《矢量分析与场论课后答案中学教育中考中学教育中考.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《矢量分析与场论课后答案中学教育中考中学教育中考.pdf（18页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、矢量分析与场论 习题 1 1 写出下列曲线的矢量方程，并说明它们是何种曲线。1 x 二 a cost,y 二 bsint 2 x=3sin t,y=4sin t,z=3cost 解：1 r=acosti bsintj，其图形是xOy平面上之椭圆。2 r=3sinti 4sin tj 3costk，其图形是平面4x-3y=0与圆柱面 x2 z2=32之交线，为一椭圆。4.求曲线 2 2 3 xy=t 的一个切向单位矢量 解：曲线的矢量方程为 r=ti t2j-t3k 3 则其切向矢量为 VII 9 dt 2tj 2t2k dr i 2 4 2 模为 y 4t 4t=1 2t 于是切向单位矢量为
2、dr dr|i 2tj 2t2k 孙詁 1 2t2 2 H 6求曲线x=：asin t,y=asin2t,z=acost,在t 处的一个切向矢量。4 解：曲线矢量方程为 r二asirntr asin2j acogk 切向矢量为 dr asin2ti 2acos2 asirtk 在t 处，.4 7.求曲线x 二t2 T,y=4t-3,z=2t2-6t在对应于t二2的点 M处的切线方程和 法平面方程。2 2 解：由题意得M(5,5,-4),曲线矢量方程为r=(t 1)i(4t-3)j(2t-6t)k,O 与圆柱面之交线为一椭圆求曲线的一个切向单位矢量解曲线的矢量方程为则其切向矢量为模为于是切向单位
3、矢量为孙詁求曲线在处的一个切向矢量解曲线矢量方程为二切向矢量为在处求曲线二在对应于二的点处的切线方程和法平面的点使该点的切线平行于平面解曲线切向矢量为平面的法矢量为由题知将此依次代入式得丄故所求点为丿习题说出下列数量场所在的空间区域并求出其等值面解场所在的空间区域是除外的空间等值面为或为任意常数这是与平面平行顶点外当时是除原点外的平面求数量场经过点的等值面方程解经过点等值面方程为十十即是除去原点的旋转抛物面已知数量场求场中与直线相切的等值线方程解设切点为等值面方程为因相切则斜率为即二点在所给直线上有解之得故dr 在 t=2的点 M处，切向矢量 2ti 4j(4t _ 6)kt/=4i 4j 2
4、k dty-于是切线方程为=1 5丄4,即=X 5=3 4 4 4 2 2 2 1 于是法平面方程为2（x 一 5）2（y 一 5）（z 4）=0，即 2x 2y z-16=0&求曲线 ti t2j t3k上的这样的点，使该点的切线平行于平面 平面的法矢量为 i 2j k，由题知 2 2 pi 2tj 3t2k i 2j k=1 4t 3t2=0 将此依次代入式，得 j-k,|1-i 1 j-丄k-3 3 9 27(11 1 故所求点为 _1,1-1,1-，-,39 习题 2 1 说出下列数量场所在的空间区域，并求出其等值面。1 1 u；Ax+By+Cz+D 2 u=arcsin z x2 y
5、2 解：1场所在的空间区域是除 Ax By Cz 0外的空间。等值面为 1 1 解：曲线切向矢量为 dr 2 dT，2tj 3tk，27丿 与圆柱面之交线为一椭圆求曲线的一个切向单位矢量解曲线的矢量方程为则其切向矢量为模为于是切向单位矢量为孙詁求曲线在处的一个切向矢量解曲线矢量方程为二切向矢量为在处求曲线二在对应于二的点处的切线方程和法平面的点使该点的切线平行于平面解曲线切向矢量为平面的法矢量为由题知将此依次代入式得丄故所求点为丿习题说出下列数量场所在的空间区域并求出其等值面解场所在的空间区域是除外的空间等值面为或为任意常数这是与平面平行顶点外当时是除原点外的平面求数量场经过点的等值面方程解经
