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1、 专题训练 恒成立存在性问题 知识点梳理 1、恒成立问题的转化:恒成立 a max a f x 恒成立 X min 2、能成立问题的转化:能成立 a X min a f x 能成立 x max 8 设函数 f X g X，存在 Xi a,b，存在 X2 c,d，使得 f Xi g X?，则 fmin x gmax X 9、若不等式 f X g X 在区间 D 上恒成立，则等价于在区间 D 上函数 y f x 和图象在 函数 y g x图象上方；10、若不等式 f x g x 在区间 D 上恒成立，则等价于在区间 D 上函数 y f x 和图象 在函数 y gx 图象下方；3、恰成立问题的转化：
2、a f x 在 M 上恒成立 a f x在 CRM 上恒成立 在 M 上恰成立 a X的解集为 M f(X)在 D 上的最小值 fmin(X)D,f(x)B在 D 上恰成立，则等价于f(x)在 D 上的最大值fmax(x)另一转化方法：若x D,f(x)若x A在 D 上恰成立，等价于 4、设函数 f x、，对任意的兀 a,b，存在 X2 c,d，使得 f xi g X2，则 min X g min X 5、设函数 f x、，对任意的 Xi a,b，存在 X2 c,d，使得 f%g X2，则 max X g max X 6 设函数 f x、，对任意的 Xi a,b，存在 X2 c,d，使得 f
3、 Xi=g X2，则 f 在 Xi a,b 上的值域 M 是 g x 在 X2 c,d 上的值域 N 的子集。即：M No 题型一、常见方法 i、已知函数 f(x)x2 2ax i，g(x)-，其中 a 0，x 0.x 1)对任意X i,2，都有f(x)g(x)恒成立，求实数a的取值范围；2)对任意 Xi i,2,X2 2,4，都有 f(xj g(x2)恒成立，求实数a的取值范围；【分析：】1)思路、等价转化为函数f(x)g(x)0恒成立，在通过分离变量，创设新函数求最值解决.2)思路、对在不同区间内的两个函数 f(x)和g(x)分别求最值，即只需满足fmin(x)gma”)即 可.简解：(1
4、)由x2 2ax 3 3 廿1成立，只需满足(x)尸的最小值大于 3、已知两函数f(x)x2,g(x)-2 对任意 Xi 0,2，存在 X2 1,2，使得 a即可.对(x)x3 2x2 i求导,(X)2x4 帚1 0，故(X)在x 1,2是增函数,f(Xi)g X2，则实数 m 的取值范围为 min(x)(i)所以a的取值范围是0 a 解析：对任意 Xi 0,2,存在 X2 1,2，使得 f(Xi)g X2等价于g(X)m在 i,2 上 2、设函数h(X)1 1 X b，对任意a?,2，都有h(x)10在x：,1恒成立，求实数 b 的 1 的最小值-m不大于 4 2 i f(X)X2在02上的
5、最小值0,既；取值范围.分析：思路、解决双参数问题一般是先解决一个参数,实质还是通过函数求最值解决.再处理另一个参数以本题为例,4.已知 f(x)2ax-x 1 Inx在 x 1 与x-处都取得极值.2 i i 意的Xi-,2，总存在X2-,2，使得、Xi 方法 i:化归最值,h(X)I0 hmax(X)I0；b 解析：I f(x)2ax-Inx,f(x)2a 方法 2:变量分离,b I0(a x x)或a(i0 b)X;方法 3:变更主元,1(a)-x I0 取得极值 f(i)0，f(?)2a 2a 简解：方法 i：对 h(x)g(x)b求导,h(x)(x a)(x a)f(x)I i 3x
6、2 1 2(x 1)(x 3x2 由此可知,i i h(x)在丄,i上的最大值为h(2)与h(i)中的较大者.4 4 函数g(x)=g(Xi)f(X2)ln X2，b 2 X 1 H f(x)2ax x b i 4b 2 0 解得:2mx+m，若对任求实数m的取值范围-Inx 在 x 1 与 x x 所以函数f(x)在 X i 与X 处都取得极值.i h(-)I0 4 h(i)I0 I 4a b I0 4 i a b I0 39 b 4a i 7 4，对于任意a-,2，得 b 的取值范围是b-b 9 a 2 4 又函数y=f(x)In x 2 1 1 x+在,2上递减，二 3 3x 2 f(x
