《2021年广东省揭阳市惠来一中高考数学第六次段考试卷附答案解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021年广东省揭阳市惠来一中高考数学第六次段考试卷附答案解析.pdf（18页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2021年广东省揭阳市惠来一中高考数学第六次段考试卷一、单 选 题（本大题共9小题，共4 5.0分）1.己知集合时=久|一3 W 5 ,N=x -5 x 5 ,则MUN=（）A.x|-5%5 B.x|-3%5 C.x|-5%5 D.x|-3 x 冈，则 回；若S，S,则s；其中正确命题的个数是（）c.SA.B.0D.03 .一盒中有1 2个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中随机取出3个球，用完后装回盒中，用X表示此时盒中旧球个数，则P（X =4）的值为（）A D r -D,1 1 0 1 1 0 2 2 0 2 2 04 .我们通常把圆、椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线.通过普通高中课程
2、实验教科书 做 学 2-1第二章 西锥曲线与方程章头引言我们知道，用一个垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，截口曲线（截面与圆锥侧面的交线）是一个圆.实际上，设圆锥母线与轴所成角为处不过圆锥顶点的截面与轴所成角为。.当。=5，截口曲线为圆，当a （女寸，截口曲线为椭圆；当 0,S 5 0 =0.设b n =%1%1+1即+2（兀6 N+）,则当数列 bn的前n项和取得最大值时，n的值是（）A.2 3 B.2 5 C.2 3或2 4 D.2 3或2 56 .一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份2元，卖出的价格是每份3元，卖不完的还可以以每份0.8元的价格退回报社.在一个月（以3 0天计算）内有2 0
3、天每天可卖出4 0 0份，其余1 0天每天只能卖出2 5 0 份，且每天从报社买进报纸的份数都相同，要使推销员每月所获得的利润最大，则应该每天从报社买进报纸（）A.2 1 5 份B.3 5 0 份C.4 0 0 份D.5 2 0 份7.数据5,7,7,8,1 0,1 1 的方差是().A.2 4B.1 0C.4D.28.已知“明碱是患上的奇函数,且满足施部上领*=,外 碟,当 渺 碟&期 时，甄冷=蜜，则图 上()9.A.-2B.2C.4D.-4函数/（X）=-X）满足/（2-X）=f（x）,且在区间 a,加上的值域是-3,1 ,则坐标（a,b）所表示的点在图中的（）A.线段4。和线段B C上
4、B.线段4 0 和线段O C 上C.线 段 和 线 段 D C 上D.线段4 C 和线段B D 上二、多 选 题（本大题共3小题，共 1 5.0 分）1 0.已知向量五=（x,l）,K =（1,V2），下列结论中正确的是（）A.若五1石,则 =-V2B.与不共线的单位向量一定为（,净C.当x =2 代 时，五在至上的投影向量为（心,2）D.当 迎 时，落 与 方 的夹角为锐角1 1.已知数列5 中，。1 =1，厮+1-；=（1 +；）即，n N*若对于任意的t e 1,2 ,不等式一 2/一（a +l）t +a 2-a +2 恒成立，则实数a 可能为（）A.-4B.-2C.0D.21 2.已知
5、函数/（X）=2 sin（a）x+0,|租|tana tan(i(4)-6 0)的左、右焦点分别为6，F2,过用的直线交椭圆于P,Q 两点(P 在尢轴上方)，|P&|=|P Q|.若P Q 1 PF,则椭圆的离心率e =.1 6.在四棱锥P-力B C D 中，底面力B C D 是边长为2 的正方形，PD l.WA BC D,且P D=1,若在这个四棱锥内有一个球，则此球的最大表面积为_.四、解答题(本大题共6 小题，共 7 2.0 分)1 7 .在 A A B C 中，cos A =A C =Vl O.B C=3 7 2 .(1)求s i nB 的值；(2)求仆A B C的面积.1 8 .(重
