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1、2021届陕西省宝鸡市高考数学大联考试卷（理科）一、单 选 题（本大题共12小题，共 60.0分）1.设力、B是非空集合，定 义/xB=x|xe且己知 0）和双曲线N：捻一，=l（b 0）没有公共点，则双曲线N的离心率的取值范围为（）A.（1,百）B.（百,+8）C.弓,+8）D.（1,）5.已知函数/（x）=I n x +a/+（2+a）x（a e R）,g（x）=卷一 2,对任意的x（）6（0,2,关于x 的方程f（x）=g（%o）在（0，e 上有两个不同的实数根，则实数。的取值范围为（）A.（-2%-篝）B.（-2e,一 品 c.（一 e,一 海 D.（心 一 品）6.已知函数/。）=s
2、i n（2x +租），其中三 （p n,若f（x）09 .已知实数x、y满足k y+4 N0,则z =2x +y的最小值是（）X +（y-3）2=4截得的弦长为2 b，则k=（）A.y B.+V 3 C.y D.V 311.一个几何体的正视图、侧视图、俯视图如图所示，则该几何体的体积为（）A 2 7 rA-TB.柒C.27rD.y12.若角。终边上的点做-百,a）在抛物线久2=-4y的准线上，则c os20=（）A.|B.更 C.D.一更2 2 2 2二、单 空 题（本大题共4小题，共20.0分）13.在A4B C中，己知t c m/l +t a n B +t a n At a n B =1,
3、若 AB C最大边的长为巫，则其外接圆的半径为.14.在二项式（1一 2x）6的展开式中，所有项的系数之和为a,若一个正方体的各个顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为2,3,a则 此 球 的 表 面 积 为 .15.若 a j是正项递增等比数列，及表示其前项之积，且i o =7 2 0,则当取最小值时，的值为16 .若曲线八%）=2%一?在久=1处的切线的斜率为3,则实数，的值为三、解 答 题（本大题共7小题，共8 2.0分）17 .在A A B C中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a +2 b =2 c c o s 4.(I)求 c；(11)若1 =1,ABC的面积
4、为百，求c.1 8.如图，在三棱柱中，AA 1 S|ABC,/.BAC=90,E为8 C的中点，/为4 4的中点，/=4,AB=AC=2.(1)求证4后1平面B C G；(11)求证成平面8尸。1；(HI)在棱441上是否存在点P,使得二面角B-P G-C的大小是45。，若存在，求出A P的长.若不存在，请说明理由.19.18.(本小题满分12分)退休年龄延迟是平均预期寿命延长和人口老龄化背景下的一种趋势.某机构为了解某城市市民的年龄构成，从该城市市民中随机抽取年龄段在2 080岁(含20岁和80岁)之间的 600 人进行调查，并按年龄层次20,30),30,40),40,50),50,60)
5、,60,70),70,80绘制频率分布直方图，如图所示.若规定年龄分布在 20,40)岁的人为“青年人”，40,60)为“中年人”，60,80为“老年人”.(I )若每一组数据的平均值用该区间中点值来代替，试估算所调查的6 0 0人的平均年龄;(II)将上述人口分布的频率视为该城市在2 0 -8 0年龄段的人口分布的概率.从该城市2 0 -8 0年龄段市民中随机抽取3人，记抽到“老年人”的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望.2 0 .已知函数/(x)=In (x)=e”.(1)求函数y=的单调区间；(2)若不等式g(x)二 井 在(0,桢。)有解，求实数切的取值疽围；(3)证明：函数y
6、=/(x)和y=在公共定义域内，2 1.如图，在平面直角坐标系x O y中，尸2分别是椭圆捻+，=l(a b 0)的左、右焦点，顶点B的坐标为(0,b),连结B F 2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C,连结F i C.(1)若乙4 =2,C。=旧，且HF 2 =3e，求椭圆的方程；(2)若椭圆的离心率为?，证明：FrC LAB.22.已 知 直 线/的 参 数 方 程 为 为 参 数)，以坐标原点。为极点，x 轴的正半轴为极轴(y-L5 LTKZ建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为p=2.(I)证明：不论，为何值，直线/与曲线C恒有两个公共点；(II)以a为参数，求直线/
7、与曲线C相交所得弦AB的中点轨迹的参数方程，并判断该轨迹的曲线类型.23.(本小题满分10分)设/仁+卜+.).(1)若弓二1，求出/(X)的最小值；(口)若对?7 1，/(2 3 成立，求。的取值范围.【答案与解析】1.答案：A解析：解：由题意得，.=目 舐-数 更 畴=团 财 笈 城 耀”.嬲=麒|裁野喏息一点=照来嗨-F 幕=啖匐；出燔=N&哪.故答案选：A.2.答案：B解析：解：(1-i)z=2+3i,213!=(2+3Q(l+0 =_ l 51-i(l-i)(l+i)2 2 则复数Z对应点的坐标为(-3|),在第二象限.故选：B.把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.
