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1、一、函数、极限、连续（一）函数 1、分段函数 讨论 y=f（x）在分段点处的极限、连续、导数等问题时，必须分别先讨论左、右极限，左、右连续性和左、右导数，需要强调：分段函数不是初等函数，不能用初等函数在定义域内皆连续这个定理。Eg：f(x)=|x|;和符号函数 f(x)=sgn x;两个都是分段函数。2、隐函数 由方程 F（x，y）=0 确定 y=y（x）称为隐函数，有些隐函数可以化为显函数，（不一定一个单值函数），有的不可以化。3、反函数 只讨论单值函数。4、区分基本初等函数和初等函数(1)基本初等函数：常值函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数；他们的概念、性质、图像意义深
2、远，如利用图像求极限(2)初等函数：由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数。Eg：分段函数不是初等函数。5、复合函数 6、考研数学中常出现的非初等函数(1)用极限表示的函数)(limxfynn),(limxtfyxt(2)用变上、下限积分表示的函数 xxfdxdytfdtxfy0)()(,)(连续，则其中)()(11222121)()()()()(xx,)(xxxxfxxfdxdytfdttfy则连续，）可导，（），（其中7、函数的几种性质（1）有界性；（2）奇偶性；（2）单调性：区分（严格）单调增加（)()(2121xfxf
3、Xxx，定义域），单调不减（)()(21xfxf）；单调减少，单调不增。（3）周期性;)()(xfTxf，一般把最小正周期称为周期。例题：1、函数的定义域（1）求|5|ln1xxxy的定义域 定义域为 ),6()6,5()5,4()4,1 0（2）设f（x）的 定 义 域 为-a，a（a0）,求f(12x)的 定 义 域。a-1-xa1-a1xa-11|1,01101|1,01111,1222或也即时，当，则时，当则解：要求axaaaaxaxaaaxaaxa（重点是掌握这种方法及解题速度）2、函数的值域 （1）有时直接不好求时，运用反函数的定义域即是原函数的值域！（2）分段函数求值域和反函数时
4、，要一段一段地考虑去求。3.求复合函数有关表达式（第一、二种较多，第三种较少）（1）已知 f（x）和 g（x），求)(xgf 。，对正整数根据数学归纳法可知，则若解：求：设2222221222221)1(111/1)(1)()(,121)(1)()()()()(.,1)(egnxxxfnxkxkxxkxxxfxfxfkxxxfxxxfxfxffxfxfxfffxxxfnkkkkn(2)已知 g(x)和 fg(x)，求 f（x）-换元法（设中间变量 t）分，求出原函数。先求导函数，再运用积，因此解：令，求，且已知xxffxtdtttfxftttfeftxtexffxeefegxxxxxx2121
5、2ln21)(,0)1(ln21|ln21ln)1()(ln)()(,ln,)(0)1()(:(3)()()(xgxgfxf，求和已知 1)()(1ln)()(:)(,)(),1ln()(:1xexgxxgxgfxfxgxgxxgfxxfeg实际上为求反函数问题解求已知（4）有关复合函数方程-换元法的灵活应用 4、有关四种性质 为偶函数。为奇函数，则若）设（)()(),()(1xFxfxfxF 左右导数需要强调分段函数不是初等函数不能用初等函数在定义域内皆连续这个定理和符号函数隐函数由方程确定称为隐函数有些隐函数可以化为显函数不一定一个单值函数有的不可以化反函数只讨论单值函数区分基本初等函数和
6、用图像求极限初等函数由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数称为初等函数分段函数不是初等函数复合函数考研数学中常出现的非初等函数用极限表示的函数两个都调增加定义域单调不减单调减少单调不增周期性一般把最小正周期称为周期例题函数的定义域求的定义域定义域为设的定义域为求的定义域时时则或也即当则当解要求重点是掌握这种方法及解题速度函数的值域有时直接不好求时运xfdttfFxF0,)()0()(证明：为奇函数 程中换元。莱布尼茨公式和运算过运用牛顿为偶函数。-)()()()0()()()0()()0()(000 xFxFduufFudufFdttfFx
