《2021年山东省聊城市高考数学模拟试卷（三）（三模）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021年山东省聊城市高考数学模拟试卷（三）（三模）.pdf（25页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2021年山东省聊城市高考数学模拟试卷（三）（三模）一、单项选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，满分40分。在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的1.（5 分）己知集合4=1,2 ,B=a,/+3 ,若 A C B=1 ,则实数。的 值 为（）A.1 B.-I C.2 D.-22.（5 分）已知aR,i 为虚数单位，若生迅为实数，则 a 的 值 为（）2+4iA.3 B.2 C.上 D.卫2 3 3 223.（5 分）函数f（x）=T 的图象大致为（）4.(5 分)已 知 直 线/：(“-1)x+y-3=0,圆 C：(x-1)2+9=5.则 =1 是 /与C 相切”的（）A.必
2、要不充分条件 B.充分不必要条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.（5 分）声强级。（单位:48）由公式LT=1 0 1 g（二）给出，其中为声强（单位：W/nr）.一1 0-1 2般正常人听觉能忍受的最高声强级为1 2（WB,平时常人交谈时强级约为6 0 48,那么一般正常人能忍受的最高声强是平时常人交谈时声强的（）A.I O4倍 B.d倍 C.心 倍 D.I O7 倍6.（5 分）在某次脱贫攻坚表彰会上，共 有 3 6 人受到表彰，其中男性多于女性.现从中随机选出2人作为代表上台领奖，若选出的两人性别相同的概率为工，则受表彰人员中男2性人数为（）A.1 5 B.1 8 C.2 1
3、D.1 5 或 2 17.（5 分）在AB C 中，A B=3,A Q=4,1 8 c l =5,“为 B C 中点，。为AB C 的内心,Ji.A0 =X AB +IJ l AM.则 入+=（）56A-nC.D.12 b 0）上的三点，直线A 3经过原点b228.（5分）已知A,B,C是双曲线三一一2aO,A C经过右焦点R 若B/_ LAC,且 乐 得 而，则该双曲线的离心率为（）A亨ciD-f二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对得2分，有选错的得。分9.（5分）对具有相关关系的两个变量x和y进行回归分析
4、时，经过随机抽烂获得成对的样本点数据（x i,yi）（i=l,2,），则下列结论正确的是（）A.若两变量尤，y具有线性相关关系，则回归直线至少经过一个样本点B.若两变量x,y具有线性相关关系，则回归直线一定经过样本点中心丘，y）C.若以模型=4/*.拟合该组数据，为了求出回归方程，设z=/y,将其变换后得到线性方程z=6 x+加3,则a,b的估计值分别是3和6.n _E（y-yp2D.用 产=i 一个-来刻画回归模型的拟合效果时，若所有样本点都落在一条Z（Y i-y）2i=l斜率为非零实数的直线上，则N的值为11 0.（5分）将函数y=s i n2 x+c o s 2 x+l的图象向右平移三个
5、单位长度，再将所有点的横1 2坐标缩短到原来的工，纵坐标不变，得到函数g （x）的图象，则下面对函数g（X）的叙2述中正确的是（）A.函数g （x）的最小正周期为三2B.函数g （无）图象关于点（令，0）对称C.函数g （x）在 区 间 小，看 内单调递增D.函数g （x）图 象 关 于 直 线 对 称1 211.（5 分）已知实数。、h,下列说法一定正确的是（）A.若 a b,则 g”心）a 。1,则 lo g 0,b0,a+2 6=l,则 的 最 小 值 为 8a bD.若 h a 0,则上包 上曳.2 2b a12.（5 分）已知等边三角形ABC的边长为6,M,N 分别为AB,AC的中点
