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1、第二章 分离变量法 一齐次偏微分方程的分离变量法 1 有界弦的自由振动(1)考虑两端固定的弦振动方程的混合问题 u(0,t)二 u(l,t)=0 u|t/(x),Ui It/(x)这个定解的特点是：偏微分方程是齐次的，边界条件是 齐次的。求解这样的方程可用叠加原理。类似于常微分方 程通解的求法先求出其所有线性无关的特解，通过叠加求 定解问题的解。所谓u(x,t)具有分离变量的形式，即 u(x,tp X(x)T(t)把u(x,t)二X(x)T(t)带入方程中，可得到常微分方程定解 为：QQ U(x,t)=Un(x,t)n m 旳 ant ant nx(Cn cos Dn sin)sin nd l
2、 l l 2 2 i n-x 2 i n x 其中：Cn o(x)sin dx,Dn (x)sin dx l l an沢 l 2 离变量法的解题步骤可以分成三步：(一)首先将偏微分方程的定解问题通过分离变量转 化为常微分方程的定解问题。(二)确定特征值与特征函数。(三)求出特征值和特征函数后，再解其它的常微分方 程，将所得的解与同一特征值报骊应的特征函数相乘得到所 有分离变量的特解。3 有限长杆上的热传导 设有一均匀细杆，长为 I，比热为c，热传导系数为 k，杆的侧面是绝缘的，在杆的一端温度保持为 0 度，另一端杆 的热量自由散发到周围温度是 0 的介质中，杆与介质的热交 换系数为k0，已知杆
3、上的初温分布为(x)，求杆上温度的变 化规律，也就是要考虑下列问题:u(0,t)=0,CU(l，t)hu(l,t)=0(2.19)u(x,0)=(x)(2.20)其中 a2 二 k,h=%0 cP t2-2 2 U=a 二，0 x l,t 0(2.18)个定解的特点是偏微分方程是齐次的边界条件是齐次的求解这样的方程可用叠加原理类似于常微分方程通解的求法先求出其所有线性无关的特解通过叠加求定解问题的解所谓具有分离变量的形式即把二带入方程中可得到常微分方程程的定解问题二确定特征值与特征函数三后求出特征值和特征函数再解其它的常微分方程将所得的解与同一特征值报骊应的特征函数相乘得到所有分离变量的特解有
4、限长杆上的热传导设有一均匀细杆长为比热为热传导系数为杆的侧知杆上的初温分布为求杆上温度的变化规律也就是要考虑下列问题二其中二注意到此定解问题中方程和边界条件均是齐次的因此仍用分离变量法来求解设代入方程得上式右端不含左端不含所以只有当两端均为常数时才能相等令此常 分离变量法来求解。设 u(x,t)=X(x)T(t)，代入方程(2.18)得:X(x)T(t)X(x)aT(t)上式右端不含x，左端不含t，所以只有当两端均为常 数时才能相等。令此常数为-则有：X(x)X(x)二 0(2.21)T(t)a?T(t)二 0(2.22)所齐次边界条件可得：X(0P O,x(l)hX(ip 0(2.23)从而
5、特征值问题：X(x)X(x)二 0 X(0)=0,X(l)hX(l)=0 对的取值分三种情况 0，质二0,以0进行讨论。4极坐标系下位势方程的分离变量法 如果求解区域是圆域、圆柱域等，在直角坐标系下，其 边界不能用分离变量形式的方程来表示，进行分离变量就会 受阻。然而若转换坐标，例如圆形域换成极坐标系后，其边 界方程为 0，符合分离变量的要求。因此，当求解 域为圆、扇形、球、圆柱等定解问题时，通过选取适当的坐 标系，可以排除用分离变量法的障碍。注意到此定解问题中方程和边界条件均是齐次的，因此仍用 个定解的特点是偏微分方程是齐次的边界条件是齐次的求解这样的方程可用叠加原理类似于常微分方程通解的求
6、法先求出其所有线性无关的特解通过叠加求定解问题的解所谓具有分离变量的形式即把二带入方程中可得到常微分方程程的定解问题二确定特征值与特征函数三后求出特征值和特征函数再解其它的常微分方程将所得的解与同一特征值报骊应的特征函数相乘得到所有分离变量的特解有限长杆上的热传导设有一均匀细杆长为比热为热传导系数为杆的侧知杆上的初温分布为求杆上温度的变化规律也就是要考虑下列问题二其中二注意到此定解问题中方程和边界条件均是齐次的因此仍用分离变量法来求解设代入方程得上式右端不含左端不含所以只有当两端均为常数时才能相等令此常例如 一个半径为 S 的薄圆盘，上下两面绝缘，圆周边 缘温度分布为已知，求达到稳定状态下圆盘
7、内的温度分布。二、非齐次方程的的解法 1 非齐次方程的特征函数法 可分离变量法要求方程是齐次、边界条件也为齐次(位 势方程例外)如果上述条件之一破坏，则不能采用分离变量 法解。对于齐次方程具有齐次边界条件的定解问题，因其通解 可表示为其特征函数 Xn(x)(n=1,2,.)的线性组合，即 U(X,t)二CnTn(t)Xn(X)，由此推断非齐次方程具有齐次边 n 二 界条件定解问题也可由特征函数列 X n(x)线性表出，即求 形式解 U(X,t)八 Tn(t)Xn(X)，Tn(t)为待定函数。n m 由此，在齐次边界条件下的非齐次的定解问题，只要将 其解及方程的自由项均按相应的齐次方程的特征函数
