=l有且仅有两个交点，求 a 的取值范围.四、选修4 一 4：坐标系与
6、参数方程(共1题；共10分)22.在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为P=2 cosS.V2(1)将 C的极坐标方程化为直角坐标方程：(2)设点A 的直角坐标为(1,0),M 为 C上的动点，点 P满 足 一 =_ _,写 出 P 的轨迹J的参数方AP MAM程，并判断C与 C1是否有公共点.五、选修4 一 5：不等式选讲(共1题；共10分)23.已知函数 f(x)=|x-21,g(x)=|2x+3|-|2x-l|.(1)画出f(x)和 y=g(x)的图像；(2)若 f(x+a)g(x)，求 a 的取值范围.2021年高考理数真题试卷（全
7、国甲卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（共12题；共60分）1.设集合乂=x|0 x 4 ,N=x|x5,则 M nN=（）13A.x|0 x B.x|x4 C.x|4x5 D.x|0 x51133【答案】B【考点】交集及其运算【解析】【解答】解：M nN即求集合M,N的公共元素，所以MnN=x x 0.5,故 D 正确故不正确的是C故答案为：C【分析】根据频率分布直方图直接求解即可.3.已知，则z=()(1 =3+2jA.-1-i B.-1+i C.-+i D.-i3 3 3 32 2 2 2【答案】B【考点】复数代数形
8、式的混合运算【解析】【解答】解：3+2t 3+2i(3+2t)f-2+3t.3.z=TT=7r=-=1+Il故答案为：B【分析】根据复数的运算法则直接求解即可.4.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记数法的数据V满 足L=5+lgV。已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记数法的数据约为()(=1.259)烟A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6【答案】C【考点】指数式与对数式的互化，对数的运算性质【解析】【解答】解：由题意得，将L=4.9代入l=5+lgV,得lgV=-0.1=
9、,110所以V=10弋=X 0.8VlO 1.259故答案为：C【分析】根据对数的运算法则，结合对数式与指数式的互化求解即可.5.已知Fi,F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且N FIPF2=60。，|PFI|=3|PF2|,则C的离心率为()A.B.C._ D._V7 Via/7 V132 2【答案】A【考点】双曲线的定义，双曲线的简单性质【解析】【解答】解:由|PFI|=3|PF2|,|PF“-|PF2|=2a得|PFi|=3a,|PF2|=a在 FFF2中,*|FIF2|2=|PFI|2+|PF2|2-2|PFI|PF2|COSZ F1PF2得(2c)2=(3a)2+a2-2x3a
10、xaxcos60。解得e=亘所以故答案为：A【分析】根据双曲线的定义，结合余弦定理以及离心率公式直接求解即可.6.在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E,F,G.该正方体截去三棱锥A-EFG后，所得多面体的三视图中，正试图如右图所示，则相应的侧视图是（）【答案】D【考点】简单空间图形的三视图，由三视图还原实物图【解析】【解答】解：由题意得正方体如图所示,则侧视图是故答案为：D【分析】根据三视图的画法求解即可.7.等比数列 a。的公比为q,前 n 项和为Sn,设甲：q 0,乙：Sn是递增数列，则（）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D
11、.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】【解答】解：当ai=-l,q=2时，Sn是递减数列，所以甲不是乙的充分条件；当 Sn是递增数列时，an+i=Sn+1-S n 0,即a iq O,贝Iq 0,所以甲是乙的必要条件；所以甲是乙的必要条件但不是充分条件.故答案为：B【分析】根据充要条件的判定，结合等比数列的性质求解即可.8.2020年1 2月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m）,三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.右图是三角高程测量法的一个示意图，现有以A,B,C三点，且A,B,C在同一水平而上