6、，将AMN沿MN折起至4 M N,在四棱锥A-MNCB中，下列说法正确的是（）A.直线MN平面A B CB.当四棱锥A-MNCB体积最大时，二面角A-M N -B为直二面角C.在折起过程中存在某位置使8N L平面A N CD.当四棱A-MNCB体积最大时，它的各顶点都在球。的球面上，则球。的表面积为 39n三、填空题：本太题共4 小题每小题5 分，共计20分，押答家填车答阳专相应的位置上.13.（5 分）数 列 1,1,2,3,5,8,13,21,3 1,你为斐波那划数列，是意大利著名数学家斐波那契于1202年在他写的 算盘全书提出的，该数列的特点是：从第三起，每一项都等于它前面两项的和.在该
7、数列的前2021项中，奇数的个数为14.（5 分）曲 线y=ex+x2-3 x在 x=0 处 的 切 线 的倾斜角为a,则s in（2 a+5）15.（5 分）已知点A（0,5）,过抛物线7=1 2 y上一点P 作 y=-3 的垂线，垂足为8,若P B=P A,则|PB|=16.（5 分）已知函数f 6）=（弋）？+（a-2）+2-a有三个不同的零点”，对 其 中eeX 1 c X9 XQX1 X2/7，求 A C.18.(12 分)在m,。3,“2 1成等比数列S 4=2 8,S“+I=S”+Z+4,这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并做出解答.已知 析 是公差不为零的等差数列，际为
8、其前项和，42=5,，尻 是等比数列,历=9,。1+加=3 0,公比 q l.(1)求数列。外，%的通项公式；(2)数列“和 瓦 的所有项分别构成集合A,B,将 4 UB的元素按从小到大依次排列构成一个新数列 C n ,求 7 8 0=C I+C 2+C 3+C 8 0.19.(12 分)如 图，在平面四边形A B C 中，BC=CD,BC1.CD,A D L B D,以 8。为折痕把折起，使点A到达点P的位置，且 P C L B C.(1)证明：PDLCD-,(2)若“为 P B 的中点，二面角尸-BC-O的大小为6 0 ,求直线PC与 平 面 所成角的正弦值.2 0.(12 分)2 02
9、1年 3 月 5 日李克强总理在政府作报告中特别指出：扎实做好碳达峰，碳中和各项工作，制定2 030年前碳排放达峰行动方案，优化产业结构和能源结构.某环保机器制造商为响应号召，对一次购买2台机器的客户推出了两种超过机器保修期后5 年内的延保维修方案：方案一；交纳延保金5000元，在延保的5 年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费 1000元;方案二：交纳延保金6 2 30元，在延保的5 和内可免费维修4 次，超过4 次每次收取维修费 f 元：制造商为制定的收取标准，为此搜集并整理了 2 00台这种机器超过保修期后5 年内维修的次数，统计得到下表维修次数 0123机器台数 2 0408 06
10、 0以这2 00台机器维修次数的频率代替1 台机器维修次数发生的概率，记 X表示2台机器超过保修期后5年内共需维修的次数.(1)求 X的分布列；(2)以所需延保金与维修费用之和的均值为决策依据，为使选择方案二对客户更合算，应把，定在什么范围？2 1.(1 2 分)已知圆尸:(x+1)2+y 2 =2,圆尸2：(x-1)2+y2=(4 -r)2,0 r Lg.w 0）上的三点，直线A B经过原点O,A C经过右焦点F,若B F L A C,且赤号冠，则该双曲线的离心率为（）A但 B.叵 C.2 D.叵2 3 2 5【分析】设双曲线的左焦点，连接如图所示的线段，由双曲线的定义及向量的关系可得H f
