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1、第 一 章 一阶微分方程的解法的小结、可分离变量的方程：、形如)()(ygxfdxdy 当0)(yg时，得到dxxfygdy)()(，两边积分即可得到结果；当0)(0g时，则0)(xy也是方程的解。例、xydxdy 解：当0y时，有xdxydy，两边积分得到)(2ln2为常数CCxy 所以)(11212CxeCCeCy为非零常数且 0y显然是原方程的解；综上所述，原方程的解为)(1212为常数CeCyx、形如0)()()()(dyyQxPdxyNxM 当0)()(yNxP时，可有dyyNyQdxxPxM)()()()(，两边积分可得结果；当0)(0yN时，0yy 为原方程的解，当0(0）xP时
2、，0 xx 为原方程的解。例、0)1()1(22dyxydxyx 解：当0)1)(1(22yx时，有dxxxdyyy1122两边积分得到)0(ln1ln1ln22CCyx，所以有)0()1)(1(22CCyx；当0)1)(1(22yx时，也是原方程的解；综上所述，原方程的解为)()1)(1(22为常数CCyx。可化为变量可分离方程的方程：、形如)(xygdxdy 解法：令xyu，则udxxdudy，代入得到)(ugudxdux为变量可分离方程，得到)(0),(为常数CCxuf再把u代入得到)(0),(为常数CCxxyf。、形如)0(),(abbyaxGdxdy 解法：令byaxu，则bduad
3、xdy，代入得到)(1uGbadxdub为变量可分离方程，得到)(0),(为常数CCxuf再把u代入得到)(0),(为常数CCxbyaxf。、形如)(222111cybxacybxafdxdy 解法：01、02211baba，转化为)(byaxGdxdy，下同；02、02211baba，00222111cybxacybxa的解为),(00yx，令00yyvxxu 得到，)()()(22112211uvguvbauvbafvbuavbuafdudv，下同；还有几类：xyudyxyxgdxxyyf,0)()(以上都可以化为变量可分离方程。例、25yxyxdxdy 解：令2yxu，则dudxdy，代
4、入得到uudxdu71，有 所以)(722为常数CCxu，把u代入得到)(7222为常数）（CCxyx。例、1212yxyxdxdy 解：由012012yxyx得到3131yx，令3131yvxu，有dudxdvdy，代入得到 解当时有两边积分得到为常数所以为非零常数且显然是原方程的解综上所述原方程的解为为常数形如当时可有两边积分可得结果当时为原方程的解当时为原方程的解例解当时有两边积分得到所以有当时也是原方程的解综上所述原方为常数形如解法令则代入得到为变量可分离方程得到为常数再把代入得到为常数形如解法转化为下同的解为令得到下同还有几类以上都可以化为变量可分离方程例解令则代入得到有所以为常数把
5、代入得到为常数例解由得到令有代入因子法例解化简方程为则代入公式得到所以为常数恰当方程形如解法先判断是否是恰当方程如果有恒成立那么原方程是个恰当方程找出一个有为常数例解由题意得到由得到原方程是一个恰当方程下面求一个由得两边对求偏导得到得uvuvvuvududv21222，令uvt，有udttdudv，代入得到ttdudtut212，化简得到，)1(2)1(22221222ttttddttttudu，有)(2)1ln(ln2为常数CCttu，所以有)(1121CeCttCu，故代入得到)0(,31313131131121CxyxyCx（3）、一阶线性微分方程：一般形式：)()()01xhyxadx
6、dyxa（标准形式：)()(xQyxPdxdy 解法：1、直接带公式：2、积分因子法：)()()(1)(CdxxQxxxy，dxxPex)()(3、IVP：)()(xQyxPdxdy，00)(yxy 例 3、1)1()1(nxxenydxdyx 解：化简方程为：nxxeyxndxdy)1(1，则;)1()(,1)(nxxexQxnxP 代入公式得到ndxxndxxPxeex-1)()1()(所以，)()()1()1()1()1()(为常数CCexCdxxexxxyxnnxnn(4)、恰当方程：形如dyyxNdxyxMdGtsyxGdyyxNdxyxM),(),(.),(,0),(),(解法：先