12、的投影A，B，C满足.由c点测得B点的仰角为15。，曲，4 C B=45 ,4 8 C=60 与B.CC的差为100：由B点测得A点的仰角为45。，则A,C两点到水平面 的高度差A B CA.346B.373C.446D.473【答案】B【考点】正弦定理，正弦定理的应用【解析】【解答】解：如图，过C作BB，的垂线交BB，于点M,过B作AA，的垂线交AA厅 点N,设 BC=CM=m,AB=BN=n,在 A B C中，由正弦定理得m _ nsin75 sin45在 BCM中，由正弦定理得m _ 100sin75 sinlS则，解得，_ MO 200 C hsin45*-sinlS 71=X 273
13、得A,C两点到水平面A B C的高度差AA-CC=273+100=373.故答案为：B【分析】根据正弦定理求解即可.9.若Q e/1/AJr、人_ _cosa，则tana=()2 2 s 2-sinaA.B.c.百V5775TD.V153【答案】A【考点】二倍角的正弦公式，二倍角的余弦公式，同角三角函数间的基本关系，同角三角函数基本关系的运用【解析】【解答】解：由题意得c gin2a 2sinacosa cosatanza=-=-=：-cos 2 a l-2sm2a 2-sma则c ，解得s i n a=,2sina（2 sina）=1-2sin2a i4又因为，所以a e cosa=Vl-s
14、in2 a=受所以sinatana=-=一cosa 15故答案为：A【分析】根据二倍角公式，结合同角三角函数基本关系求解即可.10.将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）A.B.C.D.12 2 43 5 3 5【答案】C【考点】古典概型及其概率计算公式，排列、组合的实际应用，排列、组合及简单计数问题【解析】【解答】解：将4个1和2个0随机排成一行 共有 种排法，盘先将4个1全排列，再用插空法将2个0插入进行排列，共有 种排法，C2则所求概率为P=或 3故答案为：c【分析】根据古典概型，结合插空法求解即可.11.已知A,B,C是半径为1的求。的球面上的三个点，且AC，BC,A
15、C=BC=1,则三棱锥。-ABC的体积为（）A.B.C.D.Vz V5 V5 V312 12 4 4【答案】A【考点】球面距离及相关计算，棱柱、棱锥、棱台的体积【解析】【解答】解：记 ABC的外接圆圆心为。1 ,由AC_LBC,AC=BC=1知01为A B的中点，且AB=OC=又球的半径为1，所以0A=OB=OC=1,所以OA2+OB2=AB2,则 OO12+OC=OC2则 OO1_LO1C,OO1AB,所以OOiJ平面ABC,所以%3 c =”3 c ，。工=9”1，=当故答案为：A【分析】根据直角三角形的几何性质，结合三棱锥的外接球的性质，运用三棱锥的体积公式直接求解即12.设函数f(x)
16、的定义域为R,f(x+l)为奇函数，f(x+2)为偶函数，当时，.若xe l,2 f(0)+f(3)=6【答案】D【考点】函数奇偶性的性质，函数的值【解析】【解答】解：因为f(x+l)是奇函数,所以f=0,即 a+b=O,则 b=-a,又 f(0)=f(-l+l)=f(-l+2)=f(l)=0,由 f(0)+f(3)=6 得 a=-2,所以/(；)=/(2+9=/(2-；)=/(-3=/(-+)=-/&+2)故答案为：D【分析】根据函数的奇偶性，利用函数的性质求解即可.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。(共4题；共20分)13.曲线 在 点(-1,-3)处的切线方程为.【答案】5
17、x-y+2=0【考点】导数的几何意义，直线的点斜式方程【解析】【解答】解：由题意得所以在点(-1,-3)处的切线斜率k=5,故切线方程为y+3=5(x+l),即 5x-y+2=0故答案为：5x-y+2=0【分析】根据导数的几何意义，结合直线的点斜式方程求解即可.14.已知向量 a=(3,l),b=(lz0),若 a _ L c,则 k二c =a +k b【答 案】103【考点】平面向量的坐标运算，数量积判断两个平面向量的垂直关系【解 析】【解 答】解：_ ,c=a+kfe=（3,1）+fc（l,0）=（3+kt 1）由T 一得-t ，解得a le ac=3（3+k）+l=0=_ 12故答案为：
18、_ 103【分 析】根据向量的坐标运算，结合向量垂直的判断条件求解即可.15.已知Fi,F2为 椭 圆 C：的两个焦点，P,Q 为 C 上关于坐标原点堆成的两点，且2 2X-+4 =116 4,则 四 边 形 PF1QF2的面积为_ _ _ _ _ _ _ _ _。IPQI=IpiFzl【答 案】8【考 点】椭圆的定义，三角形中的几何计算【解 析】【解 答】解：由|PQ|=|F1F2|,得|OP|=IF1F2I，所 以 PF1J.PF2，所以Sp%QF2=ZSgpFa=2 x x tan；=8故答案为：8【分 析】根据椭圆的定义及直角三角形的性质，结合三角形的面积公式求解即可16.已知函数 的
