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1、案例说法 从二道高考题解读二面角的求法 空间几何中的三种角-异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角，在高考立体几何的计算中占据着主角地位。而二面角的求解因为方法多样、灵活多变，具有较高的区分度，较能考察学生的空间想象能力、逻辑思维能力及计算能力，更受到命题者的青睐。由于学生的空间想象能力、逻辑思维能力较弱，加之教师对教学的无赖，学生往往仅掌握用平面的法向量来求解二面角，此法虽然对学生的空间想象能力、逻辑思维能力要求不高，但对计算的要求较高，学生往往建系不当、计算出错等原因导致失分，并且如果不分试题背景都用法向量来求解，也有“小题大作”之嫌，费时费事，出现“隐形”失分。因此，在教学、备考中
2、适当介绍一些二面角的常用求法，让学生多几样利器，能避免“杀鸡全部用牛刀”的尴尬局面。下面通过 2011 年全国高考卷中的二道试题，介绍二面角的一些常用求法。例 1（2011 年全国大纲卷理 16）已知 E、F分别在正方形1111_DCBAABCD棱BB1，CC1上，且 B1F=2EB，CF=2FC1，则面 AEF与面 ABC所成的二面角的正切值等于_。一、面积射影法 一个平面多边形的面积为 S，它在另一个平面上的射影多边形的面积为1S，若多边形所在平面与另一个平面构成的二面角为，则SS1cos 解：如图1，设3AB，可求得)22,10(2113,29AFEFAESSAEFABC 且AEF 在平
3、面 ABCD 上的射影为ABC 32tan,113211329cosAEFABCSS 或解：如图 2 把AEF、ABC分别扩充 B1D1C1CDA1ABEF图 1 B1D1C1CDA1ABEFG成菱形 AEFG、正方形 ABCD。同样，菱形 AEFG 在底面上的射影 为正方形 ABCD，同上也可求出正确 答案。注：面积射影法对这种“无棱二面角”比较方便。二、三垂线定理法 如图 3，设锐二面角 l，过面 内一点 P 作 PA于 A，作 ABl 于 B，连接 PB，由三垂线定理得 PB l，则PBA为二面角 l的平面角，故称此法为三垂线法.解：如图，延长 CB、FE交与 G点，连接 AG，则 AG
4、ABC 平面平面AEF 因为：BCEBA平面 所以：过 B点作AGBM 于 M，连接 EM。由三垂线定理可知：AGEM。故EMB为 面 AEF与面 ABC所成的二面角的平面角。设3AB，EB FCEBFC21,，CG为B中点 3BG，在直角等腰三角形ABG 中，由AGBM 知 223BM B1D1MGC1CDA1ABEF图 A 图 3 P B l A B P 考立体几何的计算中占据着主角地位而二面角的求解因为方法多样灵活多变具有较高的区分度较能考察学生的空间想象能力逻辑思维能力及计算能力更受到命题者的青睐由于学生的空间想象能力逻辑思维能力较弱加之教师对教学的算的要求较高学生往往建系不当计算出错
5、等原因导致失分并且如果不分试题背景都用法向量来求解也有小题大作之费时费事出现隐形失分因此在教学备考中适当介绍一些二面角的常用求法让学生多几样利器能避免杀鸡全部用牛刀的上且则面与面所成的二面角的正切值等于一面积射影法一个平面多边形的面积为它在另一个平面上的射影多边形的面积为若多边形所在平面与另一个平面构成的二面角为则解如图设可求得且在平面上的射影为或解如图把分别扩充图322231tanMBEBEMB 三、垂面法 如图，作平面垂直于二面角 l的棱l，分别交二面角的两个面于射线 PA、PB。根据平面角的定义可知，APB就是二面角 l的平面角。这种通过作二面角棱的垂面得平面角的方法就叫做垂面法.解：如
6、图，延长 CB、FE交与 G点，连接 AG，则AGABC 平面平面AEF 易证11AACCAG平面 且11AACC平面与面 AEF与面 ABC 的交线分别为 AE、AC，所以FAC就是面 AEF与面 ABC所成的二面角 的平面角。同样，在直角FAC中，可求得 32tan FAC 四、定义法 此方法的关键是在二面角的棱上找到一点，过这点分别在两个面内作棱的垂线得平面角。此法中，点的选取很关键，便于后续计算。例 2.（2011 年全国新课标理 18）如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，60DAB，2ABAD，PD 底面 ABCD （I）证明：PABD；（II）若 PD=AD，求二面