7、)Xmf(2)=-图象在函数恒成立问题的转化恒成立能成立问题的转化能成立恒成立能成立恰成立问题的转化在上恰成立的解集为在上恒成立在上恒成立图象上方若不等式在区间上恒成立则等价于在区间上函数和图象在函数图象下方题型一常见方意的兀存在使得则对任意都有恒成立求实数的取值范围对任意都有恒成立求实数的取值范围设函数对任意的存在使得则分析思路等价转化为函数恒成立在通过分离变量创设新函数求最值解决设函数对任意的存在使得则思路对在不同小值大于已知两函数对任意存在使得即可对求导帚故在是增函数则实数的取值范围为所以的取值范围是解析对任意存在使得等价于在上设函数对任意都有在恒成立求实数的的最小值不大于在上的最小值既
8、取值范围分析思路解决双参 _ Q 又 函数g(x)=x 2mx+m图象的对称轴是x=m 函数大于等于 0 恒成立的问题。(n)略解：由(I)知：f(x)x,g(x)x sinx，:g(x)在11 当吨时：g(x)min=g(=4，依题意有1 7成立,1 m2 时：g(x)min=g(2)=4 7 31 7，m 18，又 m2，二 m 1、当 x 1,2 时，不等式x2 mx 4 0恒成立，则m的取值范围是.综上：m生型所以，实数m的取值范围为(6 3+.51 6 2 解析：当 x(1,2)时，由 x2 mx 4 0 得 m-一.二 m 5.x 题型二、主参换位法(已知某个参数的范围，整理成关于
9、这个参数的函数 题型四、数形结合(恒成立问题与二次函数联系(零点、根的分布法)1、对于满足|p 2 的所有实数 p,求使不等式x2 px 2x恒成立的 x 的取值范围 1、若对任意 x R,不等式|x|ax恒成立，则实数a的取值范围是 解：不等式即 x/2 小 1 p x 2x 1 0,设 f p 2x 1，则 f p 在-2,2 解析：对 x R,不等式|X|ax恒成立、则由一次函数性质及图像知 1 a 1，即 1 a 1。恒大于 0,故有:x2 4x 3 0 x2 1 0 2、已知函数f x x2 2kx 2,在x 1恒有f x k，求实数k的取值范围。2、已知函数f(x)x ln(e a
10、)(a为常数)是实数集R上的奇函数，函数g x f(x)sinx是区间 1,1上 分析：为了使f x k在x 1,恒成立，构造一个新函数 F x f x k，则把原题转化成 的减函数，(I)求a的值；(n)若g(x)t2 t 1在X 1,1上恒成立，求t的取值范围;左边二次函数在区间 1,时恒大于等于0的问题，再利用二次函数的图象性质进行分类讨(n)分析：在不等式中出现了两个字母:及t,关键在于该把哪个字母看成是一个变量,论，使问题得到圆满解决。图象在函数恒成立问题的转化恒成立能成立问题的转化能成立恒成立能成立恰成立问题的转化在上恰成立的解集为在上恒成立在上恒成立图象上方若不等式在区间上恒成立
11、则等价于在区间上函数和图象在函数图象下方题型一常见方意的兀存在使得则对任意都有恒成立求实数的取值范围对任意都有恒成立求实数的取值范围设函数对任意的存在使得则分析思路等价转化为函数恒成立在通过分离变量创设新函数求最值解决设函数对任意的存在使得则思路对在不同小值大于已知两函数对任意存在使得即可对求导帚故在是增函数则实数的取值范围为所以的取值范围是解析对任意存在使得等价于在上设函数对任意都有在恒成立求实数的的最小值不大于在上的最小值既取值范围分析思路解决双参 a 0 小结：若二次函数y ax2 bx c a 0大于 0 恒成立，则有 0，同理，若二次函数 a 0 y ax2 bx ca 0小于 0
12、恒成立，则有。若是二次函数在指定区间上的恒成立问题,还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解。题型五、不等式能成立问题（有解、存在性）的处理方法 若在区间 D 上存在实数x使不等式 f x A 成立,则等价于在区间 D 上 f x max A；由题设 a 0,所以 a 的取值范围是 1,0 0,小结：恒成立与有解的区别：恒成立和有解是有明显区别的，以下充要条件应细心思考，甄别差异，恰当使用，等价转 化，切不可混为一体。解：令F x f x k x2 2kx 2 k，则F x 0对x 1,恒成立，而F x是开口向上的抛物 线。当图象与 x 轴无交点满足 0，即 4k2 2 2 k 0，解得2
13、 k 1。当图象与 x 轴有交点，且在x 1,时F x 0，则由二次函数根与系数的分布知识及图 象可得：0 F 1 0解得3 k 2，故由知3 k 1。2k 1 2 2、已知函数f x 解:0,4，.a2 3a 4，解得 a 4或a 1。ln x 1 ax2 2x a 0存在单调递减区间,a的取值范围 因为函数 f 有解.即a 存在单调递减区间，所以f x 1 12 x x 0,能成立,设U 1-ax x 1 得，umin x 1.于是，a 1,ax2 2x 1 0 图象在函数恒成立问题的转化恒成立能成立问题的转化能成立恒成立能成立恰成立问题的转化在上恰成立的解集为在上恒成立在上恒成立图象上方
