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1、2021年中考数学真题分项汇编【全国通用】（第01期）专题32新定义与阅读理解创新型问题一、单选题,、a（a b）y =mi n（x +L-f+2 x+3）,则该函数的最大值为（）A.0 B.2 C.3 D.4【答案】C【分析】根据题目中所给的运算法则，分两种情况进行求解即可.【详解】令 y =min1X+1W-X2 +2X+3时,即/一x-2 4 0时,y=x+,令一%2,则w与x轴的交点坐标为（2,0）,（-1,0）,.当川4 0时-，-l x 2,y=x+（-1%0时，y=-x2+2 x +3,令 叩=%2 _%一2,则卬与x轴的交点坐标为（2,0）,（-1,0）,，当 w 0 时，x
2、2 或 x 2 或 x 丁丁=一X 2+2工+3的对称轴为户1,当%2时，y随无的增大而减小，当 x=2 时，y-x2+2x +3=3,当x 2时，）（3；当x l,y随x的增大而增大，当 A=-1 时，y =-x2+2x+3=0：.,.当x=依+。的特征数为。,可，若一次函数y =-2x +加的图象向上平移3个单位长度后与反比例函数y =-三的图象交于A,B 两 点,且点A,B 关x于原点对称，则一次函数y =-2x+加的特征数是（）A.2,3 B.2,-3 C.一2,3 D.-2,-3【答案】D【分析】3先求出平移后的直线解析式为y =-2兀+%+3,根据与反比例函数y =-士的图象交于A
3、,B两点，且点A,xB关于原点对称，得到直线y =-2 x+根+3经过原点，从而求出机，根据特征数的定义即可求解.【详解】解：由题意得一次函数y =-2 x+m的图象向上平移3个单位长度后解析式为y =-2 X+加+3 ,3 直线y =-2 x +m+3与反比例函数y =-的图象交于A,B两点，且点A,B关于原点对称，x.,.点A,B,。在同一直线上，.,.直线丁 =-2 1 +机+3经过原点，.*.m+3=0,m=-3,.,.一次函数y =-2 x+m的解析式为y =-2 x-3,.一次函数y =-2 x+m的特征数是-2,-3.故 选:D【点睛】本题考查了新定义，直线的平移，一次函数与反比
4、例函数交点，中心对称等知识，综合性较强，根据点A,B关于原点对称得到平移后直线经过原点是解题关键.4 .（江苏省无锡市2 0 2 1年中考数学真题）设P（x,X）,Q（x,%）分别是函数G，G图象上的点，当a x b时，总有-1?乂%？1恒成立，则称函数G，在aWxW匕上是“逼近函数”，aWxWb为“逼近区间”.则下列结论:函数y=x-5,y=3x+2在lx =尤2-1,y=2-X的“逼近区间”；2WxW3是函数y=x-5,y=f-4x的“逼近区间”.其中，正确的有()A.B.C.D.【答案】A【分析】分别求出乂-%的函数表达式，再在各个x所在的范围内，求出X-%的范围，逐一判断各个选项，即可
5、求解.【详解】解：V yt=x-5,y2=3x+2,yt-y2=(x-5)-(3x+2)=-2x-7，当时，-11?x%?9.,.函数y=x-5,y=3x+2在上不是“逼近函数”；yy=x-5,y2=x2-4x,yt-%=(x-5)-4x)=-f +5 _ 5,当 34xw4时,-1?y%?1.函数y=x-5,y=x?-4x在3WxW4卜.是 逼近函数”；X=r 1,y2 2x x,3y-%=(f-1)-(2x2-x)=-x2+x-1,当 OWxWl 时,-1?X%?-0 W x W1是函数y=f -1,y=2x2-x的“逼近区间”；V y=x-5,y2=x2-4x,/.y-%=(x-5)-(
6、x2-4x)=-x2+5x-5,当 2VxW3时，1?y y2?:，A 2 x b5.(2 0 2 1广西来宾市中考真题)定义一种运算：。*。=,则不等式(2 x +l)*(2-x)3的解集b,a l 或x B.-1 x l 或x -l D.或x -l3 3 3【答案】C【分析】根据新定义运算规则，分别从2 x+1 2 2 x和2 x+l 3.解得x l，此时原不等式的解集为x l ；当 2 x+l 2 x 时，即x 3，解得x 此时原不等式的解集为X 3的解集是1或 =0,当5=1时，a =,A =1,0,1,B =1,1,0,不满足互异性，情况不存在，当一=a 时，a =.a-（舍），a
