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1、初中精品资料 欢迎下载 三角形的证明 1你能证明它们吗 一、主要知识点 1、证明三角形全等的判定方法(SSS,SAS,ASA,AAS,证直角三角形全等除上述外还有HL)及全等三角形的性质是对应边相等，对应角相等。2、等腰三角形的有关知识点。等边对等角；等角对等边；等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。（三线合一）3、等边三角形的有关知识点。判定：有一个角等于 60的等腰三角形是等边三角形；三条边都相等的三角形是等边三角形；三个角都是 60的三角形是等边三角形；有两个叫是 60的三角形是等边三角形。性质：等边三角形的三边相等，三个角都是 60。4、反证法：先假设命题的结论不成
2、立，然后推导出 与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立。这种证明方法称为反证法 二、重点例题分析 例 1:如下图，在ABC 中，B=90，M 是 AC 上任意一点（M 与 A不重合）MDBC，交ABC 的平分线于点 D，求证：MD=MA.例2 如右图，已知ABC 和BDE 都是等边三角形，求证：AE=CD.例 3：如图：已知 AB=AE，BC ED，BE，AF CD，F为垂足,求证:ACAD；CFDF。初中精品资料 欢迎下载 图2图1ABCDOODCBA 例 4 如图 1、图 2，AOB，COD 均是等腰直角三角形，AOBCOD90，（1）在图 1 中，AC
3、与 BD 相等吗？请说明理由.（2）若COD 绕点 O 顺时针旋转一定角度后，到达力 2 的位置，请问 AC 与 BD 还相等吗？为什么？例 5 如图，在ABC中，AB=AC、D是 AB上一点，E是 AC延长线上一点，且 CE=BD，连结DE交 BC于 F。（1）猜想 DF与 EF的大小关系；（2）请证明你的猜想。的商业户等了解熟悉市场状况的能力下市场前与前一任市场负责人做好沟通工作后做好市场调研大环境人口经济水平消费习惯商业圈星级酒店了解品牌目标顾客群对品牌相对应的顾客群到处了解通过了解竞争对手出于什么位置以及资金实力经商经历了解加盟商的心态及具体心态年龄了解加盟商的店铺潜力及观念是否走在前
4、沿店铺运作规划及现在运营情况加盟商背景交际圈经营状况与别品牌对比情况有无坏习惯了解加盟商个人是否愿意付出或是承受压力是否产品的了解和熟悉的能力产品的风格价格带面料生产周期生命周期上货波段物流产品面对的目标客户群产品设计理念售后服务要有一套能够服务终端加盟商与店铺的系统方法和技巧系统开业销售管理陈列人员管理促销激励体系财务初中精品资料 欢迎下载 CADB2直角三角形 一、主要知识点 1、直角三角形的有关知识。直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形；在直角三角形中，如果一个锐角等于 30，那么它所对的直角边等于斜边的一半；在直
5、角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。2、互逆命题、互逆定理 在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理.二、典型例题分析 例 1：说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假：（1）四边形是多边形；（2）两直线平行，同旁内角互补；（3）如果 ab=0,那么 a=0,b=0；（4）在一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边相等 例 2：如图，ABC中，3590,12,22CCDBD ，
6、求AC的长。例 3：如图所示的一块地，ADC=90，AD=12m，CD=9m，AB=39m，BC=36m，求这块地的面积。例 4：如图，一架 2.5 米长的梯子 AB，斜靠在一竖直的墙 AC上，这时梯足 B到墙底端 C的距离为 0.7 米，如果梯子的顶端沿墙下滑 0.4 米，那么梯足将向外移多少米？例 5：如图 2-5 所示在等边三角形 ABC中，AE=CD，AD，BE交于 P点，BQ AD于 Q 求证：BP=2PQ CA1B1AB的商业户等了解熟悉市场状况的能力下市场前与前一任市场负责人做好沟通工作后做好市场调研大环境人口经济水平消费习惯商业圈星级酒店了解品牌目标顾客群对品牌相对应的顾客群到