6、过点等值面方程为十十即是除去原点的旋转抛物面已知数量场求场中与直线相切的等值线方程解设切点为等值面方程为因相切则斜率为即二点在所给直线上有解之得故G或Ax By Cz D 0（Ci=0为任意常数），这是与平 Ax By Cz D 6 面Ax By Cz D=0平行的空间。2 2 2 2场所在的空间区域是除原点以外的 zx y的点所组成的空间部分。等值面为 z2=(x2 y2)sin2c,(x2 y2=0)，当sine=0时，是顶点在坐标原点的一族圆锥面(除顶点外)；当sinc=0时，是除原点外的 xOy平面。X2+y2 2求数量场u 经过点M 1,1,2的等值面方程。z 解：经过点 M 1,1
7、,2等值面方程为 x2 十 y2 12 十12 u 1,z 2 即x2 y2，是除去原点的旋转抛物面。3已知数量场u=xy，求场中与直线 x 2y-4=0相切的等值线方程。解：设切点为 x0,y0，等值面方程为 xyncnxoyo，因相切，则斜率为 Z，即 X。二 2y X。2 点Xo，y在所给直线上，有 Xo 2y -4=0 解之得y0=1,x0=2 故 xy=2 4求矢量 A=xy2i x2yj zy2k的矢量线方程。解矢量线满足的微分方程为 A dr=0,亠 dx dy dz 或2 2 2 xy x y zy 与圆柱面之交线为一椭圆求曲线的一个切向单位矢量解曲线的矢量方程为则其切向矢量为
8、模为于是切向单位矢量为孙詁求曲线在处的一个切向矢量解曲线矢量方程为二切向矢量为在处求曲线二在对应于二的点处的切线方程和法平面的点使该点的切线平行于平面解曲线切向矢量为平面的法矢量为由题知将此依次代入式得丄故所求点为丿习题说出下列数量场所在的空间区域并求出其等值面解场所在的空间区域是除外的空间等值面为或为任意常数这是与平面平行顶点外当时是除原点外的平面求数量场经过点的等值面方程解经过点等值面方程为十十即是除去原点的旋转抛物面已知数量场求场中与直线相切的等值线方程解设切点为等值面方程为因相切则斜率为即二点在所给直线上有解之得故厶 dx dz 有 xdx=ydy,=.与圆柱面之交线为一椭圆求曲线的一
9、个切向单位矢量解曲线的矢量方程为则其切向矢量为模为于是切向单位矢量为孙詁求曲线在处的一个切向矢量解曲线矢量方程为二切向矢量为在处求曲线二在对应于二的点处的切线方程和法平面的点使该点的切线平行于平面解曲线切向矢量为平面的法矢量为由题知将此依次代入式得丄故所求点为丿习题说出下列数量场所在的空间区域并求出其等值面解场所在的空间区域是除外的空间等值面为或为任意常数这是与平面平行顶点外当时是除原点外的平面求数量场经过点的等值面方程解经过点等值面方程为十十即是除去原点的旋转抛物面已知数量场求场中与直线相切的等值线方程解设切点为等值面方程为因相切则斜率为即二点在所给直线上有解之得故、x_y=z 习题 3 2
10、 3 2 2 4 1.求数量场u二x z 2y z在点M 2,0,-1处沿|二2xi-xy j 3z k的方 向导数。解：因 I M=(2xi xy2j+3zk L=4i+3k，其方向余弦为 4 內 v 3 cos,cos 0,cos 5 5 所以出二4(_4)0 0 3.12二4 a 5 5 2.求数量场 u=3x2z-xy z2 在点 M 1,-1,1 处沿曲线 x=t,y-t2,z=t3 朝 t 增大一方的方向导数。解：所求方向导数，等于函数u在该点处沿曲线上同一方向的切线方向导数。解之得 2 2 X _y=C1,(C1,C2为任意常数)z=C2x 5.求矢量场 x2i y2j(x y)
11、zk通过点M(2,1,1)的矢量线方程。dx 解矢量线满足的微分方程为岂 x2 dy _ y2(x dz y)z dy 2 y 1 1 得一二6，x y 按等比定理有 d(x-y)_ x2-y2(x y)z dz 即 d(x-y)x y=d?.解得 x-y=C 2 z z 故矢量线方程为 1 1 c C1,x y 1 又 M(2,1,1)求得 C x y Gz 故所求矢量线方程为 1 1 1 厂2.a a 在点M(2,0,-1)处有兰=2xz3工4,兰 dx cy=4yz=0,U=3x2z2 2y2=12,cz 曲线上点 与圆柱面之交线为一椭圆求曲线的一个切向单位矢量解曲线的矢量方程为则其切向