7、=-l 时，A =l,0,-l ,6 =-1,1,0,满足题意，此时，h-a-.故选：C【点睛】本题考查集合的互异性、确定性、无序性。通过元素的分析，按照定义分类讨论即可.7.（2021糊北中考真题）定义新运算“”：对于实数加，n,p,q,有 见p 4=+网,其 中等式右边是通常的加法和乘法运算，如：2,3X4,5=2X5+3X4=2 2.若关于x 的方程V+1,T 5 2女修=0 有两个实数根，则左的取值范围是（）A.k 且 Z H 0 B.k C.k 我们把点B 称为点A的“倒数点”.如 图，矩形。CDE的顶点C为（3,0）,顶点E在 y轴上，函数（%y）2y =0）的 图 象 与 交 于
8、 点 儿 若 点 B是点A的“倒数点”,且点B在矩形O C D E的一边上,则H）B C的面积为.【分析】根据题意，点 8不可能在坐标轴上，可对点8进行讨论分析：当点8在边。上时；当点8在边C。上时：分别求出点B的坐标，然后求l l l z/J B C 的面积即可.【详解】解：根据题意，:点、B -称为点Ay）的“倒数点”，I%y）；X H 0 ,。，点 8不可能在坐标轴上；2.点A在函数y =（x0）的图像匕X2 1 v设点A为（演一），则点B为（一,一），x x 2 点 C 为（3,0）,O C =3,当点B在边OE上时；点 4与点3都在边DE上，点A与点8的纵坐标相同，即一=二，解得：x
9、=2,x 2经检验，=2是原分式方程的解：点 B 为(L 1)，21 3.0 3 C的面积为：s=x 3 x l =-；2 2当点8在边C D上时；点8与点C的横坐标相同，=3,解得：x=,x 3经检验，x =1是原分式方程的解；3.点 8 为(3，5),6.O B C l K l面积为：S =-x 3 x =一；2 6 41 3故答案为：一或一.4 2【点睛】本题考查了反比例函数的图像和性质，矩形的性质，解分式方程，坐标与图形等知识，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质，运用分类讨论的思想进行分析.1 2.(山东省荷泽市2 0 2 1年中考数学真题)定义：a,b,c为二次函数丫=2+法(。0
10、)的特征数，下面给出特征数为%1-6,2rH的二次函数的一些结论：当加=1时，函数图象的对称轴是丁轴；当加=2时，函数图象过原点；当机()时，函数有最小值；如果加 0 时，函数丁 =如 2+。一 机）工+（2-团）图像开口向上，有最小值，故正确;当 2 2m 2m 2 2m 2.X工时，X 可能在函数对称轴的左侧，也可能在对称轴的右侧，故不能判断其增减性，故错误；2综上所述，正确的是，故答案是：.【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数的对称轴等知识点，牢记二次函数的基本性质是解题的关键.13.（2021湖南娄底市中考真题）弧度是表示角度大小的一种单位，圆心角所对的弧长和半径相等时，这
11、个角就是1弧度角，记作Ir a d.已知a =had,，=60。，则a 与 的 大 小 关 系 是 a 0 .B【答案】【分析】根据弧度的定义，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作I r a d,当夕=6 0 时，三角形为等边三角形，所以圆心角所对的弧长比半径大，即可判断大小.【详解】解：根据弧度的定义，圆心角所时的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作Irad,当尸=60。时，易知三角形为等边三角形，弦长等于半径，圆心角所对的弧长比半径大，:.a /3,故答案是：.【点睛】本题考查了弧度的定义，解题的关键是：理解弧度的定义，从而利用定义来判断.14.（2021上海中考真
12、题）定义：在平面内，一个点到图形的距离是这个点到这个图上所有点的最短距离,在平面内有一个正方形，边长为2,中心为O,在正方形外有一点R Q P=2,当正方形绕着点。旋转时,则点尸到正方形的最短距离d 的取值范围为.【答案】2-y 2 d 【分析】先确定正方形的中心O 与各边的所有点的连线中的最大值与最小值，然后结合旋转的条件即可求解.【详解】解：如图 1,设 A D 的中点为 E,连接 04,O E,则 AE=OE=1,ZAEO=90,OA=4 2-.点。与正方形ABCD边上的所有点的连线中,0 E最小，等 于1，OA最大，等于J 5.O P =2,.点P与正方形ABC。边上的所有点的连线中，