7、判断是否是恰当方程：如果有xyxNyyxM),(),(恒成立，那么原方程是个恰当方程，找出一个 解当时有两边积分得到为常数所以为非零常数且显然是原方程的解综上所述原方程的解为为常数形如当时可有两边积分可得结果当时为原方程的解当时为原方程的解例解当时有两边积分得到所以有当时也是原方程的解综上所述原方为常数形如解法令则代入得到为变量可分离方程得到为常数再把代入得到为常数形如解法转化为下同的解为令得到下同还有几类以上都可以化为变量可分离方程例解令则代入得到有所以为常数把代入得到为常数例解由得到令有代入因子法例解化简方程为则代入公式得到所以为常数恰当方程形如解法先判断是否是恰当方程如果有恒成立那么原方
8、程是个恰当方程找出一个有为常数例解由题意得到由得到原方程是一个恰当方程下面求一个由得两边对求偏导得到得),(),(),(),(.),(yxNyyxGyXMxyxGtsyxG,有)(,),(为常数CCyxG；例 4、0)46()63(3222dyyyxdxxyx 解：由题意得到，322246),(,63),(yyxyxNxyxyxM 由xNxyyM12得到，原方程是一个恰当方程；下面求一个),(),(),(),(.),(yxNyyxGyXMxyxGtsyxG 由2263),(),(xyxyXMxyxG得)(3),(223yyxxyxG，两边对y求偏导得到32246)(6yyxyyxyG，得到34
9、)(yy，有4)(yy，故42233),(yyxxyxG，由0dG，得到(5)、积分因子法：方程是一个恰当方程0.),(,0),(),(NdyMdxtsyxdyyxNdxyxM，那么称),(yx是原方程的积分因子；积分因子不唯一。当且仅当)(xNxNyM，原方程有只与x有关的积分因子，且为dxxeyx)(),(，两边同乘以),(yx，化为恰当方程，下同(4)。当且仅当)(yMxNyM，原方程有只与y有关的积分因子，且为dyyeyx)(),(，两边同乘以),(yx，化为恰当方程，下同(4)。例、02)3(2xydydxyex 解：由xyyxNyeyxMx2),(,3),(2得yyyxNyM426
10、，且 有解当时有两边积分得到为常数所以为非零常数且显然是原方程的解综上所述原方程的解为为常数形如当时可有两边积分可得结果当时为原方程的解当时为原方程的解例解当时有两边积分得到所以有当时也是原方程的解综上所述原方为常数形如解法令则代入得到为变量可分离方程得到为常数再把代入得到为常数形如解法转化为下同的解为令得到下同还有几类以上都可以化为变量可分离方程例解令则代入得到有所以为常数把代入得到为常数例解由得到令有代入因子法例解化简方程为则代入公式得到所以为常数恰当方程形如解法先判断是否是恰当方程如果有恒成立那么原方程是个恰当方程找出一个有为常数例解由题意得到由得到原方程是一个恰当方程下面求一个由得两边
11、对求偏导得到得xxNxNyM2)(，有22),(xeyxdxx，原 方 程 两 边 同 乘2x，得 到,02)3(322ydyxdxyexx化为0)22(232yxexxdx，得到解为 例、0)(3dyyxydx 解:由题意得到，)(),(,),(3yxyxNyyxM，有2)1(1xNyM 有yyMxNyM2)(，有22)(),(yeeyxdyydyy，原方程两边同乘2y，得到0)2()(22yyxddyyyxydx，得到原方程的解为：(6)、贝努力方程：形如nyxQyxPdxdy)()(,解法：令nyu1，有dyyndun)1(，代入得到)()1()()1(xQnuxPndxdu，下同（3）
12、例 6、26xyxydxdy 解：令1yu，有dyydu2，代入得到xuxdxdu6，则xxQxxP)(,6)(，有6)()(xexdxxP，)(,8)(6266为常数CxCxCxdxxxxu，把u代入得到)(,8162为常数CxCxy.(7)、一阶隐式微分方程：一般形式：0),(yyxF，解不出y的称为一阶隐式微分方程。下面介绍四种类型：、形如),(dxdyxfy，解当时有两边积分得到为常数所以为非零常数且显然是原方程的解综上所述原方程的解为为常数形如当时可有两边积分可得结果当时为原方程的解当时为原方程的解例解当时有两边积分得到所以有当时也是原方程的解综上所述原方为常数形如解法令则代入得到为
13、变量可分离方程得到为常数再把代入得到为常数形如解法转化为下同的解为令得到下同还有几类以上都可以化为变量可分离方程例解令则代入得到有所以为常数把代入得到为常数例解由得到令有代入因子法例解化简方程为则代入公式得到所以为常数恰当方程形如解法先判断是否是恰当方程如果有恒成立那么原方程是个恰当方程找出一个有为常数例解由题意得到由得到原方程是一个恰当方程下面求一个由得两边对求偏导得到得一般解法：令dxdyp，代入得到),(pxfy，两边对x求导得到dxdppfxfp，这是关于 x，p 的一阶线性微分方程，仿照(3)，1、得出解为为常数CCxp),(，那么原方程的通解为 2、得出解为为常数CCpx),(，那