11、 l,|A E|,|C l与2 a,2 c之间的关系，进而求出双曲线的离心率.【解答】解：设双曲线的左焦点为E,连接8 E 4 E,C E,由题意可得=因为B F J _A C可得四边形8 E 4尸为矩形，设由f 1=|A E|=m,|B E 1=|A Q =,由双曲线的定义可得|C 1-CF=A E-|A f l=2 a,所以2a=m-n,又 因 为 而=旦 而，所以i c/qu S d A aqc/q+i A M nS z i c 8=2+|仃1=2“+3凡2 2 2 2在 R t ZE 4 c 中，|A E|2+|4 c F=|C E|2,即 川+（互。2=q+当 尸，将2a=m-n代入
12、可得m=6n,所以 n=-a,m=-a,5 5在直角三角形 E 4 F 中，|A E l2+|A/:l2=|：f l2=(2 c)2,即 m2-“2=4,2,所 以(2 )+2=4 2,可得：e=J红,5 5 a 5故选：D.【点评】本题考查双曲线的性质及向量的运算，属于中档题.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对得2分，有选错的得0分9.（5分）对具有相关关系的两个变量x和y进行回归分析时，经过随机抽烂获得成对的样本点数据（xi,y i）（i=l,2,n）,则下列结论正确的是（）A.若两变量x,y具有线性相
13、关关系，则回归直线至少经过一个样本点B.若两变量x,y具有线性相关关系，则回归直线一定经过样本点中心Q,y）C.若以模型y=e 拟合该组数据，为了求出回归方程，设 z=/”y,将其变换后得到线性方程z=6 x+历3,则 ，方的估计值分别是3和6.n _E%不）2D.用 叱=1 -得-来刻画回归模型的拟合效果时，若所有样本点都落在一条（yry）2i=l斜率为非零实数的直线上，则R 2的值为1【分析】利用线性相关关系以及拟合曲线的关系，对四个选项逐一分析判断即可.【解答】解：对于A,若两变量x,y具有线性相关关系，则满足线性回归方程，但是样本的不一定都在拟合直线上，故选项A错误；对于8,若两变量x
14、,y具有线性相关关系，则回归直线一定经过样本点中心(x，y)，故选项B正确；对 于C,若以模型丫=四拟合该组数据，为了求出回归方程，设2=/”乃将其变换后得到线性方程z=6x+/3,则a,b的估计值分别是3和6,故选项C正确；n _ _工 仇-4)2对 于D,用 解=1-得-来刻画回归模型的拟合效果时，若所有样本点都落X(yy)2i=l在一条斜率为非零实数的直线上，则 ,7 i 7 in _ _E (y1K产则 叱=1 -W-=1 -0=1,故选项D正确.(yy)2i=l故选：B CD.【点评】本题考查了回归分析的理解和应用，涉及了线性相关关系的理解，线性回归方程必过样本中心的应用，非线性回归
15、方程的理解以及相关系数的应用，考查了逻辑推理能力，属于中档题.1 0.(5分)将函数V=s in2 x+c os 2 x+l的图象向右平移.个单位长度，再将所有点的横坐标缩短到原来的工，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，则下面对函数g(x)的叙2述中正确的是()A.函数g(x)的最小正周期为三2B.函数g(x)图 象 关 于 点(喉，0)对称C.函数g(x)在 区 间 小，g内单调递增D.函数g(x)图象关于直线乂上对称x 12【分析】由题意利用两角和的正弦公式化简函数的解析式，再利用函数产A s in(3 x+c p)的图象变换规律、正弦函数的图象和性质，得出结论.【解答】解：将函数y=s
16、 in2 x+c os 2 x+l=2 s in(2 x+?)+l的图象向右平移三个单位3 12长度,可得 y=2 s in(2 x -2 L+_ ZL)+1 =2 s in(2 x+?L)+l 的图象;-6 3 6再将所有点的横坐标缩短到原来的工，纵坐标不变，2得到函数g(x)=2 s in(4 x+匹)+1 的图象的图象，则函数g(外 的 最 小 正 周 期 为=三，故 A正确；4 2令 x=-,求得s in(4 x+E_)=-g(x)=O,故函数g(x)图象不关于点(一匹,1 2 6 2 1 20)对称，故 B错误；在区间 工，工 内，4 x+2 L e Z2 L,空 口，函数g(x)没