13、如图2所示，当点E落在O P上时，最大值PE=PO-EO=2-1=1；如图3所示，当点A落在O P上时，最小值R4=PO-AO=2-夜.当正方形A B C D绕中心O旋转时，点P到正方形的距离d的取值范围是20 =+2,=/的图象上是否存在，等值点，？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；(2)设函数V =350),y=-X +6 的图象的“等值点”分别为点A,8,过点8 作 3 C _ L x 轴，垂足为C.当x A B C 的面积为3时，求 的 值；(3)若函数y=f -2(x 2 加)的图象记为”,将其沿直线x=机翻折后的图象记为吗.当叱，叫两部分组成的图象上恰有2 个“
14、等值点”时，直接写出m的取值范围.【答案】(1)函数y=x+2 没有“等值点”；函数y=%的“等值点”为(0,0),(2,2)；b =46 或 26 :9 _(3)m 或-1 加 m)的图象为,将由沿户加翻折后得到的函数图象记为牝，可 得 M 与 牝的图象关于x=m对称，然后根据定义分类讨论即可求得答案.【详解】解：(1)函数产x+2,令产x,则 x+2=x,无解，二函数y=x+2 没有“等值点”；.函数y=令 尸 G 则九2 一 元=%,即x(x-2)=0,解 得:X =2,工 2 =。，函数y=d-%的”等值点,，为(0,0),(2,2)；3 -(2);函数y=-，令 尸 羽 则无2 =3
15、,解得：X =6(负值己舍),.函数y=3的“等值点”为百，G)；X 函数y=-x+b,令 尸，则x=-x+b，b解得：%=2h h.函数=一x+b的“等值点 为B(,-)；2 2 A 5 C的面积 为;Be14即-2 折-2 4 =0，解得：匕=46或-2百;(3)将M沿mm翻折后得到的函数图象记为牝.用 与M两部分组成的函数W的图象关于x=相对称,.函数W的解析式为y=x2 2(x2/)y-(2 m-x)2(%in)令产x,则/一2 =%,即x?无一2 =0.解 得:玉=2,x2=-1,二函数3 一2的 等值点”为(-1,-1),(2,2)；令.v=x,则(2/w-x)2-2 =x,即f
16、-(4加+1)%+4/?-2 =0,当加2 2时，函数W的图象不存在恰有2个“等值点”的情况；当一1(加2时，观察图象，恰有2个“等值点”；的图象上恰有2个“等值点”（-1,-1）,（2,2）,.函数%没有“等值点”，二=一（4 m +1）y-4 xl x（W-2）0,整理得：8根+9 0，,9解得：m .89综上，的取值范围为加 或一1 相2.8【点睛】本题属于二次函数的综合题，考查了二次函数、反比例函数、一次函数的性质以及函数的对称性.解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件.1 7.（江苏省常州市2 0 2 1年数学中考真题）在平面直角坐标系尤0 y中，对于4、4两点，若在y轴上
17、存在点T,使得N A 7 X =90 ,且 以=7 M ,则称4、4两点互相关联，把其中一个点叫做另一个点的关联点.已知点M（2,0）、N（1,0）,点Q（）在一次函数y=-2 x+l的图像上.如 图，在点8（2,0）、C（0,-1）、0（2,-2）中，点M的关联点是（填“B”、或“”）；若在线段MV上存在点P（l,l）的关联点P,则点P的坐标是；（2）若在线段MN上存在点。的关联点Q ,求实数机的取值范围；（3）分别以点（4,2）、。为圆心，1为半径作OE、0 2.若 对 上 的 任 意 一 点G,在OQ上总存在点G ,使 得G、G两点互相关联，请直接写出点。的坐标.【答案】&（一 2,0）
18、；gw aWl或-IWmWO；（3）Q（g，T）或 Q（3,5）.【分析】由材料可知关联点的实质就是将点A绕 y 轴上点了顺时针或逆时针旋转90度的得到点A .故先找到旋转90。坐标变化规律，再根据规律解答即可，（1）根据关联点坐标变化规律列方程求解点7 坐标，有解则是关联点；无解则不是；关联点的纵坐标等于0,根据关联点坐标变化规律列方程求解即可；（2）根据关联点坐标变化规律得出关联点。，列不等式求解即可；（3）根据关联点的变化规律可知圆心是互相关联点，由点E坐标求出点Q 坐标即可.【详解】解：在平面直角坐标系尤Oy 中，设人工,），），点7（0,4）,关联点A （x,y）,将点A、点A 、点
19、 7向下平移。个单位，点 T对应点与原点重合，此时点A、点A 对应点4）（%,y-a）、4（x，y-a）,绕原点旋转90度的坐标变化规律为：点（x,），）顺时针旋转，对应点坐标为（y,-x）；逆时针旋转对应点坐标为（-y,x）,.，A）（x，y-。）绕原点旋转90度的坐标对应点坐标为4 （y a,T）或 4 （a -y,x）,xr=y-a xr=y-a，/、即顺时针旋转时，,解得：,即关联点x）,y-a=-x=a-x或逆时针旋转时，xr=a-y,，解得：y-a =xxr=a-y，/、y，_ x +：，即关联点(a y,x+a),即：在平面直角坐标系宜 中，设A（x,y）,点T（O,a）,关联点