6、点中学做)已知数列 时 的前n项和为Sn,且满足的=3,Sn=an_ j +n2+l(n 2).(1)求。2,。3,的值，并猜想数列。的通项公式并用数学归纳法证明；(I I)令卜，求数列 bn 的前n项和an，an+l1 9.如图，在四棱锥P -A BC D,A D/BC,A B 1 A D,A B 1 PA,BC =2 A B=2 A D=4 B E,平面P 4B _ L 平面A B C D.(1)求证：直线E D L 平面P 4 C；(2)若直线PE 与平面PA C 所成的角的正弦值为?，求二面角A -PC 。的余弦值.2 0.甲乙两个盒子里各放有标号为1,2,3,4 的四个大小形状完全相
7、同的小球，从甲盒中任取一小球，记下号码久后放入乙盒，再从乙盒中任取一小球，记下号码y,设随机变量X=|x-y|.(1)求y =2的概率；(2)求随机变量X的分布列及数学期望.21.已知椭圆C 的中心在坐标原点0,长轴在x轴上，离心率为;,且椭圆C 上一点到两个焦点的距离之和为4.(I)椭圆C 的标准方程.(n)已知P、Q 是椭圆C 上的两点，若。P 1 O Q,求证：就？+高 7 为定值.(i n)当 自 +流 为(口)所求定值时，试探究O PIO Q是否成立？并说明理由.22.已知函数/(x)=In x一 妥 支,其中a R.(1)当。=2,x l时，证明：/(x)0；(2)若函数F(x)=
8、合0恒成立，求实数a 的取值范围；(3)若函数F(x)=有两个不同的零点巧，x2,证明：27 2 a x2 X j|ea ea-参考答案及解析1.答案：c解析：本题主要考查集合的基本运算，结合并集的定义是解决本题的关键，属于基础题.根据集合并集定义进行求解即可.解：,M=无|-3 V%W 5,N=x 5 x 5,M U/V=%|-5%5,故选：C.2.答案：B解析：试题分析：对于命题，若 冈，则 冈 或 回，命题错误；对于命题，若 S，则 国 或 冈，命题错误；对于命题，若 国，则 国，命题正确：对于命题，若 S ,则 0，命题正确，故选8考点：空间中点、线、面的位置关系3.答 案:C解析：解
9、：一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中随机取出3个球，用完后装回盒中，用X表示此时盒中旧球个数，X=4表示取出的3个球中有2个旧球，1个新球，则 P(X=4)=g =急.故选：C.X=4表示取出的3个球中有2个旧球，1个新球，由此能求出P(X=4).本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.4.答案：A解析：本题考查正圆锥曲线被与中心轴成。的平面所截曲线的轨迹，考查分析运算能力，属于难题.以4 点为坐标原点建立空间直角坐标系，可求得4 C,M等点的坐标，从而可求得cos4A M e设AC与底面ABCD所成的角为。，继而可求得cos。，比较
10、。与NM4C的大小，利用材料内容：圆锥被与中心轴成。的平面所截曲线的性质结论，即可得到答案.解：P点的轨迹实际是一个正圆锥面和平面的交线，这个正圆锥面的中心轴即为4 C,顶点为4顶角的一半即为NM4C,以A点为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示，设正方体棱长为1,则4(0,0,1),(1,1,0),二 Z=A M =(|,1,0),cosZ.M A C =|cos|_|彷丽 _ _ V15=AC；AM=叵 即=M设AC与底面ABCD所成的角为仇取底面ABC。的法向量为而=(0,0,1)1则s in。=|cos|_|而.而|_ J_ _ /3一 AO-AAi 一 6 一 3，/.cosd=CQ
11、S.MAC，3 15 15 5e。,S50=0.等差数列 册 的公差d v o,且 S50=5 0(0 1 +。5 0)2=25(25+026)=则。25。,a26 V ，且|Q25l=a26 1,由 bn=an%t+ian+2(neN+),知从打到外3的值都大于零，n=23时达到最大，而电4与与5是绝对值相等，符号相反，相加为零，T2 3=T2 5,之后及越来越小故选：D.由已知得到等差数列 an 的公差d 0,&26 0，|。25|=|。26卜结合%=的1%1+%1+25N+),知从/到 的 值 都 大 于 零，n=23时达到最大.本题考查了数列递推式，考查了数列的求和，关键是明确数列 好
12、 的项的特点，是中档题.6.答案：C解析：解析：设每天从报社买进x(250 Wx W 400,xeN)份报纸时，每月所获利润为y元，具体情况如下表.数量/份单价/元金额/元买进30%260%卖出20 x4-10 x 250360%+7500退回10(%-250)0.88%-2000y=(60 x+7500)+(8x-2000)-60 x=8x+5500(250 x 400,x G N).因为y=8x+5500在250,400上是增函数，所以当x=400时，y取得最大值8700.即每天从报社买进400份报纸时，每月获得的利润最大，最大利润为8700元.故选：C.利用题中的条件，列出函数关系式，即
