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1、精心整理 页脚内容 教学内容:第十一讲方阵问题 在日常生活中,我们经常见到把人或物排成正方形的形状,比如用花盆摆成正方形,同学们要参加运动会入场式,要进行队列操练,解放军排着整齐的方队接受检阅等,无论是训练或接受检阅,都要按一定的规则排成一定的队形,于是就产生了这一类的数学问题,在数学上我们通常把研究这样的问题称为方阵问题。掌握这类问题的解题规律,可以提高我们的解题能力,培养思维的灵活性。今天我们将共同研究和分析这类问题。士兵排队,横着排叫行,竖着排叫列,若行数与列数都相等,恰好排成一个正方形,这就是一个方队,这种方队也叫做方阵(亦叫乘方问题)。在摆放的方阵中如果是实心的,我们叫它中实方阵;如
2、果这个方阵是空心的,我们叫它中空方阵。观察中实方阵,我们不难发现方阵的基本特点:方阵的每行物体个数与每列物体个数相等。去掉横竖各一排时,有且只有1 个物体是同时属于被减去的一行和一列。如果把最外圈形成的正方形叫第一层,再向里一圈叫第二层的话,会发现相邻的这两个正方形每边个数相差为 2,相邻两层相差总个数为 8。每边人(或物)数和四周人(或物)数的关系 四周人(或物)数=每边人(或物)数-14 每边人(或物)数=四周人(或物)数4+1 中实方阵的总人数(或物)=每边人(或物)数每边人(或物)数 观察中空方阵,我们不难发现方阵的基本特点:精心整理 页脚内容 中空方阵的总人(或物)数=(最外层每边人
3、(或物)数-中空方阵的层数)中空方阵的层数4 下面我们就利用以上特点进 例 1 参加军训的学生进行队列表演,他们排成了一个七行七列的正方形队列,如果去掉一行一列,请问:要去掉多少名学生?还剩下多少名学生?分析与解答:如上图表示的是一个 4 行 4 列的实心正方形队列,从图中可以看出正方形队列的特点:(1)正方形队列每行、每列的人数相等,因此总人数=每行人数每列人数。(2)去掉横竖各一排时,有且只有 1 人是同时属于被减去的一行和一列的,如图中点 A所示。因此去掉的总人数=原每行人数2-1,或去掉的总人数=减少后每行人数2+1。本题中所求,即去掉的人数=72-1=13(人)或去掉的人数=(7-1
4、)2+1=13(人)还剩的人数=(7-1)(7-1)=36(人)或还剩的人数=77-13=49-13=36(人)答:如果去掉一行一列,要去掉 13 名学生,还剩下 36 名学生。例 2 小刚用若干枚棋子摆成一个中实方阵,最外层每边摆 6 枚,请问:要摆成这样一个中实方阵至少需要多少枚棋子?最外一层的棋子总数是多少?分析与解答:如图,最外一层每边摆6 枚,根据方阵每行每列个数相等特点,因此一共有 66=36 枚棋子。最外一层每边有 6 枚,如果用 64=24 枚,就认为是最外一层棋子数的答案的话,那就错了。形同学们要参加运动会入场式要进行队列操练解放军排着整齐的方队接受检阅等无论是训练或接受检阅
5、都要按一定的规则排成一定的队形于是就产生了这一类的数学问题在数学上我们通常把研究这样的问题称为方阵问题掌握这类问行竖着排叫列若行数与列数都相等恰好排成一正方形这就是一方队这种方队也叫做方阵亦叫乘方问题在摆放的方阵中如果是实心的我们叫它中实方阵如果这方阵是空心的我们叫它中空方阵观察中实方阵我们不难发现方阵的基本特点圈形成的正方形叫第一层再向里一圈叫第二层的话会发现相邻的这两正方形每边数相差为相邻两层相差总数为每边人或物数和四周人或物数的关系四周人或物数每边人或物数每边人或物数四周人或物数中实方阵的总人数或物每边人精心整理 页脚内容 因为正方形每个顶点上的棋子分属于一行一列,这样棋子在计算总数时就
