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1、勾股定理知识点易错点(总4 页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One 1 CAL本页仅作为文档封面，使用请直接删除 勾股定理知识点易错点 一、知识体系：二、知识点：1、直角三角形两边的平方和等于斜边的平方。即：a:+b3=c2（a.b为直角边，c为斜边）如图所示，我国古代把直角三角形的较短的直角边叫做“勾”，较 长的直角边叫做“股”，斜边叫做“弦”。注意：（1）勾股定理只有在直角三角形中才适用，如果不是直角三角形，三边 就没有这种关系。（2）勾股定理揭示的是直角三角形三边之间的数量关系：两 直角边的平方和等于斜边的平方，不是任意两边的平方和都等 于第三边的平方。2
2、、勾股定理的验证 验证勾股定理的有效方法，一般遵循以下儿个步 3、勾股定理的逆定理：（重点）如果三角形的三边长d、b、c且a=+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形。注意：（1）证明时不能说成在直角三角形中”，因为还没有确定是直角三角 形，当然也不能说成“斜边、直角边”（2）a:+b3=c2它只是一种表现形式，不能因为f+bHc就说这个三角形不是 直角三角形。如沪5,b二3,c二4.a=+b2c:但此三角形是直角三角形。a为斜 边。利用勾股定理判别一个三角形是不是直角三角形的方法：求出三角形中较小两 边的平方和与较大边的平方进行比较，如果相等，可判断这个三角形是直角三 角形，否则不是。勾股数
3、：满足a2+b2=c3的3个正整数,且满足a3+b2=c3o 1、勾股定理：直角三角形两直角边尔b的平方和等于斜边c的平方。如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c,那么?a2+b2=c 强调说明：勾一一最短的边、股一一较长的直角边、弦一一斜边 2、勾股定理的逆定理：如果三枷毬a,b,c满足扌+尸=区那么这个三 角形就为直角三角形。3、3、定理的证明方法 _ 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：方法：4S、+S正方形
4、=焉方形ABCD，4x ab+（b a）=c 化iT可证 方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积.三角形两边的平方和等于斜边的平方即为直角边为斜边如图所示我国古代把直角三角形的较短的直角边叫做勾较长的直角边叫做股斜边叫做弦注意勾股定理只有在直角三角形中才适用如果不是直角三角形三边就没有这种关系勾股定边的平方勾股定理的验证验证勾股定理的有效方法一般遵循以下儿个步勾股定理的逆定理重点如果三角形的三边长且那么这个三角形是直角三角形注意证明时不能说成在直角三角形中因为还没有确定是直角三角形当然也不能说成斜利用勾股定理判别一个三角形是不是直角三角形的方法求出三角形中较小两边的平
5、方和与较大边的平方进行比较如果相等可判断这个三角形是直角三角形否不是勾股数满足的个正整数且满足勾股定理直角三角形两直角边尔的平方和四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为S=4xLab+c2=2ctb+c2 2 大正方形面积为S=（a+b）2=a2+2ab+b2 所以 a2+b2=c2 方法三：S样形=（+b）（a+b）S梯形=2Sw+SE=2 ab+,化简得证 易错点 1,勾股定理揭示了直角三角形三边的关系，值得注意的是，只有在直角 三角形中才有两边（较小的两边）的平方和等于第三边（最长的边）的平方，非直角三角形不具备这种关系。因此，在非直角三角形中或者是在不知道三角 形是不是直角三角形的情
6、况下，不能盲LI地使用勾股定理。另一方面，若已知 三角形中有直角，使用勾股定理时也需谨慎，不能机械地把它记为 a2+b2=c2f这只是ZC=90时的情形。当厶=90。时，有b2+c2=a2；当 ZB=9（T时,有a2+c2=b2 2,注意隐含条件 已知直角三角形的两边长分别为3cm,4cm,求第三边的长 由于思考不周全，忽略隐含条件，误认为一边是3cm,边是4cm,所以第三边 就应该是5cm,实际上，题目隐含着两种情况 3,注意应用的区别 在直角的三角形中需要用到三边关系时用勾股定理，而已知三边长想用勾股定 理进行有关讣算或推理时，则需先用勾股定理的逆定理判定它是不是直角三角 形。4,注意遇到
7、求高问题常考虑用勾股定理解决 一：勾股定理 直角三角形两直角边d、b的平方和等于斜边c的平方。（即：a2+b2=c2）要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之 一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 二：勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长：a.b、c,则有关系a2+b2=cS那么这个三角形是直 角三角形。要点诠释：用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形应注意：（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；（2）验证云与才+b是否具有相
8、等关系，若c2=a2+b则ZUBC是以ZC为 直角的三角形两边的平方和等于斜边的平方即为直角边为斜边如图所示我国古代把直角三角形的较短的直角边叫做勾较长的直角边叫做股斜边叫做弦注意勾股定理只有在直角三角形中才适用如果不是直角三角形三边就没有这种关系勾股定边的平方勾股定理的验证验证勾股定理的有效方法一般遵循以下儿个步勾股定理的逆定理重点如果三角形的三边长且那么这个三角形是直角三角形注意证明时不能说成在直角三角形中因为还没有确定是直角三角形当然也不能说成斜利用勾股定理判别一个三角形是不是直角三角形的方法求出三角形中较小两边的平方和与较大边的平方进行比较如果相等可判断这个三角形是直角三角形否不是勾股
9、数满足的个正整数且满足勾股定理直角三角形两直角边尔的平方和直角三角形（若c2a2+b:,贝IJAABC是以ZC为钝角的钝角三角形；若c2a2+b2,贝ijAABC 为锐角三角形）。三：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系 区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有 关。四：互逆命题的概念 如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个 命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命 题。规律方法指导 1.勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明 的。2.
10、勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三 角形边边关系的题目。3.勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个知识在应用 过程中易犯的主要错 误。4.勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长/b,c有下列关系：a:+b2=c:,那么这个三角形是直 角三角形；该逆定理给出判定一个三角形是 否是直角三角形的判定方法.5.应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行 代数运算，通过学习加 深对“数形结合”的理解.三角形两边的平方和等于斜边的平方即为直角边为斜边如图所示我国古代把直角三角形的较短的直角边叫做勾较长的直角边叫做股斜边叫做弦注意勾股定理只有在直角三角形中才适用如果不是直角三角形三边就没有这种关系勾股定边的平方勾股定理的验证验证勾股定理的有效方法一般遵循以下儿个步勾股定理的逆定理重点如果三角形的三边长且那么这个三角形是直角三角形注意证明时不能说成在直角三角形中因为还没有确定是直角三角形当然也不能说成斜利用勾股定理判别一个三角形是不是直角三角形的方法求出三角形中较小两边的平方和与较大边的平方进行比较如果相等可判断这个三角形是直角三角形否不是勾股数满足的个正整数且满足勾股定理直角三角形两直角边尔的平方和