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1、-1-等比数列性质 一、选择题 1.已知数列4,121aa成等差数列,4,1321bbb成等比数列，则212baa 的值为()A、21 B、21 C、21或21 D、41 2.等比数列na中，1990,naa a为方程210160 xx的两根，则205080aaa 的值为（）.32A .64B .256C .64D 5.等比数列na的各项均为正数，且5647a aa a18，则3132310logloglogaaa L()A12 B10 C8 D23log 5 6.nS是公差不为 0 的等差na的前n项和，且421,SSS成等比数列，则132aaa 等于（）A.4 B.6 C.8 7.公差不为
2、零的等差数列na的前n项和为nS，若4a是3a与7a的等比中项，1060,S则8S等于 A、28 B、32 C、36 D、40 8.等比数列na的前n项和为nS，若242SS，则公比为（）或1 C.21或21 或2 9.已知等比数列an 的公比为 2，前 4 项的和是 1，则前 8 项的和为 A 15 B17 C19 D 21 二、填空题 13.设等比数列na的前 n 项和为ns。若3614,1ssa，则4a=15.等比数列na的公比0q,已知2a=1，216nnnaaa，则na的前 4 项和4S=16.等比数列na的前n项和nS=22aan，则na=_.三、解答题 17.（2006 全国卷理
3、）设数列na的前n项的和，14122333nnnSa，,3,2,1n（）求首项1a与通项na；（）设2nnnTS，,3,2,1n，证明：132niiT -2-3.解:()由 Sn=43an132n+1+23,n=1,2,3，,得 a1=S1=43a1134+23 所以 a1=2.再由有 Sn 1=43an1132n+23,n=2,3，4,将和相减得:an=Sn Sn1=43(an an1)13(2n+12n),n=2,3,整理得:an+2n=4(an 1+2n1),n=2,3,因而数列 an+2n 是首项为 a1+2=4,公比为 4 的等比数列,即:an+2n=44n1=4n,n=1,2,3,
4、因而 an=4n2n,n=1,2,3,()将 an=4n2n 代入得 Sn=43(4n 2n)132n+1+23=13(2n+11)(2n+1 2)=23(2n+11)(2n 1)Tn=2nSn=322n(2n+1 1)(2n 1)=32(12n1 12n+11)所以,1niiT=321(ni12i 1 12i+11)=32(1211 12i+11)32 8.（2006 安徽理）数列na的前n项和为nS，已知 211,1,1,2,2nnaSn an nn（）写出nS与1nS的递推关系式2n，并求nS关于n的表达式；（）设 1/,nnnnnSfxxbfppRn，求数列nb的前n项和nT。8.解：
5、由 21nnSn an n2n 得：21()1nnnSn SSn n，即，121112nnnnSSnn，2132121SS相加得：1121nnSSnn，又1112Sa，所以21nnSn，当1n 时，也成立。（）由 111nnnnSnfxxxnn，得/nnnbfpnp。而 221(1)1nnnSn Sn n，所以1111nnnnSSnn，对2n 成立。由1111nnnnSSnn23123(1)nnnTpppnpnp L，234123(1)nnnpTpppnpnp L，乙方的委托对乙方拥有合法产权的房产进行酒店式统一经营并经双方协商一致在平等自愿的基础上订立以下条款供共同遵照执行委托事项委托物业概
6、况阁房面积下称委托物业委托期限从年月口至年月口二委托条件乙方了解并同意只需经甲方验收合附件二东海岸公寓装修及配置标准说明三委托物业内设施设备物品清单甲方提供床上用品浴室布草一次性低值消耗品宣传品乙方提供房间含浴室的装修双层窗帝照明灯具浴室排气扇电视机寸纯平三洋空调匹电话机高其置于委托物业内的一切设施设备和物品乙方确认除上述列明的设施设备物品外乙方未放置任何其他物品亦不会增放其他物品甲方对上述清单未列明的设施设备和物品不承担任何责任未经甲方事前书面同意乙方不得擅自更改房屋装-3-23111(1)(1)1nnnnnnppP Tpppppnpnpp L 10.（2005 山东文）已知数列na的首项1