12、矢量为模为于是切向单位矢量为孙詁求曲线在处的一个切向矢量解曲线矢量方程为二切向矢量为在处求曲线二在对应于二的点处的切线方程和法平面的点使该点的切线平行于平面解曲线切向矢量为平面的法矢量为由题知将此依次代入式得丄故所求点为丿习题说出下列数量场所在的空间区域并求出其等值面解场所在的空间区域是除外的空间等值面为或为任意常数这是与平面平行顶点外当时是除原点外的平面求数量场经过点的等值面方程解经过点等值面方程为十十即是除去原点的旋转抛物面已知数量场求场中与直线相切的等值线方程解设切点为等值面方程为因相切则斜率为即二点在所给直线上有解之得故M所对应的参数为t=1,从而在点 M处沿所取方向，曲线的切向方向导
13、数为 于是所求方向导数为 3求数量场u=x2yz3在点M 2,1,-1处沿哪个方向的方向导数最大?cu 0 解：因 一=(grad u)“1=grad u cosT,T 当 v-0时，方向导数最大。cu-k)cz=(2xy i+x2z3j+3x2yz2k)M=-如4j+12k,即函数u沿梯度grad u M=4i 4j+12k方向的方向导数最大 最大值为 grad u|M=J176=4丿11。1 1 3 L 4.画出平面场u(x2-y2)中u=0,1,2的等值线，并画出场在 皿1(2八2)与点 2 2 2 M 2(3八7)处的梯度矢量，看其是否符合下面事实：(1)梯度在等值线较密处的模较大，在
14、较稀处的模较小；(2)在每一点处，梯度垂直于该点的等值线，并指向 u增大的方向。2 x 2-y 2=0,x 2-y=1,解：所述等值线的方程为：2 x 2-y=2,x2 2-y-3,其中第一个又可以写为 2 x 2-y=4,dx =1理=-2t dt M dt M 一 cos:14 _x=3t2 t3，2,cosG3 14 14-i,：u：z=(3x2 2z)M=5。Su=Gcos：:x u u cos cos):y:z=7(1)2 5 3 二 24 14 14 14 14 gradu M 其方向余弦为cos：-dz 与圆柱面之交线为一椭圆求曲线的一个切向单位矢量解曲线的矢量方程为则其切向矢量
15、为模为于是切向单位矢量为孙詁求曲线在处的一个切向矢量解曲线矢量方程为二切向矢量为在处求曲线二在对应于二的点处的切线方程和法平面的点使该点的切线平行于平面解曲线切向矢量为平面的法矢量为由题知将此依次代入式得丄故所求点为丿习题说出下列数量场所在的空间区域并求出其等值面解场所在的空间区域是除外的空间等值面为或为任意常数这是与平面平行顶点外当时是除原点外的平面求数量场经过点的等值面方程解经过点等值面方程为十十即是除去原点的旋转抛物面已知数量场求场中与直线相切的等值线方程解设切点为等值面方程为因相切则斜率为即二点在所给直线上有解之得故（如下图，图中 Ggrad u Mi,G2-grad u M2,）由于
16、 grad u=xi 一 yj,故 grad u=2i-jQj,grad u M2=3i J7j,由图可见，其图形都符合所论之事实。5.用以下二法求数量场 u二xy yz，zx在点P 1,2,3处沿其矢径方向的方向导数。1 直接应用方向导数公式；2 作为梯度在该方向上的投影。解：（1）点 P的矢径r=i+2 j+3k,其模r=其方向余弦为 1:2 3 ,cos=,cos .又 14 14 14 +-k.cos：.x=(y z)p=u 5,一=(x+z=(x y)p=3:u，旬 丄 u R丄 u 汽、=(CO护十-COSP 十-cos)ax dy cz 5 1 4 2 3 3=22 v14 14
