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1、抛物线及其标准方程 一、三维目标（一）知识与技能（1）掌握抛物线的定义、几何图形（2）会推导抛物线的标准方程（3）能够利用给定条件求抛物线的标准方程（二）过程与方法 通过“观察”、“思考”、“探究”与“合作交流”等一系列数学活动，培养学生观察、类比、分析、概括的能力以及逻辑思维的能力，使学生学会数学思考与推理，学会反思与感悟，形成良好的数学观。并进一步感受坐标法及数形结合的思想。（三）情感态度与价值观 进一步培养学生合作、交流的能力和团队精神，培养学生实事求是、善于观察、勇于探索、严密细致的科学态度；激发学生积极主动地参与数学学习活动，养成良好的学习习惯；同时通过欣赏生活中一些抛物线型建筑，不
2、但加强了学生对抛物线的感性认识，而且使学生受到美的享受，陶冶了情操。二、教学重点 抛物线的定义及标准方程 三、教学难点 抛物线定义的形成过程及抛物线标准方程的推导（关键是坐标系方案的选择）四、教学过程 1.课题引入 在初中，我们学习了二次函数2yaxbxc，知道二次函数的图象是一条抛物线，例如：（1）24yx，（2）24yx 的图象（展示两个函数图象）：师：那么，如果问你怎么样的曲线是抛物线，你可以回答我吗？它具有怎样的几何特征？它的方程是什么呢？这就是我们今天要研究的内容。（板书课题：2.4.1 抛物线及其标准方程）2.抛物线的定义 P64 信息技术应用（课堂中几何画板演示画图过程）先看一个
3、实验：如图：点 F是定点，l是不经过点 F 的定直线，H 是l上任意一点，过点 H 作MHl，线段 FH 的垂直平分线m交 MH 于点 M。拖动点 H，观察点 M 的轨迹，你能发现点 M 满足的几何条件吗？（学生观察画图过程，并讨论）可以发现，点 M 随着 H 运动的过程中，始终有|MH|=|MF|，即点 M 与定点 F 和定直线l的距离相等。（演示）我们把平面内与一个定点 F 和一条定直线l（l不经过点 F）距离相等的点的轨迹叫做抛物线。点 F 叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线。师：对于“直线l经过点 F”的情况，我们留到习题课再讨论。3.抛物线的标准方程 从抛物线的定义中我们知道，
4、抛物线上的点M满足到焦点 F 的距离与到准线l的距离相等。那么动点M的轨迹方程是什么，即抛物线的方程是什么呢？要求抛物线的方程，必须先建立直角坐标系。探讨建立平面直角坐标系的方案（演示学生最可能想到的三种建系方案）1 2 3 方案（一）方案（二）方案（三）问题：哪种方案的方程更简单呢？按照方案三的建系方式推导抛物线方程直接演示方案一和二对应的方程，由学生观察对比得出方案三的方程最简单，方案一二的方程推导可以留作课后思考问题。1 2 3 222(0)ypxpp 222(0)ypxpp 22(0)ypx p 注意：1.标准方程必须出来。2.若出现比较复杂建系方案，可以以引入的字母参数较多为由，先排
5、除计算 3.强调 P 的意义。4.教师说明曲线方程与方程的曲线：从上述过程可以看到，抛物线上任意一点的坐标都满足方程，以方程的解,x y为坐标的点到抛物线的焦点的距离与到准线的距离相等，即方程的解为坐标的点都在抛物线上。所以这些方程都是抛物线的方程（选择标准方程）师：我们把方程22(0)ypx p叫做抛物线的标准方程，它表示的抛物线的焦点坐标是,02p，准线方程是2px 。（演示）师：上面我们主要研究了抛物线开口向右的情况，那么如果它的开口方向是向左、向上或者条件求抛物线的标准方程二过程与方法通过观察思考探究与合作交流等一系列数学活动培养学生观察类比分析概括的能力以及逻辑思维的能力使学生学会数