13、可解出.本题考查了函数的应用，学生抽象概括能力，数学运算能力，属于基础题.7.答案：C解析：解：数据5,7,7,8,10,11的平均数为：x=1(5+7+7+8+10+11)=8,6二数据5,7,7,8,10,11的方差：S2=i(5-8)2+(7-8)2+(7-8)2+(8-8)2+(10-8)2+(11-8)2=4.故选：c.先求出数据5,7,7,8,1 0,1 1的平均数，再求出数据5,7,7,8,1 0,1 1的方差.本题考查一组数据的方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意方差公式的合理运用.8.答案：A解析：试题分析：因为我噂是愚上的奇函数，且满足，除*啕=展 唠，所以函数为周
14、期为4的周期函数，且/(一乃=-/(X),又当渺碟&期时，腐 冷=叠 丁，所以/=f(8-1)=函-1)=-/(I)=-2,故选A o考点：本题主要考查函数的奇偶性、周期性。点评：典型题，此类题在考试题中常常出现，关键是注意利用函数的周期性转化成指定区间函数值的计算问题。9.答案：B解析：解：函数/(%)=-X)满足f(2-X)=/(X),故函数的图象关于直线x =l对称，且开口向上下，所以，m =2,/(x)-x(2-%).再 根 据-1)=-3 =/(3),/(1)=1,画出函数f(x)的图象,如图所示.故有-1 a 1,1 6 3.且当a =-l时，lb 3；-l aWl时，b=3,故坐
15、标(a,b)所表示的点在图中的线段4 C和线段D C上,故选：B.先根据图象的对称性求得f(x)=x(2 x),由题意可得一I W a W l,1式匕4 3.且当。=一1时，1bS3；l aWl时，b=3,由此可得答案.本题主要考查函数的图象特征，注意(a,b)的取值范围，属于基础题.10.答案：A C解析：解：对于4若五J.B,则小3=0,即x +l x&=0，解得x =-&,故A正确;对于B：设与方共线的单位向量为(a,b),所 以 除,+炉=1,解得a =。，(/a-b =0 3所以与方共线的单位向量为停，号 或(-冬-半)，故 B 不正确；a-K 展)3 72 万对于G当 =2&时，E
16、 在R上的投影为面=向 苛 =嗝=爬,立在方上的投影向量为京，声=产福,=母，孰遍=(短 2),故 c正确：对于D：c o s/时，c o s=/祟 ,当 万 -g 时，c o s a,b 0.得方与方的夹角为锐角或零度角，即可判断。是否正确.本题考查向量的运算，解题中需要理清思路，属于中档题.11.答案：A B解析：解：由即+1-；=(1+*%，得册+1-：=詈 厮，.a.+i _ n _ J _ 1 _J_n+1 n n(n+l)n n+1*%=(久)+(3-)+.+.+(a -a)+an kn n-lJ vn-l n-27 k 2 1 7 19(H+七 一 )+(1 _；)+1=2 2,
17、.不等式攀 -2 t2-(a+l)t+a2-a +2恒成立，2 -2t2-(a +l)t +a2-a +2,*,2t 2+(Q+l)t a2+a 0,在 E 1,2 上恒成立,设/()=2 d+(a +l)t-a2 4-a,t 6 1,2,C/(l)=2+a +l-a2+a 01/(2)=8 +2(a+l)-a2+a 0,解得Q 5,.实数a 可能为-4,-2.故选：A B.由 已 知 数 列 递 推 式 可 得 鬻-浮=就 后=；-+，进一步得到皆 2,则原不等式可转化为2 d +(a +l)t 小+Q 4 o在t E 1,2 上恒成立，构造函数/()=2/+(Q+1)亡 小+Q,cc l,
18、2 ,可得 八义 二,求解不等式组得答案.本题考查了数列递推公式，涉及数列的求和，注意运用裂项相消求和和不等式恒成立问题的解法，关键是对已知递推式的变形，是中档题.12.答 案:C D解析：解：函数/。)=2 5 m(3%+9)(3 0,|如5)的一条对称轴方程为刀=意，相邻的一个对称中心为停，则周期7 =4 X 缶)=兀=当解得3 =2,o 1Z 3又s i n(2 x +w)=l,解得可得4不正确.7 1 /(%)=2 si n(2 x+-).由”申,可得：(2 x+k e%争，可得函数八%)在申上不单调,因此B不正确.将函数/(X)的图像向右平移千个单位长度，可得到y=/(x-”=2 s
