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1、等比数列的前 n 项和教学设计（第一课时）李思齐 一、教材分析 1.在教材中的地位与作用 在数列一章中，等比数列的前 n 项和是一项重要的基础内容，从知识体系来看，它不仅是等差数列的前 n 项和与等比数列的顺延，也是前面所学函数的延续，实质上是一种特殊的函数，而且还为后继深入学习提供了知识基础，错位相减法是一种重要的数学思想方法，是求解一类混合数列前 n 项和的重要方法，因此，本节具有承上启下的作用；从知识结构和人文价值来看，等比数列与等差数列是平行结构关系，两者之间存在着一定联系，可以进行类比，拓展学生发现、创新的能力，等比数列的前 n 项和公式的探究与推导需要学生观察、分析、归纳、猜想，有
2、助于培养学生的创新思维和探索精神,是增强学生应用意识和数学能力的良好载体；从知识的应用价值来看，它是从大量现实和数学问题中抽象出来的一个模型，前 n 项和公式的推导过程中蕴涵了基本的数学思想方法，如分类讨论、错位相减等在数列求和问题中时常出现。等比数列的前 n 项和在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等，而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。2教材编排与课时安排 提出问题问题解决等比数列前 n 项和公式推导强化公式运用（例题与练习）。教师教学用书安排“等比数列的前 n 项和”这部分内容授课时间 2
3、 课时，本节课作为第一课时，重在研究等比数列的前 n 项和公式的推导及简单应用，教学中注重公式的形成推导过程，并充分揭示公式的结构特征和内在联系。二、教学目标分析 依据课程标准，结合学生的认知发展水平和心理特点，确定本节课的教学目标如下：【知识与技能】理解等比数列的前 n 项和公式的推导方法；掌握等比数列的前 n项和公式并能运用公式解决一些简单问题，一是已知等比数列基本量而求其前 n 项和；二是已知前 n 项和而逆向求解数列基本量；三是基本思想方法（错位相减法）的运用。【过程与方法】感悟并理解公式的推导过程，感受公式探求过程所蕴涵的从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想，
4、优化思维品质，初步提高学生的建模意识和探究、分析与解决问题的能力。【情感、态度与价值观】通过经历对公式的探索过程，对学生进行思维严谨性的训练，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，从中获得成功的体验，感受思维的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美和数学的严谨美。三、重、难点分析【教学重点】等比数列前n项和公式的推导及其简单应用。从知识体系看，为后继学习提供了知识基础，具有承上启下的作用；就知识特点而言，蕴涵丰富的思想方法；就能力培养来说，通过公式推导教学可培养学生的运用数学语言交流表达的能力。【教学难点】等比数列前n项和公式推导方法的理解。从学生认知发展水平看，探
5、究能力和用数学语言交流的能力有待提高。从知识特点看，等比数列前n项和公式的推导与等差数列的前n项和公式的推导的可比性低，无法进行类比推导，需要充分理解等比数列的概念和性质，并能整合知识，做到融会贯通，而这对学生却是比较困难的，何况错位相减法是初次接触，对学生来说是很新鲜的，因此，教师在发挥学生主体性前提下要给予适当的提示和指导。四、学情与教法分析 1学情分析 从学生思维特点和认知结构看，前面学生已经深入学习过函数、等差数列及其前 n项和等知识，一方面容易把本节内容与等差数列前n 项和进行类比，另一方面，本节的公式推导所要求的计算量更大，思维的深刻性更高。而且对 q=1 这一特殊情况，学生往往容
6、易忽视，尤其是在后继学习使用过程中往往会出错。对高一下学期的学生而言，虽然具有一定的分析和解决问题的能力，逻辑思维能力也初步形成，但缺乏冷静、深刻，思维上具有片面性、不严谨的特点，对问题解决的一般性思维过程认识比较模糊。2教法分析 根据学生认知发展水平和心理结构特点，结合教学内容的难易程度，在教学过程中可以利用计算机多媒体和实物投影等辅助教学，以建构主义理论为指导，采用引导启发教学法和探究-建构教学相结合的教学模式，着重于学生的发现、探索和运用，并辅以变式教学，注意适时适当讲解和演练相结合。3教学构想 等比数列前 n 项和公式的推导是本节课的重点内容，要积极引导学生观察实例，发现规律，类比推理