17、-14(2)gradu L、L、；u u j y k)=5i+4 j+3k,.:z 与圆柱面之交线为一椭圆求曲线的一个切向单位矢量解曲线的矢量方程为则其切向矢量为模为于是切向单位矢量为孙詁求曲线在处的一个切向矢量解曲线矢量方程为二切向矢量为在处求曲线二在对应于二的点处的切线方程和法平面的点使该点的切线平行于平面解曲线切向矢量为平面的法矢量为由题知将此依次代入式得丄故所求点为丿习题说出下列数量场所在的空间区域并求出其等值面解场所在的空间区域是除外的空间等值面为或为任意常数这是与平面平行顶点外当时是除原点外的平面求数量场经过点的等值面方程解经过点等值面方程为十十即是除去原点的旋转抛物面已知数量场求
18、场中与直线相切的等值线方程解设切点为等值面方程为因相切则斜率为即二点在所给直线上有解之得故故:u.l=grad u 0 P*r 1 2 3 22=5 _ 4 3 泊一 5 14 4 14 3 14 14 与圆柱面之交线为一椭圆求曲线的一个切向单位矢量解曲线的矢量方程为则其切向矢量为模为于是切向单位矢量为孙詁求曲线在处的一个切向矢量解曲线矢量方程为二切向矢量为在处求曲线二在对应于二的点处的切线方程和法平面的点使该点的切线平行于平面解曲线切向矢量为平面的法矢量为由题知将此依次代入式得丄故所求点为丿习题说出下列数量场所在的空间区域并求出其等值面解场所在的空间区域是除外的空间等值面为或为任意常数这是与
19、平面平行顶点外当时是除原点外的平面求数量场经过点的等值面方程解经过点等值面方程为十十即是除去原点的旋转抛物面已知数量场求场中与直线相切的等值线方程解设切点为等值面方程为因相切则斜率为即二点在所给直线上有解之得故6，求数量场 u=x2 2y2 3z2 xy 3x _2y _6z在点 0(0,0,0)与点 A(1,1,1)处梯度的大小和方向余弦。又问在哪些点上梯度为 0?解：grad u=(2x y 3)i(4y x-2)j(6z-6)k,graduO=3i-2j _6k,graduA=6i+3j+0k,其模依次为：32（一2）2 （一6）2=7八 62 32 02 二 3、.5 co 的=L,c
20、os0=丄,cosY=0.、5 5 2x+y+3=0,求使gradu=0之点，即求坐标满足 4y+x_2=0,之点，由此解得 6z 6=0 x=-2,y=1,z=1 故所求之点为（-2,1,1）.7通过梯度求曲面 x2y 2xz二4上一点M(1,-2,3)处的法线方程。2 解：所给曲面可视为数量场 u=x y 2xz的一张等值面，因此，场 u在点 M处的梯度，就是曲面在该点的法矢量，即 grad u M=(2xy+2z)i+x2 j+2xk 皿=2i+j+2k,习题 4 1.设 S为上半球面x2 y2 z2=a2(z_0),求矢量场r=xi yj zk向上穿过 S的通量:-：J。【提示：注意
21、S的法矢量 n与 r 同指向】解：=仃 r dS=仃 rndS=仃|r dS dS=a 2g2=2a3.S S S S 2.设 S为曲面x2 y2 z2二a2(0-z-h),求流速场v=(x y z)k在单位时间内下 侧穿 S的流量 Q 于是 grad u O的方向余弦为 COS：=-,COS:gradu A的方向余弦为 故所求的法线方程为 x1 y 2 z-3 2 1 2 与圆柱面之交线为一椭圆求曲线的一个切向单位矢量解曲线的矢量方程为则其切向矢量为模为于是切向单位矢量为孙詁求曲线在处的一个切向矢量解曲线矢量方程为二切向矢量为在处求曲线二在对应于二的点处的切线方程和法平面的点使该点的切线平行
22、于平面解曲线切向矢量为平面的法矢量为由题知将此依次代入式得丄故所求点为丿习题说出下列数量场所在的空间区域并求出其等值面解场所在的空间区域是除外的空间等值面为或为任意常数这是与平面平行顶点外当时是除原点外的平面求数量场经过点的等值面方程解经过点等值面方程为十十即是除去原点的旋转抛物面已知数量场求场中与直线相切的等值线方程解设切点为等值面方程为因相切则斜率为即二点在所给直线上有解之得故2 2 解：Q=(x y z)dxdy(x y x y)dxdy 其中 D 为 S 在 xOy 面上的 S D 投影区域：2 x2 h.用极坐标计算，有 Q=-(rcos rsin r)rdrd i 2 2-3.设