19、i n2 x,为一个奇函数，因此C正确.由%e 一,0 ,可得2%+e 一竽，品，可得y=si n(2 x+在 e 一一争上单调递减,在(一1,0 上单调递增.若 方 程/(%)=皿*6一0 有两个不相等的实根，则实数-2 m W 次，因此m的取值范围是(2,因此D正确.故选：C D.函数/()=2 si n(3 X+9)(3 0,刖|方的一条对称轴方程为=成，相邻的一个对称中心为,0),可得周期r =4x-与=兀=与，解得如 把*=名弋入结合|初 表 解得租,进而判断出正误.本题考查了三角函数的图象与性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.13.答案：(1)(3)解析
20、：解：由题意可知，4 M 4 B=-a,乙4 M B =a 0过M作M C J.4 B于C,设C M =x,m BM BM根据正弦定理可得而菰访=:.BM=7 n皿。sin(a-0)，又因为=BM c os/?=%曹?n时没有触礁危险，即mc osa c os nsin(a S),(1)正确；-n sm(a-怨=tana-tanp,(3)正确.cosacosp v 7/u故答案为：(1)(3).先确定N M A B、乙4 M B的值，再作MCL4 B,根据正弦定理可求得B M的关系式，然后根据x=B M c osS求出C M的值，只要x n就没有触礁危险，从而得到答案.本题主要考查正弦定理的应
21、用，考查学生利用数学知识解决实际问题的能力，属基础题.1 4.答案：I解析：解：从盒子中任取一球，若它不是红球，所有的取法共有1 5种，而它是绿球的取法有1 0种,故它是绿球的概率是羽=|,故答案为|.从盒子中任取一球，若它不是红球，则所有的取法共有1 5种，而它是绿球的取法有1 0种，由此求得它是绿球的概率.本题主要考查等可能事件的概率，属于基础题.1 5.答案：V 3 1解析：解：设|P6|=m,则|P6|=2 a-m,因为|PB|=|PQ|,所以|Q6|=2a-m-m =2 a-2 m,由椭圆的定义可得IQ居I =2 a-(2 a2 m)=2 m,因为 PQ I P居，在 A PF i
22、Q 中，IQF/2 =2|PF i，g|J4m2=2(2 a m)2(T),在中，四6|2 =|PF i/+伊6|2,即4c2 =(2 a-z n)2 +7 n2,由 X 2可得47 n2 8。2 =4巾2,可得m =c,，将代入可得4c2 =(2 a c)2+c2 =0,整理可得：e2+2 e-2 =0,e G (0,1),解得e=6 1,故答案为：V 3 1.设|P片|的值，由椭圆的定义可得|P|的值，再由|P月|=|PQ|，可得|Q片|，|Q6|的值，由若PQ_ L P%,在两个三角形中由勾股定理可得a,c的关系，进而求出椭圆的离心率.本题考查椭圆的性质及直线与椭圆的综合，属于中档题.1
23、 6.答案：（1 4-6V 5）7T解析：分别计算出四棱锥P-4 B C D的体积V和表面积S,利用公式7?=料算出该四棱锥的内切球的半径,最后利用球体表面积公式可得出答案.四棱锥P-48 co的体积为V =-S正方形ABCD=|x l x 22=i,易证PD 1 CD,PA LAB,PC 1 BC,所以，四棱锥P A B C D的表面积为S =2 x i x 2 x l +2 x i x 2 x V 5+22=6 +2代,所以，四棱锥P-4 B C。的内切球的半径为/?=叱=尸=上渔，S 6+2V5 2因此，此球的最大表面积为4兀/?2=4TT x （等）2=（1 4-6 V 5）7 T.1
24、 7.答案：（本题满分为1 0分）解：（1）在A B C中，由COSA=,得：sinA=V 1 co s2/l =.（2分）由正弦定理，得：言BCsin A1.（3 分）又因为：A C=V lO.B C =3V 2.所以，sinB=业=V 1（）XJ-=返.（5 分）BC 3 迎 2 （2）由余弦定理，得：B C2=A C2+A B2-2 A C -A B-cosA,.（6 分）代入数据，整理得：A B2-2 A B-8 =0.(7 分)解得：48 =4或4 8=2,(舍去)，.(8 分)A 8 C 的面积为：S“BC=-BC -sinB=x 4 x x 4=6.(1 0 分)解析：(1)由已
25、知利用同角三角函数基本关系式可求s i nA 的值，由正弦定理可求s i nB 的值.(2)由已知及余弦定理得4 B 2-2 4 B-8=0,解得4 B 的值，根据三角形的面积公式即可计算得解.本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题.1 8.答案：解：(1)当律=2 时，$2 =%+2?+1,即3+。2 =8,解得。2 =5，当n=3 时，S3=a2 +1,即3+5 +。3=1 5,解得&3=7,当7 1 =4时，54=a3+42+1,即3+5 +7 +C I4=2 4,解 得=9，猜想an=2n+