7、Fxxx（2）求定积分时，函数奇偶性的应用：aaaxfdxxfxfdxxf0)()(2)(-0)(为偶函数，当为奇函数，当必须记住的公式：（二）极限 1、性质：(1)唯一性 ：设 limBABxfAxf则,)(lim,)(2)不等式性质：BxgAxf)(lim,)(lim设 )0,0)()()(,),()(性情形也称为极限的保号注：当变化一定以后，有则反之，则变化一定以后，总有若BxgxgxfxBABAxgxfx 。，而不能保证恒只能保证极限值若变量00,0)(xf(如 1/n 的极限)(3)局部有界性：是有界的。当变化一定以后，则设)()(limxfxAxf(4)运算法则：BxgAxf)(l
8、im,)(lim设 )0()(lim)5()0()()(lim)4()()(lim)3()()(lim)2()()(lim)1()(AAxfBBAxgxfBAxgxfBAxgxfBAxgxfBxg则 2、无穷小与大 不是无穷小）或其它时，而为无穷小，时，当的变化过程有关，（注：无穷小与为无穷小。，则称若xxxxxxxfxfx1x101lim)(0)(lim)1(0 数列的极限，x时,为无穷小；函数的极限，只有当自变量取某种极限状态时，函数的极限等于 0，它称为无穷小。（2）为无穷大。则称变化一定以后，总有，当任给)(,|)(|0 xfMxfxM )(limxf记以 左右导数需要强调分段函数不是
9、初等函数不能用初等函数在定义域内皆连续这个定理和符号函数隐函数由方程确定称为隐函数有些隐函数可以化为显函数不一定一个单值函数有的不可以化反函数只讨论单值函数区分基本初等函数和用图像求极限初等函数由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数称为初等函数分段函数不是初等函数复合函数考研数学中常出现的非初等函数用极限表示的函数两个都调增加定义域单调不减单调减少单调不增周期性一般把最小正周期称为周期例题函数的定义域求的定义域定义域为设的定义域为求的定义域时时则或也即当则当解要求重点是掌握这种方法及解题速度函数的值域有时直接不好求时运（3）无穷小与无穷大的
10、关系（4）无穷小与极限的关系：0)(lim)()()(limxxAxfAxf其中（5）两个无穷小的比较：等价低阶的无穷小。同阶、是比；记为高阶的无穷小，是比，则，若fg)()()()(0)()(limxgoxfxgxfllxgxf（6）常见的等价无穷小：)()(xgxf。时，；时，)(1)(1 0)(1)1(,)1ln(,1,21cos12sin2,arcsin,arctan,tan,sin022xfxfxfxxxxxexxxxxxxxxxxxx（7）无穷小的重要性质：有界变量乘无穷小仍是无穷小。3、求极限的方法 （1）利用极限的四则运算和幂指数运算法则（见上面）（2）两个准则 准则 1、单调
11、有界数列极限一定存在 mAAxnmxnxxnnnnn存在，且则为正整数又为正整数若lim)()(1 MAAxnMxnxxnnnnn存在，且则为正整数又为正整数若lim)()(1 准则 2、（夹逼准则）)()()(xhxfxg设 AxfAxhAxg)(lim,)(lim,)(lim则若 (3)两个重要极限 exxxxxxxxx100)1(lim)11(lim21sinlim1、公式、公式（4）用无穷小重要性质和等价无穷小代换(见上面)（5）用泰勒公式（比等价无穷小更深刻）)()!2()1(!4!21cos)()!12()1(!5!3sin)(!2102421212532nnnnnnnnxxonx
12、xxxxonxxxxxxonxxxex时，当 左右导数需要强调分段函数不是初等函数不能用初等函数在定义域内皆连续这个定理和符号函数隐函数由方程确定称为隐函数有些隐函数可以化为显函数不一定一个单值函数有的不可以化反函数只讨论单值函数区分基本初等函数和用图像求极限初等函数由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数称为初等函数分段函数不是初等函数复合函数考研数学中常出现的非初等函数用极限表示的函数两个都调增加定义域单调不减单调减少单调不增周期性一般把最小正周期称为周期例题函数的定义域求的定义域定义域为设的定义域为求的定义域时时则或也即当则当解要求重点