19、部分图像如图所示，则满足条件心）=2cos（s x+中）的 最小正整数x 为。w-K-T）（r w -/（?）0【答 案】2【考 点】一元二次不等式的解法，余弦函数的图象【解析】【解答】解：由 得T=H,3=23T _ 13 x z _ 2 x4-1.2 2 1 4将点 代 入，、，、，得(1,o)1)=28S(2X+M 28s(2X*)=0则，2 x x-+(P=32所以0则 L 或，、/(x)1由图象得最小整数二仁）所以x=2故答案为：2【分析】根据余弦函数的图象与性质求解即可.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第1721题为必考题,每个试题考生都必须作答。第2
20、2、23题为选考题，考生根据要求作答。（共5题；共60分）1 7.甲、乙两台机床生产同种产品,产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了 200件产品，产品的质量情况统计如下表：一级品 二级品 合计甲机床15050200乙机床12080200合计270130400（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?附：心 _ _ _ _ _ _ _ _ _ 一（ad-bc）2 _5+d，P(K,Nk)0.0500.0100.001K3.8416.635 10.828【答案】(1)(1
21、)由题意可知：甲机床生产的产品中一级品的频率是：150 _ 3200-4乙机床生产的产品中一级品的频率是：120 _ 3200-5(2)由于s 400+(150X80-50X120)2 400 4 nK.=a lU/5b x270X130X200X200 39所以，有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异。【考点】频率分布表，独立性检验，独立性检验的应用【解析】【分析】(1)根据频率=频数/总体直接求解即可;(2)根据独立性检验的方法直接求解即可.18.已知数列 an的各项均为正数，记Sn为 an的前n项和，从下面中选取两个作为条件，证明另外一个成立.数列 a 是等差数列：数
22、列 _ 是等差数列；(3)a2=3aiVS注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.【答案】选作条件证明：设_，则,.yJSn=an+b(a 0)Sn=(an+b)2当 时，,;n=1=S=(a+b)2当 时，,；n 2 an=Sn-5n_i=(an+by (an-a+fe)2=a(2an-a+2b)因为 也是等差数列，所以 4,解得(a+h)2=Q(2Q Q+2b)b=0所以，an=a(2n 1),所以选作条件证明：因为，是等差数列,a2=3al anJ所以公差d=G-n -*Q=2al所以，即_Sn=篦5 +中d=篦 J5n=恒Tl因 为 _ l ,JSn+1-=丫工(+1)y/u
23、n=y/d 所 以 一 是 等 差 数 列.同选作条件证明：设_ ，则，J S n =an+b(a 0)Sn=(a n +b)2当 时，,：n =1 at=Sx=(a +b)2当 时，,n 2 an=Sn-5rI T=(a n +by-(an-a +h)2=a(2an-a +2b)因为，所以，解得 或；a2=3al a(3a+2b)=3(a +b)2 b=0 h 当 时，当 时，满足等差数列的定义，此时b=。a1=a2,an=a2(2n-l)n 2 册 0n l=2 a 2 5)为等差数列；当 时，不合题意，舍去.b=an+b=an-a 阳=一；0)%)也是等差数列，进一步递推出；=3。工若
24、选 作 条 件 证 明 ：由 ，显然 再写出前n项的和与ai,n的关系式Q 0)Sn=(a n +b)2Sn的关系，分n为1,nl,推导出，显然 为等差数列。=2a2&19.已知直三棱柱ABC-AiBiQ中，侧面AAiBiB为正方形，AB=BC=2,E,F分别为A C和C J的中点，D为棱 AiBi 上 的 点,BF AiBi.(1)证明：BF DE；(2)当为Bi D何值时，面 BBi GC与面DFE所成的二面角的正弦值最小？【答案】因 为 三 棱 柱.CT出 q是直三棱柱，所以 底面，所以BB，1 ABC BBi 1 AB因为，A、B“AB又BBi n BF=B,所以BF LAB,所以AB
25、 1平面BCC0BF LAXBX所以 BA,BC,BB1两两垂直.以 为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图.x.y.zB(0,0,0),4(200),C(0,2,0),a(0,0,2)*式 202),Q(0,2,2)E(l,l,0),F(0,2,l)由题设().D(a,0,2)0 a 0),P(l,yo),(2(l,-yo)v OP 1 0Q,二 OP OQ=1 y j=1-2p =0,/.2p =1所以抛物线 的方程为C y2=x与 相切，所以半径为M(O,2),0M x =l 1所以的方程为,.0 M(x -2)2+y2=1(2)设A 1)，A 2(%2,旷2)，A 3(