17、有单调性，故 c错误：L 4 2 6 6 6令 X=_ 2 L,求得g(x)=3,为最大值，故函数g(x)图象关于直线=工 对 称，故。正1 2 1 2确，故选：A D.【点评】本题主要考查两角和的正弦公式，函数y=A s in(3 x+(p)的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题.1 1.(5 分)已知实数、h,下列说法一定正确的是()A.若 a b,则(2)b 4)a(1)aB.若 则 log va 0,b0,a+2b=,则ZJ 的最小值为8a bD.若 心 a 0,则上包上也,2 2b a【分析】直接利用不等式的性质，基本不等式的性质的应用判断A、B、C、。的结论.【解答】解：
18、对于A：a 1，则 log 故 8正确;I ga a。lga+1 gb 1 I gb 2对于 C：若 a0,b0,a+2 b=l,则(a+2 b)8,当且仅当。=工，b 时等号成立，故 C正确;2 4对于D：由于b a 0 ,所以曲=G*力 +（用22）=,2 2 2,2ba a b（a-b）（a2+b2+ab+a+b）/n272 a b故选：B C.【点评】本题考查的知识要点：不等式的性质，基本不等式的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题.12.（5 分）已知等边三角形A8C的边长为6,M,N 分别为AB,AC的中点，将AMN沿MN折起至M N,在四棱锥A-MNCB中
19、，下列说法正确的是（）A.直线MN平面A B CB.当四棱锥4 -MNCB体积最大时，二面角A-M N -B为直二面角C.在折起过程中存在某位置使BN_L平面A N CD.当四棱4 -MNCB体积最大时，它的各顶点都在球。的球面上，则球。的表面积为 39n【分析】利用线面平行的判定定理判断选项A；利用四棱锥4 -M N C B的底面是定值，则当点4 到平面MNC8的距离最大时，体积最大，即可判断选项以 利用反证法判断选项 C;取 8 c 的中点E,作 OEJ_平面MNCB,OFJ_平面A M N,确定外接球的球心，然后求出半径，由球的表面积公式求解，即可判断选项D【解答】解：对于4,因为MNB
20、C,MNC平面ABC,BCu平面48C,所以MN平面A 8 C,故选项A 正确；对于8,因为四棱锥4-MNCB的底面面积是定值，所以当点4 到平面M N C B的距离最大时，体积最大，故当二面角A -M N-B为直二面角时，点 A到平面M N C B的距离最大，所以四棱锥4 -MNCB体积最大时，二面角4 -M N-B 为直二面角，故选项8 正确;对 于 C,如图所示，若 BNJ_平面47V C,又 A 4u平面4 W C,则 BMLA4,又 AO_LMM 则 A_LMM 又 4nAO=A,A D,4 Q u 平面 AAD,故 MN_L平面 A A O,又 AAu平面 A A O,则又 M N
21、 C B N=N,MN,B N u 平面 M N C B,所以 AA_LMVC8,这与题意矛盾，故假设不成立，所以在折起过程中不存在某位置使BNL平面A N C,故选项C 错误；对于）,当四棱锥4-M N C B体积最大时，二面角A -M N-8为直二面角，如图所示，由取BC的中点E,则E为等腰梯形M N C B外接圆的圆心，F为A M N3的外3作 O E J.平 面 MNCB,O F _ L 平面 A MN,则0为四棱锥A -M N C B的外接球的球心，且。尸=。=色 巨，AF=M，2设四棱锥A-M N C B的外接球半径为R,则R2=2+0?2g9，4所以球的表面积为4兀R2=4兀 里