7、角 A-PB-C的余弦值 EFGCDABPB1D1GC1CDA1ABEF图 考立体几何的计算中占据着主角地位而二面角的求解因为方法多样灵活多变具有较高的区分度较能考察学生的空间想象能力逻辑思维能力及计算能力更受到命题者的青睐由于学生的空间想象能力逻辑思维能力较弱加之教师对教学的算的要求较高学生往往建系不当计算出错等原因导致失分并且如果不分试题背景都用法向量来求解也有小题大作之费时费事出现隐形失分因此在教学备考中适当介绍一些二面角的常用求法让学生多几样利器能避免杀鸡全部用牛刀的上且则面与面所成的二面角的正切值等于一面积射影法一个平面多边形的面积为它在另一个平面上的射影多边形的面积为若多边形所在平
8、面与另一个平面构成的二面角为则解如图设可求得且在平面上的射影为或解如图把分别扩充图 解：（）因为60,2DABABAD，由余弦定理得3BDAD 从而222ABADBD,故 BDAD 又 PD底面 ABCD，可得 BDPD 所以 BD平面 PAD.故 PABD（）如图，过 A作PBAE 于 E，过 E作EFBC交 PC于 F，连接AF 由（）知，故AEF是二面角 A-PB-C 的平面角。作DCFG 于 G 点，连接 AG 设，通过计算可得：437,41,27AFEFAE 所以77241272163716147cos AEF 即二面角A-PB-C 的余弦值为772。五、求部分法 当一个二面角被过棱
9、的一个半平面分成两个二面角时，可分别求出两个二面角，再求和。特别地，当其中一个二面角的大小已知时，问题将更加简便。解：如图，二面角 CPBA被平面分成 二面角DPBA和CPBD 由（）知：PBDCB平面 所以，DPBCPB平面平面 CDABPQPBFEPBCBPDBCB,平面考立体几何的计算中占据着主角地位而二面角的求解因为方法多样灵活多变具有较高的区分度较能考察学生的空间想象能力逻辑思维能力及计算能力更受到命题者的青睐由于学生的空间想象能力逻辑思维能力较弱加之教师对教学的算的要求较高学生往往建系不当计算出错等原因导致失分并且如果不分试题背景都用法向量来求解也有小题大作之费时费事出现隐形失分因
10、此在教学备考中适当介绍一些二面角的常用求法让学生多几样利器能避免杀鸡全部用牛刀的上且则面与面所成的二面角的正切值等于一面积射影法一个平面多边形的面积为它在另一个平面上的射影多边形的面积为若多边形所在平面与另一个平面构成的二面角为则解如图设可求得且在平面上的射影为或解如图把分别扩充图故二面角CPBD是直二面角，其大小为2 下求二面角DPBA的大小 因为PBDAD平面，过作PBAQ 于点，连接，由三垂线定理法可知，AQD为二面角DPBA的平面角。同上求得772sin AQD，所以二面角CPBA的余弦值为：772s i n)2c o s(A Q DA Q D 六、平面法向量法（）如图，以 D 为坐标
11、原点，AD的长为单位长，射线 DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系 D-xyz，则 1,0,0A，03,0B，1,3,0C，0,0,1P(1,3,0),(0,3,1),(1,0,0)ABPBBCuuu vuuvuuu v 设平面 PAB的法向量为 n=（x，y，z），则0,0,n ABn PB uuu ruu u r 即 3030 xyyz 因此可取 n=(3,1,3)设平面PBC的法向量为m，则 m0,m0,PBBC uu u ruuu r 可取 m=（0，-1，3）42 7cos,72 7m n 故二面角 A-PB-C 的余弦值为 2 77 考立体几何的计算中占据着主角地位而二面角的求解因为方法多样灵活多变具有较高的区分度较能考察学生的空间想象能力逻辑思维能力及计算能力更受到命题者的青睐由于学生的空间想象能力逻辑思维能力较弱加之教师对教学的算的要求较高学生往往建系不当计算出错等原因导致失分并且如果不分试题背景都用法向量来求解也有小题大作之费时费事出现隐形失分因此在教学备考中适当介绍一些二面角的常用求法让学生多几样利器能避免杀鸡全部用牛刀的上且则面与面所成的二面角的正切值等于一面积射影法一个平面多边形的面积为它在另一个平面上的射影多边形的面积为若多边形所在平面与另一个平面构成的二面角为则解如图设可求得且在平面上的射影为或解如图把分别扩充图