26、%3,%)若斜率不存在，则 方程为 或力 会41幺2 X =1 X 3若 方程为，根据对称性不妨设AZA2 X =1 冬(14)则过 与圆 相切的另一条直线方程为4 M y=1此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在，不合题意;心若 方程为，根据对称性不妨设 厂 厂AXA2 r =3 A1(3.V 3)M2(3,-V 3),则过 与圆 相切的直线 为A i M y-V3=(x-3)又卜“3-*l-*3 _ _1l+3 V3+3i _ Va,此时直线 关 于 轴 对 称,%3=0 3(0,0)A1A3,A2A3 x所以直线 与圆 相切;z a A f若直线 斜率均存在,A a.A n A a A
27、 z a则一 yy2*-1y l+力k，2%力+力所以直线 方程为冬冬 丫 _%=烹(一%)整理得，%一 仇=0同理直线 的方程为，%-佻+纥 加+%为=0直线 的方程为，A2A3 无一小+y3)y+y2y3=。与圆 相切，v ArA2 M.J2+:M=整理得，(y j _ i)r2+2y,2+3-资=o与圆 相切，同理A 出 M(y?-i)y +2%必+3-资=0所以 为方程 的两根,y2 y3(y 7-i)y2+2y i y+3-y f =o1+(-令.2y i 3-5i%+y3=一声 丹=算工到直线 的距离为：M 2,3|2+y2y3|V l+(y2+y3)212+3 一资资 T2|+川
28、 _ 代+1_、丘-以+4其 犬+1所以直线 与圆 相切；242 A2 A/综上若直线 与圆 相切，则直线 与圆 相切.Af4会4 a A/【考点】平面向量的综合题，圆的标准方程，点的极坐标和直角坐标的互化，圆的参数方程【解析】【分析】d)先设抛物线的方程“=2雁。),由对称性，可知P(L%),Q(L-y。)进而由 可以很容易求出抛物线的P值，进而写出抛物线的方程;OP 1 OQ.由于圆M 的圆心已知，且与x=l相切，立刻知道半径，故很容易求得M的方程；(2)先设出 三点的坐标，分 斜率不存在及直线冬(冬月)，4。2，%)，4(0，必)4 出斜率均存在讨论，分别写出相应的直线方程，根据相关直线
29、与圆相切的条件，分别代入抛物线方程，利用达定理，点到直线距离公式等知识，推导结论。21.己知a 0且aw l,函数f (x)=(x 0),(1)当a=2时，求f (x)的单调区间；(2)若曲线y=f (x)与直线y=l有且仅有两个交点，求a的取值范围.【答案】(1)当 时，得，当 时，当 时，(幻=0%=三 o x 第 三 f(%)0 g(x)在 上，单调递减;(4+河 g(X)0 g(x)g(x)2=g(e)=:又，当 趋近于 时，趋近于0,9(1)=0 X+8 g(x)所以曲线 与直线 有且仅有两个交点，即曲线 与直线 有两个交点的充y=/(*)y =i y =g。)V=_E_分必要条件是
30、，这即是0!22 0 g(a)g(e)所以 的取值范围是a(l,e)u(e,+8)【考点】函数的单调性与导数的关系，导数在最大值、最小值问题中的应用【解析】【分析】（1）当a =2时，函数用导数研究其单调性;r2/2x(x-y/Z)2+y2=2即曲线c的直角坐标方程为(x-V2)2+y2=2(2)设，设 l r-P(x,y)M(V2 +j2cos0,V2sin0),AP=(x l,y)=V2(V2+y/2cos9-1,V2sin0)=(2+2cos0 J2,2sin0)则 广，即 厂 ，1=2+2cos8-V2 rX=3-J2+2cos0I y=2sind y=2sin0故P的轨迹 的参数方程
31、为 (为参数)Cj=3-V2+2cos8 et y 2sin0曲线C的圆心为 L ,半径为，曲线 的圆心为 L ，半径为2,(V2,o)V2 C(3-V 2,0)则圆心距为，两圆内含，3-2 0 7 3-2V2/2cos0 p2=2j2pcos0替换x=pcos0Ay=psin/即可得到C的直角坐标方程；（2）先 设 及M L L L 再由一 一，建立X,y与的关系式，此即点P（x,y）（0+在 cos8,、Csin8）AP=y/2AM 0P的轨迹C i的参数方程，进一步化成直角方程（圆），最后根据两圆圆心距，判断位置关系。五、选修4 5：不等式选讲（共1题；共10分）23.己知函数 f（x）
32、=|x-21,g（x）=|2x+3|-|2x-l|.【答案】（1）可得，画出图像如下:r（x）=|x-2|=2 2-4tx -2画出函数图像如下:g(x)=|2x +3|2x 1|=4 x+2,=x 。(乃 y=f(%)a0当 过 时，解得 或(舍 去)，y =/(x +a)联|+a-2|=4 a =y-之则数形结合可得需至少将 向左平移 个单位，y=f 7*【考点】函数的图象与图象变化，分段函数的解析式求法及其图象的作法，不等式的综合【解析】【分析】(1)先去绝对值将二函数解析式写成分段函数物形式，然后分段作图；(2)将上面两个函数图象画在同一个直角坐标系内，(注意f(x+a)与f(x)图象的关系)，由f(x+a)2g(x),确定a的取值范围。