14、么原方程的通解为 3、得出解为为常数CCpx,0),(，那么原方程的通解为、形如),(dxdyyfx 一般解法：令dxdyp，代入有),(pyfx，两边对y求导，得到dydppfyfp1，此方程是一阶微分方程，可以按照以上(1)(5)求出通解为常数CCpy,0),(，那么原方程的通解为、形如0),(yxF 一 般 解 法：设)(,)()(为参数ttytx，dtttdxydy)()(，两 边 积 分 得 到为常数CCdttty,)()(，于是有原方程的通解为、形如0),(yyF 一 般 解 法：设)(,)()(为参数ttyty，由 关 系 式dxydy得dxtdtt)()(，有dtttdx)()
15、(，两边积分得到为常数，CCdtttx)()(，于是有 例 yyx 13 解：令yp，得到31ppx，两边对y求导，得到dydppppp)1(31(143，有dpppdy)32(32，得到为常数CCppy,2322，于是通解为 例 yeyy2 解当时有两边积分得到为常数所以为非零常数且显然是原方程的解综上所述原方程的解为为常数形如当时可有两边积分可得结果当时为原方程的解当时为原方程的解例解当时有两边积分得到所以有当时也是原方程的解综上所述原方为常数形如解法令则代入得到为变量可分离方程得到为常数再把代入得到为常数形如解法转化为下同的解为令得到下同还有几类以上都可以化为变量可分离方程例解令则代入得
16、到有所以为常数把代入得到为常数例解由得到令有代入因子法例解化简方程为则代入公式得到所以为常数恰当方程形如解法先判断是否是恰当方程如果有恒成立那么原方程是个恰当方程找出一个有为常数例解由题意得到由得到原方程是一个恰当方程下面求一个由得两边对求偏导得到得解：令yp，得到pepy2，两边对x求导，得到dxdpepppp)2(2，有 dpepdxp)2(，两边积分得到为常数CCepxp,)1(，于是通解为 例 122yx 解：设,sincostytx有dttdtttdxydy212cos)sin(sin，所以 于是通解为 例 1)1(22yy 解：设,cos1sintyty有)tan(cossin1c
17、ossin22tdtdtdttttydydx，所以 于是通解为(8)、里卡蒂方程：一般形式：)()()(2xRyxQyxPdxdy 一般解法：先找出一个特解)(0 xy，那么令zyy10，有dxdzzdxdydxdy201，代入原方程得到 )()1)()1)(102020 xRzyxQzyxPdxdzzdxdy，化简得到 0)()()(2(0 xPzxQyxPdxdz，为一阶线性微分方程，解出 那么原方程的通解为 例 8 0)2(22 xyyx 解：我们可以找到一个特解xy10，验证：201xy，代入满足原方程。令zxy11，dxdzzxy2211，代入有0)2)11()11(2222zxxd
18、xdzzxx，化简得到，12 zxdxdz，所以有为常数CxCxCdxeexzdxxdxx,31)(222 所以原方程的解为 解当时有两边积分得到为常数所以为非零常数且显然是原方程的解综上所述原方程的解为为常数形如当时可有两边积分可得结果当时为原方程的解当时为原方程的解例解当时有两边积分得到所以有当时也是原方程的解综上所述原方为常数形如解法令则代入得到为变量可分离方程得到为常数再把代入得到为常数形如解法转化为下同的解为令得到下同还有几类以上都可以化为变量可分离方程例解令则代入得到有所以为常数把代入得到为常数例解由得到令有代入因子法例解化简方程为则代入公式得到所以为常数恰当方程形如解法先判断是否
19、是恰当方程如果有恒成立那么原方程是个恰当方程找出一个有为常数例解由题意得到由得到原方程是一个恰当方程下面求一个由得两边对求偏导得到得为常数CxCxxy,3112 或 xy1 精心搜集整理，请按实际需求再行修改编辑，因文档各种差异排版需调整字体属性及大小 解当时有两边积分得到为常数所以为非零常数且显然是原方程的解综上所述原方程的解为为常数形如当时可有两边积分可得结果当时为原方程的解当时为原方程的解例解当时有两边积分得到所以有当时也是原方程的解综上所述原方为常数形如解法令则代入得到为变量可分离方程得到为常数再把代入得到为常数形如解法转化为下同的解为令得到下同还有几类以上都可以化为变量可分离方程例解令则代入得到有所以为常数把代入得到为常数例解由得到令有代入因子法例解化简方程为则代入公式得到所以为常数恰当方程形如解法先判断是否是恰当方程如果有恒成立那么原方程是个恰当方程找出一个有为常数例解由题意得到由得到原方程是一个恰当方程下面求一个由得两边对求偏导得到得