7、，推导归纳，总结反思，增强认知，强化运用。教学中可以给出等比数列前 n 项和公式推导的其他方法，以提高学生学习的兴趣，开拓学生的思维视野。例题和巩固练习的选择要全面，不能忽略 q=1 的情况，注意分类讨论思想的渗透。通项公式与前 n 项和公式的综合运用涉及五个基本量，要对已知其中三个量求另两个量进行强化训练，但要注意避免难度较大的指数方程的求解。还要适当补充可以转化为等差数列、等比数列求和的混合数列求和问题。五、教具准备 教科书（苏教版必修 5）多媒体课件和操作系统 六、教学过程 教学 环节 教 学 过 程 设计 意图 教 学 内 容 教 师 活 动 学 生 活 动 问 题 情 境 传说在古印
8、度，有个名叫西萨的人，发明了国际象棋，国王大为赞赏，要奖励西萨,问他有什么要求,西萨说：“请在棋盘第 1 个格子里放 1 颗麦粒,在第 2 个格子里放 2 颗麦粒,在第3个格子里放4颗麦粒,在第4个格子里放 8 颗麦粒,依此类推,每个格子里放的麦粒数都是前一格子里所放麦粒数的2倍,直到第 64 个格子.请给我足够粮食来实现上述要求!”国王说：“简单！来人,快办。”然而,过几天,手下急匆匆跑来,不好啦,不好啦!你猜怎么了?你知道西萨要多少粒小麦吗？打开多媒体课件，动画语音展示故事情境，展示结束后引导、启发学生分析、思考问题 聆听故事，感受数学问题的情景化，趣味吸引的同时有自己的猜测，并在教师的引
9、导、启发后展开自己的思维分析 以故事引题,激发学生学 习 兴 趣 和热情，调动学习积极性，领悟 数 学 应 用价值。一项重要的基础内容从知识体系来看它不仅是等差数列的前项和与等比数列的顺延也是前面所学函数的延续实质上是一种特殊的函数而且还为后继深入学习提供了知识基础错位相减法是一种重要的数学思想方法是求解一类混合数列两者之间存在着一定联系可以进行类比拓展学生发现创新的能力等比数列的前项和公式的探究与推导需要学生观察分归纳猜想有助于培养学生的创新思维和探索精神是增强学生应用意识和数学能力的良好载体从知识的应用价值来看论错位相减等在数列求和问题中时常出现等比数列的前项和在现实生活中有着广泛的实际应
10、用如储蓄分期付款的有关计算等而且公式推导过程中所渗透的类比化归分类讨论整体变换和方程等思想方法都是学生今后学习和工作中必备探 究 问 题 求 S64=1+2+22+23+263=？法 1：观察类比 S1=1 S2=1+2=3 S3=1+2+22=7 S4=1+2+22+23=15 依此类推，S64=2641 法 2：提取公比 2，解方程求 S64 63326422221S)2221(216226464221S 646421)21(S 126464S 法 3：错位相减法 S64=1+2+22+23+263 2S64=2+22+23+24+264 相减得 S64=1264 S64=2641 经测算
11、，需要麦粒 1.841019粒，约 7000亿吨，这么多小麦沿地球表面可铺3 厘米厚，能从地球到太阳铺设一条宽10 米、厚 8 米的大道，大约是全世界一年粮食产量的459 倍，古印度国王显然无法满足西萨的要求。肯定学生的想法和不完全归纳所得出的结果。引导、启发学生观察，寻求等式规律，启发学生发现方法，若提取公比2后便构造出一个方程，就可求出。若是乘以公比2，则所得新等式与原式有63 项相同，两式相减可消去 63 项，达到计算化烦为简的目的，突破难点。通过提问，使学生体会“乘以 2”的作用，注意小结操作方法，为下面的公式推导做好准备。板书必要步骤，供学生理解和模仿。观察、尝试、讨论、探究，欲解决
12、引言问题，但苦于没思路。部分学生试图找规律，归纳结果（法 1）。在师生相互交流中思维逐步展开，动笔演算，感受方程思想和错位相减法的奥妙，体会数学的应用价值，同时感受了错位相减法的优势。感受和惊叹结果的“大”！进一步激励学习的主动性。通过引言实 例 的 探 究解决，使学生感 受 数 学 的应用价值，同时 也 为 下 面的 学 习 作 好铺垫，在特殊具 体 的 问 题情 境 中 蕴 涵着 一 般 的 规律和方法，激励 学 生 模 仿创新，作好认知准备。建 构 数 学 一般化，等比数列前 n 项和怎么求呢？?121nnnaaaaS 法 1：11212111nnnqaqaqaqaaS 23111111