7、处了解通过了解竞争对手出于什么位置以及资金实力经商经历了解加盟商的心态及具体心态年龄了解加盟商的店铺潜力及观念是否走在前沿店铺运作规划及现在运营情况加盟商背景交际圈经营状况与别品牌对比情况有无坏习惯了解加盟商个人是否愿意付出或是承受压力是否产品的了解和熟悉的能力产品的风格价格带面料生产周期生命周期上货波段物流产品面对的目标客户群产品设计理念售后服务要有一套能够服务终端加盟商与店铺的系统方法和技巧系统开业销售管理陈列人员管理促销激励体系财务初中精品资料 欢迎下载 3.线段的垂直平分线 4.角平分线 一、主要知识点 1、线段的垂直平分线。线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；到一条线段
8、两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。2、角平分线。角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。3、逆命题、互逆命题的概念，及反证法 如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。二、重点例题分析 例 1：（1）在ABC 中，ABAC，AB 的垂直平分线交 AB 于 N，交 BC 的延长线于 M，A040，求NMB 的大小（2）如
9、果将（1）中A 的度数改为070，其余条件不变，再求NMB 的大小 （3）你发现有什么样的规律性？试证明之.（4）将（1）中的A 改为钝角，对这个问题规律性的认识是否需要加以修改 例 2：在ABC 中，AB 的中垂线 DE 交 AC 于 F，垂足为 D，若 AC=6，BC=4，求BCF的周长。E C F A D B A C D E B 例 3：如图所示，AC=AD，BC=BD，AB 与 CD 相交于点 E。求证：直线 AB 是线段 CD 的垂直平分线。A B C N M A B C N M A B C N M 的商业户等了解熟悉市场状况的能力下市场前与前一任市场负责人做好沟通工作后做好市场调研
10、大环境人口经济水平消费习惯商业圈星级酒店了解品牌目标顾客群对品牌相对应的顾客群到处了解通过了解竞争对手出于什么位置以及资金实力经商经历了解加盟商的心态及具体心态年龄了解加盟商的店铺潜力及观念是否走在前沿店铺运作规划及现在运营情况加盟商背景交际圈经营状况与别品牌对比情况有无坏习惯了解加盟商个人是否愿意付出或是承受压力是否产品的了解和熟悉的能力产品的风格价格带面料生产周期生命周期上货波段物流产品面对的目标客户群产品设计理念售后服务要有一套能够服务终端加盟商与店铺的系统方法和技巧系统开业销售管理陈列人员管理促销激励体系财务初中精品资料 欢迎下载 例 4：如图所示，在ABC 中，AB=AC，BAC=1
11、200，D、F 分别为 AB、AC 的中点，DE ABFG AC，E、G 在 BC 上，BC=15cm，求 EG 的长度。A D F B E G C 例 5:：如图所示，RtABC 中，D 是 AB 上一点，BD=BC，过 D 作 AB 的垂线交 AC于点 E，CD 交 BE 于点 F。求证：BE 垂直平分 CD。C E A D B F 例 6:：在ABC 中，点 O 是 AC 边上一动点，过点 O 作直线 MNBC，与 ACB的角平分线交于点 E，与ACB的外角平分线交于点 F，求证：OE=OF 例 7、如图所示，ABAC，A的平分线与 BC 的垂直平分线相交于 D，自 D 作DE AB于E
12、，DF ACF于，求证：BE=CF。A E B M C F D 2 1 A O F E C B M N 的商业户等了解熟悉市场状况的能力下市场前与前一任市场负责人做好沟通工作后做好市场调研大环境人口经济水平消费习惯商业圈星级酒店了解品牌目标顾客群对品牌相对应的顾客群到处了解通过了解竞争对手出于什么位置以及资金实力经商经历了解加盟商的心态及具体心态年龄了解加盟商的店铺潜力及观念是否走在前沿店铺运作规划及现在运营情况加盟商背景交际圈经营状况与别品牌对比情况有无坏习惯了解加盟商个人是否愿意付出或是承受压力是否产品的了解和熟悉的能力产品的风格价格带面料生产周期生命周期上货波段物流产品面对的目标客户群产