6、被多数了一次,这样的顶点一共有 4 个,需要把多数的减去,才能得到正确的结果。列式是 64-4=20 枚。说明:这道题还可以这样想:数每边棋子时,可以按上图先划分成 4 个相等的块,这样每边就有 5 枚了,因此用 54=20 枚,也可以得到正确答案。按照划分块的方法不同,至少还有两种方法,请同学们试一试。例 3 有一队士兵排成一个中实方阵,最外一层有 100 人,请问:方阵中一共有士兵多少人?分析与解答:要想求出方阵中一共有多少士兵,就应先求出方阵的最外层每边有多少人。已知方阵最外一层有 100 人,用 1004=25 人,每边是不是25 人呢?不是的,因为平均分成 4 份后,还需要再加上 1
7、,才正好是每边上的人数,列式应该为 1004+1=26 人。因此方阵中一共有 2626=676 人。答:一共有 676 人。说明:这道题关键是求出每边人数。在求每边人数时,不要认为和“知道了正方形周长,求边长”一样,还必须要加上 1。例 4 若干名同学排成中实方阵则多 12 人,若要将这个方阵改摆成纵横两个方向各增加 1 人的方阵则还差 9 人排满,请问:原有学生多少人?分析与解:由于纵横两个方向各增加 1 人,因此不但将剩余 12 人摆上,而且还差 9 人,说明一横行与一竖行的人数总和是 12+9=21 人。又由于纵横两个方向各增加 1 人,因此只有 1 人同属于横行与纵行,在数每边上的人数
8、时,总被多数一次,因此可以用 21 人先加上被重复数过的 1 人,再除以 2,也就得到每边人数。列式为(21+1)2=11 人。求出每边人数,就可求出假设排满后的人数,列式为 1111=121 人,用 121 人减去差的 9 人形同学们要参加运动会入场式要进行队列操练解放军排着整齐的方队接受检阅等无论是训练或接受检阅都要按一定的规则排成一定的队形于是就产生了这一类的数学问题在数学上我们通常把研究这样的问题称为方阵问题掌握这类问行竖着排叫列若行数与列数都相等恰好排成一正方形这就是一方队这种方队也叫做方阵亦叫乘方问题在摆放的方阵中如果是实心的我们叫它中实方阵如果这方阵是空心的我们叫它中空方阵观察中
9、实方阵我们不难发现方阵的基本特点圈形成的正方形叫第一层再向里一圈叫第二层的话会发现相邻的这两正方形每边数相差为相邻两层相差总数为每边人或物数和四周人或物数的关系四周人或物数每边人或物数每边人或物数四周人或物数中实方阵的总人数或物每边人精心整理 页脚内容 就是原来人数,列式为 121-9=112 人。也可以根据原来的方阵再加上 12,请你试一试。答:原有学生 112 人。前四个例题涉及的都是实心方阵问题。下面我们来研究中空方阵问题。例 5 游行队伍中,手持鲜花的少先队员在一辆彩车的四周围成每边三层的方阵,最外边一层每边 12 人,请问:彩车周围的少先队员共有多少人?分析与解答 1:请同学们自己画
10、一个图,下图是一个三层中空方阵的示意图,不难发现,有如下特点:(1)外层每边点的个数都比相邻内层的每边点的个数多 2;(2)每相邻两层之间,点的总数相差 8 个。最外层队员的总数:124-4=44(人)三层共有队员的总数:44+(44-8)+(44-82)=44+36+28=108(人)分析与解答 2:如下图可分成相等的四部分,每一部分的人数:(12-3)3=93=27(人)三层共有队员数:274=108(人)答:彩车周围的少先队员共有 108 人。这个问题还有别的解法,请同学们自己试着做一下。例 6 小明用围棋子摆了一个五层中空方阵,一共用了 200 枚棋子,请问:最外边一层每边有多少枚棋子
