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1、构造法巧解题用构造法解f(X)与F(X)均存在的问题高考中有一难点，即不给出具体的函数解析式,而是给出函数f(x)及其导数满足的条件，需要据此条件构造抽象函数,再根据条件得出构造函数的单调性，应用单调性解决问题的题目，该类题目具有一定的难度，下面总结其基本类型及其处理方法.类型一 F(x)g(x)f(x)g,(x)型典例1设f(X)是奇函数f(x)(xR)的导函数f(-l)=O,当x 0时,xf(x)-f(x)0成立的x的取值范围是()A.(-oo,-l)U(0,l)B.(-l,O)U(l,+a)C.(-oo,-l)U(-l,0)D,(0,l)U(l,+oo)设f(x),g(x)分别是定义在R
2、上的奇函数和偶函数，当x 0,且 g(-3)=0,则不等式 f(x)g(x)o时0仅)0,从而 f(x)0;当 x Q,+8)时,g(x)0,从而 f(x)0；当 x G(-lQ)时,f(x)。综上，所求x的取值范围是(-81)u(0,1).(2)借助导数的运算法则,f(x)g(x)+f(x)g，(x)0of(x)g(x)0,所以函数 y=f(x)g(x)在(一8,0)上单调递增,又由分析知函数丫=耿用冈为奇函数,所以其图象关于原点对称,且过点(-3Q),(0,0),(3,0).数形结合可求得不等式f(x)g(x),-3)U(0,3).点拨:(1)对于不等式 f(x)+g(x)0(或0(或0)
3、,构造函数F(x)=f(x)-g(x);特别地，对于不等式f(x)k(或干)(kX0),构造函数F(x)=f(x)-kx.对于不等式 f(x)g(x)+f(x)g(x)0(或0(或0域0(或 0),构造函数F(x)=,(xR 0).对点练1.定义在R上的函数f(x)满 足 且 对 任 意 的xG R都有f(x)学 的 解 集 为()A.(l,2)B,(0,l)C.(l,+8)D.(-l,l)2.f(x)是定义在(0,+8)上的非负可导函数且满足xf(x)+f(x)W 0.对任意正数a,b,若axf(x)恒成立，则x2fQ-f(x)0的解集为.类型二 xf(x)士nf(x)型典 例2设函数f(x
4、)在R上的导函数为f(x),且2f(x)+xf(x)x2,则下列不等式在R上恒成立的是()A.f(x)0 B.f(x)x D.f(x)0 时,g1(x)O,；.g(x)g(O),即 x2f(x)-x40,从而 f(x)X 0；当 x 0 时,g(x)g(O),即 x2f(X)-x40,从而 f(X)，20;当x=0时，由题意可得2f(0)0,，f(0)0.综上可知,f(x)0.解法二：；2f(x)+xf,(x)x2,令x=0贝J f(0)0,故可排除B.D,不妨令f(x)=x2+0.1，则已知条件2%x)+x f成立，但f(x)x不一定成立，故C也是错误的，故 选A.点 拨(1)对于 xf(x
5、)+nf(x)0 型，构造 F(x)=x(x),则 F(x)=x”tx f(x)+nf(x)(注意对的符号进行讨论),特别地，当n=l时,xf(x)+f(x)0,构 造F(x)=xf(x),则F 1(x)=xf1(x)+f(x)0;(2)对于xf(x)-nf(x)O(x关0)型构造F(x)=，则F(x)=g黯(注意对xn+1的符号进行讨论),特别地，当 n=l 时,xfx)-f(x)0,构造 F(x)=W，则 F 1(x)=%r/W0.对点练1.已知定义域为 x|xW0的偶函数f(x),其导函数为f(x),对任意正实数x满足xf(x)-2f(x),若 g(x)=x?f(x),则不等式 g(x)
6、2f(x)厕下列不等式成立的是()A.2 0172f(2 018)2 0182f(2 017)B.2 0172f(2 018)2 018f(2 017)D.2 017f(2 018)2 018f(2 017)类型三人f(x)士f(x)厕有()A.e2019f(-2 019)e2O19f(0)B.e2019f(-2 019)f(0),f(2 019)f(0),f(2 019)e2019f(0)D.e2019f(-2 019)f(0),f(2 019)0恒成立，且%2)=；(e为自然对数X的底数)，则不等式exf(x)-ei0的解集为.答 案(1)D(2)(2,+8)解 析(1)构造函数h(x)=
7、鬻 则h，(x户 号 h(0),即鬻=e21 119f(-2 019)f(0);同理,h(2 019)h(0),gp f(2 019)0 得 2f(x)+1(x)卜0,可构造 h(x)=ef(x)厕 h(x)=|eif(x)+2fxX(x)0,所以函数h(x)=e3f(x)在R上单调递增，且h(2)=e,f=1.不等式exf(x)-ez0 xX等价于e?f(x)l,即h(x)于2)=x2,所以不等式exf(x)-ez0的解集为(2,+8).点拨对于不等式f(x)+f(x)0(或0(或0(或0(或 0),构造函数F(x)=鬻对点练已知定义在R上的可导函数y=f(x)的导函数为f(x),满足f(x)f(x),且y=f(x+l)为偶函数2)=1,则不等式f(x)ex的解集为.