13、=nnnqSa qa qa qa qa q 于是（1q）Sn=nnqaaS111 当 q1 时,Sn=a1（1qn）1q=a1anq1q 当 q=1 时,Sn=na1。法 2：提取公比 q 11212111nnnqaqaqaqaaS ）（21111nqaqaaqa）（111nnqaSqa nnqaaSq11)1(当 q1 时,Sn=a1（1qn）1q=a1anq1q 当 q=1 时,Sn=na1。法 3：类比归纳（不必证明，但须说明）。S1=a1 S2=a1+a2=a1+a1q=a1(1+q)S3=a1+a2+a3=a1+a1q+a1q2=a1(1+q+q2)Sn=a1+a2+an=a1(1+
14、q+q2+qn-1)当 q1 时,Sn=a1（1qn）1q=a1anq1q 当 q=1 时,Sn=na1 法 4：a2a1=a3a2=a4a3 anan1=q 由等比定理nnnnnaSaSqaaaaaa112132 qaaSqnn1)1(当 q1 时,Sn=a1（1qn）1q=a1anq1q 当 q=1 时,Sn=na1。引导启发学生联想、类比、抽象，鼓励学生由特殊到一般，自主探究等比数列前 n 项和公式，通过反问，引导学生分类讨论，突破难点。学生在引例启发和老师指导下，基本上能用错位相减法完成公式的推导，但对字母运算存在着一定的困难，教师需适时适当提示并板书，演示字母运算。在用错位相减法推导
15、后，为开阔学生思维视野，教师要及时总结方法，并引导学生分析，师生合作交流，尝试多种方法来探究公式的推导。适当板书关键步骤，注意语音语调，激励学生展开联想、分析、训练学生的思维。在教师指导下，从特殊到一般，从已知到未知，步步深入，自己探究公式，体验到学习的愉快和成就感。受引例的启发，基本能用错位相减法推导出结果，但不完善，在老师的提示下，经历分类讨论的思维过程。感受变式教学对数学思维的训练，通过积极主动的课堂数学思维活动的参与，进一步提升自己认知结构的深刻性和广泛性，增强自己的数学运算能力。经历数学发现的过程，体会数学建构所带来的成就感，并学会交流，学会合作。发 挥 学 生学 习 主 体 性和
16、参 与 积 极性，从特殊到一般,从模仿到创新，有利于 学 生 的 知识 迁 移 和 能力提高，一方面 使 学 生 加深 对 知 识 的认识，完善知识结构，另一方 面 使 学 生由 简 单 模 仿接 受 变 为 对知 识 的 主 动认识，从而进一 步 提 高 分析、类比和综合的能力。多 种 方 法推导，扩展学生思维视野，变 式 教 学 有利 于 培 养 学生 发 散 思 维和创新精神。一项重要的基础内容从知识体系来看它不仅是等差数列的前项和与等比数列的顺延也是前面所学函数的延续实质上是一种特殊的函数而且还为后继深入学习提供了知识基础错位相减法是一种重要的数学思想方法是求解一类混合数列两者之间存在
17、着一定联系可以进行类比拓展学生发现创新的能力等比数列的前项和公式的探究与推导需要学生观察分归纳猜想有助于培养学生的创新思维和探索精神是增强学生应用意识和数学能力的良好载体从知识的应用价值来看论错位相减等在数列求和问题中时常出现等比数列的前项和在现实生活中有着广泛的实际应用如储蓄分期付款的有关计算等而且公式推导过程中所渗透的类比化归分类讨论整体变换和方程等思想方法都是学生今后学习和工作中必备1）推理成果 当 q1 时,Sn=a1（1qn）1q=a1anq1q 当 q=1 时,Sn=na1 2）公式的理解 知三求二：n q a1 an Sn n 的含义：项数（通项公式是 qn1）q 的含义：公比（
18、注意 q=1，分类讨论）错位相减法：乘公比（作用是构造许多相同项）后错开一项后再减。提问，师生对话交流，引导学生分析、剖析公式的内在结构，注意强调注意点。归纳小结、理解提升、反思整理、强化记忆，加强认知。剖 析 公式 中 的 基 本量 及 结 构 特征，识 记 公式，及 时 总结、巩固、强化探究成果，提 高 认 知 的深度。巩 固 提 高 自主巩固练习：1等比数列中 a1=4，q=12，则 Sn=2等比数列中 a1=12，q=12，则 Sn=31)2(8421n=4n26422222 5nxxxx32 打开课件，师生合作交流，通过提问，引导学生思维逐步深入。模仿套用公式作答，强化对公式的理解，
19、思维训练深刻性加强，体会分类讨论思想。直 接 和 变式套用公式，强 化 对 公 式的 理 解 和 识记，通过分类讨 论 思 想 的渗透，提升思维层次。例 1：已知an为等比数列，a1=1，ak=243，q=3，求 Sk。a3=32，S9=92，求 a1和 q。a1=4，q=12，an=116，求 Sn。例 2：数列 1，2，22，23，2n，中，求第 5 项到第 10 项的和。法 1：所求和等于 S10S4，再用公式计算。法 2：第 5 项到第 10 项构成首项为 16，公比为 2 的数列，共有 6 项，再用公式计算。例 3：求数列n+12n 的前 n 项和。变式 1：求数列n+an的前 n
