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1、2021届湖南省长郡 雅礼 一中 附中四校高考数学联考试卷（文科）（九）一、单 选 题（本大题共12小题，共 60.0分）1 .己知集合4 =x|x =3 n+2,ne N,B=6,8,1 0,1 2,1 4 ,则集合4n B中元素的个数为（）A.5 B.4 C.3 D.22.已知i 为虚数单位，复数z 满足z =（l +2i）（2 i）,则z 的共轨复数之=（）A.4-3 i B.4 +3 i C.3 +4 i D.3 -4 i3 .若 实 数 区，回 满 足 冈，则 国 关 于 国 的函数的图象形状大致是（）A.A B.BC.C D.D4 .已知函数/（%）=（x 6）3 c os 3 X
2、（3 0）,若存在a R,使得/（%+a）为奇函数，则3的值可能为（）AA.工12 R-3c -D -5.自然数列按如图规律排列，若201 3 在第7 7 1 行第九个数，则=()13 24 5 61 09 8 71 1 1 2 1 3 1 4 1 56.投掷一枚正方体骰子（六个面上分别标有1,2,3,4,5,6）,向上的面上的数字记为a,又几（4）表示集合的元素个数，A =x|%2+a x +3|=l,x e R ,贝!TI（A）=4 的概率为（）7 .今有一组数据如表所示:X12345y356.999.011 1下列函数模型中，能最接近地表示这组数据满足规律的是()A.y =2*+1 B.
3、y =l og2(x +7)C.y=x2 x+3 D.y=2 x+18.在样本的频率分布直方图中，共有1 1 个小长方形，若中间一个长方形的面积等于其他1 0个小长方形面积和的去,且样本容量为1 60,则中间一组的频数为()A.3 2 B,0.2 C.4 0 D,0.259.8.下列命题为真命题的是A.已 知&b w R,贝”是且”的充分不必要条件abB.已知数列2)为等比数列，则“人%是“烧,”的既不充分也不必要条件C.已知两个平面3,3，若两条异面直线?，落满足咫1 Z G,不U#且?/P,n/G C,则cc/PD.三七 e (-x,O),使3 *，4 *-成立i o.已知函数的?喻在R上
4、可导，且戴r 蝴=短 年 细 行 帧，则 邮 城 与 鲫 筑 的 大 小 关 系 是()A./(-1)=B./(-I)/(1)D.不能确定1 1 .己知等 04 B 中川=|OB|=，且|瓦？+加 2 等 荏 I，那么办函的取值围是)A.-2,4)B.(-2,4)C.(-4,2)D.(-4,21 2.下列函数中最小正周期是兀且图象关于点得,0)成中心对称的一个函数是()A.y =s i nG +?)B.y =c os(2x-勺Z o5C.y=c os(2x -)D.y =Si n(2x -g)o o二、单空题(本大题共2 小题，共 1 0.0分)1 3 .动点举到点,嘱J 磁的距离与它到直线其
5、续誓=胡的距离相等，则点孽的轨迹方程为_。14 .已知平面内有一条线段A B,|4 B|=4,动点P 满足|P A|-|P B|=3,0 为A B 的中点，则|0P|的最小值为.三、多空题(本大题共2 小题，共 10.0分)15.在等比数列 即 中，若 即=1,a4=4,则公比q=；+a2-I-F an=.216.若正方体外接球的体积是 乃，则正方体的棱长等于_(1)_；该正方体内切球的表面积为_(2)_.四、解答题(本大题共7 小题，共 82.0分)17.己知定义在R上的函数f。)和数列 a.满足下列条件Q=Q，=/(n 1)(几=2,3,4,.)，Q H U，2 9f(.On)/(n-i)
6、=k(c1n-an_i)(n=2,3,4,.),其中a为常数，k为非零常数，令%=an+1-an(n G/V+)(1)证明数列,是等比数列(2)求数列%的通项公式18.如图，矩形4BCD中，AB=2,BC=1,E为CC的中点，把ADE沿4E翻折，使得平面ADE _L 平面4BCE.(1)求证：AD 1 BE；(2)在C。上确定一点F,使4。平面BEF；(3)求四棱锥F-ABCE的体积.19.某学校研究性学习小组调查学生使用智能手机对学习成绩的影响，询问了30名同学，得到如下的2 x 2列联表：使用智能手机不使用智能手机总计学习成绩优秀4812学习成绩不优秀16218总计201030(I)根据以