26、l,下面用数学归纳法证明：当或=1 时，臼=2 x 1 +1 =3,猜想成立，假设当n=k(kN+)时，猜想成立，即以=2 左 +1,Sk=fe(3+ffc+1)=fc2+2/c,则当九=k+1 时，Sk+1=依+(A +l)2+1,Sk+ak+1=依+(k+l)2+1,*Q/c+i =dk+(/c+1)2 +1 S 1 =2 k+1 +(k+l)2+1 (fc2+2/c)=2(/c+1)+1,猜想成立.综上所述，对于任意n N+，an=2 n+l 均成立.(1 1)由(1 )得心=(2 n+：(2 n+3)=*焉 一 福)，则数列瓦 的前几 项和=起-+-+-帚-六)=鼎.解析：(I)通过兀
27、的取值，求叼，。2,。3 的值，并猜想数列 即 的通项公式，然后用数学归纳法证明步骤证明即可；1(1 1)化简九=工/二，利用裂项消项法求数列 以 的前n 项和7；.本题考查数学归纳法的应用，数列求和的方法，考查转化思想以及计算能力，是中档题.19.答案：解：(I)-PA 平面ABCD,二 AB 1 PA 又AB J.AD,jV故可建立建立如图所示坐标.八设BC=2AB=2AD=4BE=4,/由已知。(0,2,0),E(2,l,0),C(2,4,0),P(0,0,Q,(A 0),DE=/IAS=(2,4,0),AP=(0,0,A)/卜=4-4 +0=0，DE-AP=0.4DE 1 AC,DE
28、1 AP,ED _ L 平面PAC.(口)由(I),平面2 4 c 的一个法向量是 反，方=(2,1,4).设直线PE与平面P4C所成的角为。，sin。=|cos=j=y解得A=2,A 0,4 =2,即P(0,0,2).设平面PC。的一个法向量为元=(%,y,z),成=(2,2,0),DV=(0,-2,-2),.-=0,1 (2x+2y=0 取%=则五=Q,F 7(元 OP=0(-2y+2z=0,-7 7、2+1 V15.COS =,显然二面角4-P C-。的平面角是锐角，二 二面角A-P C-。的平面角的余弦值为雷.解析：(1)由/4_1_平面4 8。，可得4B 1 PA又48 _ L 4
29、D,可建立建立如图所示坐标系.利用向量垂直与数量积的关系、线面垂直的判定定理即可得出.(n)求出平面/MC的一个法向量，设直线PE与平面p a c 所成的角 为 凡 利用向量的数量积解得;I.求出平面PCO的一个法向量利用空间向量的数量积求解即可.本题考查了空间线面位置关系、法向量的应用、向量垂直与数量积的关系、向量夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.20.答案：解：(1)由题意知y=2包括两种情况：一是 =2,y=2,一是。2,y=2,:.P(y=2)=P(x=2,y=2)4-P(x H 2,y=2)=x|+x 1=.(2)随机变量X可取的值为0,1,2,3当X=0时，(%,y)
30、=(L D，(2,2),(3,3),(4,4)当X=1 时，(x,y)=(l,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3)同理，得P(X=2)=g P(X=3)=.1.X的分布列：X0123P25310151107 11EX=l x-+2 x-+3 x =l.10 5 10解析：(1)由题意知y=2包括两种情况，一是x=2,y=2,一是x 彳2,y=2,根据变量的结果对应的事件做出两种情况的概率，这两种情况是互斥的，且每一种情况中包含的事件是相互独立事件，根据公式得到结果.(2)由题意知随机变量的取值是0、1、2、3,根据不同变量对应的事件得到概率，写出分布列和期望.本题考
31、查离散型随机变量的分布列和期望，这种类型是近几年高考题中经常出现的，考查离散型随机变量的分布列和期望，大型考试中理科考试必出的一道大题，文科考概率一般考查古典概型和几何概型.21.答案：解：由题意可设椭圆的坐标方程为真+=l(a b 0).离心率为:，且椭圆C上一点到两个焦点的距离之和为4.C 1 一=:，2a=4,解得Q=2,c=1.a 2:.b2=a2 c2=3.椭圆C的标准方程为f+：=1.4 3()证明：当OP与OQ的斜率都存在时，设直线OP的方程为 丁 =上双人羊0),则直线OQ的方程为 丫 =-Jx(/c*0),P(x,y).(y=kx联 立 7=1，化 为 八 康，1 4 3 .