20、坐标为A （y。,。一力或A（a y,x+a）,（1）由关联点坐标变化规律可知，点M（-2,0）关于在y轴上点T（0,0的关联点坐标为：A （-a,a +2）或 A (a,2+a),若点B（2,0）是关联点，则（一2,-2）不是关联点;故答案为：B；由关联点坐标变化规律可知，点P0,1）关于点T（0,a）的关联点P的坐标为P（1 -a,a-1）或P(a l,a +l),若a 1=0,解得：a =l,此时即点P（o,o）,不在线段MN上；若a+l =0,解得：。=一1,此时即点。（一2,0）,在线段MN上；综上所述：若在线段MN卜.存在点P。）的关联点P，则点尸 （-2,0）故答案为：（-2,0
21、）；（2）设点。（血 ）与点Q 是关于点T（0,a）关联点,则点Q 坐标为Q!（n-a,a-m）或。（a-”,a+m）,又因为点。（根,）在一次函数y=-2 x+l的图像上，即：=一2?+1,点。在线段朋N上，点”（-2,0）、N（1,0）,a -m=0当工 =-2 m +1,-2 n-a -2 -2/n+2*一4根 W1,3a+7 7 7 =0或 拉=-2m+1-2 a-n -二-2 ,当一1 WmWO；2综上所述：当或 14加工0时，在线段MN上存在点。的关联点Q.（3）对OE上的任意一点G,在。Q上总存在点G，使得G、G两点互相关联，故点E与点。也是关于同一点的关联，设该点T（0,a）,
22、则设点。（?,）与点E是关于点T（0,a）关联点，则点E坐标为E（n-a,a-m）或E（a-a +m）,又因为。（阴 冷在一次函数y=-2 x+l的图像上，B|J：=一2加+1,.点（4,2）,n=-2m+1n-a =4,解得:a-m-2若5m=313n=一31C I 3即点Q -3 3 Jn=-2m+1若 a-n=4a+m=2m =3解得：=一5,a=-l即点。（3,-5）,综上所述：一5，?）或0（3,-5）.【点睛】本题主要考查了坐标的旋转变换和一次函数图像上点的特征，解题关键是总结出绕点旋转90。的点坐标变化规律，再由规律列出方程或不等式求解.18.(湖南省张家界市2021年中考数学真
23、题试题)阅读下面的材料：如果函数y =/(x)满足：对于自变量I取值范围内的任意为，%,(1)若为%,都有/(3)/()，则称f(x)是增函数；(2)若大/(尤2)，则称A)是减函数.例题：证明函数f(x)=x x 0)是增函数.证明：任取为 0，工2 0则 f(xt)-f(x2)=项2 -考=(再+x2)(xl-x2)V X (),x2 0玉 +工2 ,玉 一 0.,.(%,+x2)(X 1 -x2)0,g p/(%,)-/(x2)0,/(x,)0)是增函数.根据以上材料解答下列问题：(1)函数/(x)=(x 0),/=：=1，/(2)=:，/(3)=_,/(4)=x 1 2(2)猜想/1。
24、)=工。0)是函数(填“增”或“减”)，并证明你的猜想.X【答案】(1)工：(2)减，证明见解析3 4【分析】(1)根据题目中函数解析式可以解答本题；(2)根据题目中例子的证明方法可以证明(1)中的猜想成立.【详解】解：(I)/(3)=；，八4)=；(2)猜想：/(x)=4(x 0)是减函数；X证明：任取X 0，入2 0，则/,(%)-/(七)=三 二x,x2 xx2%0，工2 0/.X2-x1 0,王 元2 0二 十 三 0,即/(%)_/()0.函数/(x)=L(x0)是减函数.x【点睛】本题考查反比例函数图象上的坐标特征、反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件
25、，利用反比例函数的性质解答.19.(山东省枣庄市2021年中考数学真题)小明根据学习函数的经验，参照研究函数的过程与方法，对函数)=二 二(xH0)的图象与性质进行探究.X因为丁=二=1一一，即y=-+l,所以可以对比函数y=-一来探究.XX X X列表：(D下表列出y与x的几组对应值，请写出加，”的值：机=,=X.-4-3-2-1221234 2y=一 一X223124-4-2-1_2-32x-2y=X323523m-3-10n2描点：在平面直角坐标系中，以自变量X的取值为横坐标，以丁=二 相 应 的函数值为纵坐标，描出相应X的点，如图所示:（2）请把y轴左边各点和右边各点，分别用条光滑曲线