7、上2 X 2列联表判断，能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为使用智能手机对学习成绩有影响？(n)从使用学习成绩优秀的12 名同学中，随机抽取2 名同学，求抽到不使用智能手机的人数X的分布列及数学期望.智能手机的2 0名同学中，按分层抽样的方法选出5 名同学，求所抽取的5 名同学中“学习成绩优秀”和“学习成绩不优秀”的人数;(H I)从问题(口)中倍抽取的5 名同学，再随机抽取3 名同学，试求抽取3 名同学中恰有2 名同学为“学习成绩不优秀”的概率.参考公式:其 中=a+b+c+d参考数据:2 _ n(a d-b c)z(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K f c0)0.05
8、0,.02 50.0100.0050.0013.8 4 15.02 46.6 3 57.8 7 910.8 2 82 0.已知函数/0)=。%4 +8%2+(；的图象经过点(0,1),且在x =1处的切线方程是y =x-2.(1)求函数/(x)的解析式；(2)求函数/)的单调递增区间.2 1.已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为上其中一个顶点是抛物线/=_ 4 四 的 焦点.(1)求椭圆C 的标准方程；(H)是否存在过点P(2,l)的直线2 与椭圆C 交于不同的两点4 B 满 足 司 同=|,若 存 在，求出直线，的方程；若不存在，请说明理由.(x=3 -t2 2 .在平面直角坐
9、标系x O y 中，直线2 的参数方程为1 2 。为参数).在极坐标系(与直角坐标(y =+系x O y 取相同的单位长度，且以原点0 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为p =2 代 s i n。.(I)求圆C 的直角坐标方程；(H)设圆C 与直线，交于2,B 两点，若点P 坐标为(3,6)，求|P*,|P 8|的值.2 3 .设函数f(%)=x2-a(lnx+1).(1)求/(X)的单调区间；(2)当a 0时，若 对 任 意 的(l,e),都有求实数a的取值范围.(3)证明不等式 1+之 +；.2.答案:A解析：解：z=(l+2 i)(2-i)=2-i +4 i-2t2=4 +
10、3i,z=4 3i故选：A.利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共加复数的概念得答案.本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题.3.答案：B解析：试题分析：由 等 式 冈，可 得 区，根据指数函数S的图像可知(或者根据函数的奇偶性、单调性、特殊值来判断)，正确答案为B.考点：1.对数式与指数式的互化；2.指数函数图像、奇偶性、单调性.4.答案：B解析：解：根据题意，函数/(x)=(x-6尸cossx,/(%+a)=(x-6+a)3cosw(x+a),若存在a e R,使得/(x+a)为奇函数，必有a=6,则/(久 +a)=f(x +6)=x3cosa)(x+6),必有6O)
11、=/OT,则3 =竺，(k e Z)当k=2时,a)=p 4CD都不能满足k e Z；故选：B.根据题意，由函数的解析式可得/(%+Q)=(X-6+Q)3cos3。+Q),由奇函数的性质分析可得Q=6,进而可得63=则3=据此分析选项可得答案.O本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及三角函数的恒等变形，属于基础题.5.答案：B解析：本题考查的知识点是归纳推理，解答的关键是根据给出的表，找出规律，再由规律解决问题，是简单题.这个图可以看出，第律行最大的数为竺罗，奇数行从左往右增大，偶数行从右往左增大，所以第62行最大的一个数是1 9 5 3,而从1953再向后数60就是2 0 1 3,所以20
12、13在第63行，左起第60个数.进而得到答案.解：观察可得第n行最大的数为”罗，奇数行从左往右增大，偶数行从右往左增大，因为第62行最大的第一个数是：62 X(62+1)+2=1953,而2013-1953=60 63,所以数字2013是第63行左起第60个数，即m=63,n=60,痂巴_ 60 _ 20义m-63-217故选B.6.答案：B解析：解析：由九(4)=4知，函数y=|/+Q%+3|和y=1的图象有四个交点，所以丁 =%2+。+3的最小值工二日一1,所以a的取值是5,6.4又因为a的取值可能是6种，故概率是：=故选：B.由n(A)=4可得y=x2+ax+3的最小值又二处 1,a的取
