《2021年全国高考真题乙卷数学（文）试题（含答案解析）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021年全国高考真题乙卷数学（文）试题（含答案解析）.pdf（21页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、绝密启用前河南省2021年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题:本题共12小题，每小题5 分，共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集。=123,4,5,集 合=1,2,N=3,4,则加(M u N)=()A.B.1,2C.3,4D,1,2,3,4)2.设 iz=4+
2、3 i,则2=()A.34iB.-3+4iC.3-4iD.3+4i3.已知命题：w R,sin x 1.则下列命题中为真命题的是（A.P HB.C.P HD.4.X Y函数/（x）=sin%+co s4的最小正周期和最大值分别是（）A.3兀和B.3兀和2C.6兀和0D.6兀和2x+y4,5.若 苍丁满足约束条件，x-y 2,则z=3x+y的最小值为（）A.18B.10C.6D.46.LU、2兀 LU、2-5-兀一(12 12A.B Gr x/2D.23227.在区间（0,二 1 随机取1个数，则取到的数小于，的概率为（I 22 _ 3)A.34 ID.-618.下列函数中最小值为4的 是（）A
3、.y=x?+2 x +4B.C.D.Inx9.设函数/（=上 三，则下列函数中为奇函数的是（l+x)A.x T)TB./(x-l)+lC./(x+1)-1D./(x+l)+l1 0.在正方体A B C O-中，P为 的 中 点，则直线/火与A所成的角为（）A：B Ca D.2 3 4 621 1 .设B是椭圆C：（+y2=i的上顶点，点尸在c上，则归目的最大值为（）5 广 广A.-B.V6 C.V5 D.21 2 .设a 00,若x =a为函数/（x）=a（x-a）2（x 3的极大值点，则（）A a b C.ab a2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.1 3 .已知向量a=（2,
4、5）,B =（4,4）,若q b，则4=.V2 V21 4.双曲线二一=1的右焦点到直线x +2 y-8 =0的距离为.4 51 5 .记AA5c的内角A,B,C的对边分别为a,h,c,面 积 为 百，3 =6 0。，a2+c2=3 a c，则匕=1 6 .以图为正视图，在图中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为（写出符合要求的一组答案即可）.图 图三、解答题.共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第 17 21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.(-)必考题：共 60分.1 7 .某厂研制了
5、一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了 1 0 件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备9.81 0 31 0.01 0 29.99.81 0.01 0.11 0.29.7新设备1 0.11 0.41 0.11 0.0 1 0.11031 0.6 1 0.51 0 41 0.5旧设备和新设备生产产品该项指标的样本平均数分别记为嚏和斤,样本方差分别记为S：和(1)求 x ,y,：,则认为(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果了-52 2新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高
6、).1 8 .如图，四棱锥PA 8 C。的底面是矩形，底面A B C。，M 为 的 中 点，且p.(1)证明：平面R 4 M_L平面尸3;(2)若尸。=。=1,求四棱锥P 4 B C D的体积.1 9.设 为 是首项为1的等比数列，数列也 满足=詈.已知外,3a 2,9%成等差数列.(1)求 4 和物“的通项公式；C 记S”和7”分别为 4 和%的前项和.证明：Tn 0)的焦点尸到准线的距离为2.(1)求C的方程；(2)已知。为坐标原点，点尸在C上，点Q满 足 而=9 0R，求直线。斜率的最大值.2 1 .已 知 函 数=(1)讨论/(x)的单调性；(2)求曲线y =/(x)过坐标原点的切线与
7、曲线y =/(x)的公共点的坐标.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做.则按所做的第一题计分.选修4-4:坐标系与参数方程2 2 .在直角坐标系X 0 Y中，O C的圆心为。(2,1),半径为1.(1)写出O C的一个参数方程；(2)过点尸(4,1)作O C的两条切线.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程.选修45:不等式选讲2 3.已知函数/(力=上一4+,+3|.(1)当。=1 时，求不等式/(X)26的解集;(2)若 x)m 求 a的取值范围.绝密启用前河南省2021年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1.