8、本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题.3.答案：C解析：试题分析：.林场有树苗30000棵，其中松树苗4000棵，松 树 所 占 的 比 例 为 巴=三，.容量蜜购为150的样本中松树苗的数量为三徐工飒 曾吼 故选C调考点：本题考查了分层抽样的运用点评：分层抽样的样本容量计算问题，在高考命题中出现的频率较高。解决这类问题的关键是依据分层抽样的定义，在各层中按层在总体中所占比例进行计算4.答案：D解析：解：将/=4ay(a 0)代入到京一台=1,-4b2y+ab2=0,抛物线M：/=4qy(Q o)和双曲线N：2一 3=1 e o)没有公共点，.=(4b2)
9、2 4a2b2 0,4b2 a2,:.4(c2-a2)1,1 e 0)代入到马一4=1,整理可得ay?一劭?、+。庐=0,根据判别式求出4b2 a2,az DZ即可求出双曲线N的离心率的取值范围本题考查双曲线的离心率的范围，注意运用转化思想和双曲线的基本量的关系，考查运算能力，属于中档题.5.答案：C解析：本题考查了利用导数研究函数单调性，导数中的存在性问题，方程的根的问题，考查分类讨论思想，属于难题.对函数g(x)求导，判断g(x)的单调性，求出g(x。)的范围，讨论f(x)的单调性，根据方程有两根列不等式组求出。的范围.解：.g(x)=皆，当x 0,当x l 时，g(x)0,g(x)在(0
10、,1)上单调递增，在(1,2 上单调递减，19又9(0)=2,9(1)=1-2,5(2)=-2,xoe(0,2,-2 gQo)0),二当a Z 0 时，f(x)0,故f(x)在(0,e 上单调递增，/(%)=g(%o)在(。,可不可能有两个实数根，不符合题意；当a 0时，f(x)=2ax2+(j+a)x+l,令/(X)=可得 =-4 舍)或X=-；，.当 0%0,当 5时，/(x):-2,得In(-一/?-1,令八(x)=bix+x,则h(x)单调递增，且九(3)=:-1,1 1 1 1 1l n(-)一 二 噎 t Q 以一二)八(5)C l C L C L 6则工 解得Q e.a e由/(
11、e)工2 f 得a/+QC+2e+1 W 2,3+2e：Q W ;-；e+e由一工 e得a -a e),3+2e/-e a ；.e2+e故选C.6.答案：C解析：由1/弓)1 =1及8的范围求出/(X)的解析式，根据这些函数的单调区间列出不等式组解出.本题考查了三角函数的性质，求出9 的值是解题关键，属于中档题.解：.。)三，(勺|对工6/?恒成立，O，虞)=1 或/=T.+9=+女 冗，即9=+攵 ，fc e Z.3 2 6,1 5 取 n,57r0=一 .o/(%)=sin(2x 等)，令一2+2kn 2x-+2 k n,解得J+/C T T%0解析：解：由约束条件x y+4 2 0作出可
12、行域如图，X 1化目标函数z=2x+y为y=-2x+z.由图可知，当直线y=-2x+z过 4 时，直线在y 轴上的截距最小，z=2 x(-2)+2=-2.故选：B.由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案.本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题.10.答案：A解析：解：圆(-2)2+(丫-3)2=4的圆心(2,3),半径r=2,圆心(2,3)到直线y=kx+3的距离d=舄，,直线y=kx+3被圆(-2)2+(y-3)2=4截得的弦长为2遮，由勾股定理得N =弓2+(壁)2,即4=+3,H+1