32、|O P|2=/+y 2=l|翳2,同理可得|OQ|2=lj爵，.，+，=上以+=工为定值|0P 0Q2 12(1+H)12(1+H)12，匚闫当直线O P 或0 Q 的斜率一个为0 而另一个不存在时，上式也成立.1 1 7因 此 所+标=石 为定值1 I 7(/)当日丽+丽=否定值时，试探究O P _ L 0 Q 是否成立？并说明理由.O P 1 0 Q 不一定成 立.下面给出证明.11 11117证明：当直线0 P 或0 Q 的斜率一个为0 而另一个不存在时，则而7 +而还=/+/=+,=石，满足条件.当直线0 P 或0 Q 的斜率都存在时,设直线0 P 的方程为丫=kx(k父0),则直线
33、0 Q 的方程为y =k x(k羊k,k 羊0),P(x,y).联立y=kxQt=1，化为2=次,4 30 P2=%2+y212(1+/)3+4fc2同理可得|0 Q|2 =12l+(k)23+4(/1_ _ 3+4/3+4(k)2 _ 7|0P|2 十|0Q|2-I2(l+fc2)十 12l+(/cz)2-12化为(妹)2=1,kk=+1.O P O Q 或kk =1.因此O P 1 O Q 不一定成立.解析：(。由题意可设椭圆的坐 标 方 程 为 捺+卷=1(。匕0).由题意可得”卷 2 a =4,及 炉=。2 0 2 =3,即可得出.()当。P 与。Q 的斜率都存在时，设直线0 P 的方
34、程为丫=/(卜力0),则直线0 Q 的方程为丁=一1(k*0),P(x,y).直线0 P 的方程y =丘与椭圆的方程联立可得修=嬴，得到|0 P=M+y2=3察，同理可得1?=噌警，看+就=卷 为 定 值.当直线。P 或。Q 的斜率一个为0 而另一个不存在时，上式也成立.117(/)当 诉 +标=否定值时，试探究O P 1 0 Q 是否成立？并说明理由.O P _ L O Q不一定成立.下u r I面给出分析:1 1 117当直线OP或0Q的斜率一个为0而另一个不存在时，可 得 标 +*=z+g=E，满足条件.当直线|V z i|T O Jl4OP或OQ的斜率都存在时，设直线OP的方程为y=k
35、 x(k M 0),则直线0Q的方程为丁=双卜片k.k H 0),P(x,y).与椭圆的方程联立可得|0 P/=x2+y2=嘤 捍，1。2/=嚷;口,利 用 总+|O 1时,1 0,f(%)在(1,+8)单调递增,/(I)=0,/(X)/(I)=0；令g(x)=x2+2(1-a)x+1,当a 0,则g()0,f(x)0,当0 S a S 2时，=4a2-8a 0,/(x)0,故当a W 2时，f(x)在(0,+8)上单调递增，且 1)=0,故有9/0)。，可得尸。)0,X 1当a 2 时，有=4a?-8a 0,此时9(x)有2个零点，设为J,t2，且J 0,t1t2=1,故0 L 1 12，在
36、(132)上，为单调递减函数，故此时有f(x)o,即仇与詈2,得 告 一 盘 0不恒成立，综上：a 的取值范围是(8,2；(3)证明：若FQ)有2个不同的零点 i，x2,不妨设均 2,并且f(功在(0,t)(勿，+8)上单调递增,在。1屯)上单调递减,且/C D =0,/(t2)0,e-a lg a)t2-t i x2 X j ea-e-a,f2 ci=J(t i+I)2 -4宇2 =2yJa2-2a,综上：2，。2 2 a|%2%il e。-e .解析：(1)代入a的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，证明结论成立即可；(2)求出函数的导数，令g )=x 2+2(l-a)x+l,通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，结合函数的单调性确定a的取值范围即可；(3)根据FQ)有2个不同的零点七,如 不妨设 1 2,并且f(x)在(0,t)(t2,+a)单调递增，结合函数的单调性证明结论成立即可.本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，分类讨论思想，是难题.