11、?分析与解答 1:利用“相邻两层之间,每层的总数相差 8”的特点,可知最外层共有棋子数:(200+8+82+83+84)5=56(个)形同学们要参加运动会入场式要进行队列操练解放军排着整齐的方队接受检阅等无论是训练或接受检阅都要按一定的规则排成一定的队形于是就产生了这一类的数学问题在数学上我们通常把研究这样的问题称为方阵问题掌握这类问行竖着排叫列若行数与列数都相等恰好排成一正方形这就是一方队这种方队也叫做方阵亦叫乘方问题在摆放的方阵中如果是实心的我们叫它中实方阵如果这方阵是空心的我们叫它中空方阵观察中实方阵我们不难发现方阵的基本特点圈形成的正方形叫第一层再向里一圈叫第二层的话会发现相邻的这两正
12、方形每边数相差为相邻两层相差总数为每边人或物数和四周人或物数的关系四周人或物数每边人或物数每边人或物数四周人或物数中实方阵的总人数或物每边人精心整理 页脚内容 最外层每边的棋子数:564+1=15(个)分析与解答 2:如例 5 的图,把棋子分成相等的四部分。每一部分的棋子数:2004=50(个)每一部分每排的棋子数:505=10(个)最外层每边的棋子数:10+5=15(个)综合列式为:20045+5=15(个)答:最外边一层每边有 15 枚棋子。阅读材料 牛顿是英国一位伟大的数学家和科学家,他是个早产儿,从小就体弱多病,不能像同年龄的孩子在外面跑跑跳跳。只能躲在室内。不过,聪明的他却有一套玩耍
13、的方法;他制造了一种利用老鼠磨面粉的机械玩具水车,把小麦磨成雪白的面粉,还做了有灯光的风筝吓唬村民。牛顿最有名的一段小故事,就是因为苹果落下,而发现万有引力,为什么苹果会落下?小朋友你想过这个问题吗?这是因为地心引力,所以有重量,苹果才落下。喔牛顿很喜欢想问题,也喜欢看书,最后成为伟大的科学家和数学家哩 练习题 1.实验小学四年级原准备排成一个正方形队列参加广播操表演,由于服装不够,只好横竖各减少一排,这样共需去掉 27 人,请问:四年级原来准备多少人参加表演?分析与解答:此题刚好是例 1 的逆向思考问题。根据正方形队列的特点,可知原每行人数=(去掉一行一列的人数+1)2 即:原来每行人数:(
14、27+1)2=14(人)原来准备参加表演的人数:1414=196(人)形同学们要参加运动会入场式要进行队列操练解放军排着整齐的方队接受检阅等无论是训练或接受检阅都要按一定的规则排成一定的队形于是就产生了这一类的数学问题在数学上我们通常把研究这样的问题称为方阵问题掌握这类问行竖着排叫列若行数与列数都相等恰好排成一正方形这就是一方队这种方队也叫做方阵亦叫乘方问题在摆放的方阵中如果是实心的我们叫它中实方阵如果这方阵是空心的我们叫它中空方阵观察中实方阵我们不难发现方阵的基本特点圈形成的正方形叫第一层再向里一圈叫第二层的话会发现相邻的这两正方形每边数相差为相邻两层相差总数为每边人或物数和四周人或物数的关