13、解得k=彳.故选：A.求出圆(x-2产+(y-3产=4的圆心，半径，圆心(2,3)到直线y=依+3的距离，由此利用直线y=kx+3被圆(x-2)2+(y-3)2=4截得的弦长为26，由勾股定理能求出k.本题考查直线的斜率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质、点到直线的距离公式的合理运用.11.答案：B解析：解：综合正视图，侧视图和俯视图可以判断出这个几何体是半个圆锥体，且底面半圆的半径2,高为2,则该几何体的体积是：，圆锥=三X(1x 7 T X 22 X 2)=i71,故选B.根据三视图可判断这个几何体为半个圆锥体，根据题意可知底面半径以及高，易求体积.本题要先根据三视图确定出是
14、什么几何体然后再根据其体积公式进行求解.12.答案：A解析：解：抛物线/=-4 y 的准线为y=1,即有a=l,点火-丹 1),由任意角的三角函数的定义，可得加。/的。=-争故选：A,求出抛物线的准线方程，可得Q=L再由任意角的三角函数的定义，即可求得结论.本题考查抛物线的方程和性质，主要考查准线方程及运用，同时考查任意角的三角函数的定义，属于基础题.13.答案：V3解析：解：48C 中，tan A+tanB+tanAtanB=1,tan(A+B)(l tanAtanB)+tanAtanB=1,tan(/4+B)(l tanAtanB)=1 tanAtanB,tan(i4+8)=1,4+8=4
15、5,/.C=135；.*.ABC最大边的长为c=V6,由正弦定理得，2氏=肃=焉；=受=2 6，2.其外接圆的半径为国.故答案为：V3.由条件利用两角和的正切公式求得tan(4+B)=l,可得4+B的值，从而求得C 的值，再利用正弦定理求出外接圆的半径.本题主要考查两角和的正切公式与正弦定理的应用问题，属于基础题目.14.答案：14T T解析：解：令x=l,可得a=l,长方体外接球直径长等于长方体体对角线长，即 2R=VI+4+9=V14,:，S=4TTR2=147r.故答案为：14TT.由题意可知，令 =1,可得a=l,长方体外接球直径长等于长方体体对角线长，求出长方体的对角线长，就是求出球
16、的直径，然后求出球的表面积.本题是基础题，考查空间想象能力，计算能力，顺利解题的依据是：长方体的体对角线就是外接球的直径，明确几何体的结构特征，是解好立体几何问题的前提.15.答案：1 5解析：此题考查等比数列的性质，属于基础题.欲求”的值，根据7 1 0 =7 2 0,得出。1 1 的2。2 0 =1，根据等比数列的性质有的1。2 0 =2 a l 9 =1；由等比数列是正项递增的，容易得到由5的6 分析得出的5 1，从而得到T 1 5 最小.解：根据7 o =7 2 0，得出的1。1 2 1 1 2 0 =1，al la20=2 a 19=5 a 16 1；。15 a16 所以 1，丁15
17、 最小故答案为：1 5.16.答案：I解析：解：x)=2 E n x 三的导数为(=”黄，由曲线在x =1 处的切线的斜率为3,可得2 +m=3,解得m=1.故答案为：1.求得/(%)的导数，由导数的几何意义，可得x =1 处的切线的斜率，解方程可得加的值.本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查导数的几何意义，考查运算能力，属于基础题.17.答案:解:(I)由正弦定理得,sinA+2sinB =2sinCcosA,而 s i n B =s i n(i 4 +C)=sinAcosC+cosAsinC,所以+2sinAcosC=0,又因为s i 九 4 WO,所以c o s C =-g,由于C6(
18、O,TT),所以c=g.(n)因为 A B C 的面积为V 5，所以S B C =a b s 讥c =g X 1 X b x s i n*=遮，解得b =4,由余弦定理知，c2=a2+b2-2abcosC=l +16-2xlx4x c o s?=2 1,故 c =-7 2 1.解析：(I )结合正弦定理和Q +2 b =2ccosA,将边化为角，得s i 几 4 +2sinB =2sinCcosA,再结合A +B +C =7 T 与正弦的两角和公式化简可得c o s C =-%由于c e(o,7 T),所以。=拳(H)SAABC=|absinC=|X 1 x b x s i n 与=V 3,解