13、是掌握这种方法及解题速度函数的值域有时直接不好求时运 )(!)1()1(!2)1(1)1()(12)1(53arctan)()1(32)1ln(21212153132nnnnnnnnxoxnnxxxxonxxxxxxonxxxxx（6）洛必达法则 法则 1、（00型）设 情形）不存在且不是无穷大量情形，则不能得出不存在且不是无穷大量（注：如果或则或皆存在变化过程中，)()(lim)()(lim)()()(lim)()()(lim3)(),(20)(lim,0)(lim1xgxfxgxfAxgxfAxgxfxgxfxxgxf 法则 2、（型）设 )()()(lim)()()(lim3)(),(2
14、)(lim,)(lim1或则或皆存在变化过程中，AxgxfAxgxfxgxfxxgxf（7）利用导数定义求极限 基本公式：)()()(lim0000如果存在xfxxfxxfx（8）利用定积分定义求极限 基本公式：nkndxxfnkfn110)()(1lim如果存在函数连续的前提下（9）其他综合方法（10）求极限的反问题有关方法 例题：1、通过各种基本技巧化简后直接求出极限（1）提取相同因子，变成相似的分子与分母，再求。（2）等差数列：2)1(2)()1(111dnnnaaansdnaannn；等比数列：11)1(11111qqqaqnasqaannnn，；左右导数需要强调分段函数不是初等函数不
15、能用初等函数在定义域内皆连续这个定理和符号函数隐函数由方程确定称为隐函数有些隐函数可以化为显函数不一定一个单值函数有的不可以化反函数只讨论单值函数区分基本初等函数和用图像求极限初等函数由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数称为初等函数分段函数不是初等函数复合函数考研数学中常出现的非初等函数用极限表示的函数两个都调增加定义域单调不减单调减少单调不增周期性一般把最小正周期称为周期例题函数的定义域求的定义域定义域为设的定义域为求的定义域时时则或也即当则当解要求重点是掌握这种方法及解题速度函数的值域有时直接不好求时运提取公因子，利用等比数列公式，然
16、后利用因式分解，求极限 Eg1：rarraararaarararannnnnn111lim)(lim)(lim,1|,011解：当设 Eg2：2)1(1 121lim)1(111lim02222ddnnnndnndndnn解：原式为常数，求设（3）分子、分母同除以一个公因子的 n次方，主要利用当0lim1|nnrr时，。（4）裂项法之后，再求和，得极限 222222212222222222122111211)(1)2(1)1(11211)()2()(11)()()()2()()2(lim:2121111111211 1)(1)11(1)(1)(1lim:llnnnllkklkllkklkkkl
17、klkklkllkklklleglllnnlllkklkkllkklkklegnknknnknkn因此原式解：是正整数，求设）（因此原式是正整数，求设(5)利用平方差公式、立方差公式)(2233babababa 构造后等价无穷小代换，洛必达法则 2、用两个重要公式 (1)三角函数的倍角公式：)12sin2lim(2sin22cos4cos2cos2sin2lim010:2cos4cos2coslim1nnnnnnnnnnnxxxxxxxxxxxx时，原式当时，原式当解求 左右导数需要强调分段函数不是初等函数不能用初等函数在定义域内皆连续这个定理和符号函数隐函数由方程确定称为隐函数有些隐函数可以
18、化为显函数不一定一个单值函数有的不可以化反函数只讨论单值函数区分基本初等函数和用图像求极限初等函数由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数称为初等函数分段函数不是初等函数复合函数考研数学中常出现的非初等函数用极限表示的函数两个都调增加定义域单调不减单调减少单调不增周期性一般把最小正周期称为周期例题函数的定义域求的定义域定义域为设的定义域为求的定义域时时则或也即当则当解要求重点是掌握这种方法及解题速度函数的值域有时直接不好求时运 xxxxxxxxxxxnnnnnnnnnsin2sin2sinlim2sin22sin2cos4cos2cos2li
