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1、精心整理 圆锥曲线中焦点三角形问题 焦点三角形是圆锥曲线的两个焦点与圆锥曲线上任意一点组成的三角形，以这个三角形的某些元素作为条件的圆锥曲线问题称为焦点三角形问题。焦点三角形是圆锥曲线中的重要内容，本文将介绍一些关于焦点三角形问题的解法。一、周长问题 例 112FF、是椭圆22221xyab(0)ab 的两个焦点，A是椭圆上任一点，求12AF F的周长。分析由于12AF F的三边由1122AFF FAF、构成，故考虑运用椭圆的定义。解据椭圆的定义有|12AF+AF=2a，12|2FFc，则12AF F的周长为22ac。变式12FF、是椭圆22221xyab(0)ab 的两个焦点，A是椭圆上任一
2、点，1AF的延长线交椭圆于点B，求2ABF的周长。解12|2AFAFa,12|2BFBFa,2221212|224ABFABAFBFAFAFBFBFaaa 小结：解此类题关键是运用圆锥曲线的定义。二、面积问题 例 212FF、是椭圆22221xyab(0)ab 的两个焦点，P是椭圆上任一点，12F PF求12AF F的面积。解设12|,|PFm PFn 由椭圆定义可知，2m+n=a。在12PF F中，运用余弦定理有 可得221cosbmn，1 22222sin2sintan1cos2PF FbSmnb。（1）由此类比双曲线可得到 精心整理 12FF、是椭圆22221xyab(0)ab 的两个焦
3、点，P是椭圆上任一点，12F PF求12AF F的面积。1 22cot2PF FSb（2）公式（1）、（2）对于焦点在y轴上的椭圆和双曲线同样成立。小结：此结论一般称为焦点三角形的面积公式，一般运用于客观题的解题。求解圆锥曲线中的面积问题一般会利用余弦定理来求解。在解圆锥曲线的问题中，有些选择题或填空题，如果用常规方法去解题，无疑是小题大做,这在考试特别是高考中，是非常不可取的。运用特殊解法，不但可以节省时间，还可提高准确率。例 3已知双曲线方程为22143xy，12FF、是双曲线的两个焦点，P是双曲线上任一点，1260F PF求12AF F的面积。分析若是客观题，可直接代入焦点三角形面积公式
4、得：三、最值问题 个三角形的某些元素作为条件的圆锥曲线问题称为焦点三角形问题焦点三角形是圆锥曲线中的重要内容本文将介绍一些关于焦点三角形问题的解法一周长问题例是椭圆的两个焦点是椭圆上任一点求的周长分析由于的三边由构成故考周长解小结解此类题关键是运用圆锥曲线的定义二面积问题例是椭圆的两个焦点是椭圆上任一点求的面积解设由椭圆定义可知在中运用余弦定理有可得由此类比双曲线可得到是椭圆精心整理的两个焦点是椭圆上任一点求的面积公式解圆锥曲线中的面积问题一般会利用余弦定理来求解在解圆锥曲线的问题中有些选择题或填空题如果用常规方法去解题无疑是小题大做这在考试特别是高考中是非常不可取的运用特殊解法不但可以节省时
5、间还可提高准确率例已知双精心整理 例 4 已知椭圆方程为22221(0)xyabab，12FF、分别为其左右两焦点，P为椭圆上任意一点，12=F PF，求（1）的最大值；（2）12PF F面积的最大值；（3）12PF F的周长的最大值。解（1）法一设12|,|PFm PFn由椭圆定义可知，2m+n=a。在12PF F中，运用余弦定理有2222122cos4mnmnF Fc 又22amnmn ，2mna（当且仅当mn时等号成立）又因当(0,)时，cosy单调递减，22arccos(21)ba 且在mn时，取得最大值22arccos(21)ba或者22arccos(21)ba 又2amn mna
6、时，取得最大值。即P位于椭圆短轴端点时，取得最大值。法二设),(ooyxP,由焦半径公式可知：oexaPF1，oexaPF1 在21PFF中，2122121212cosPFPFFFPFPF21221221242)(PFPFcPFPFPFPF 1)(24124422122ooexaexabPFPFca=122222oxeab 即P位于椭圆短轴端点时，取得最大值。（2）过点P作12F F的垂线，垂足为H。令PHh。12|2F Fc，当h为最大时，三角形的面积取得最大值。即当P位于椭圆短轴端点时，三角形面积取得最大值。（3）据椭圆的定义有|12PF+PF=2a，12|2F Fc，则12PF F的周长