13、品设计理念售后服务要有一套能够服务终端加盟商与店铺的系统方法和技巧系统开业销售管理陈列人员管理促销激励体系财务初中精品资料 欢迎下载 相应练习 1、如图，在ABC 中，AB=AC=BC，AE=CD，AD、BE 相交于点 P，BQAD于 Q。求证：BP=2PQ 2、如图，ABC中，AB=AC，P、Q、R分别在 AB、BC、AC上，且 BP=CQ，BQ=CR。求证：点 Q在 PR的垂直平分线上。3、如图，ABC中，AD为BAC的平分线，AD的垂直平分线 EF交 BC的延长线于点 F，连接 AF。求证：B=CAF 4、已知：如图，ABCD，BAC的角平分线与DCA 的角平分线交于点 M，经过 M 的
14、直线 EF 与 AB 垂直，垂足为 F，且 EF 与 CD 交于 E 求证：点 M 为 EF 的中点 E D F C B A P Q E D C B A Q R P B C A E C M A D F B 的商业户等了解熟悉市场状况的能力下市场前与前一任市场负责人做好沟通工作后做好市场调研大环境人口经济水平消费习惯商业圈星级酒店了解品牌目标顾客群对品牌相对应的顾客群到处了解通过了解竞争对手出于什么位置以及资金实力经商经历了解加盟商的心态及具体心态年龄了解加盟商的店铺潜力及观念是否走在前沿店铺运作规划及现在运营情况加盟商背景交际圈经营状况与别品牌对比情况有无坏习惯了解加盟商个人是否愿意付出或是承
15、受压力是否产品的了解和熟悉的能力产品的风格价格带面料生产周期生命周期上货波段物流产品面对的目标客户群产品设计理念售后服务要有一套能够服务终端加盟商与店铺的系统方法和技巧系统开业销售管理陈列人员管理促销激励体系财务初中精品资料 欢迎下载 单元训练题 一、精心选一选，慧眼识金（每小题 3 分，共 30 分）1如图 1,某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片,现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃.那么最省事的办法是带（）去配.A.B.C.D.和 2下列说法中，正确的是（）.A两腰对应相等的两个等腰三角形全等 B两角及其夹边对应相等的两个三角形全等 C两锐角对应相等的两个直角三角形全等 D面积相等的
16、两个三角形全等 3如图 2，ABCD，ABD、BCE 都是等腰三角形，如果 CD=8cm，BE=3cm，那么 AC长为（）.A4cm B5cm C8cm D34cm 4如图 3，在等边ABC中，,D E分别是,BC AC上的点，且BDCE，AD 与 BE 相交于点 P，则12 的度数是（）.A045 B055 C060 D075 5如图 4，在ABC中，AB=AC，036A，BD 和 CE 分别是ABC和ACB的平分线，且相交于点 P.在图 4 中，等腰三角形（不再添加线段和字母）的个数为（）.A9 个 B8 个 C7 个 D6 个 6如图 5，123,l l l表示三条相互交叉的公路，现在要
17、建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）.A1 处 B2 处 C3 处 D4 处 7如图 6，A、C、E 三点在同一条直线上，DAC 和EBC 都是 等边三角形，AE、BD 分别与 CD、CE 交于点 M、N，有如下结 论：ACEDCB；CMCN；ACDN.其中，正确结论的个数是（）.A3 个 B2 个 C 1 个 D0 个 的商业户等了解熟悉市场状况的能力下市场前与前一任市场负责人做好沟通工作后做好市场调研大环境人口经济水平消费习惯商业圈星级酒店了解品牌目标顾客群对品牌相对应的顾客群到处了解通过了解竞争对手出于什么位置以及资金实力经商经历了解加盟商的心态及具体心态年龄
18、了解加盟商的店铺潜力及观念是否走在前沿店铺运作规划及现在运营情况加盟商背景交际圈经营状况与别品牌对比情况有无坏习惯了解加盟商个人是否愿意付出或是承受压力是否产品的了解和熟悉的能力产品的风格价格带面料生产周期生命周期上货波段物流产品面对的目标客户群产品设计理念售后服务要有一套能够服务终端加盟商与店铺的系统方法和技巧系统开业销售管理陈列人员管理促销激励体系财务初中精品资料 欢迎下载 8 要测量河两岸相对的两点 A、B 的距离，先在 AB 的垂线 BF 上取两点 C，D，使 CD=BC，再作出 BF 的垂线 DE，使 A，C，E 在同一条直线上（如图 7），可以证明ABCEDC，得 ED=AB.因此