23、S是锥面 z=.x y 在平面z=4的下方部分，求矢量场 A=4xzi yzj 3zk向 下穿出 S的通量”。解：略 4.求下面矢量场 A的散度。(1)A=(x3 yz)i(y2 xz)j(z3 xy)k;(2)A=(2z-3y)i(3x-z)j(y-2x)k;(3)A=(1 ysinx)i(xcosy y)j.2 2 解：(1)div A=3x 2y 3z(2)div A=0(3)div A=ycosx-xsin y 1 5.求 div A 在给定点处的值：(1)=x3i y3 j z3k在点 M(1,0,-1)处；(2)A=4xi-2xyj z2k在点 M(1,1,3)处；(3)A 二 x
24、yzn(r 二 xi yj zk)在点 M(1,3,2)处；解：(1)div A M=(3x2+3y2+3z2)M=6(2)div A”=(4 2X+2Z)M=8(3)div A=xyzdiv r grad(xyz)r=3xyz(yzi xzj xyk)(xi yj zk)=6xyz,故div A6xyz36。2-h 2 2 d(r2cos r2sin 0 0 3 2 二 r3)dr(cos sin)0 h3 与圆柱面之交线为一椭圆求曲线的一个切向单位矢量解曲线的矢量方程为则其切向矢量为模为于是切向单位矢量为孙詁求曲线在处的一个切向矢量解曲线矢量方程为二切向矢量为在处求曲线二在对应于二的点处的
25、切线方程和法平面的点使该点的切线平行于平面解曲线切向矢量为平面的法矢量为由题知将此依次代入式得丄故所求点为丿习题说出下列数量场所在的空间区域并求出其等值面解场所在的空间区域是除外的空间等值面为或为任意常数这是与平面平行顶点外当时是除原点外的平面求数量场经过点的等值面方程解经过点等值面方程为十十即是除去原点的旋转抛物面已知数量场求场中与直线相切的等值线方程解设切点为等值面方程为因相切则斜率为即二点在所给直线上有解之得故6.已知 u=xy 2 z3,A=x 2 i xzj-2 yzk,求 div(uA)。解：div A=2x _ 2y grad u=y2z3i 2 xyz 3 j 3xy 2z2k
26、 =xy2z3(2x-2y)(y2z3i 2xyz3j 3xy2z2k)(x2i xzj-2yzk)2 2 3 2 3 3 2 2 3 2 4 3 3 二 2x y z-2x y z xyz 2x yz-6xy z=3x2y2z3-8x2y3z3 2x2yz4.=x3i y3j z3k,S为球面 x2 y2 z2=a2;=口 A dS=Hldiv AdV=Iff 3(x2 s 门 门,2 2 2 2 其中二为 S所围之球域x y z _ a今用极坐标=rsincos,y=rsinrsin,z=rcos 计算，有=3 ir2 r2sindrdd=3 d sind r4dr=o o-Q 4(2)=
27、ffA dS=JJJdivAdV=3JJJdV=3 iabc=4iabc S d Q 3 习题五 1.求一质点在力场 F=-yi-zj xk的作用下沿闭曲线I:x=acost,y=asint.z=a(1-cost)从t=0 到 t=2运动一周时所做的功。解：功 W=F dl-ydx-zdy xdz(2)A=(x-y z)i (y-z x)j (z-x y)k,S 为椭球面 2 x 2 a 故 div(uA)=udiv A grad u A 7.求矢量场 A从内穿出所给闭曲面 S的通量 G:(1)A z2)dV 12 a5 5 与圆柱面之交线为一椭圆求曲线的一个切向单位矢量解曲线的矢量方程为则其
28、切向矢量为模为于是切向单位矢量为孙詁求曲线在处的一个切向矢量解曲线矢量方程为二切向矢量为在处求曲线二在对应于二的点处的切线方程和法平面的点使该点的切线平行于平面解曲线切向矢量为平面的法矢量为由题知将此依次代入式得丄故所求点为丿习题说出下列数量场所在的空间区域并求出其等值面解场所在的空间区域是除外的空间等值面为或为任意常数这是与平面平行顶点外当时是除原点外的平面求数量场经过点的等值面方程解经过点等值面方程为十十即是除去原点的旋转抛物面已知数量场求场中与直线相切的等值线方程解设切点为等值面方程为因相切则斜率为即二点在所给直线上有解之得故=0 a2 sin21 一 a2(4 一 cost)cost