19、m111 21)2(cos)sin(120sin2cos20cot022222)sin(1 lim)sin1(lim)(coslimexxxxxxxxxxx(2)“凑”公式的形式 分子、分母分别求指数，再求极限 换元凑：eetxxtxtxtxxxxttxxxxxx1)1(lim)1232(lim0211122)1221(lim)1232(lim12110111于是时，当，则令 3、用夹逼准则求极限 4、用洛必达法则求极限：针对函数求为连续变量型。（1）“00”型和“”型：（数列型不能直接应用）离散型不能直接用洛必达法则，故考虑 样的技巧用像等价无穷小代换这。应用过程中也应原式等价无穷小代换.6
20、1616sinlim3cos1limsinlimsinsinlim0203030 xxxxxxxxxxxxxx 收敛的极限（离散型）不能直接应用，而用一个相应的函数求。有时直接求导麻烦，先用一个变量替换（注意自变量范围的变化），再应用。（2）“”型和“0”型 34124sin4lim64cos1lim24sin41lim42cos2sin442lim2sin41limsincossinlim)cossin1(lim02030304202222202220 xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 1“”型:先用通分后化简为“00”型，再应用。2“0”型：把其中一项放在分母的位
21、置，变成“”型，再应用。bababbaatbabaxbatttttttxxxlnlnln)lnln(limlim)(lim0,000111x原式常数，则设 左右导数需要强调分段函数不是初等函数不能用初等函数在定义域内皆连续这个定理和符号函数隐函数由方程确定称为隐函数有些隐函数可以化为显函数不一定一个单值函数有的不可以化反函数只讨论单值函数区分基本初等函数和用图像求极限初等函数由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数称为初等函数分段函数不是初等函数复合函数考研数学中常出现的非初等函数用极限表示的函数两个都调增加定义域单调不减单调减少单调不增周期
22、性一般把最小正周期称为周期例题函数的定义域求的定义域定义域为设的定义域为求的定义域时时则或也即当则当解要求重点是掌握这种方法及解题速度函数的值域有时直接不好求时运 （3）“1”型，“00”型和“0”型 的情形处理型，按都是而形式，可化为这类都是)2(0)(ln)(lim)(lim)(ln)(lim)(xfxgexfxfxgxg 21)2(cos)sin(120sin2cos20cot022222)sin(1 lim)sin1(lim)(coslimexxxxxxxxxxx 210020202002cotlim212tanlimcoslnlimtancoslnlimcoslncotlimlnli
23、mcoslncotln,)(cos2eyxxxxxxxxyxxyxyxxxxxxx令用洛必达法则极限公式求的，下面采上面的方法是两个重要 5、用无穷小重要性质和等价无穷小代换 2cos1limcos11)(1limcos111lim:201|1sin|013111lim131lim.1sin131lim:1202020233232232xxxxnxxnnxxxxnnegnnnnnnnnnnnnegxxnnxnnn为正整数，设仍是无穷小，可知原式根据有界变量乘无穷小注：等价无穷小代换只能用在乘和除的因子里，不能用在和、差中。6、求分段函数的极限 在则在分段处的极限不存注意分段点，若，巧用方法。仔
24、细审题原式)0()0(1110)sin12(lim112)sin12(lim)|sin12(lim4340410410afafxxeeexxeexxeexxxxxxxxxx7、求极限的反问题?Eg15,4322)1cos(22lim01,0)(lim00.,3)1sin(lim2121221baaxxaxbabaxxbaxbaxxxxx；，原式再对极限用洛必达法则解：由题设可知，求设 Eg200.,1sin1lim020badttatxbxxx，求设 左右导数需要强调分段函数不是初等函数不能用初等函数在定义域内皆连续这个定理和符号函数隐函数由方程确定称为隐函数有些隐函数可以化为显函数不一定一个