15、系四周人或物数每边人或物数每边人或物数四周人或物数中实方阵的总人数或物每边人精心整理 页脚内容 答:四年级原准备 196 人参加表演。2.一队学生站成 20 行 20 列方阵,如果去掉 4 行 4 列,那么要减少多少人?分析与解答1:把去掉4 行4 列转化为一行一列的去掉,就可用例6 的结论:去掉一行一列的总人数=原每行人数2-1 反复利用 4 次这个公式,只要注意“原每行人数”的变化,即可列式为:去掉4行4列的总人数=202-1+(20-1)2-1+(20-2)2-1+(20-3)2-1=40-1=38-1+36-1+34-1=144(人)分析与解答 2:我们还可以这样想:原来是一个 7 行
16、 7 列的方阵,若去掉 4行 4 列后,仍剩下一个小正方形方阵,因此去掉 4 行 4 列的总人数=原正方形方阵每边人数-4,即去掉的总人数=2020-(20-4)(20-4)=400-256=144(人)答:去掉 4 行 4 列,要减少 144 人。3.正方形舞厅四周均匀的装彩灯,如果四个角都装一盏且每边装 12 盏,那么这个舞厅四周共装彩灯多少盏?分析与解 1:自己画图可以看出,角上的四盏灯各属于两行,所以彩灯总数应为:124-4=44(盏)分析与解 2:还可以把彩灯分成相等的四部分,因此彩灯总数为:(12-1)4=44(盏)答:这个舞厅四周共装彩灯 44 盏。形同学们要参加运动会入场式要进
17、行队列操练解放军排着整齐的方队接受检阅等无论是训练或接受检阅都要按一定的规则排成一定的队形于是就产生了这一类的数学问题在数学上我们通常把研究这样的问题称为方阵问题掌握这类问行竖着排叫列若行数与列数都相等恰好排成一正方形这就是一方队这种方队也叫做方阵亦叫乘方问题在摆放的方阵中如果是实心的我们叫它中实方阵如果这方阵是空心的我们叫它中空方阵观察中实方阵我们不难发现方阵的基本特点圈形成的正方形叫第一层再向里一圈叫第二层的话会发现相邻的这两正方形每边数相差为相邻两层相差总数为每边人或物数和四周人或物数的关系四周人或物数每边人或物数每边人或物数四周人或物数中实方阵的总人数或物每边人精心整理 页脚内容 4.
18、“六一”儿童节前夕,在校园雕塑的周围,用 204 盆鲜花围成了一个每边三层的方阵,请你求出最外面一层每边有鲜花多少盆?分析与解答:分析思路参见例 6,最外层每边人数=总数4层数+层数 20443+3=20(盆)答:最外面一层每边有鲜花 20 盆 5.四年级一班参加运动会入场式,排成一个方阵,最外层一周的人数为 20人,请问:方阵最外层每边的人数是多少?这个方阵共有多少人?分析:根据四周人数与每边人数的关系可知:每边人数=四周人数4+1,可以求出这个方阵最外层每边的人数,那么这个方阵队列的总人数就可以求出来了。解答:(1)方阵最外层每边的人数:204+1=5+1=6(人)(2)整个方阵共有学生人
19、数:66=36(人)答:方阵最外层每边的人数是 6 人,这个方阵共有 36 人。6.明明用围棋子摆成一个三层中空方阵,如果最外层每边有围棋子 15 个,明明摆这个方阵最里层一周共有多少枚棋子?摆这个三层空心方阵共用了多少枚棋子?分析:(1)方阵每向里面一层,每边的个数就减少 2 个,知道最外面一层,每边放 15 个,可以求出最里层每边的个数,就可以求出最里层一周放棋子的总数。(2)根据最外层每边放棋子的个数减去这个中空方阵的层数,再乘以层数,再乘以 4,计算 出这个中空方阵共用棋子多少个。解答:(1)最里层一周棋子的个数是:(15-2-2-1)4=40(个)形同学们要参加运动会入场式要进行队列