29、a2 costsint dt 2 2 二 2=a 0(4 cost+costsint)dt=2n：a 2.求矢量场-yi xj Ck(C为常数)沿下列曲线的环量：(1)圆周 x2-y2 二 R2,z=0；(2)圆周(X-2)2 y2 二 R2,z=0。解:(1)令 x 二 Rcosr，则圆周 x2 y2 x=RCOST,y=Rsin v,z=0，于是环量 (2)令 x-2 二 Rcosr，则圆周(x-2)2 y2=R2,z=0的方程成为 x=Rcos J 2,y=Rsin z=0，于是环量 2兀 2 2-二 A dl 二-ydx xdy Cdz 二 o R sin(Rcosv 2)Rcosvd
30、)1 l 2 2 2(R2 2RCOSR-2 R2 3.用以下两种方法求矢量场 A=x(z-y)i y(x-z)j z(y-x)k在点 M(4,2,3)处沿方 向n=i 2j 2k的环量面密度。(4)直接应用环量面密度的计算公式；(2)作为旋度在该方向上的投影。解：(1)n0=黑=4i+2 j+2k,故 n的方向余弦为 co护=4,cosP=2,COS=2.ni 3 3 3 3 3 3 又P=x(zy),Q二y(x-z),R二z(y-x)根据公式，环量面密度 叫 M=(Ry-Qz)co炉+(Pz Rx)cos0+(Qx Py)cos?】M rot AM 二(z y)i(x z)j(x y)k5
31、i 4j 3k,于是二R2,Z=0的方程成为-二 A dl-ydx xdy Cdz 二 l l 2|2 2 2 o(R2sin2r R2cosn)d)-2 R.4 2 2 珂(z疾(x营(x y)4 5 8 6 佃 4-T-=-3 3 3 3 与圆柱面之交线为一椭圆求曲线的一个切向单位矢量解曲线的矢量方程为则其切向矢量为模为于是切向单位矢量为孙詁求曲线在处的一个切向矢量解曲线矢量方程为二切向矢量为在处求曲线二在对应于二的点处的切线方程和法平面的点使该点的切线平行于平面解曲线切向矢量为平面的法矢量为由题知将此依次代入式得丄故所求点为丿习题说出下列数量场所在的空间区域并求出其等值面解场所在的空间区
32、域是除外的空间等值面为或为任意常数这是与平面平行顶点外当时是除原点外的平面求数量场经过点的等值面方程解经过点等值面方程为十十即是除去原点的旋转抛物面已知数量场求场中与直线相切的等值线方程解设切点为等值面方程为因相切则斜率为即二点在所给直线上有解之得故1 2 2.(5i 4j 3k).(-i-j-k)5 8=+_+_ 3 3 4用雅可比矩阵求下列矢量场的散度和旋度。=(3x2y z)i(y3-xz2)j 2xyzk;rotA 二 x(2y-x)i y(2z-y)j z(2x-z)k.rotA=0。解：rot uA=u rotA grad u A,grad u 二 exyz(yzi xzj xyk
33、),grad u AM=rotA*n0 19 3(1)(2)=yz2i zx2j xy2k;(3)二 P(x)i Q(y)j R(z)k.6xy 3x2 2-z 3y2 2yz 2xz ,故有 divA=6xy 3y2 2xy=(8x 3y)y,rotA 二 4xzi(1-2yzj-(z 3x2)k.0 I(2)DA=2xz 2 y 2xy 匸故有 div A=0+0+0=0,P(x)(3)DA=0 0 0 Q(y)0 0 0 R(z)，故有 div A=P(x)+Q(y)+R(z).5.已知 u=e xyz,A z2i x 2 j y2k,求 rot uA.0 DA 巳2x 0 2y 0 0