7、为22ac。即12PF F的周长无最大值。个三角形的某些元素作为条件的圆锥曲线问题称为焦点三角形问题焦点三角形是圆锥曲线中的重要内容本文将介绍一些关于焦点三角形问题的解法一周长问题例是椭圆的两个焦点是椭圆上任一点求的周长分析由于的三边由构成故考周长解小结解此类题关键是运用圆锥曲线的定义二面积问题例是椭圆的两个焦点是椭圆上任一点求的面积解设由椭圆定义可知在中运用余弦定理有可得由此类比双曲线可得到是椭圆精心整理的两个焦点是椭圆上任一点求的面积公式解圆锥曲线中的面积问题一般会利用余弦定理来求解在解圆锥曲线的问题中有些选择题或填空题如果用常规方法去解题无疑是小题大做这在考试特别是高考中是非常不可取的运
8、用特殊解法不但可以节省时间还可提高准确率例已知双精心整理 小结:解焦点三角形有关的最值问题，主要是利用圆锥曲线的第一定义，并借助正弦定理、余弦定理以及均值定理和函数的单调性等来解决。四、离心率问题 例 512FF、是椭圆22221xyab(0)ab 的两个焦点，P是椭圆上任一点，1221,PF FPF F，求椭圆的离心率。解121212sinsinsin()sinsinPFPFF FPFPF 小结：已知“焦点三角形”的两个角，求其离心率，一般利用正弦定理、等比定理、椭圆的定义及三角函数等有关知识来求解。双曲线也有类似结论。例 6 已知椭圆方程为),0(12222babyax两焦点分别为,21F
9、F设焦点三角形21FPF中,21 PFF则.21cos2e 证明：设,2211rPFrPF则在21PFF中，由余弦定理得：.2112221)2(222222222122eacarrca命题得证。例 7已知椭圆的焦点是 F1(1，0)、F2(1，0)，P为椭圆上一点，且F1F2是PF1和|PF2的等差中项(1)求椭圆的方程；(2)若点 P在第三象限，且PF1F2120，求 tanF1PF2 解：(1)由题设 2F1F2PF1PF2 2a，又 2c2，b3 椭圆的方程为3422yx1(2)设F1PF2，则PF2F160 个三角形的某些元素作为条件的圆锥曲线问题称为焦点三角形问题焦点三角形是圆锥曲线
10、中的重要内容本文将介绍一些关于焦点三角形问题的解法一周长问题例是椭圆的两个焦点是椭圆上任一点求的周长分析由于的三边由构成故考周长解小结解此类题关键是运用圆锥曲线的定义二面积问题例是椭圆的两个焦点是椭圆上任一点求的面积解设由椭圆定义可知在中运用余弦定理有可得由此类比双曲线可得到是椭圆精心整理的两个焦点是椭圆上任一点求的面积公式解圆锥曲线中的面积问题一般会利用余弦定理来求解在解圆锥曲线的问题中有些选择题或填空题如果用常规方法去解题无疑是小题大做这在考试特别是高考中是非常不可取的运用特殊解法不但可以节省时间还可提高准确率例已知双精心整理 椭圆的离心率21e 则)60sin(23sin)60sin(1
11、20sin)180sin(21oooo，整理得：5sin3(1cos)53cos1sin故532tan，tanF1PF2tan11352531532 参考文献 1.俞新龙.破解圆锥曲线焦点三角形问题【J】.数学导学.2013.2.吴成强.圆锥曲线中“焦点三角形”有关问题研究【J】.中学数学杂志.2009(5).3.刘豪.圆锥曲线中焦点三角形几个问题的解法【J】.林区教学.2008(133).4.个三角形的某些元素作为条件的圆锥曲线问题称为焦点三角形问题焦点三角形是圆锥曲线中的重要内容本文将介绍一些关于焦点三角形问题的解法一周长问题例是椭圆的两个焦点是椭圆上任一点求的周长分析由于的三边由构成故考周长解小结解此类题关键是运用圆锥曲线的定义二面积问题例是椭圆的两个焦点是椭圆上任一点求的面积解设由椭圆定义可知在中运用余弦定理有可得由此类比双曲线可得到是椭圆精心整理的两个焦点是椭圆上任一点求的面积公式解圆锥曲线中的面积问题一般会利用余弦定理来求解在解圆锥曲线的问题中有些选择题或填空题如果用常规方法去解题无疑是小题大做这在考试特别是高考中是非常不可取的运用特殊解法不但可以节省时间还可提高准确率例已知双