26、顺次连接起来：（3）观察图象并分析表格，回答下列问题：当了0时，丁随x的增大而（填“增大”或“减小”）x-2 2函数y =的图象是由y =-一的图象向 平移 个单位而得到.x x函数图象关于点 中心对称.（填点的坐标）【答案】（1）5,I；（2）见解析；（3）增大；上，1：（0,1）.【分析】（I）将*=-！和无=3分别代入函数丁 =2二2中，即 可 求 出 的 值；2x（2）把y轴左边各点和右边各点，分别用条光滑曲线顺次连接起来即可；（3）根据函数的增减性即可得；龙 一 2 2根据函数y =匚=，+1即可得；x X2函数y =-的图象关于原点（0,0）中心对称，再根据平移的性质即可得.x【详
27、解】解：（1）对于函数 丁=二二2,X-：-2当 x =-时，y-5,即m=5,23-2 1 当 =3时，y -即=一,3 3 3故答案为：5,3（2）把 y轴左边各点和右边各点，分别用条光滑曲线顺次连接起来如下:（3）当xo时，y随工的增大而增大,故答案为：增大；r-2 2因为函数+l,X Xx-2 2所以函数丁=的图象是山y =-的图象向上平移1 个单位而得到，X X故答案为：上，1;2因为函数y =-的图象关于原点（0,0）中心对称，x所以函数y =之 心 的图象关于点（0,1）中心对称，x故答案为：（0,1）.【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解
28、题关键.2 0.（内蒙古赤峰市2 0 2 1 年中考数学真题）阅读理解：在平面直角坐标系中，点 M 的坐标为（玉,y）,点 N的坐标为（W，%），且 x#x i，m分2,若 M、N为某矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为M、N的“相关矩形”.如 图 1中的矩形为点M、N的“相关矩形”.（1）已知点4的坐标为（2,0）.若点B的坐标为（4,4）,则点A、8的“相关矩形”的周长为；若点C在直线x=4 上，且点4、C的“相关矩形”为正方形，求直线AC的解析式；（2）已知点尸的坐标为（3,-4）,点。的坐标为（6,-2）,若使函数y =的图象与点尸、。的“相关矩形”有两个公共点
29、，直接写出左的取值范围.7-7-1 2 3 4765432图1备用图1备用图2【答案】(1)1 2；y =%-2或y =-x+2；(2)-24 k-6【分析】（1）由相关矩形的定义可知，要求点A、B的“相关矩形”的周长，利用点4,点8的坐标求出“相关矩形”的边长即可；山 相关矩形 的定义知，A C必为正方形的对角线，所以可得点C坐标，设直线A C的解析式为y =+代入4,C点的坐标，求 出 鼠8的值即可；（2）首先确定P,。的“相关矩形”的另两个顶点坐标，结合函数 =与的图象与点P、。的“相关矩形”有X两个公共点，求出k的最大值和最小值即可得到结论.【详解】解：（1）.点4的坐标为（2,0）,
30、点B的坐标为（4,4）,.点A、B的“相关矩形 如图所示,点 点B的“相关矩形 周长=2x（2+4）=12故答案为：1 2；由定义知，AC是点A,C的“相关矩形”的对角线,又.点A,C的相关矩形是正方形，且A（2,0）点C的坐标为（4,2）或（4,一2）设直线A C的解析式为y=kx+h,将（2,0）,（4,2）代入解得2=1,b =-2：.y=x-2将（2,0）,（4,-2）代入解得攵=一1,b =2y=一犬+2 符合题意得直线AC的解析式为y=x-2或y=-x+2.（2）：点 的坐标为（3,7）,点。的坐标为（6,2）,.点尸，。的“相关矩形”的另两个顶点的坐标分别为（3,-2）,（6,-
31、4）当函数 的图象经过（3,-2）时，仁 6,Xk当函数y =的图象 经 过（6,-4）时，2 2 4,x，函数 =4的图象与点P、。的“相关矩形”有两个公共点时，&的取值范围是：一 2 4 攵-6x本题考查了矩形的性质，正方形的性质，解答此题需要理解“相关矩形”的定义，综合性较高，一定要注意将新旧知识贯穿起来.2 1.（湖北省荆州市2021年中考数学真题）小爱同学学习二次函数后，对函数），=-（k -1?进行了探究,在经历列表、描点、连线步骤后，得到如下的函数图像.请根据函数图象，回答下列问题:（1）观察探究：写出该函数的一条性质：;方程一（凶一1）2=-1的解为：；若方程-（国-i f 有