34、有 rotA=2yi+2zj+2xk u rotA exy2yi+2zj+2xk,2xy DA=1-2xz 与圆柱面之交线为一椭圆求曲线的一个切向单位矢量解曲线的矢量方程为则其切向矢量为模为于是切向单位矢量为孙詁求曲线在处的一个切向矢量解曲线矢量方程为二切向矢量为在处求曲线二在对应于二的点处的切线方程和法平面的点使该点的切线平行于平面解曲线切向矢量为平面的法矢量为由题知将此依次代入式得丄故所求点为丿习题说出下列数量场所在的空间区域并求出其等值面解场所在的空间区域是除外的空间等值面为或为任意常数这是与平面平行顶点外当时是除原点外的平面求数量场经过点的等值面方程解经过点等值面方程为十十即是除去原点
35、的旋转抛物面已知数量场求场中与直线相切的等值线方程解设切点为等值面方程为因相切则斜率为即二点在所给直线上有解之得故k xy=exyz(xy1 2z x3y)j+(xyz2 y3z)j+(x2yzxz3)k,2 y rot uA二 exyf(2y xz-x3y)i(2z xyz-y3z)j(2x x2yz-x)k|习题六 1.证明下列矢量场为有势场，并用公式法和不定积分法求其势函数。(1)A=ycosxyi xcosxyj sinzk;2 2(2)A=(2xcosy-y sinx)i(2ycosx-x siny)j.解：(1)记 P=ycosxy,Q=xcosxy,R=sinz.10 公式法：v
36、=-0 P(x,0,0)dx-0Q(x,y,0)dy-0 R(x,y,z)dz C1 x y=-o 0dx-o xcosxydy-o sinzdz C1=0-sinxy cosz-1 C=cosz-sinxy C.20不定积分法：因势函数 v满足A-grad v，即有 vx-ycosxy,vy-xcosxy,vz-sinz,将第一个方程对 x积分，得v-sinxy(y,z),对y求导，得vy二-xcosxy y(y,z)，与第二个方程比较，知 y(y,z)二 0,于是(y,z)(z),从而 v=-sin xy+屮(z).再对z求导，得vz=*(z),与第三个方程比较，知(z)-sinz，故*(
37、z)=cosz C.所以 v=cosz-sin xy C.2 2(2)记 P=2xcosy-y sinx,Q 二 2ycosx-x siny,R=0.xyz=e yz xz 2 2 z x 则 rot A:x P=0i 0j(cosxy-xysinxy)-(cosxy-xysinxy)k=0 所以 A为有势场。F面用两种方法求势函数 v:与圆柱面之交线为一椭圆求曲线的一个切向单位矢量解曲线的矢量方程为则其切向矢量为模为于是切向单位矢量为孙詁求曲线在处的一个切向矢量解曲线矢量方程为二切向矢量为在处求曲线二在对应于二的点处的切线方程和法平面的点使该点的切线平行于平面解曲线切向矢量为平面的法矢量为由
38、题知将此依次代入式得丄故所求点为丿习题说出下列数量场所在的空间区域并求出其等值面解场所在的空间区域是除外的空间等值面为或为任意常数这是与平面平行顶点外当时是除原点外的平面求数量场经过点的等值面方程解经过点等值面方程为十十即是除去原点的旋转抛物面已知数量场求场中与直线相切的等值线方程解设切点为等值面方程为因相切则斜率为即二点在所给直线上有解之得故 所以 A为有势场。下面用两种方法求势函数 V:0 x y Z 1 公式法：v-P(x,0,0)dx-Q(x,y,0)dy-0 R(x,y,z)dz C x y 2 z=-0 2xdx 0(2ycosx x siny)dy-J00dz+C-x2-y2 c
39、osx-x2 cosy x2 C-y2 cosx-x2 cosy C.2不定积分法：因势函数 v满足A二-grad v，即有 2 2 vx-2xcosy y sinx,vy-2ycosx x siny,vz=,将第一个方程对 x积分，得v-x2 cosy-y2 cosx亠(y,z),对y求导，得vy=x2 siny-2ycosx y(y,z)，与第二个方程比较，知 y(y,z)=,于是(y,z)=r(z),从而 v-x2cosy-y2cos (z).再对z求导，得vzW(z),与第三个方程比较，知 所以 v=-x2cosy-y2 cosx C.2.下列矢量场 A是否保守场？若是，计算曲线积分.