22、-3 9兀，故选项D正确.4故 选:A B D.【点评】本题考查线面平行的证明，二面角的求解，空间几何体的外接球问题，空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，是中档题.三、填空题：本太题共4小题每小题5分，共计2 0分，押答家填车答阳专相应的位置上.1 3.（5分）数 列1,1,2,3,5,8,1 3,2 1,3 1,你为斐波那划数列，是意大利著名数IT Qsin(2a-*-)=-学家斐波那契于1 2 0 2 年在他写的 算盘全书提出的，该数列的特点是：从第三起，每一项都等于它前面两项的和.在该数列的前2 0 2 1 项中，奇 数 的 个 数 为 1 3
23、4 8 .【分析】根据题意，分析数列中偶数的规律，即可得前20 21项中偶数的个数，据此分析可得答案.【解答】解：根据题意，在该数列中，第三，六，九为偶数，以 3 为周期，20 21=3X 6 7 3+2,有 6 7 3 个偶数，则有20 21-6 7 3=134 8 个奇数;故答案为：134 8.【点评】本题考查归纳推理的应用，注意分析数列中偶数的规律，属于基础题.14.（5 分）曲线=+/-3x 在 x=0处的切线的倾斜角为a,则【分析】求得函数的导数，可得切线的斜率，由三角函数的诱导公式、二倍角的余弦公式，计算可得所求值.【解答】解：y=+-3x 的导数为y =ex+2x-3,可得在x=
24、0处的切线的斜率为1+0 -3=-2,则 ta na =-2,所以 s in（2a+三尸.:.口2 a =1-ta n2 a =上=_ 3,.2 cos2a+sin2 a 1+ta n2 a 1+4 5故答案为：-3.5【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，以及三角函数的求值，考查方程思想和运算能力，属于中档题.15.（5 分）已知点A （0,5）,过抛物线f=1 2 y 上一点P 作 y=-3 的垂线，垂足为8,若P B P A,则|尸 8=7 .【分析】由抛物线性质可得,|PB|=|PR,又由已知条件|PB|=|网,可得|令|=|尸网,即4以尸是等腰三角形，可得P 点的纵坐标为4,结合
25、抛物线性质，即可求解.【解答】解：.抛物线=12y,；.2p=12,即 p=6,焦点尸（0,3）,由抛物线性质可得，P B=P F,又=|明，.|附|=|内，即 B 4 F 是等腰三角形，VA(0,5),8(0,3),P(xo,yo),.3+5,；.|P8|=y。玲=4+3=7,故答案为:7.【点评】本题重点考查了抛物线的性质，需要学生熟练使用公式，属于基础题.16.(5 分)已知函数f (x)=(工)2+(a-2)工+2-a有三个不同的零点XI，加，孙其中ex exX 1 c X9 XqX1X2A3,则(1)2(1；)(1-：)的值为 1e 1 e 2 e 3【分析】令 t*，将问题转化为P
26、+(a-2)f+2-a=0要有两个不同的实数根fiq (n o,则 g(%)单调递增，当%i 时,ga)v o,则 g(%)单调递减，又 x0 时，g(x)0,当 x0 时，g(x)0,当x=l时，g(x)取得最大值g(1)=A,e作出函数g(x)的图象如图所示，要使得f(x)=()？+(a-2)+2-a有三个不同的零点XI，必 布，其中xix2x3,e e令 t*，则有尸+(a-2)f+2-a=0要有两个不同的实数根Ct 0,即 a2 或 a 2,则tj+t2=2_a 0%t2=2-a C 0因为“/2,所以f i 0,则、(。，工),2 1 e所以“0 及 2则 XI VOVx2Vl X
27、3,且 g(X2)=g(X3)=t2.所以x i 9 X n Xqe 1 e 2 e 3(l-t1)2(l-t2)(l-t2)=l-(t1+t2)+t1t22=1-(2-)-2-a 2=l：若 a4则1 2、tj t2=2-a4因为g（x）取得最大值g（i）=1,且M E（o工）,e 2，a（f l+/2）?or B 4=3，在 A8 O中，由余弦定理推出=1 0，联立解出8。和5 4的值，最后在a A B C中，利用余弦定理，求出4 c.【解答】解：（1）；A+B+C=T T,.A C B,sin 2 c o sg由 lOsi n2-=7-cos2B,得lOco s2-=7-cos2B,即