32、四个实数根，则”的取值范围是.（2）延伸思考：将函数y =的图象经过怎样的平移可得到函数y=一（卜-2|-1）?+3的图象？写出平移过程，并直接写出当2 =一（凶一1）2的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度可得到函数乂=-（卜-2|-+3的图象，当2cx 3时，自变量x的取值范围为0 x 2或2 c x 4 .【分析】（1）根据函数图象可直接进行作答；由函数图象及方程可得当y=-l时，自变量x的值，则可看作宜线）=-1与函数y =-（凶-1）2的图象交点问题，进而问题可求解；由题意可看作直线产a与函数y =（国一 1 丫的图象有四个交点的问题，进而问题可求解；（2）由函数图象平
33、移可直接进行求解，然后结合函数图象可求解x的范围问题.【详解】解：（1）由图象可得：该函数的一条性质为关于y轴对称，（答案不唯一）；故答案为关于y轴对称；由题意及图象可看作直线产-1与函数丁 =-（凶-1）2的图象交点问题，如图所示:方程 _（国 _ 1）=_ 1 il J 解为玉=-2,%2 =。，%3 =2 ；故答案为玉=-2,x2=0,x3=2 ；由题意可看作直线尸7与函数丁 =-（凶-的图象有四个交点的问题，如图所示:,由图象可得若方程一（W 1）2 =a有四个实数根，则 的取值范围是一1 。0 ：故答案为一 1。0；（2）由题意得：将函数y=-（W-1）?的图象先向右平移2个单位长度
34、，再向上平移3个单位长度可得到函数乂=一（卜一2|-1+3的图象，则平移后的函数图象如图所示：,由图象可得：当2 x 4 3 B寸，自变量x的取值范围为（）x 2或2x4.【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键.22.（2021江西中考真题）二次函数y=x?一2如 的图象交x轴于原点。及点A.感知特例（1）当机=1时，如 图1,抛物线L:y=f2x上的点3,O,C,A,。分别关于点A中心对称的点为 IB,O,C,A ,。您如下表:B（T,3）0(0,0)4 I)A(_,_)。(3,3).(5,-3)。（4,0）C(3,l)A(2,0)3）补全表格；在
35、图1中描出表中对称后的点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为L.形成概念我们发现形如（1）中的图象L 上的点和抛物线L上的点关于点A中心对称，则 称 是 L的“孔像抛物线”.例 如，当机=-2 时，图 2中的抛物线/是抛物线L的“孔像抛物线”.探究问题（2）当机=-1 时，若抛物线L与它的“孔像抛物线”的函数值都随着x 的增大而减小，则 x 的取值范围为;在同一平面直角坐标系中，当加取不同值时，通过画图发现存在一条抛物线与二次函数y =的所有“孔像抛物线”Z/,都有唯一交点，这 条 抛 物 线 的 解 析 式 可 能 是.（填“丁 =依 2+法+。”或 y=a x1+b x 或 y=a
36、 x2+c 或 y=a x2,其中 a b c H 0）；若二次函数y =及它的“孔像抛物线”与直线y =m有且只有三个交点，求用的值.【答案】（I）2,0；见解析；-3x 0且。1),那么x叫做以为底N的对数，记作x=lo g.N,比如指数式24=16可以转化为对数式4=log?1 6,对数式2=logs9可以转化为指数式32=9.我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：log(M N)=log“M+loga N(a O,a,M 0,N 0),理由如下：设log M=m,log(N-n,则M=am,N =a.:.M N=am+n.由对数的定义得m+n=log“(M-N)X v m+n=log
37、0 M+log”Nlog(M-N)=log M+loga N.根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题：(1)填空：log2 32=；log3 27=,()log7l=；(2)求证：loga=log M-log,7V(a 0,1,M 0,T V 0)；(3)拓展运用：计算logs 125+logs 6-logs 30.【答案】(1)5,3,0；(2)见解析；(3)2【分析】(1)直接根据定义计算即可；(2)结合题干中的过程，同理根据同底数幕的除法即可证明；(3)根据公式：log“(MW)=logA/+log“N和 log =log“Af-log“N 的逆肋将所求式子表示为：logs 1 2