20、项和。变式 2：求 1+222+323+n2n。打开课件，适时适当点拨提示，引导学生分析，启发学生思维，师生合作交流，强化学生对知识的应用和理解，提升学生的思维品质。自主练习，个别学生板书，在老师的指导和启发下，训练自己的思维，强化对知识的应用，感受变式教学对思维的熏陶，达到巩固、灵活运用知识的目的。进 一 步 研究公式特点，增 强 公 式 的应用，促进学生 数 学 认 知结构的形成，深 化 对 公 式的 认 识 和 理解。一题多解及变式教学,有 利 于 提 高学 生 思 维 的梯度、深度和灵活性 总 结 反 思 1一个公式：等比数列前 n 项和 当 q1 时,Sn=a1（1qn）1q=a1a
21、nq1q 当 q=1 时,Sn=na1 2一个方法：错位相减法（乘以公比）3一个思想：分类讨论（公式选择）提问，在师生相互交流的同时打开课件，帮助学生整合所学知识。回 忆 总 结 所 学 知识，加深印象。整理、归纳所学知识，完善 学 生 认 知结 构 和 知 识体系，明确本节学习内容。作业 布置 教材 58 页“感受理解”中第 1、2、7 题。口述 聆听，作记号 巩固知识 七、板书设计 等比数列前 n 项和 投 Sn=a1+a2+an1+an=？例 1：S64=1+2+22+23+263=？影 仪 例 2：接 收 例 3：屏 幕 一项重要的基础内容从知识体系来看它不仅是等差数列的前项和与等比数
22、列的顺延也是前面所学函数的延续实质上是一种特殊的函数而且还为后继深入学习提供了知识基础错位相减法是一种重要的数学思想方法是求解一类混合数列两者之间存在着一定联系可以进行类比拓展学生发现创新的能力等比数列的前项和公式的探究与推导需要学生观察分归纳猜想有助于培养学生的创新思维和探索精神是增强学生应用意识和数学能力的良好载体从知识的应用价值来看论错位相减等在数列求和问题中时常出现等比数列的前项和在现实生活中有着广泛的实际应用如储蓄分期付款的有关计算等而且公式推导过程中所渗透的类比化归分类讨论整体变换和方程等思想方法都是学生今后学习和工作中必备八、教学设计说明 问题情境故事化。采用语音动画形式叙述故事
23、来创设问题情景，意在营造和谐、积极的学习气氛，激发学生的探究欲，让学生感受数学的应用价值，通过问题的解决，在特殊方法之中蕴涵一般规律，使学生自己去体会其中的思想方法，为进一步学习奠定基石。问题情境与公式推导探究活动化。教学中本着以学生发展为本的理念，充分给学生思考、分析时间、讨论研究和交流展示思维的机会，通过他们自主学习、合作探究,展示学生解决问题的思想方法，共享学习成果，体验数学学习成功的喜悦。通过师生之间不断对话合作交流，发展学生的数学观察能力和语言表达能力，培养学生思维的发散性和严谨性。通过教师的积极引导和启发，借助于变式教学的模式，培养学生思维的发散性、深度与广度，加深学生对知识的理解
24、。巩固练习结构、层次化。在理解公式的基础上,及时进行必要的思维训练练习，强化对公式的理解和运用。通过例题的板书和分析，进一步强化了公式的结构特征，促进学生主动建构，有助于学生形成知识模块，优化知识体系，加强对数学思想方法的感悟。板书设计人性化。必要的推理和演算过程板书在黑板上，有助于学生的阅读和理解，即时在黑板上整理总结归纳知识，作到知识和思想方法的一目了然，方便学生作笔记。通过几种推导方法的研究，使学生从不同的思维角度掌握了等比数列前 n 项和公式错位相减：变加为减，等价转化；递推思想：纵横联系，揭示本质；等比定理：回归定义，自然朴实学生从中深刻地领会到推导过程中所蕴含的数学思想，培养了学生
25、思维的深刻性、敏锐性、广阔性、批判性。同时通过精讲例题，发散一点变式教学，使学生既巩固了知识，又形成了技能在此基础上，通过民主和谐的课堂氛围，培养了学生自主学习、合作交流的学习习惯，也培养了学生勇于探索、不断创新的思维品质。一项重要的基础内容从知识体系来看它不仅是等差数列的前项和与等比数列的顺延也是前面所学函数的延续实质上是一种特殊的函数而且还为后继深入学习提供了知识基础错位相减法是一种重要的数学思想方法是求解一类混合数列两者之间存在着一定联系可以进行类比拓展学生发现创新的能力等比数列的前项和公式的探究与推导需要学生观察分归纳猜想有助于培养学生的创新思维和探索精神是增强学生应用意识和数学能力的良好载体从知识的应用价值来看论错位相减等在数列求和问题中时常出现等比数列的前项和在现实生活中有着广泛的实际应用如储蓄分期付款的有关计算等而且公式推导过程中所渗透的类比化归分类讨论整体变换和方程等思想方法都是学生今后学习和工作中必备