28、1 Q X HC O SB 7,(2C O S2B -1),2化简得 2C O S2B+5C O SB -3=0,解得c o sB=/或 c o s3=-3 (舍)，jrVOB B A=3，在 AB O 中，由余弦定理知，A E r=B D1+B/-2BD BAcosB,：.B D B A1-BD B A=7,即 BD+BA2=1 0，由，解得 8 0=1，B A=3 或 B =3,BA=,又 ABBD,：.BD,5 4=3,BC=4BD=4,在 AB C 中，由余弦定理知，A C B +B C 2 -2 B C 8 A c o sB=9+1 6 -2 X 3 X 4 xJ i=1 3,2,A
29、C=/13-【点评】本题考查解三角形在平面几何中的应用，熟练掌握余弦定理、三角形面积公式和二倍角公式是解题的关键，考查运算能力，属于中档题.1 8.(1 2 分)在G,4 3,“2 1 成等比数列5 4=2 8,S +i=S +a+4,这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并做出解答.已知 ”是公差不为零的等差数列，S,为其前项和，及=5,尻 是等比数列,历=9,4+历=3 0,公比q l.(1)求数列 以,为 的通项公式；(2)数列伍)和 治 的所有项分别构成集合A,B,将 A UB的元素按从小到大依次排列构成一个新数列 C n ,求 7 8 0 =C l+C 2+C 3+-+C 8 0
30、.【分析】(1)分别选，由等比数列的中项性质和等差数列的定义、等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得公差和公比，可得所求；(2)首先判断 Cn 的前8 0 项中，数列 尻 的项最多有5 项,推得 Cn 的前8 0 项是由3的前7 7 项及4，加，加构成，再由等差数列的求和公式，计算可得所求和.【解答】解：(1)选，因为 是公差不为0的等差数列，设公差为d,由0,。3,s i 成等比数歹!J可 得(a+2d)2=(&+20 由，由于所以4m=d,又。2=5,所以 m+d=5,解得 m =l,d=4,所以。=1+4(-1)=4几-3.选，因为 S 4=28,。2=5,所以 4i+6 d=28,m
31、+d=5,可得。1=1,d=4,所以。=1+(-1)X 4=4-3.选，因为 品+1=品+。+4,所以art+-0?=1=4,因为。2=5,所以m+d=5,即有m =L所以。=1+(-1)X 4=4-3.因为 加 是等比数列，由历=9,从+加=30,9 1,得 b iq=9,b+b q 2=30，解得夕=3,6 1 =3,所以b n =3 R(2)0 8 0=3 1 7 ,35=243 31 7 243=b5,所以 Cn 的前8 0 项是由 ”的前7 7 项及为，b3,加构成.7 20 =Cl+C2+C3+-+C8 0 =Q1+42+7 7+Z?1+/7 3+加=Ax 7 7 X (1 +30
32、 5)+3+27+2432=1 1 7 8 1+27 3=1 20 5 4.【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题.1 9.(1 2分)如 图，在平面四边形A B C Q 中，B C=CD,B CL CD,AD LBD,以 B O为折痕把 A 8 O 折起，使点A到达点尸的位置，且 PCJ_BC.(1)证明：PCJ_C。；(2)若 M 为 P 8的中点，二面角P-B C-。的大小为6 0 ,求直线P C 与平面M CZ)所成角的正弦值.Bp【分析】(1)证明8C_L平面P C D,说明B C L P D,结合P D V B D,推出尸。