38、 6 ,N 30计算可得结论.【详解】解:；25=32，,log?32=5,:33=27，；Jog3 27=3,；7=1，log7 1 =0；(2)设 logM=，logN=”,=M,a=N,N.,M log,=m-n,NMlog“R =log“M Tog N；(3)log5125+log56-log530,1 2 5 x 6=log,25=2.【点睛】本题考查整式的混合运算、对数与指数之间的关系与相互转化的关系，解题的关键是明确新定义，明白指数与对数之间的关系与相互转化关系.25.(2021重庆中考真题)如果一个自然数 的个位数字不为0,且能分解成A x B,其中A与8都是两位数，A与8的十
39、位数字相同，个位数字之和为1 0,则称数M为“合和数”，并把数M分解成M=Ax3的过程，称为“合分解”.例如.609=21x29,21和29的十位数字相同，个位数字之和为10,.609是“合和数”.又如.234=18x13,18和13的十位数相同，但个位数字之和不等于10,.234不是“合和数”.(1)判断168,621是否是“合和数”？并说明理由；(2)把一个四位“合和数”加 进 行“合分解，即=A的各个数位数字之和与3的各个数位数字之和的和记为P(M)；A的各个数位数字之和与B的各个数位数字之和的差的绝对值记为Q(M).令G(M)P(M)Q(“)当G()能被4整除时，求出所有满足条件的【答
40、案】168不是“合和数”,621是“合和数，理由见解析；(2)M有1224，1221.5624,5616【分析】(1)首先根据题目内容，理解 合和数 的定义：如果一个自然数M的个位数字不为0,且能分解成Ax5,其中A与3都是两位数，A与5的十位数字相同，个位数字之和为10,则称数M为“合和数”,再判断168,621是否是“合和数”；（2）首先根据题目内容，理解“合分解”的定义.引进未知数来表示A个位及十位上的数，同时也可以用来八八 P（M）表示8.然后整理出：，根据能被4整除时，通过分类讨论，求出所有满足条件的Q（M）【详解】解：（1）168不是“合和数”，621是“合和数.168=12x14
41、,2+4W10,.168不是“合和数”,.621=23x27,十位数字相同，且个位数字3+7=10,.621是“合和数”.（2）设A的十位数字为加，个位数字 为（m,为自然数，且3加9,1W W 9）,则 A=10m+/2,B 10m+10-n./.P（M）=m+m+10-=2m+10,Q（M）=|（z?7+）-（m+10-）|=|2-10|.G(M)P(M)2m+i0 m+5 Al-=-=-=4kQ(M)|2/J-10|/?-5|（攵是整数）.v3 m 9,.8/?i+514,七 是整数，.z+5=8或机+5=12,当川+5=8时,租+5=8 m+5=8 一5|=1或力一5|=2，.M=36
42、x34=1224 或 M=37x33=1221.当加+5=12时，m+5=12 2 +5=12-5|=1 或,-5|=3，.M=76x74=5623 或 M=78x72=5616.综上，满足条件的M有1224，1221，5624,5616.【点睛】本题考查了新定义问题，解题的关键是：首先要理解题中给出的新定义和会操作题目中所涉及的过程，结合所学知识去解决问题，充分考察同学们自主学习和运用新知识的能力.26.(2021重庆中考真题)对于任意一个四位数机，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2 倍，则称这个四位数所为“共生数”例如：加=3 5 0 7,因为3+7=2x
43、(5+0),所以 3507是“共生数”：加=4 1 3 5,因为4+5*2 x(l+3),所以4135不是“共生数”；(1)判断5313,6437是否为“共生数”？并说明理由；(2)对于“共生数 力当十位上的数字是千位上的数字的2 倍，百位上的数字与个位上的数字之和能被9整除时，记/()=；.求满足厂()各数位上的数字之和是偶数的所有.【答案】(1)5313是“共生数”，6437不是“共生数”.(2)=2148或=3069.【分析】(1)根据“共生数 的定义逐一判断两个数即可得到答案：(2)设“共生数”的千位上的数字为“，则十位匕的数字为2 a,设百位上的数字为。，个位上的数字为C,可得：lW
44、 a 5,0 K 8 K 9,0 K c 9,旦为整数，再由“共生数”的定义可得：c=3a+M,而由题意可得：匕+。=9 或 +c=1 8,再结合方程的正整数解分类讨论可得答案.【详解】解：(1):5+3=2 x(1+3)=8,.5313是“共生数”,.6+7=130 2x(4+3)=14,.6437不是“共生数”.(2)设“共生数”的千位上的数字为。，则十位上的数字为2 a,设百位上的数字为个位上的数字为c,.-.1 5,0 /?9,0 c 9,且为整数，所以：n=000a+100。+20。+c=1020。+100。+c,由“共生数”的定义可得：a+c=2(为+)，/.c=3。+2b,.=1