19、得b =4,由余弦定理知,c2=a2+b2-2abcosC代入已知数据进行运算即可得解.本题考查正弦定理和余弦定理的综合运用，采用了边化角的思维，还涉及正弦的两角和公式，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题.18.答案：（I）证明：如图，以点A为原点建立空间直角坐标系,则4(0,0,0),8(2,0,0),C(0,2,0),C (0,2,4),E(l,l,0),F(0,0,2),v AE=(1,1,0)，B C=(-2,2,0).宿=(0,0,4),AE-B C=0 AE-CC=0,V B C n C C i =C,B C、CC1 U 平面B31，AE _ L 平面(n)证 明:取 BC
20、的中点2),则 询=(1,1,0),由(I)可 知 荏=丽，即4E F M,:AE C 平面BF Q,F M u 平面4E 平面 BF Q.(D I)解：设P(0,0,p),0 p 4,平面BP C i 的法向量记=(x,y,z),B C=(-2,2,4)廊=(-2,0,p),(BC；-n =2x+2 y +4z =0BP n=-2x+p z =0取z =2,得k =(p,p 4,2),又 荏=(2,0,0)是平面C P G 的法向量，二面角B-PC1一C 的大小是45。，cos45=|cos _ 2P _ V 2-2Vp2+(p-4)+2 一解得P=|.在棱4遇上存在点P,使得二面角8-PC
21、1-C的大小为45。，此时4P=解析：(I)以点A 为原点建立空间直角坐标系，利用向量法能证明AE1平面BCG.(H)取BCi的中点2),则 前=(1,1,0),由 荏=前，能证明AE平面引6.(DI)求出平面BPCi的法向量和平面CPG的法向量，利用向量法能求出在棱4 4 上存在点P，使得二面角B-PG-C的大小为45。，此时4P=j.本题考查直线与平面垂直的证明，考查直线与平面平行的证明，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用.属于中档题.19.答案：(1)48(岁)；，(2)随机变量X的分布列如下表：，X0123P641254812512125112
22、5随机变量X的数学期望E(X)=0XM+1XS2x12125+3*3解析：(1)由题意估算,所调查的600人的平均年龄为：25x0.1+35x02+45x0.3+f(2)由频率分布直方图可知，“老年人”所占的频率为5.从该城市208 0年龄段市民中随机抽取1人，抽 到“老年人”的概率3依题意.X的可能取值为0,l,2,3.，c 1 0 4 64 1 4、48p(jr=o)=c f(-)(-)3=；p(jr=i)=c(-)1(-r=-；，P(X=2)=c公 足)、与；P(X=3)=氓 足)。=2。，随机变量X的分布列如下表：，X0123P6412548125121251125.二随机变量X的数学
23、期望E(X)=0 x g +lx与+2X=+3X=2.20.答 案:解：f(%)=Z n x 的定义域为(0,+8),y =/(x)T =1-1 (%o)；当x 6(0,1)时，y 0,y =/(x)-单调递增；当 6(1,+8)时，yr o,y =f (%)-3单调递减；综上所述，函数y =/(乃一的单调增区间为(0,1),单调减区间为(1,+8)；(2)由题意，姬 善 在(0,+8)上有解，即 石/VX-网 有解；故 活 1，且xW(0,+8)时，ex 1；1-靖(女 +泰)0,即(x)0；故h(x)在(0,+8)上是减函数，故九(%)九(0)=0；故m 0,故?n(X)在(0,+8)上是