25、单值函数有的不可以化反函数只讨论单值函数区分基本初等函数和用图像求极限初等函数由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数称为初等函数分段函数不是初等函数复合函数考研数学中常出现的非初等函数用极限表示的函数两个都调增加定义域单调不减单调减少单调不增周期性一般把最小正周期称为周期例题函数的定义域求的定义域定义域为设的定义域为求的定义域时时则或也即当则当解要求重点是掌握这种方法及解题速度函数的值域有时直接不好求时运412,22limcos11lim1101cos/lim02020aaaxaxxxabbxbxaxxxx，得出由因此，原式左边，则令极限为
26、，则极限值为如果原式左边把极限用洛必达法则，（三）连续 1、函数在点0 x处连续和函数在区间内（上）连续 设函数在点)(xfy 0 x的某个邻域内有定义，如果处连续在点则称函数或0000000)()()(lim)(lim)()(lim)()(limlim000 xxfyxfxfxfxfxfxfxxfyxxxxxxxx 并且有lim)()(lim000 xfxfxfxxxx，如果函数在点0 x处连续，则在点0 x处可以交换 极限号和函数号的顺序。2、函数的间断点（三种情形）及分类 第一类：函数在间断点处的左、右极限都存在，分为可去（左、右极限相等）、跳跃（不等）第二类：除第一类以外的其他间断点，
27、左、右极限至少有一个不存在，常见为无穷、振荡 3、初等函数的连续性 （1）在区间 I 连续的函数的和、差、积、商（分母不为零），在区间 I 仍是连续的。（2）由连续函数经有限次复合而成的复合函数在定义区间内仍是连续函数。（3）在区间 I 连续且单调的函数的反函数，在对应区间仍连续且单调。（4）初等函数在它的定义区间内是连续的（就是包含在定义域内的区间）。注：基本初等函数在它们的定义域内都是连续的。4、闭区间ba,上连续函数的性质(1)有界定理：如果函数上有界。必在上连续，则在闭区间,)(,)(baxfbaxf（2）最大值和最小值定理：如果函数上连续在闭区间,)(baxf，则在这个区间上一定存在
28、最大值 M 和最小值m。（3）)(,)(,)(baCfbaCMmmMbaxf使得上至少存在一个点，在之间的任何实数和，则对于介于和为最小值分别上连续，且其最大值和在闭区间介值定理：如果函数 0)(),()()(,)(:fbabfafbaxf，使得内至少存在一个点则在开区间异号，与上连续，且在闭区间（零点定理）如果函数推论 左右导数需要强调分段函数不是初等函数不能用初等函数在定义域内皆连续这个定理和符号函数隐函数由方程确定称为隐函数有些隐函数可以化为显函数不一定一个单值函数有的不可以化反函数只讨论单值函数区分基本初等函数和用图像求极限初等函数由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数
29、复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数称为初等函数分段函数不是初等函数复合函数考研数学中常出现的非初等函数用极限表示的函数两个都调增加定义域单调不减单调减少单调不增周期性一般把最小正周期称为周期例题函数的定义域求的定义域定义域为设的定义域为求的定义域时时则或也即当则当解要求重点是掌握这种方法及解题速度函数的值域有时直接不好求时运例题：1、讨论函数的连续性 主要讨论分段函数在分段点处的连续性，若函数在分段点两侧表达式不同时，需根据函数在一点连续的充要条件进行讨论。（即按左、右两侧分别去讨论）2、已知函数的连续性求未知参数 根据极限值=函数值进行求解。3、求函数的间断点并确定其类型 确定类型时，主
30、要看间断点两侧的极限怎么样；有时直接求该点的极限。连续。在则，义可去间断点。若补充定是第一类间断点，且为故由于对于为无穷间断点。故是第二类间断点，且由于对于跳跃间断点。是第一类间断点，且为故，由于对于下面确定它们的类型是所给函数的间断点。没有定义，因此解：所给函数在点型的间断点，并确定其类：求函数2)(41)2(241)2)(2()2(lim)02()02(,2)2)(2(|)2(lim)02()02(,2021)2)(2()2(lim)00(,21)2)(2()2(lim)00(0:2,2,02,2,0)4(|2)(1eg220022xxffxxxxxxffxxxxxxffxxxxxxxfx