45、023。+102/7,=1 =341。+34 仇百位上的数字与个位上的数字之和能被9 整除,.,./?+c =0 或力+c =9 或 h +c =1 8,当b +c =O,则=c =0,则。=0,不合题意，舍去,当人+c =9 时，则 3。+3 =9,.a+b=3,当 a =1 时,人=2,c =7,1 2 2 7此时：/7 =1 2 2 7,F()=-=4 0 9,而 4+0+9=1 3 不为偶数，舍去，当。=2时，=l,c =8,9 1 4 R此时：“=2 1 4 8,尸()=二=71 6,而 7+1+6=1 4为偶数，当 a =3 时，Z?=0,c =9,此时：“=3 0 69,/()=
46、圭 箸=1 0 2 3,而 1+0+2+3=6为偶数，当+c =1 8时，则8=c =9,而3 a+3 8 =1 8，则。=一3不合题意，舍去，综上：满足产()各数位上的数字之和是偶数的=2 1 4 8或=3 0 69,【点睛】本题考查的是新定义情境下的实数的运算，二元一次方程的正整数解，分类讨论的数学思想的运用，准确理解题意列出准确的代数式与方程是解题的关键.2 7.(2 0 2 1四川中考真题)已知平面直角坐标系中，点 尸(x。,%)和直线4 x+8 y+C=0 (其中A,3不全 为0),则点尸到直线A x+B j+C=O的距离d可用公式d =|A%+8)o+C|来计算.VA2+B2例如：
47、求点尸(1,2)到直线y=2 x+l的距离，因为直线y=2 x+l可化为2 x y+l=0,其中A=2,B=,|?Lc0+Bv0+C|2 xl+(-l)x2 +l|1 V5-L C=l,所以点尸(1,2)到直线y=2 x+l的距离为：dj-：%=HF=逮=1 .根据以上材料，解答下列问题：(1)求点M(0,3)到直线y =J i r +9的距离；(2)在(D的条件下，的半径r =4,判断。M与直线y =6r+9的位置关系，若相交，设其弦长为，求的值；若不相交，说明理由.【答案】（1）3；（2）直线与圆相交，n=2百【分析】（1）直接利用公式计算即可；（2）根据半径和点到直线的距离判断直线与圆的
48、位置关系，再根据垂径定理求弦长.【详解】解：（1）；y=J x+9 可变形为-y+9=0,则其中 A=6，8=1,C=9,.点M到直线y=V 3 x+9 的距离为3,（2）由（1）可知：圆心到直线的距离4=3,圆的半径r=4,：d 0.4=0.8;h52.-x5 2；0.2 +3.2 2/0.2 x 3.2 =1.6;I 2.-x 5 V 5 28 V 2 8 2猜想：如果a0,b 0,那么存在a +b 2疯（当且仅当a =匕时等号成立）.猜想证明：（右 了2 0.当且仅当石一6 =0,即a =时，a-2 4 a b+b =0,Aa +b =2yfa b ;当G G wO,即疝 人时，a-2
49、a+b 3 ：.a +b 2 fa b .综合上述可得：若。0,b 0,则Q+0 22而 成 立（当日仅当。=人时等号成立）.猜想运用：（1）对于函数y =x+J（x 0）,当x取何值时，函数 的值最小？最小值是多少？变式探究：（2）对于函数y =+x（x 3）,当x取何值时，函数y的值最小？最小值是多少？拓展应用：（3）疫情期间、为了解决疑似人员的临隔离问题.高速公路榆测站入口处，检测人员利用检测站的一面墙（墙的长度不限），用6 3米长的钢丝网围成了 9间相同的长方形隔离房，如图.设每间离房的面积为S （米2）.问：每间隔离房的长、宽各为多少时，可使每间隔离房的面积S最大？最大面积是多少？/
50、1/（墙）7【答案】（1）X =l，函数y的最小值为2；（2）x =4,函数y的最小值为5；（3）每间隔离房长为一米,2宽 为米时，S的最大值为：丁米-【分析】猜想运用：根据材料以及所学完全平方公式证明求解即可；变式探究：将原式转换为=1+尤-3 +3,再根据材料中方法计算即可：K3拓展应用：设每间隔离房与墙平行的边为工米，与墙垂直的边为y米，依题意列出方程，然后根据两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系探究最大值即可.【详解】猜想运用：0,当 x=一 时，ymin=2,X此时X2=1,只取X=1 ,即x=l时，函数y的最小值为2.变式探究：Vx3,，x-3 0,-0,x-3