8、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题:本题共12小题，每小题5 分，共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 .已知全集。=1,2,3,4,5 ,集合M =1,2 ,N=3,4,则加(M uN)=()A.5 B.1,2 C.3,4 D.1,2,3,4【答案】A【解析】【分析】首先进行并集运算，然后进行补集运算即可.【详解】由题
9、意可得：M UN =1,2,3,4,则说(M UN)=5.故选：A.2.设i z=4+3 i,则 z=()A.-3-4i B.-3+4i C.3-4i D.3+4i【答案】C【解析】【分析】由题意结合复数的运算法则即可求得Z 的值.【详解】由题意可得：2=土=世=生匚=3 4i.zi2-1故选：C.3,已知命题：玉:e R,s i n x 4,5.若 乂丁满足约束条件 x 2,则 z=3x +y 的最小值为()4 3,A.18 B.10 C.6 D.4【答案】C【解析】【分析】由题意作出可行域，变换目标函数为y=-3x+z,数形结合即可得解.【详解】由题意，作出可行域，如图阴影部分所示，x+y
10、=4,、由 :可得点A(l,3),y=3转换目标函数z=3x+y为y=-3x+z,上下平移直线y=-3x+z数形结合可得当直线过点A时,z取最小值,此时 Zmin=3xl+3=6.故选：C.r2兀 2 5兀 /、6.co s-cos =()12 12A.1 B.C.也 D.52 3 2 2【答案】D【解析】【分析】由题意结合诱导公式可得cos22 cos2=cos22-sin2 2,再由二倍角公式即可得解.12 12 12 12【详解】由题意,cos2-cos 2 57r=cos2-cos212 12 1271=cos=6T故选：D.7.在 区 间 随 机 取1个数，则取到的数小于工的概率为(
11、I 2_ 3)A-l2B.一3D.6【答案】B【解析】【分析】根据几何概型的概率公式即可求出.【详解】设a=区间(0,；随机取1个数”=p|0 x A=取到的数小于工=卜 0 x 3,当且仅当 =-1时取等号，所以其最小值为3,A不符合题意;对 于B,因为0 0,y=2+22r =2+白2 2 4 =4,当且仅当2 =2,即 =1时取等号，所以其最小值为4,C符合题意；对于 D,y=l n x+/一,函数定义域为(O,l)U(l,+Q)，而 I n xe R 且 l n x/0,如当 l n x=-l,y=-5,I n xD不符合题意.故选：C.【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，
12、明 确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即可解出.1 Y9.设函数/(x)=，则下列函数中为奇函数的是()1 +xA.f(X 1)1 B./(X 1)+1 C.f(X+1)1 D./(x+l)+l【答案】B【解析】【分析】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可.1 _ V 2【详解】由题意可得/(x)=-1+，1+X 1+X2对于A,/(X-1)-1=1一2不是奇函数；?对于B,fQ 1)+1 =一是奇函数；X2对于c,y(x+i)-i=-2,定义域不关于原点对称，不是奇函数；?对于D,y(x+i)+i=，定义域不关于原点对称，不是奇函数.x+2故选：B【点睛】本题主要考
13、查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题.10.在正方体A B C。一 AfG。中，P为BQ的中点，则直线P B与A。所成的角为()【答案】D【解 析】【分 析】平 移 直 线AR至BC，将 直 线 依 与A?所成的角转化为m与BG所成的角，解三角形即可.【详 解】如图，连 接BG，PG，PB,因 为A ）1 B G，所 以N P B C 或 其 补角为直线P B与AQ所成的角,因为 8耳 _ L 平面 AAGA，所以 B B|J.P G，又 P C J B Q i，B B.n B,D,=B,所 以P C|_ L平 面P B B、,所 以P C|J.P B ,设 正 方 体 棱 长 为
14、2,则B C=2V 2,P C =g D、B,=e ,sin Z P B C,=-=1,所以 N P B C、=j万 C q 2 6故 选：D211.设B是 椭 圆C：弓+V=1的上顶点，点 尸 在c上，则|P目 的 最 大 值 为（）A.1 B.76 C.75 D.2【答 案】A【解 析】2【分 析】设 点P（如），由依题意可知，3（0,1）,羡+公=1,再根据两点间的距离公式得到陀郎，然后消元，即可利用二次函数的性质求出最大值.2【详 解】设 点P（Xo，%），因 为8（0,1）,+y；=l,所以I 阳2=%+(%-if =5(1-y；)+(%-琰=-4%-2%+6=T t-;)+与 而一