20、操练解放军排着整齐的方队接受检阅等无论是训练或接受检阅都要按一定的规则排成一定的队形于是就产生了这一类的数学问题在数学上我们通常把研究这样的问题称为方阵问题掌握这类问行竖着排叫列若行数与列数都相等恰好排成一正方形这就是一方队这种方队也叫做方阵亦叫乘方问题在摆放的方阵中如果是实心的我们叫它中实方阵如果这方阵是空心的我们叫它中空方阵观察中实方阵我们不难发现方阵的基本特点圈形成的正方形叫第一层再向里一圈叫第二层的话会发现相邻的这两正方形每边数相差为相邻两层相差总数为每边人或物数和四周人或物数的关系四周人或物数每边人或物数每边人或物数四周人或物数中实方阵的总人数或物每边人精心整理 页脚内容(2)这个空
21、心方阵共用的棋子数是:(15-3)34=144(个)答:这个方阵最里层一周有 40 个棋子;摆这个中空方阵共用 144 个棋子。7.若干战士排成一个四层中空方阵,只知道最外一层每边有 12 人,请你求出总人数。分析与解:我们可以采用先求出每层人数再求总人数的方法进行 解答:由于最外层每边有 12 人,因此最外层一共有(12-1)4=44 人,又根据方阵相邻两层,外层比内层人数多 8 的特点,因此第二层有 44-8=36 人,第三层有 36-8=28 人,第四层有 28-8=20 人。因此一共有 44+36+28+20=128人。还可以这样想,把四层中空方阵划分如例 5 的形状,我们发现每个长方
22、形可以看成四排战士,每排有 8 人组成。因此一个长方形有 84=32 人,一共有4 个长方形,324=128 人。当然还可以先把中空方阵看成中实方阵,然后再减去补上的小中实方阵人数,也可以求出一共有多少人,看成中实方阵后,最外一层每边 12 人,因此一共有 1212=144 人。又因为在方阵中相邻两个正方形每边人数相差 2,因此第二层每边有 12-2=10 人,第三层每边有 10-2=8 人,第四层每边有8-2=6 人,第五层每边有 6-2=4 人。因此小的中实方阵有 44=16 人。144-6=128 人就表示一共有战士的人数。答:一共有 128 人。8.有若干盆鲜花摆成一个中空方阵,最外层
23、共摆 48 盆,最内层共摆 24 盆,请问:共摆了多少盆鲜花?形同学们要参加运动会入场式要进行队列操练解放军排着整齐的方队接受检阅等无论是训练或接受检阅都要按一定的规则排成一定的队形于是就产生了这一类的数学问题在数学上我们通常把研究这样的问题称为方阵问题掌握这类问行竖着排叫列若行数与列数都相等恰好排成一正方形这就是一方队这种方队也叫做方阵亦叫乘方问题在摆放的方阵中如果是实心的我们叫它中实方阵如果这方阵是空心的我们叫它中空方阵观察中实方阵我们不难发现方阵的基本特点圈形成的正方形叫第一层再向里一圈叫第二层的话会发现相邻的这两正方形每边数相差为相邻两层相差总数为每边人或物数和四周人或物数的关系四周人
24、或物数每边人或物数每边人或物数四周人或物数中实方阵的总人数或物每边人精心整理 页脚内容 分析与解答:由于方阵中相邻两个正方形每边相差 8,因此第二层应摆鲜花48-8=40 盆,第三层有花 40-8=32 盆,第四层有花 32-8=24 盆。这样通过枚举方法求出一共有四层花,及 中间两层花的总数。因此一共摆了 48+40+32+24=144 盆。答:一共摆了 144 盆。9.五年级学生分成两队参加学校广播操比赛,他们排成甲、乙两个中实方阵,其中甲方阵每边的人数等于 8,如果把两队合并,可以另排成一个中空的丙方阵,丙方阵每边的人数比乙方阵每边的人数多4 人,甲方阵的人数正好填满丙方阵的空心,请问:
25、五年级参加广播操比赛的一共有多少名学生?分析:若只排列一个乙方阵,则多余的人数为(即甲方阵的人数)88=64(人),排列一个实心的丙方阵,不足的人数是:88=64(人)。假设丙方阵为实心方阵,则乙多的人数是:88+8 8=128(人),又根据方阵扩展一层,每边增加 2 人,丙方阵丙实心方阵比乙方阵的外边多 4 人,说明丙方阵多于乙方阵的层数是 42=2(层),方阵扩展2 层,需要增加 128 人,根据“和差问题”则方阵最外层的人数是:(128+24)2=68(人),所以丙方阵的总人数 1818-8 8=260(人)解:(1)假设丙方阵为中实方阵,则丙方阵最外层是:(88+88+24)2=68(
26、人)(2)丙方阵最外层每边的人数是:684+1=18(人)(3)中空丙方阵的总人数:1818-8 8=324-64=260(人)答:五年级参加广播操比赛的一共有 260 人。形同学们要参加运动会入场式要进行队列操练解放军排着整齐的方队接受检阅等无论是训练或接受检阅都要按一定的规则排成一定的队形于是就产生了这一类的数学问题在数学上我们通常把研究这样的问题称为方阵问题掌握这类问行竖着排叫列若行数与列数都相等恰好排成一正方形这就是一方队这种方队也叫做方阵亦叫乘方问题在摆放的方阵中如果是实心的我们叫它中实方阵如果这方阵是空心的我们叫它中空方阵观察中实方阵我们不难发现方阵的基本特点圈形成的正方形叫第一层
27、再向里一圈叫第二层的话会发现相邻的这两正方形每边数相差为相邻两层相差总数为每边人或物数和四周人或物数的关系四周人或物数每边人或物数每边人或物数四周人或物数中实方阵的总人数或物每边人精心整理 页脚内容 10.有杨树和柳树以隔株相间的种法,种成 7 行 7 列的方阵,问这个方阵最外一层有杨树和柳树各多少棵?方阵中共有杨树,柳树各多少棵?分析:根据已知条件柳树和杨树的种法有如下两种,假设黑点表示杨树,白点表示柳树观察图(1)(2)不管是柳树种在方阵最外层的角上还是杨树种在方阵最外层的角上,方阵中除最里边一层外其它层杨树和柳树都是相同的。因而杨树和柳树的棵数相等。即最外层杨,柳树分别为(7-1)42=
28、12(棵)。当柳树种在方阵最外层的角上时,最内层的一棵是柳树;当杨树种在方阵最外层的角上时,最内层的一棵是杨树,即在方阵中,杨树和柳树总数相差 1棵。解答:(1)最外层杨柳树的棵数分别为:(7-1)42=12(棵)(2)当杨树种在最外层角上时,杨树比柳树多 1 棵:杨树:(77+1)2=25(棵)柳树:77-25=24(棵)(3)当柳树种在最外层角上时,柳树比杨树多 1 树 柳树(77+1)2=25(棵)杨树 77-25=24(棵)答:在两种方法中,方阵最外层都有杨树 12 棵,柳树 12 棵,方阵中总共有杨树 25 棵,柳树 24 棵,或者有杨树 24 棵,柳树 25 棵。形同学们要参加运动会入场式要进行队列操练解放军排着整齐的方队接受检阅等无论是训练或接受检阅都要按一定的规则排成一定的队形于是就产生了这一类的数学问题在数学上我们通常把研究这样的问题称为方阵问题掌握这类问行竖着排叫列若行数与列数都相等恰好排成一正方形这就是一方队这种方队也叫做方阵亦叫乘方问题在摆放的方阵中如果是实心的我们叫它中实方阵如果这方阵是空心的我们叫它中空方阵观察中实方阵我们不难发现方阵的基本特点圈形成的正方形叫第一层再向里一圈叫第二层的话会发现相邻的这两正方形每边数相差为相邻两层相差总数为每边人或物数和四周人或物数的关系四周人或物数每边人或物数每边人或物数四周人或物数中实方阵的总人数或物每边人