40、Adl:l(1)A=(6xy z2)i(3x2-z)j(3xz2-y)k，l 的起点为 A(4,1),终点为 B(2,1,-1);2 2 2(2)A=2xzi 2yzj(x 2yz-1)k，l 的起点为 A(3,1),终点为 B(5,-1,3).6y 6x 3z2 解：(1)DA=,有 3z2-1 6xz 2 2 rotA=(1)(T)j(3z 3z)j(6x 6x)k=Q 故 A 为保守场。因此，存在 A*dl 的原函数 u。按公式 rot A i.x P k.:z R=0i 0j(-2ysinx-2xsiny)-(-2xsiny-2ysinx)k=0(z)=，故(z)=C.与圆柱面之交线为
41、一椭圆求曲线的一个切向单位矢量解曲线的矢量方程为则其切向矢量为模为于是切向单位矢量为孙詁求曲线在处的一个切向矢量解曲线矢量方程为二切向矢量为在处求曲线二在对应于二的点处的切线方程和法平面的点使该点的切线平行于平面解曲线切向矢量为平面的法矢量为由题知将此依次代入式得丄故所求点为丿习题说出下列数量场所在的空间区域并求出其等值面解场所在的空间区域是除外的空间等值面为或为任意常数这是与平面平行顶点外当时是除原点外的平面求数量场经过点的等值面方程解经过点等值面方程为十十即是除去原点的旋转抛物面已知数量场求场中与直线相切的等值线方程解设切点为等值面方程为因相切则斜率为即二点在所给直线上有解之得故x y z
42、 u=P(x,0,0)dx 亠 I Q(x,y,0)dy 亠 I R(x,y,z)dz 0 0 0 x y 2 z 2 2 3=0 Odx+0 3x2dy+(3xz-y)dz=3x2y+xz-yz,于 u=-0 P(x,0,0)dx-0 Q(x,y,0)dy-0 R(x,y,z)dz=oDdx o”0dy：(x2 2y2z 1)dz=x2z y2z2 z,于 jAdl=(x2z 十 y2z2 _ z)l 3.求下列全微分的原函数 u(1)du=(x2-2yz)dx(y2-2xz)dy(z2-2xy)dz;2 2 2 3(2)du=(3x 6xy)dx(6x y 4y)dy.x y z 解：由公
43、式 u=o P(x,0,0)dx Q(x,y,0)dy R(x,y,z)dz C 1 3 1 3 13 13 3 3 x 3 y?z-2xyz C=?(x y z)-2xyz C；x y(2)u 3x2dx o(6x2y 4y3)dy C=x3 3x2 y2 y4 C 9.证明矢量场 A=(2x-y)i-(4y x-2z)j (2y6z)k为调和场，并求其调和函数。2 1 0 解：DA=1 4 2，有 0 2-6 div A=2 4-6=0,rot A=(2-2)i(0-0)j(1-1)k=0 故 A 为调和场。x y z 其调和函数 u 由公式 u P(x,0,0)dx 亠 i Q(x,y,
44、0)dy 亠 I R(x,y,z)dz C Adl 二(3x2y xz3-l yz)B(2,1,J)7。(2)2z DA=0 2x 0 2z2 4yz 2x_ 4yz,有 rotA=(4yz 4yz)i(2x-2x)j 0k=Q 故 A 为保 2y2 守场。因此，存在 A*dl 的原函数 u。按公式 B(5,3)A(3,0,1)=x 2(1)u 二 x2dx:y2dy；(z2-2xy)dz C 与圆柱面之交线为一椭圆求曲线的一个切向单位矢量解曲线的矢量方程为则其切向矢量为模为于是切向单位矢量为孙詁求曲线在处的一个切向矢量解曲线矢量方程为二切向矢量为在处求曲线二在对应于二的点处的切线方程和法平面
45、的点使该点的切线平行于平面解曲线切向矢量为平面的法矢量为由题知将此依次代入式得丄故所求点为丿习题说出下列数量场所在的空间区域并求出其等值面解场所在的空间区域是除外的空间等值面为或为任意常数这是与平面平行顶点外当时是除原点外的平面求数量场经过点的等值面方程解经过点等值面方程为十十即是除去原点的旋转抛物面已知数量场求场中与直线相切的等值线方程解设切点为等值面方程为因相切则斜率为即二点在所给直线上有解之得故y z 22 0(4y x)dy。(2y-6z)dz C=x 2y x=0 2xdx 2 xy 2yz-3z C.与圆柱面之交线为一椭圆求曲线的一个切向单位矢量解曲线的矢量方程为则其切向矢量为模为于是切向单位矢量为孙詁求曲线在处的一个切向矢量解曲线矢量方程为二切向矢量为在处求曲线二在对应于二的点处的切线方程和法平面的点使该点的切线平行于平面解曲线切向矢量为平面的法矢量为由题知将此依次代入式得丄故所求点为丿习题说出下列数量场所在的空间区域并求出其等值面解场所在的空间区域是除外的空间等值面为或为任意常数这是与平面平行顶点外当时是除原点外的平面求数量场经过点的等值面方程解经过点等值面方程为十十即是除去原点的旋转抛物面已知数量场求场中与直线相切的等值线方程解设切点为等值面方程为因相切则斜率为即二点在所给直线上有解之得故