8、展开，就可以求出其形式解。因此，这个方法就称为特征函数法。2 非齐次边界条件的齐次化 不论是用分离变量法，还是用特征函数法，都要求定解 个定解的特点是偏微分方程是齐次的边界条件是齐次的求解这样的方程可用叠加原理类似于常微分方程通解的求法先求出其所有线性无关的特解通过叠加求定解问题的解所谓具有分离变量的形式即把二带入方程中可得到常微分方程程的定解问题二确定特征值与特征函数三后求出特征值和特征函数再解其它的常微分方程将所得的解与同一特征值报骊应的特征函数相乘得到所有分离变量的特解有限长杆上的热传导设有一均匀细杆长为比热为热传导系数为杆的侧知杆上的初温分布为求杆上温度的变化规律也就是要考虑下列问题二
9、其中二注意到此定解问题中方程和边界条件均是齐次的因此仍用分离变量法来求解设代入方程得上式右端不含左端不含所以只有当两端均为常数时才能相等令此常问题的边界条件是齐次的，这是因为用分离变量法或特征函 数法都要将特征函数叠加起来，如果边界条件非齐次，则通 过叠加后的函数就不可能满足原边界条件。所以当边界条件 是非齐次时，必须设法将边界条件化成齐次的。例如将定解问题 _ 2 Utt=a Uxx f(X,t)u(0,t)二 g(t),u(l,t)=g2(t)u(x,0)=(x)Ut(x,0p(x)的边界条件齐次化。设 u(x,t)二 V(x,t)W(x,t)，通过适当选取 W(x,t)使 新的未知函数满
10、足齐次边界条件，这只须使 W(x,t)满足：Wi(0,tp gi(t)，Wi(l,tp g2(t)即可。3 Sturn-Liouville 问题 用分离变量法争定解问题必须导出特征值问题，并将定 解问题的解表示成特征函数系构成的无穷级数。现在看 Sturn-Liouville问题的一般提法和主要结论。方程k(x)dyb q(x)y p(x)y 二 0(a x b)dx dx(2.38)称为Sturn-Liouville型方程。其中为待定实参数，p(x)，q(x)，k(x)为已知函数，且在a,b上 k(x)，k 个定解的特点是偏微分方程是齐次的边界条件是齐次的求解这样的方程可用叠加原理类似于常微
11、分方程通解的求法先求出其所有线性无关的特解通过叠加求定解问题的解所谓具有分离变量的形式即把二带入方程中可得到常微分方程程的定解问题二确定特征值与特征函数三后求出特征值和特征函数再解其它的常微分方程将所得的解与同一特征值报骊应的特征函数相乘得到所有分离变量的特解有限长杆上的热传导设有一均匀细杆长为比热为热传导系数为杆的侧知杆上的初温分布为求杆上温度的变化规律也就是要考虑下列问题二其中二注意到此定解问题中方程和边界条件均是齐次的因此仍用分离变量法来求解设代入方程得上式右端不含左端不含所以只有当两端均为常数时才能相等令此常(x)，p(x),当 x(a,b)时，p(x)0,q(x)-0,k(x)0,而
12、a,b 至多是k(x)及p(x)的一级 0 点；q(x)在(a,b)上连续，在端 点至多是一级极点。方程(2.38)与定解条件所构成的定解问题称为 Sturn-Liouville 问题。任一个 Sturn-Liouville 问题的特 征值和特征函数满足如下性质：(1)在可数无穷多个值十.,，ljm =+。与每一个特征值相应的线性无关的特征函 数只有一个；(2-0；(3)设订=n是任意两个不同的特征值，则相应的特 征函数ym(x)和yn(x)在a,b上带权p(x)正交，即有：b a p(x)ym(x)yn(x)dx 二 0(4)特征函数系yn(x)在区间a,b上构成一个完备 系，也就是说，对任
13、意一个在a,b上有一阶连续导数及分段 二阶连续导数的函数 f(x)，只要它满足特征值问题中的边 界条件中，则它可按特征函数系 yn(x)展开成绝对且一致 收敛的级数 f(X)八 fnyn(x)n T b 个定解的特点是偏微分方程是齐次的边界条件是齐次的求解这样的方程可用叠加原理类似于常微分方程通解的求法先求出其所有线性无关的特解通过叠加求定解问题的解所谓具有分离变量的形式即把二带入方程中可得到常微分方程程的定解问题二确定特征值与特征函数三后求出特征值和特征函数再解其它的常微分方程将所得的解与同一特征值报骊应的特征函数相乘得到所有分离变量的特解有限长杆上的热传导设有一均匀细杆长为比热为热传导系数
14、为杆的侧知杆上的初温分布为求杆上温度的变化规律也就是要考虑下列问题二其中二注意到此定解问题中方程和边界条件均是齐次的因此仍用分离变量法来求解设代入方程得上式右端不含左端不含所以只有当两端均为常数时才能相等令此常其中 f=a p(x)f(x)y(x)dx。n fp(x)y：(x)dx 个定解的特点是偏微分方程是齐次的边界条件是齐次的求解这样的方程可用叠加原理类似于常微分方程通解的求法先求出其所有线性无关的特解通过叠加求定解问题的解所谓具有分离变量的形式即把二带入方程中可得到常微分方程程的定解问题二确定特征值与特征函数三后求出特征值和特征函数再解其它的常微分方程将所得的解与同一特征值报骊应的特征函数相乘得到所有分离变量的特解有限长杆上的热传导设有一均匀细杆长为比热为热传导系数为杆的侧知杆上的初温分布为求杆上温度的变化规律也就是要考虑下列问题二其中二注意到此定解问题中方程和边界条件均是齐次的因此仍用分离变量法来求解设代入方程得上式右端不含左端不含所以只有当两端均为常数时才能相等令此常