15、1%4 1,所以当先=；时，|P 的最大值为1.故选：A.【点睛】本题解题关键是熟悉椭圆的简单几何性质，由两点间的距离公式，并利用消元思想以及二次函数的性质即可解出.12.设a wO,若x=。为函数/(x)=a(x-a)2(x。)的极大值点，则()A.ab C.aba2【答案】D【解析】【分析】结合对。进行分类讨论，画出/(x)图象，由此确定正确选项.【详解】若a=。，则/(x)=a(x a)3为单调函数，无极值点，不符合题意，故 b.依题意，x=a为函数x)=a(x。口 与 的极大值点，当a 8,/(x)0,画出/(x)的图象如下图所示：由图可知b a,a/.当a 0时，由x b时，/(x)
16、0,画 出 的 图 象 如 下 图 所 示:由图可知h a,。0，故出?.综上所述，加?/成立.故选：D【点睛】本小题主要考查三次函数的图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速解答.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.1 3.已知向量2 =(2,5),3 =(4 4),若/力，则4=.Q【答案】-5【解析】【分析】利用向量平行的充分必要条件得到关于;I的方程，解方程即可求得实数X的值.【详解】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：2 x4 2 x5 =0,Q解方程可得：2 =-.Q故答案为：.2 21 4.双曲线二 一 匕=1的右焦点到直线x+2 y-8=0的距离为.4 5【
17、答案】石【解析】【分析】先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解.【详解】由已知，0 =，7寿=居4=3,所以双曲线的右焦点为(3,。)，|3 +2 x0-8|5 /r所以右焦点(3,0)到直线x+2 y-8=0的距离为&=忑=小.故答案为：Vs1 5.记AABC的 内 角A,8,C的 对边分别为a，b，c，面 积 为 6 ,3 =6 0。,a1+c2=3 a c，则。=【答 案】2拒【解 析】【分 析】由三角形面积公式可得QC=4,再结合余弦定理即可得解.【详 解】由题意，S=L a c s i n B =a c =也,AAO C2 4所以 a c =4,+c?=1 2,所 以。2 =
18、/+c 2-2 a c c o s B =1 2-2 x4 xg =8,解 得 人=2五（负值舍去）.故答案为：2夜.1 6 .以图为正视图，在图中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某三棱锥的三视图，则所选侧 视 图 和 俯 视 图 的 编 号 依 次 为（写出符合要求的一组答案即可）.图 图【答 案】【解 析】【分 析】由题意结合所给的图形确定一组三视图的组合即可.【详 解】选择侧视图为，俯视图为,如图所示，长方体A 3CO A4G。中，A B =B C =2,BB=1,EF分别为棱8居,8 c的中点，则正视图，侧视图，俯视图对应的几何体为三棱锥EA E.故答案为：.【点睛】三视图问题解决的
19、关键之处是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系.三、解答题.共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第 17 21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.(-)必考题：共 60分.1 7.某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了 1 0 件产品，得到各件产品该项指标数据如下:旧设备9.81 0.31 0.0 1 0.29.99.81 0.0 1 0.11 0 29.7新设备1 0.11 0.41 0.11 0.01 0.11 0.31 0.6 1 0.51
20、0.4 1 0.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为最和7,样本方差分别记为s：和(1)求1 y,S；,S；(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果受一亍,则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高).【答案】(1)x =10,=10.3,5；=0.03 6,5；=0.04；(2)新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.【解 析】【分 析】（1）根据平均数和方差的计算方法，计算出平均数和方差.（2）根据题目所给判断依据，结 合（1）的结论进行判断.9.8 +10.3 +10+10.2+9.9 +9.8 +