31、xxxxfxxxxxxxxfxxxx Eg2：是连续的，此函数在它的定义区间内函数都解：这是初等函数，在型的间断点，并确定其类求函数xxxftan)(点是以上的。无定义，所以它的间断及)2,1,0(20kkxx 可去间断点是第一类间断点，且是，所以时，由于当01tanlim00 xxxxx 无穷间断点。是第二类间断点。且是所以时，由于当)2,1,0(2)2,1,0(tanlim)2,1,0(22kkxkxxkkxkx 4、求连续函数的极限-分两种情形：（1）就行了。换成它的极限值中把自变量即只需在函数的表达式，则定义区间内的一点，是初等函数，如果是000)()lim()(lim)()(00 x
32、xxfxfxfxfxxfxxxx 左右导数需要强调分段函数不是初等函数不能用初等函数在定义域内皆连续这个定理和符号函数隐函数由方程确定称为隐函数有些隐函数可以化为显函数不一定一个单值函数有的不可以化反函数只讨论单值函数区分基本初等函数和用图像求极限初等函数由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数称为初等函数分段函数不是初等函数复合函数考研数学中常出现的非初等函数用极限表示的函数两个都调增加定义域单调不减单调减少单调不增周期性一般把最小正周期称为周期例题函数的定义域求的定义域定义域为设的定义域为求的定义域时时则或也即当则当解要求重点是掌握这种方
33、法及解题速度函数的值域有时直接不好求时运eg：)sin2ln(lim2xx求 3ln)2sin2ln()sin2ln(lim2)sin2ln(2xxxx点，所以是它的定义区间内的一是初等函数，解：(2)()(lim()(lim)()(lim000afxgfxgfauufyaxgxxxxxx则连续，在点，而函数如果 Eg：,0,0),1(log,12.12lim20txtxtxxxx时且当则令求 2ln1log1)1(limlog1)1(log1lim12limlog1,)1(lim)1(log1lim)1(loglim12lim21021200210120200ettxeuuyettttxtt
34、ttxxttttxxx处连续，所以在点而函数由于于是 5、利用介值定理的推论（零点定理）判断方程的根 补充：1、奇偶函数的七个性质（1）两个奇函数的和、差是奇函数，积、商是偶函数；（2）两个偶函数的和、差、积、商都是偶函数；（3）一奇一偶的两个函数的积、商是奇函数；它们的和差是非奇非偶；（4）奇函数图象关于原点对称，并且在两个关于原点对称的区间上有相同的单调性；（5）偶函数图象关于y轴对称，并且在两个关于原点对称的区间上的单调性相反；（6）；为偶函数|)(|)()(xfxfxf（7）0)0(0)(fxf，则的定义域包含若奇函数)(2)(),()(),()(:)(baTbaxbfxbfxafxa
35、fxfy周期 bxafxafxfybaM2)()()(),(对称图象关于点 左右导数需要强调分段函数不是初等函数不能用初等函数在定义域内皆连续这个定理和符号函数隐函数由方程确定称为隐函数有些隐函数可以化为显函数不一定一个单值函数有的不可以化反函数只讨论单值函数区分基本初等函数和用图像求极限初等函数由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数称为初等函数分段函数不是初等函数复合函数考研数学中常出现的非初等函数用极限表示的函数两个都调增加定义域单调不减单调减少单调不增周期性一般把最小正周期称为周期例题函数的定义域求的定义域定义域为设的定义域为求的定义
36、域时时则或也即当则当解要求重点是掌握这种方法及解题速度函数的值域有时直接不好求时运2、幂函数nxy 性质:212121211100)4(10,11,10,0)3(1100)2(1,110,10,0)1(2121nnnnnnnnnnnnxxxxxxnnxxxxnxxxxxxnnxxxxn，则；若，则时，若当则；若则时若时当，则；若，则时，若当则；若则时若时当 左右导数需要强调分段函数不是初等函数不能用初等函数在定义域内皆连续这个定理和符号函数隐函数由方程确定称为隐函数有些隐函数可以化为显函数不一定一个单值函数有的不可以化反函数只讨论单值函数区分基本初等函数和用图像求极限初等函数由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数称为初等函数分段函数不是初等函数复合函数考研数学中常出现的非初等函数用极限表示的函数两个都调增加定义域单调不减单调减少单调不增周期性一般把最小正周期称为周期例题函数的定义域求的定义域定义域为设的定义域为求的定义域时时则或也即当则当解要求重点是掌握这种方法及解题速度函数的值域有时直接不好求时运