7、5,a 前n项和为nS，且*125()nnSSnnN （I）证明数列1na 是等比数列；（II）令212()nnf xa xa xa x L，求函数()f x在点1x 处的导数(1)f 10.解：由已知*125()nnSSnnN 可得12,24nnnSSn 两式相减得 1121nnnnSSSS，即121nnaa 从而1121nnaa 当1n 时,21215SS，所以21126aaa 又15a 所以211a，从而21121aa 故总有112(1)nnaa，*nN 又115,10aa，从而1121nnaa,即数列1na 是以116a 为首项，2 为公比的等比数列；（II）由（I）知3 21nna
8、因为212()nnf xa xa xa x L所以112()2nnfxaa xna x L 从而12(1)2nfaana L=23 2 12 3 21(321)nn L=23 22 22nn L-1 2n L=1(1)31 262nn nn.例题 2.（2007 年二次月考）设数列na的前 n 项和为 Sn，若nS是首项为 1，各项均为 正数且公比为 q 的等比数列.（1）求数列na的通项公式na；（2）试比较212()nnnaaanN与的大小，并证明你的结论.乙方的委托对乙方拥有合法产权的房产进行酒店式统一经营并经双方协商一致在平等自愿的基础上订立以下条款供共同遵照执行委托事项委托物业概况阁
9、房面积下称委托物业委托期限从年月口至年月口二委托条件乙方了解并同意只需经甲方验收合附件二东海岸公寓装修及配置标准说明三委托物业内设施设备物品清单甲方提供床上用品浴室布草一次性低值消耗品宣传品乙方提供房间含浴室的装修双层窗帝照明灯具浴室排气扇电视机寸纯平三洋空调匹电话机高其置于委托物业内的一切设施设备和物品乙方确认除上述列明的设施设备物品外乙方未放置任何其他物品亦不会增放其他物品甲方对上述清单未列明的设施设备和物品不承担任何责任未经甲方事前书面同意乙方不得擅自更改房屋装-4-个 个 解析：（）nS是各项均为正数的等比数列.1(0)nnSqq.当 n=1 时，a1=1，当212,(1).nnnnn
10、aSSqq时 21(1)(1)(2)nnnaqqn。（）当 n=1 时，2132111312(1)2(1)()0.24aaaSS qqS qq 2312aaa 当1112112)1(2)1()1(2,2nnnnnnqqSqqSqqSaaan时32(1)nqq 20,0.nqq 当 q=1 时，.2,0)1(123nnnaaaq 当,10时 q.2,0)1(123nnnaaaq 当,1时q.2,0)1(123nnnaaaq 综上可知：当 n=1 时，2312aaa 当;2,1,212nnnaaaqn则若时 若;2,1012nnnaaaq则 若.2,112nnnaaaq则 点评：本题考查了等比数列
11、的基本知识，还要注意分类讨论。考点二：求数列的通项与求和 例题 3.（2007 年 5 月湖北省十一校）.已知数列na中各项为：12、1122、111222、111n14 2 4 3222n14 2 4 3 （1）证明这个数列中的每一项都是两个相邻整数的积.（2）求这个数列前 n 项之和 Sn.解析：先要通过观察，找出所给的一列数的特征，求出数列的通项，进一步再求和。答案：（1）12(101)10(101)99nnnna 1(101)(102)9nn 101101()(1)33nn 乙方的委托对乙方拥有合法产权的房产进行酒店式统一经营并经双方协商一致在平等自愿的基础上订立以下条款供共同遵照执行
12、委托事项委托物业概况阁房面积下称委托物业委托期限从年月口至年月口二委托条件乙方了解并同意只需经甲方验收合附件二东海岸公寓装修及配置标准说明三委托物业内设施设备物品清单甲方提供床上用品浴室布草一次性低值消耗品宣传品乙方提供房间含浴室的装修双层窗帝照明灯具浴室排气扇电视机寸纯平三洋空调匹电话机高其置于委托物业内的一切设施设备和物品乙方确认除上述列明的设施设备物品外乙方未放置任何其他物品亦不会增放其他物品甲方对上述清单未列明的设施设备和物品不承担任何责任未经甲方事前书面同意乙方不得擅自更改房屋装-5-记：A=1013n,则 A=333n14 2 4 3为整数 na=A(A+1)，得证 (2)2112