33、_L平面BCD,即可证明POLCD(2)取 2。的中点0,连 接 0 M,由已知得0M,0C,3 0 两两垂直，以。为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标 系。-巧 心 求出平面例C D 的一个法向量，利用空间向量的数量积求解直线P C与平面M C D所成角的正弦值即可.【解答】(1)证明：因为BCLCC,BCLPC,P C C D=C,所以8C_L平面PCD,又因为PDu平面P C D,所以BC_LP),又因为 PD_LB。，B D H B C=B,所以 P)_L平面 BCD,又因为C Q u 平面BC Q,所以PDLCD.(2)解：因为PC_LBC,C D 1 B C,所以NPC。是二面角尸
34、-BC-。的平面角，由已知得/尸8=6 0 ,因此 PD=CDt an 6 0 =CD.取 B。的中点。，连接0 M,由已知得。例，0C,BO两两垂直，以 0 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系0-z,则P(0,1,V6)，c(1,0,0),CD=(-1,1,0)1 CM=(-1.o,n -CD=0设 平 面 MC。的一个法向量为二=(x,y,z)，贝二 即，n C M=O,。（o,i,o）,M（O,o,堂），CP=（-I,1,V e）,多，z=&，得=(相，7 3，如),所以cos 7 而 芈，ICPl-ln l 4因此，直线尸C 与平面MC0 所成角的正弦值为返.4【点评】本题考查直线
35、与平面垂直的判断定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题.20.（1 2分）20 21 年 3 月 5日李克强总理在政府作报告中特别指出：扎实做好碳达峰，碳中和各项工作，制定20 30 年前碳排放达峰行动方案，优化产业结构和能源结构.某环保机器制造商为响应号召，对一次购买2台机器的客户推出了两种超过机器保修期后5年内的延保维修方案：方案一；交纳延保金5 0 0 0 元，在延保的5年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费 1 0 0 0 元；方案二：交纳延保金6 2 3 0 元，在延保的5和内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费，兀；制造商为制定的
36、收取标准，为此搜集并整理了 2 0 0 台这种机器超过保修期后5年内维修的次数，统计得到下表维修次数0123机器台数2 04 0806 0以这2 0 0 台机器维修次数的频率代替1 台机器维修次数发生的概率，记 X表示2台机器超过保修期后5年内共需维修的次数.（1）求 X的分布列；（2）以所需延保金与维修费用之和的均值为决策依据，为使选择方案二对客户更合算，应把f 定在什么范围？【分析】（1）X=0,1,2,3,4,5,6,求解概率，得到分布列.（2）选择方案一所需费用为 H 元，则 X W 2 时，7 1=5 0 0 0,X=3 时,7 1=6 0 0 0；X=4 时，7 1=7 0 0 0
37、；X=5时，H =80 0 0,X=6时，7 1=9 0 0 0,写出分布列，求解期望；选择方案二所需费用为丫 2元，则时，7 2-6 2 3 0；X=5时，力=6 2 3 0+六 X=6时，丫 2=6 2 3 0+2 1,得 到 丫 2 的分布列，求解期望，然后利用E(，)E(X i),求解/的取值范围.【解答】解：(1)由题意得X=0,1,2,3,4,5,6,P(X=O)=x-=X X 9=1 0 1 0 1 0 0 1 0 5 2 5P(X=2)4 X 看 X24X 看 唳,p(x=3)=ioxi-x24x5x24o,P(X=4)帚4X 2卷X看 去p(x=5)4xfX2=isP 6)哧
38、x鲁端，所以X的分布列为X0 123456P1131 17691 0 02 52 55 02 52 51 0 0(2)选择方案一所需费用为H元，则 XW2时，7 1=5 0 0 0,X=3时，/|=6 0 0 0；X=4时，X=5 时，7 1 =80 0 0,X=6 时，H=9 0 0 0,则 H的分布列为1*7 1 1 1 7 Q QYi5 0 0 06 0 0 07 0 0 080 0 09 0 0 0P1 71 17691 0 05 02 52 51 0 0E(Y 1)=5 0 0 0 X /+6 0 0 0 X 昔+7 0 0 0 X 圭+8 0 0 0 X 去+9 0 0 0 X 冬