21、10+10.1+10.2+9.7 详 解 x =-=10,10-10.1+10.4+10.1+10+10.1+10.3 +10.6 +10.5 +10.4 +10.5 y=-=10.3,。爰 +o台2+0+0.22+o,+0.22+0+0.F +o+。3 2100.22+0.12+0.22+0.32+0.22+0+0.32+0.22+0.12+0.22（2）依题意，y-x =0.3 =2x 0.15 =2V 0.152=27 0.025 1 20-0 300 4=2x/0.007 6 ,所以新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.V 1018.如 图，四 棱 锥P ABCQ的底面是矩
22、形，底 面A B C。，M为8c的中点，且（1）证 明：平面平面P 3 D；（2）若P D =D C =L求 四 棱 锥?一 A B C。的体积.【答 案】（1）证明见解析；（2）旦.3【解 析】【分 析】（1）由P _ L底 面4 B C O可 得PD _ L A/W，又 由 线 面 垂 直 的 判 定 定 理 可 得40 平面P B D,再根据面面垂直的判定定理即可证出平面R4 _ L平 面P B D；（2）由（1）可 知，A M B D，由平面知识可知，D A B A B M，由相似比可求出AO，再根据四棱锥P-ABC。的体积公式即可求出.【详解】（1）因为PDJ_底面ABC。，A M
23、u平面ABC。，所以PD_LAM，又 心，AM，P3nPO=P，所以AM_L平面PBD，而A M u平面PAM，所以平面RVW _L平面PB.（2）由（1）可知，A M,平面 P8D,所以 A M L3D，从而 AD W ABM，设=A D =2x,RM A R 后则=,即2 f=i，解 得 彳=在，所以AD=Q.因为PD_L底面ABC。，故四棱键P-ABCDA B A D 2的体积为V=gx（lx亚）xl=*.【点睛】本 题 第 一 问 解 题 关 键 是 找 到 平 面 或 平 面P3D的垂线，结合题目条件P 5 L A/，所以垂线可以从中产生，稍加分析即可判断出AM _平面正比 ,从而证
24、出；第二问关键是底面矩形面积的计算，利用第一问的结论结合平面几何知识可得出AD 46AABM，从而求出矩形的另一个边长，从而求得该四棱锥的体积.19.设 风 是首项为1的等比数列，数列 2 满足勿=詈.已知,3%,9弓成等差数列.（1）求 4 和 也 的通项公式;C 记S“和7；分别为%和 也 的前项和.证明：T“苣.1H【答案】an b=;（2）证明见解析.【解析】【分析】利用等差数列的性质及得到9/6q+1=0,解方程即可；利用公式法、错位相减法分别求出S“,7；,再作差比较即可.【详解】因为 an是首项为1的等比数列且q,3g,9 q成等差数列，所以6a2 =q+9a3,所以金 也=q+
25、9。4,即9/6q+l=0,解得q=；,所以4,=（：产，nan n所以勿=茎=17.1 3_ 1 2 n-1 n 丁T =-I +-!-H-，3 32 3T 3 J 1 2 n-1 n-/=系+丁+丁+尹，三 2 _ 1 1 1 1 n 31 3,n I Z1 I x n 一 得=.+至+至+*=-7-*=5（1 一至）一 前，3 D D D ,J NDD33 1 n所以小严寸打，u-S“34 1、n 3 1 .n.所以乙-=（1-）-（1-）=-0,2 4 3 2-3 4 3 23V所以看 0）的焦点尸到准线的距离为2.（1）求C的方程；（2）已知。为坐标原点，点尸在C上，点Q满 足 所=
26、9。商，求直线。斜率的最大值.【答案】（1）/=以；（2）最大值为.3【解析】【分析】（1）由抛物线焦点与准线的距离即可得解；（2）设Q（x。，%），由平面向量的知识可得产（10%一9,10%）,进而可得端=2 5；,+9,再由斜率公式及基本不等式即可得解.【详解】（1）抛物线C:y2=2px（p0）的 焦 点 准 线 方 程 为x=勺由题意，该 抛 物 线 焦 点 到 准 线 的 距 离 为-5）=2,所以该抛物线的方程为V=4x；（2）设Q（x。,%）,则 闻=9诙=（9一9%,一9%）,所以尸（10%一9,10%），由P在抛物线上可得（10%）2=4（10%9）,即/=2 5 +910所
27、以直线OQ的斜率无 =A =_O Vox0 2 5 y；+9 2 5 y：+9,1 0当 先=时,k()Q=；k i o当 先，。时，。一 2 5%+?，%9当%0时，因为2 5%+2 2%9=3 0,%i 9 3此时0%2一，当且仅当2 5%=一，即 为=一时，等号成立;3y()5当先 0 时，kO Q 0,a o,x）单调递增;当 口 I孙小心减;当x e -,+o o 时，（x）单调递增；I 6）综上可得：当时，/（X）在R上单调递增，1 ，/、（2-j4 1 2 a）（2-V 4-1 2 a 2 +-1 2 a、当a 6表示数轴上的点到1和 3的距离之和不小于6,故x KT或X 2 2,所以/(x)6的解集为(口,-4 U 2,物).-4 -3 0 1 2(2)依题意a,即 卜-+|x+3 a恒成立,|x-a|+|x+3|=|a-jc|+|x4-3|a+3|,故|a+3 -a,所以。+3 c i 或 a +3 V a,3解得a .2所以”的取值范围是(一|，+c【点睛】解绝对值不等式的方法有零点分段法、几何意义法.