13、1010999nnnaQ 2422112(101010)(101010)999nnnSn 2211(1011 10198210)891nnn 点评：本题难点在于求出数列的通项，再将这个通项“分成”两个相邻正数的积，解决此题需要 例题 4.(云南省 2007 年第一次高中毕业生复习统一检测)已知nS是数列na的前 n 项和，并且1a=1，对任意正整数 n，241nnaS；设,3,2,1(21naabnnn）.（I）证明数列nb是等比数列，并求nb的通项公式；（II）设loglog1,32212nnnnnCCTbC为数列的前 n 项和，求nT.解析：（I）),2(24,2411naSaSnnnn
14、两式相减：),2(4411naaannn *),(2)2(2,2)(42,2),2)(41111121111Nnbaabaaaaabaabnaaannnnnnnnnnnnnnnn,21nnbb nb是以 2 为公比的等比数列，,325,523,24,2112121121baaaaaaab而 *)(231Nnbnn （II）,231nnnbC,)1(12log2log1loglog11222212nnCCnnnn 而,111)1(1nnnn.111)111()4131()3121()211(nnnTn 点评：本题利用转化思想将递推关系式转化成我们熟悉的结构求得数列na的通项na，第二问求和用到裂
15、项的办法求和。考点三：数列与不等式的联系 个 乙方的委托对乙方拥有合法产权的房产进行酒店式统一经营并经双方协商一致在平等自愿的基础上订立以下条款供共同遵照执行委托事项委托物业概况阁房面积下称委托物业委托期限从年月口至年月口二委托条件乙方了解并同意只需经甲方验收合附件二东海岸公寓装修及配置标准说明三委托物业内设施设备物品清单甲方提供床上用品浴室布草一次性低值消耗品宣传品乙方提供房间含浴室的装修双层窗帝照明灯具浴室排气扇电视机寸纯平三洋空调匹电话机高其置于委托物业内的一切设施设备和物品乙方确认除上述列明的设施设备物品外乙方未放置任何其他物品亦不会增放其他物品甲方对上述清单未列明的设施设备和物品不承
16、担任何责任未经甲方事前书面同意乙方不得擅自更改房屋装-6-例题 5.（2007 年 5 月莆田四中）已知为锐角，且12tan，函数)42sin(2tan)(2xxxf，数列an 的首项)(,2111nnafaa.求函数)(xf的表达式；求证：nnaa 1；求证：),2(21111111*21Nnnaaan 解析：本题是借助函数给出递推关系，第（2）问的不等式利用了函数的性质，第（3）问是转化成可以裂项的形式，这是证明数列中的不等式的另一种出路。答案：解：1)12(1)12(2tan1tan22tan22 又为锐角 42 1)42sin(xxxf2)(nnnaaa21 211a naaa,32都
17、大于 0 02na nnaa 1 nnnnnnnaaaaaaa111)1(11121 11111nnnaaa 1322121111111111111nnnaaaaaaaaa 1111211nnaaa 4321)21(22a,143)43(23a,又nnaan 12 131aan 21211na 2111111121naaa 点评：把复杂的问题转化成清晰的问题是数学中的重要思想，本题中的第（3）问不等式所给的式子更具有一般性。例题 7.（2007 年 5 月 2007 浙江省五校）已知函数()ln 1f xxx,数列na满足101a,乙方的委托对乙方拥有合法产权的房产进行酒店式统一经营并经双方协
18、商一致在平等自愿的基础上订立以下条款供共同遵照执行委托事项委托物业概况阁房面积下称委托物业委托期限从年月口至年月口二委托条件乙方了解并同意只需经甲方验收合附件二东海岸公寓装修及配置标准说明三委托物业内设施设备物品清单甲方提供床上用品浴室布草一次性低值消耗品宣传品乙方提供房间含浴室的装修双层窗帝照明灯具浴室排气扇电视机寸纯平三洋空调匹电话机高其置于委托物业内的一切设施设备和物品乙方确认除上述列明的设施设备物品外乙方未放置任何其他物品亦不会增放其他物品甲方对上述清单未列明的设施设备和物品不承担任何责任未经甲方事前书面同意乙方不得擅自更改房屋装-7-1nnaf a;数列nb满足1111,(1)22n
19、nbbnb,*nN.求证:（）101;nnaa（）21;2nnaa （）若12,2a 则当 n2 时,!nnban.解析：第（1）问是和自然数有关的命题，可考虑用数学归纳法证明；第（2）问可利用函数的单调性；第（3）问进行放缩。答案：解:()先用数学归纳法证明01na,*nN.（1）当 n=1 时,由已知得结论成立;（2）假设当 n=k 时,结论成立,即01ka.则当 n=k+1时,因为 0 x1 时,1()1011xfxxx ,所以 f(x)在(0,1)上是增函数.又 f(x)在0,1上连续,所以 f(0)f(ka)f(1),即 011ln21ka.故当 n=k+1时,结论也成立.即01na