6、学思考与推理学会反思与感悟形成良好的数学观并进一步感受坐标法及数形严密细致的科学态度激发学生积极主动地参与数学学习活动养成良好的学习习惯同时通过欣生活中一些抛物线型建筑不但加强了学生对抛物线的感性认识而且使学生受到美的享受陶冶了情操二教学重点抛物线的定义及标准方程三教数的图象是一条抛物线例在初中我们学习了二次函数的图象展示两个函数图象如师那么如果问你怎么样的曲线是抛物线你可以回答我吗它具有怎样的几何特征它的方程是什么呢这就是我们今天要研究的内容板书课题抛物线及其标准向下，其对应的方程又如何了呢？（演示下列表格的第一列和第一行）图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 )0(22ppxy)0,2(p
7、2px )0(22ppxy)0,2(p 2px )0(22ppyx)2,0(p 2py )0(22ppyx)2,0(p 2py （学生完成第二行，教师巡视个别辅导。类比椭圆第二种标准方程的推导完成第三和第四行。）对表格的说明：统观四种情况（学生记忆）（1）(0)p p 表示焦点 F 到准线l的距离；（2）抛物线标准方程，左边为二次，右边为一次。若一次项是 x，则对称轴为 x 轴，焦点在 x 轴上；若一次项是 y，则对称轴为 y 轴，焦点在 y 轴上；（对称轴看一次项）（3）标准方程中一次项前面的系数为正数，则开口方向坐标轴正方向；若一次项前面的系数为负数，则开口方向为坐标轴负方向；（符号决定开
8、口方向）4.例题讲解 例 1（1）已知抛物线的标准方程是26yx，求它的焦点坐标和准线方程 （2）已知抛物线的焦点是 0,2F，求它的标准方程。分析（1）先看清一次项，判定对称轴与焦点所在位置，画草图，再求出 p 的值得到焦点坐标和准线方程。（2）先判定出焦点在 y 轴上，从而得到一次项为 y，再求出 p 的值进而写出方程。解：（1）因为3p，所以抛物线的焦点坐标为3,02，准线方程为32x （2）因为抛物线的焦点在 y 轴上，所以抛物线方程为28xy。随堂练习 1P67 练习 1 条件求抛物线的标准方程二过程与方法通过观察思考探究与合作交流等一系列数学活动培养学生观察类比分析概括的能力以及逻
9、辑思维的能力使学生学会数学思考与推理学会反思与感悟形成良好的数学观并进一步感受坐标法及数形严密细致的科学态度激发学生积极主动地参与数学学习活动养成良好的学习习惯同时通过欣生活中一些抛物线型建筑不但加强了学生对抛物线的感性认识而且使学生受到美的享受陶冶了情操二教学重点抛物线的定义及标准方程三教数的图象是一条抛物线例在初中我们学习了二次函数的图象展示两个函数图象如师那么如果问你怎么样的曲线是抛物线你可以回答我吗它具有怎样的几何特征它的方程是什么呢这就是我们今天要研究的内容板书课题抛物线及其标准1 根据下列条件写出抛物线的标准方程：(1)焦点是 30F，（2）准线方程是14x （3）焦点到准线的距离
10、是 2 随堂练习 2P67 练习 2 （时间有多于则完成）5.课堂小结 让学生回忆并小结、提炼本节课学习内容：1、抛物线的定义 2、抛物线的标准方程有四种不同的形式 3、p 的几何意义是:焦点到准线的距离 4、标准方程中 p 前面的正负号决定抛物线的开口方向 6.作业布置（1）必做题 P73 A 组 1，2，3（2）选做题 P74 B 组 1 7.板书设计 投影屏幕 2.4.1 抛物线及其标准方程 一、抛物线的定义 二、抛物线的标准方程 例题及练习 五、后记 条件求抛物线的标准方程二过程与方法通过观察思考探究与合作交流等一系列数学活动培养学生观察类比分析概括的能力以及逻辑思维的能力使学生学会数学思考与推理学会反思与感悟形成良好的数学观并进一步感受坐标法及数形严密细致的科学态度激发学生积极主动地参与数学学习活动养成良好的学习习惯同时通过欣生活中一些抛物线型建筑不但加强了学生对抛物线的感性认识而且使学生受到美的享受陶冶了情操二教学重点抛物线的定义及标准方程三教数的图象是一条抛物线例在初中我们学习了二次函数的图象展示两个函数图象如师那么如果问你怎么样的曲线是抛物线你可以回答我吗它具有怎样的几何特征它的方程是什么呢这就是我们今天要研究的内容板书课题抛物线及其标准