19、，测得 DE 的长就是 AB 的长，在这里判定ABCEDC的条件是().AASA BSAS CSSS DHL 9如图 8，将长方形 ABCD 沿对角线 BD 翻折，点 C 落在点 E 的 位置，BE 交 AD 于点 F.求证：重叠部分（即BDF）是等腰三角形.证明：四边形 ABCD 是长方形，ADBC 又BDE与BDC关于 BD 对称，23 .BDF是等腰三角形.请思考：以上证明过程中，涂黑部分正确的应该依次是以下四项中的哪两项？（）.12 ；13 ；34 ；BDCBDE A B C D 10.如图 9，已知线段 a，h 作等腰ABC，使 ABAC，且 BCa，BC 边上的高 ADh.张红的作
20、法是：（1）作线段 BCa；（2）作线段 BC 的垂直平分线 MN，MN 与 BC 相 交于点 D；（3）在直线 MN 上截取线段 h；（4）连结 AB，AC，则ABC 为所求的等腰三角形.上述作法的四个步骤中，有错误的一步你认为是（）.A.（1）B.（2）C.（3）D.（4）图 8 的商业户等了解熟悉市场状况的能力下市场前与前一任市场负责人做好沟通工作后做好市场调研大环境人口经济水平消费习惯商业圈星级酒店了解品牌目标顾客群对品牌相对应的顾客群到处了解通过了解竞争对手出于什么位置以及资金实力经商经历了解加盟商的心态及具体心态年龄了解加盟商的店铺潜力及观念是否走在前沿店铺运作规划及现在运营情况加
21、盟商背景交际圈经营状况与别品牌对比情况有无坏习惯了解加盟商个人是否愿意付出或是承受压力是否产品的了解和熟悉的能力产品的风格价格带面料生产周期生命周期上货波段物流产品面对的目标客户群产品设计理念售后服务要有一套能够服务终端加盟商与店铺的系统方法和技巧系统开业销售管理陈列人员管理促销激励体系财务初中精品资料 欢迎下载 二、细心填一填，一锤定音（每小题 3 分，共 30 分）1如图 10，已知，在ABC 和DCB 中，AC=DB，若不增加任何字母与辅助线，要使 ABCDCB，则还需增加一个条件是_.2如图 11，在Rt ABC中，090,BACABAC，分别过点,B C作经过点 A 的直线的垂线段
22、BD，CE，若 BD=3 厘米，CE=4 厘米，则 DE 的长为_.3如图 12，P，Q 是ABC 的边 BC 上的两点，且 BPPQQCAPAQ，则ABC 等于_度.4如图 13，在等腰ABC中，AB=27，AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交 AC 于点 E，若BCE 的周长为 50，则底边 BC 的长为_.5在ABC中，AB=AC，AB 的垂直平分线与 AC 所在的直线相交所得的锐角为050，则 底角 B 的大小为_.6在证明二一章中，我们学习了很多定理，例如：直角三角形两条直角边的平方和 等于斜边的平方；全等三角形的对应角相等；等腰三角形的两个底角相等；线段 垂直平分线上的点到这条
23、线段两个端点的距离相等；角平分线上的点到这个角两边的 距离相等.在上述定理中，存在逆定理的是_.(填序号)7如图 14，有一张直角三角形纸片，两直角边 AC=5cm，BC=10cm，将ABC 折叠，点 B 与点 A 重合，折痕为 DE，则 CD 的长为_.8如图 15，在ABC中，AB=AC，0120A，D 是 BC 上任意一点，分别做 DEAB于 E，DFAC 于 F，如果 BC=20cm，那么 DE+DF=_cm.的商业户等了解熟悉市场状况的能力下市场前与前一任市场负责人做好沟通工作后做好市场调研大环境人口经济水平消费习惯商业圈星级酒店了解品牌目标顾客群对品牌相对应的顾客群到处了解通过了解
24、竞争对手出于什么位置以及资金实力经商经历了解加盟商的心态及具体心态年龄了解加盟商的店铺潜力及观念是否走在前沿店铺运作规划及现在运营情况加盟商背景交际圈经营状况与别品牌对比情况有无坏习惯了解加盟商个人是否愿意付出或是承受压力是否产品的了解和熟悉的能力产品的风格价格带面料生产周期生命周期上货波段物流产品面对的目标客户群产品设计理念售后服务要有一套能够服务终端加盟商与店铺的系统方法和技巧系统开业销售管理陈列人员管理促销激励体系财务初中精品资料 欢迎下载 9如图 16，在 RtABC 中，C=90,B=15，DE 是 AB的中垂线，垂足为 D，交 BC 于点E，若4BE，则AC _.10如图 17，有