20、对于一切正整数都成立.又由01na,得1ln 1ln(1)0nnnnnnaaaaaa ,从而1nnaa.综上可知101.nnaa ()构造函数 g(x)=22x-f(x)=2ln(1)2xxx,0 xg(0)=0.因为01na,所以0ng a,即22nnaf a0,从而21.2nnaa()因为 1111,(1)22nnbbnb,所以0nb,1nnbb12n,所以1211211!2nnnnnnbbbbbnbbb L ,乙方的委托对乙方拥有合法产权的房产进行酒店式统一经营并经双方协商一致在平等自愿的基础上订立以下条款供共同遵照执行委托事项委托物业概况阁房面积下称委托物业委托期限从年月口至年月口二委
21、托条件乙方了解并同意只需经甲方验收合附件二东海岸公寓装修及配置标准说明三委托物业内设施设备物品清单甲方提供床上用品浴室布草一次性低值消耗品宣传品乙方提供房间含浴室的装修双层窗帝照明灯具浴室排气扇电视机寸纯平三洋空调匹电话机高其置于委托物业内的一切设施设备和物品乙方确认除上述列明的设施设备物品外乙方未放置任何其他物品亦不会增放其他物品甲方对上述清单未列明的设施设备和物品不承担任何责任未经甲方事前书面同意乙方不得擅自更改房屋装-8-由()21,2nnaa知:12nnnaaa,所以1naa=312121212 22nnnaaaaa aaaaLL,因为122a,n2,101.nnaa 所以 na112
22、12 22naa aaL112nna2122na=12n.由 两式可知:!nnban.点评：本题是数列、超越函数、导数的学归纳法的知识交汇题，属于难题，复习时应引起注意。考点四：数列与函数、向量、概率等的联系 例题 8.（四川省南充高级中学 2008 届十月份月考）无穷数列na的前 n 项和)(*NnnpaSnn，并且1a2a （1）求 p 的值；（2）求na的通项公式；（3）作函数nnxaxaxaxf1232)(，如果4510S，证明：41)31(f 解析：（1）111paSa 01a，且 p1，或01a 若是01a，且 p1，则由22212paSaa 21aa，矛盾故不可能是：01a，且
23、p1由01a，得02a 又22212paSaa，21p （2）11)1(21nnanS，nnnaS21，nnnnaana21)1(2111 nnnaan 1)1(当 k2 时，11kkaakk n3 时有223211aaaaaaaannnnn22)1(123221anannnn 对一切*Nn有：2)1(anan （3）2101045211045aaS，12a)(1*Nnnan 乙方的委托对乙方拥有合法产权的房产进行酒店式统一经营并经双方协商一致在平等自愿的基础上订立以下条款供共同遵照执行委托事项委托物业概况阁房面积下称委托物业委托期限从年月口至年月口二委托条件乙方了解并同意只需经甲方验收合附件
24、二东海岸公寓装修及配置标准说明三委托物业内设施设备物品清单甲方提供床上用品浴室布草一次性低值消耗品宣传品乙方提供房间含浴室的装修双层窗帝照明灯具浴室排气扇电视机寸纯平三洋空调匹电话机高其置于委托物业内的一切设施设备和物品乙方确认除上述列明的设施设备物品外乙方未放置任何其他物品亦不会增放其他物品甲方对上述清单未列明的设施设备和物品不承担任何责任未经甲方事前书面同意乙方不得擅自更改房屋装-9-故nnxxxxf22)(nnf33231)31(2 又1233332)31(3nnf 32123131313313131)31(2nnnf2131131故 41)31(f 点评：本题是函数、不等式的综合题，是
25、高考的难点热点。例题 8.（2007 年 5 月徐州市）已知函数 f(x)=52168xx，设正项数列na满足1a=l，1nnaf a (1)写出2a、3a的值;(2)试比较na与54的大小，并说明理由；(3)设数列nb满足nb=54na，记 Sn=1niib证明：当 n2 时,Sn 14(2n 1)分析：比较大小常用的办法是作差法，而求和式的不等式常用的办法是放缩法。解：(1)152168nnnaaa，因为11,a 所以2373,.84aa（2）因为10,0,nnaa所以1680,02.nnaa 15548()52553444168432(2)2 2nnnnnnnaaaaaaa ,因为20,