39、=6 86 0，1 1 U U DU N 3 1 U U选择方案二所需费用为Y2 元,则时，N 2=6 2 3 O：X=5时，Y2=6 2 3 0+r；X=6时，/2=6 2 3 0+2/，则Y2的分布列为E(Y2)=6 2 3 0 X -+(6 2 3 0+t)X +(6 2 3 0+2 t)X-1-=6 2 3 0+4 1 U U N 3 1 U U DUY26 2 3 06 2 3 0+16 2 3 0+2 1P6 7691 0 02 51 0 0因为E(力)E(K i),所以6230+68 60,解得 圆/2：(x -1)2+y2=(4 -r)2,0 r|FIF2|,所以曲线C为以门、
40、尸 2为焦点的椭圆，且。2=2?=4,c=1,廿=4-1=3,2 2所以曲线C的 方 程 为 三-工4 3(2)假设存在，由题意知直线A 8 的斜率存在,设直线 AB 的方程为=氏(x-1),A(xi,yi),B(%2,)2),联立Hy=k (1),，消去 y 整理得，(4F+3)/-8必 x+软2-12=0,3 x2+4y-12,用 8 k2 4 k 2-12贴 x 1 +x9=9 ，x 1 x9=-54 kJ+3 4k J+3Y l 7 丫 2 4 k(x l)4 k(x2-l)-所以k 0.+k 由一-之H-ZPA PB x l x2-l x l x2-l=2 k2(x l)2(X2-1
41、)3(X +乂2-2)2k 2(x i x2-(x j +x2)+l)=2k-b33k (m-l)-y k pD m_l 卜 2(m-1)因为 kPA+kPB=MPD,所以春 所以入=2,高口,得14,所以存在加=4,人=2使kpA+kpB=MpD成立.【点评】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题.22.(12 分)己 知/(x)-ax1-x-(1)当a建 时，求了(%)的极值点个数；2(2)当尢曰0,+8)时，/(x)2 0,求的取值范围；(3)求证：4一Z-+4_ 2_ 工 时，r)的最小值，即可得出。的取值范围.22由(2)可知“=工
42、时，即2-12/+2t+1(x20),由放缩法得2e”-I n2+2n+n2+2n,2则 一?,即可得出答案.2en-l n(n+2)【解答】解：(1)当。=旦 时，-1,22所以/(尤)=-ex-1,f (x)=ex-e,所以当x l时，f(x)l时，f(x)0,f(x)在(1,+8)上单调递增，因为/(0)=0,f(1)=-1.f(2)=e2-2e-1 0,所以存在刈6(1,2),使/(xo)=0,所以，x(-8,o)时，f(x)0；x6(O jo)时，f(x)0,所以0和xo是/(x)的极值点，所以./U)有两个极值点.(2)./(x)=d-ar2-x-I,f(x)=F -lax-1,设
43、/i(x)=/(x)=d-lax-1(x0),则 h(x)=-2a 单调递增，又(0)=1-2a,所以当nW工时，h(x)0,/z(x)在 0,+8)上单调递增，2所以/?(X)/J(O)=O,即/(x)20,犬处在 0,+8)上单调递增，所以危)为(0)=0，符合题意，当”工 时，令/?(x)=0,解得 x=/2，2当 尤 0,/2。)时，h(x)0,/)在 0,/2。)上单调递减，/(x)=/i(x)W/?(0)=0,大外在(0,/2a)上单调递减，所以在(0,打24时，人 )”2+2，22-2en-l n(n+2)所以?+?+2 _ 2 _+_ _ 2 _+.+2 1 -A+A -A+.+A-2e-l 2 e2-l 2en-l lx3 2X4 n(n+2)3 2 4 n1=1 1.1.1 3n+2 2 n+1 n+2 2【点评】本题考查导数的综合应用，极值点，解题中需要理清思路，属于中档题.