25、一块边长为 24m 的长方形绿地，在绿地旁边 B 处有健身 器材，由于居住在 A 处的居民践踏了绿地，小颖想在 A 处立一个标 牌“少走_步，踏之何忍？”但小颖不知在“_”处应填什么 数字，请你帮助她填上好吗？（假设两步为 1 米）？三、耐心做一做，马到成功（本大题共 48 分）1（7 分）如图 18，在 ABC中，090ACB，CD 是 AB 边上的高，030A.求证：AB=4BD.2（7 分）如图 19，在 ABC中，090C，AC=BC，AD 平分CAB 交 BC 于点 D，DEAB 于点 E，若 AB=6cm.你能否求出BDE的周长？若能，请求出；若不能，请说明理由.3（10 分）如图
26、 20，D、E 分别为ABC 的边 AB、AC 上的点，BE 与 CD 相交于 O 点.现有四个条件：ABAC；OBOC；ABEACD；BECD.(1)请你选出两个条件作为题设，余下的两个作为结论，写出一个正确的命题：的商业户等了解熟悉市场状况的能力下市场前与前一任市场负责人做好沟通工作后做好市场调研大环境人口经济水平消费习惯商业圈星级酒店了解品牌目标顾客群对品牌相对应的顾客群到处了解通过了解竞争对手出于什么位置以及资金实力经商经历了解加盟商的心态及具体心态年龄了解加盟商的店铺潜力及观念是否走在前沿店铺运作规划及现在运营情况加盟商背景交际圈经营状况与别品牌对比情况有无坏习惯了解加盟商个人是否愿
27、意付出或是承受压力是否产品的了解和熟悉的能力产品的风格价格带面料生产周期生命周期上货波段物流产品面对的目标客户群产品设计理念售后服务要有一套能够服务终端加盟商与店铺的系统方法和技巧系统开业销售管理陈列人员管理促销激励体系财务初中精品资料 欢迎下载 图 21 命题的条件是 和 ，命题的结论是 和 (均填序号).(2)证明你写出的命题.已知：求证：证明：4（8 分）如图 21，在ABC中，090A，AB=AC，ABC的 平分线 BD 交 AC 于 D，CEBD 的延长线于点 E.求证：12CEBD.5（8 分）如图 22，在 ABC中，090C.（1）用圆规和直尺在 AC 上作点 P，使点 P 到
28、 A、B 的距离相等.（保留作图痕迹，不写作法和证明）；（2）当满足（1）的点 P 到 AB、BC 的距离相等时，求A 的度数.6（8 分）如图 23，090AOB，OM 平分AOB，将直角三角板的顶 点 P 在射线 OM 上移动，两直角边分别与 OA、OB 相交于点 C、D，问 PC 与 PD 相等吗？试说明理由.图 23 的商业户等了解熟悉市场状况的能力下市场前与前一任市场负责人做好沟通工作后做好市场调研大环境人口经济水平消费习惯商业圈星级酒店了解品牌目标顾客群对品牌相对应的顾客群到处了解通过了解竞争对手出于什么位置以及资金实力经商经历了解加盟商的心态及具体心态年龄了解加盟商的店铺潜力及观
29、念是否走在前沿店铺运作规划及现在运营情况加盟商背景交际圈经营状况与别品牌对比情况有无坏习惯了解加盟商个人是否愿意付出或是承受压力是否产品的了解和熟悉的能力产品的风格价格带面料生产周期生命周期上货波段物流产品面对的目标客户群产品设计理念售后服务要有一套能够服务终端加盟商与店铺的系统方法和技巧系统开业销售管理陈列人员管理促销激励体系财务初中精品资料 欢迎下载 四、拓广探索（本大题 12 分）如图 24，在 ABC中，AB=AC，AB 的垂直平分线交 AB 于点 N，交 BC 的延长线于点 M，若040A.（1）求NMB的度数；（2）如果将（1）中A的度数改为070，其余条件不变，再求NMB的度数；
30、（3）你发现有什么样的规律性，试证明之；（4）若将（1）中的A改为钝角，你对这个规律性的认识是否需要加以修改？图 24 的商业户等了解熟悉市场状况的能力下市场前与前一任市场负责人做好沟通工作后做好市场调研大环境人口经济水平消费习惯商业圈星级酒店了解品牌目标顾客群对品牌相对应的顾客群到处了解通过了解竞争对手出于什么位置以及资金实力经商经历了解加盟商的心态及具体心态年龄了解加盟商的店铺潜力及观念是否走在前沿店铺运作规划及现在运营情况加盟商背景交际圈经营状况与别品牌对比情况有无坏习惯了解加盟商个人是否愿意付出或是承受压力是否产品的了解和熟悉的能力产品的风格价格带面料生产周期生命周期上货波段物流产品面对的目标客户群产品设计理念售后服务要有一套能够服务终端加盟商与店铺的系统方法和技巧系统开业销售管理陈列人员管理促销激励体系财务