26、na所以154na与54na 同号，因为151044a ，250,4a 350,4a ，50,4na 即5.4na （3）当2n时，1111531531()42 242 2nnnnnnbaabaa 113125224nnbb，所以2131212222nnnnnbbbb L，所以3121(12)11114(21)422124nnnnnSbbb L 乙方的委托对乙方拥有合法产权的房产进行酒店式统一经营并经双方协商一致在平等自愿的基础上订立以下条款供共同遵照执行委托事项委托物业概况阁房面积下称委托物业委托期限从年月口至年月口二委托条件乙方了解并同意只需经甲方验收合附件二东海岸公寓装修及配置标准说明三
27、委托物业内设施设备物品清单甲方提供床上用品浴室布草一次性低值消耗品宣传品乙方提供房间含浴室的装修双层窗帝照明灯具浴室排气扇电视机寸纯平三洋空调匹电话机高其置于委托物业内的一切设施设备和物品乙方确认除上述列明的设施设备物品外乙方未放置任何其他物品亦不会增放其他物品甲方对上述清单未列明的设施设备和物品不承担任何责任未经甲方事前书面同意乙方不得擅自更改房屋装-10-点评：本题是函数、不等式的综合题，是高考的难点热点。例题 12.(2007年 5 月宁波市三中)已知数列na中，11a，*1122(.)nnnaaaanN （1）求234,aaa；（2）求数列na的通项na；（3）设数列nb满足21111
28、,2nnnkbbbba，求证：1()nbnk 分析：条件中有类似于前 n 项和的形式出现，提示我们应该考虑 anSnSn1(n 2)解：（1）2342,3,4aaa（2）1122(.)nnnaaaa 121(1)2(.)nnnaaaa 得1(1)2nnnnanaa 即：1(1)nnnana，11nnanan 所以3211212 3.1.(2)1 21nnnaaanaan na aan所以*()nan nN（3）由（2）得：2111111,.02nnnnnbbbbbbbk ，所以nb是单调递增数列，故要证：1()nbnk只需证1kb 若1k，则1112b 显然成立若2k，则21111nnnnnn
29、bbbb bbkk 所以1111nnbbk 因此：121111111111().()2kkkkkbbbbbbkk 所以11kkbk所以1()nbnk 点评：与数列相关的不等式证明通常需要“放缩”，而放缩的“度”尤为关键，本题中 1211111111().()kkkbbbbbb 这种拆分方法是数学中较高要求的变形.答案 一、选择题 15212n三、解答题 乙方的委托对乙方拥有合法产权的房产进行酒店式统一经营并经双方协商一致在平等自愿的基础上订立以下条款供共同遵照执行委托事项委托物业概况阁房面积下称委托物业委托期限从年月口至年月口二委托条件乙方了解并同意只需经甲方验收合附件二东海岸公寓装修及配置标
30、准说明三委托物业内设施设备物品清单甲方提供床上用品浴室布草一次性低值消耗品宣传品乙方提供房间含浴室的装修双层窗帝照明灯具浴室排气扇电视机寸纯平三洋空调匹电话机高其置于委托物业内的一切设施设备和物品乙方确认除上述列明的设施设备物品外乙方未放置任何其他物品亦不会增放其他物品甲方对上述清单未列明的设施设备和物品不承担任何责任未经甲方事前书面同意乙方不得擅自更改房屋装-11-20.解析：（1）由已知qaabbnnnnloglog121为常数.故数列nb为等差数列，且公差为.log2qd （先求q也可）4分（2）因0log,11211aba，又263531bbbb，所以.05b 由.291,404,22
31、211513nnSdbdbbdbbn 由*511212,221,164log1logNnaqaabqdnn.8分（3）因,0na当9n时，0nS，所以9n时，nnSa；又可验证2,1n是时，nnSa；8,7,6,5,4,3n时，nnSa.12分 乙方的委托对乙方拥有合法产权的房产进行酒店式统一经营并经双方协商一致在平等自愿的基础上订立以下条款供共同遵照执行委托事项委托物业概况阁房面积下称委托物业委托期限从年月口至年月口二委托条件乙方了解并同意只需经甲方验收合附件二东海岸公寓装修及配置标准说明三委托物业内设施设备物品清单甲方提供床上用品浴室布草一次性低值消耗品宣传品乙方提供房间含浴室的装修双层窗帝照明灯具浴室排气扇电视机寸纯平三洋空调匹电话机高其置于委托物业内的一切设施设备和物品乙方确认除上述列明的设施设备物品外乙方未放置任何其他物品亦不会增放其他物品甲方对上述清单未列明的设施设备和物品不承担任何责任未经甲方事前书面同意乙方不得擅自更改房屋装