14、若不等式在区间上恒成立则等价于在区间上函数和图象在函数图象下方题型一常见方意的兀存在使得则对任意都有恒成立求实数的取值范围对任意都有恒成立求实数的取值范围设函数对任意的存在使得则分析思路等价转化为函数恒成立在通过分离变量创设新函数求最值解决设函数对任意的存在使得则思路对在不同小值大于已知两函数对任意存在使得即可对求导帚故在是增函数则实数的取值范围为所以的取值范围是解析对任意存在使得等价于在上设函数对任意都有在恒成立求实数的的最小值不大于在上的最小值既取值范围分析思路解决双参 若在区间 D 上存在实数x使不等式 f x B 成立,则等价于在区间 D 上的 f Xmin B.1、存在实数x，使得不
15、等式x 3 x 1 a2 3a有解，则实数a的取值范围为 _。解：设 f x x 3 x 1，由 f X a2 3a 有解，a2 3a f x min，不等式f x M对x 不等式f x M对x 不等式f x M对x 时恒成立 时有解 时恒成立 f max(x)M?，fmin(x)M?，x fmin(x)M?，f x的上界小于或等于M;或f x的下界小于或等于M;即f x的下界大于或等于M;图象在函数恒成立问题的转化恒成立能成立问题的转化能成立恒成立能成立恰成立问题的转化在上恰成立的解集为在上恒成立在上恒成立图象上方若不等式在区间上恒成立则等价于在区间上函数和图象在函数图象下方题型一常见方意的
16、兀存在使得则对任意都有恒成立求实数的取值范围对任意都有恒成立求实数的取值范围设函数对任意的存在使得则分析思路等价转化为函数恒成立在通过分离变量创设新函数求最值解决设函数对任意的存在使得则思路对在不同小值大于已知两函数对任意存在使得即可对求导帚故在是增函数则实数的取值范围为所以的取值范围是解析对任意存在使得等价于在上设函数对任意都有在恒成立求实数的的最小值不大于在上的最小值既取值范围分析思路解决双参 不等式f x M对x I时有解 fmax(X)M，x I.。或f X的上界大于或等于M；5、已知两函数f x 7x2 28x c，3 2 g x 2x 4x 40 x。题型六、等式能成立问题(有解、
17、存在性)的处理方法(1)对任意x 3,3，都有f x g x成立，求实数c的取值范围;1.已知函数f(x)ax ln x,x(1,e),且f(x)有极值(2)存在x 3,3，使 f x g x 成立，求实数c的取值范围;(I)求实数 a 的取值范围;(3)对任意X1，X2 3,3，都有f x1 g x2，求实数c的取值范围;(H)若 lmn0,证明:f(x)2x x+2;值是 3、不等式sin2x 4sin x 1 a 0有解，则a的取值范围是(3)若不等式-2x2 f x2 m2 2bm 3时，x 1,1及b 1,1都恒成立，求实数 m 的取值范围.4、不等式 ax x 4 x 在 x 0,
18、3 内恒成立，求实数 a 的取值范围 图象在函数恒成立问题的转化恒成立能成立问题的转化能成立恒成立能成立恰成立问题的转化在上恰成立的解集为在上恒成立在上恒成立图象上方若不等式在区间上恒成立则等价于在区间上函数和图象在函数图象下方题型一常见方意的兀存在使得则对任意都有恒成立求实数的取值范围对任意都有恒成立求实数的取值范围设函数对任意的存在使得则分析思路等价转化为函数恒成立在通过分离变量创设新函数求最值解决设函数对任意的存在使得则思路对在不同小值大于已知两函数对任意存在使得即可对求导帚故在是增函数则实数的取值范围为所以的取值范围是解析对任意存在使得等价于在上设函数对任意都有在恒成立求实数的的最小值
19、不大于在上的最小值既取值范围分析思路解决双参8、设fx px q 2lnx，且f e qe E 2(e 为自然对数的底数)x e(I)求 p 与 q 的关系；(II)若fx在其定义域内为单调函数，求 p 的取值范围；2e(III)设g x 一，若在1,e上至少存在一点X。，使得fx。gxo成立,求实数 p 的取值 x 范围 图象在函数恒成立问题的转化恒成立能成立问题的转化能成立恒成立能成立恰成立问题的转化在上恰成立的解集为在上恒成立在上恒成立图象上方若不等式在区间上恒成立则等价于在区间上函数和图象在函数图象下方题型一常见方意的兀存在使得则对任意都有恒成立求实数的取值范围对任意都有恒成立求实数的取值范围设函数对任意的存在使得则分析思路等价转化为函数恒成立在通过分离变量创设新函数求最值解决设函数对任意的存在使得则思路对在不同小值大于已知两函数对任意存在使得即可对求导帚故在是增函数则实数的取值范围为所以的取值范围是解析对任意存在使得等价于在上设函数对任意都有在恒成立求实数的的最小值不大于在上的最小值既取值范围分析思路解决双参