24、增函数，m(x)m(0)=1；又设九(%)二)%x,x 6(0,+oo)；故n(%)1 +1=2；叩函数y=/(%)和、=g。)在公共定义域内，g(x)-f(x)2.解析：本题考查了导数的综合应用及恒成立问题转化为最值问题的能力，同时考查了构造函数的应用，属于难题.(1)先求/(%)=)式的定义域为(。,+8),再求导-1=：-1,(%0)；从而判断函数的单调区间；(2)化 简 得 詈 在(0,+8)上有解，即活一石/，x e(0,+8)有解即可，设k(x)=x-4 x ex,h(x)=l-ex(4 +j=)，从而由导数求解；(3)先求公共定义域为(0,+8),再构造g(x)-/。)=e 一
25、=(靖一-设7n(久)=ex%,x E(0,4-O Q),设几(%)=)%-%,X G(0,+oo)；从而证明.21.答案:解：(1)由题意可知：a=|BF2|=3 V 2,则。点坐标为(4,1),将C代入式+旨=1,解得扭=8,18 b2所以椭圆的方程应+”=1;18 9(2)证明：由离心率？=立，则a =V 5 c,h2=a2 c2=4c,即b =2 c,a 5则椭圆方程为4%2 +5 y 2 =2 0 c 2,则8(0,2 c),6(-c,0),F2(C,0),则直线 8 4 的斜率为-2,则直线B A的方程为y =-2x+2c,联立 醛 仁短2 =0,解 得 当=工 则 力=-2 x|
26、c +2 c =-拳所以C(|c,所以F 1 C=(与,多，B F；=(c,-2 c),则瓦=-？x 2 c =0,所 以 及 所;，所以F i C J L4B.解析：(1)根据题意求得“，求得C点坐标，代入椭圆方程，即可求 得 儿 求 得椭圆方程；(2)根据桶圆的离心率，求得。，匕与c的关系，求得直线A B的方程，代入椭圆方程，求得A和C点坐标，利用向量的数量积或者直线的斜率之积为-1,即可求证F i CLAB.本题考查椭圆的标准方程及性质，直线与椭圆的位置关系，考查向量的数量积的坐标运算，考查转化思想，属于中档题.22.答案：证明：(【)曲线C的极坐标方程为p =2,.曲线C的直角坐标方程
27、为/+、2 =4,将匕-代入/+y 2 =4,得/+2tcosa-3=0,(*)y -Lb Li LU,由4=(2 c o s a)2-4x (-3)0,知方程(*)恒有两个不等实根，故不论，为何值，直线/与曲线C恒有两个公共点.解：(I I)设直线/与曲线交点A、B对应的参数分别为打，t2,弦4 8中点尸对应参数为M，由(*)知片=-cosa,代入仁：:鬻 中,整理，得弦A B的中点的轨迹方程为=1 -c o s 2 a ,l y -tsina(y=-s i n a c o s al-cos2aX=-；(a为参数)，该曲线为圆.y=-sin2a解析：(I)由曲线c的极坐标方程求出曲线C的直角
28、坐标方程为/+y 2 =4,将代入42+y 2 =4,得t 2 +2 t c o s a 3=0,利用根的判别式能证明不论/为何值，直线/与曲线C恒有两个公共点.(n)设直线/与曲线交点A、8对应的参数分别为口，J，弦A 3中点尸对应参数为琳，由中点坐标公式求出t o =c o s a,代入震 中，能得到弦A B的中点的轨迹方程，由此能求出结果.本题考查直线与曲线恒有两个公共点的证明，考查弦的中点轨迹的参数方程的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题.23.答案：(/)3；(/)a 1.f_ O Y 式_7解析：解：(/)若a =l,则F3=-2时，/(x)=2 x +l为增函数，./(%)3,故/Q)的最小值为一3；()因为a 0且X 2 1,.a x +20,对任意x 2 1,/(x)2 3成立，即g(x)=(a +l)x 2 2 0对x 1恒成立，只需要g(l)=a -1 2 0,所以a 2 1.