13、值是5或6.再根据a的取值可能是6种，4从而求得n(A)=4的概率.本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，古典概率及其计算公式，属于基础题.7.答案：D解析：解：随着自变量每增加1函数值大约增加2,函数值的增量几乎是均匀的，故一次函数最接近地表示这组数据满足的规律.故选：D.利用表格中的自变量与函数值的对应关系，发现自变量增加一个单位，函数值几乎是均匀增加的，可以确定该函数模型最接近一次函数模型本题考查给出函数关系的表格法，通过表格可以很清楚地发现函数值随着自变量的变化而变化的规律.从而确定出该函数的类型8.答案：A解析：设中间的长方形面积为x，则其他的1 0个小长方形的面积为4 x,所以可
14、得x+4 x=1,得=0.2；又因为样本容量为1 6 0,所以中间一组的频数为1 6 0 x 0.2 =3 2,故选49.答案：C解析:选项N 中，4-2=+2=0+以.4 0 =/0且b 0的必要不ab ab ab充分条件，所 以/错；选项3中，由得“1 或 ：,，可以推出但若则该 0 g 1数列有可能是摆动的等比数列，如：1,1,1,-1,1,-1 “，此时推不出外%生，所以3错；选项。中，当/(1)=1 3X 4XS 所以。错.故答案为C.1 0 .答 案:c解析：试题分析：施 蝴=点 四 球 课二用i M i=鳏T怖 二 御1 1=编 髯 螂 制:产 御=?-卑”,就0 =含 演 4
15、=5二/i ffiq 丫 m#,*,y 彳 y 心 彳 y 血(#考点：函数求导数点评：要比较函数值大小首先要求出解析式中的贾期I转化为求函数导数消j礴11.答案：A解析：解：由题等腰0 4 B|tM =|0 B =2,可得(市+话)2 2*砺 一 初)2,VOA-OB 4.综可得，一 24函 而 4根据成 0B=OA-OB-OS/.AOB=2-cosAOB 4 c zO=4,故选：由题意得,?+丽)2 2家 方-戏)2 化简可得亚 布 2 -2.再据而 丽=OA-OB-sAOB 4,从而求得函.而取值范围.本题主要考查两个向量的加减法的则，以及其几意义，个数量的算，于基础题.12.答案：C解
16、析：解：丫 =5 也6+的周期7=孚=4%故可排除A；同理可排除B：对于C,y=/(X)=c o s(2%-g),/($=c o s(2 X g -=c o s =0,/(x)=c o s(2 x 的图象关于点G，0)成中心对称，故 C符合题意；o3对于D,y=/(x)=s i n(2 x -g),/(j)=s i n(2 x j -J)=s i n =1 0,故。不符,舍去.故选C.利用周期公式可排除4,B,再利用“图象关于点,0)成中心对称”即可得答案.本题考查三角函数的周期性及其求法，考查余弦函数的对称性，属于中档题.13.答案：靖=落图解析：试题分析：由已知动点隼到点,等薮j 的距离与
17、它到直线扁由鬟=领的距离相等，结合抛物线定义可知动点1P的轨迹是以.等顺为焦点，以碎魔=电为准线的抛物线二号=交 笔=缩 抛 物 线方程为/=魏S；考点：抛物线定义点评：已知条件中动点隼满足抛物线定义：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离14.答案：|解析：解：.动点P满足|P*一|PB|=3 4 =4B|,.点 P在双曲线任 一 尤=1的右支上.9 7.|0 P|的最小值为a=|.故答案为：|.动点P满足|尸川-|PB|=3 an+i=f(.an)/,(On)-fi.n-1)=n-i)(=2,3,4,.),an+l an 卜(%1 an-l)-bn=an+1-an(n&/V+),hn=k
18、bn-(n 2,n e N+),k为非零常数.b=a2 H 0,Q W a2，数列%是等比数列，首项为的)-a,公比为k(k*0).(2)解:由(1)可得：%=/(%)-人.解析：(1)由厮=f(an_D(n=2,3,4,.),ar a2,an+1=f(O n),可得f(%)-f&-力=-an-i)(n=2,3,4,.),即时+i-%,=fc(an-5-1)把 瓦=an+i-an(.n N+)代入即可证明结论.(2)由(1)利用等比数列的通项公式即可得出必.本题考查了等差数列与等比数列的通项公式求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.18.答案：（1）证明：.平面4DE
19、J_平面4BCE,平面ADE n平面4BCE=AE,又由已知可得4E=BE=鱼，AB=2,：.B E L A E,则BE _L平面DAE,v AD u 平面DAE,BE 1 AD,故 AO I BE：（2）连接AC交8E于G,则 署=器=3在线段CD上取CD的三等分点F（靠近C）,连接F G,则第=*=：,可得ADFG,U O xi J而4。C平面BEF,FG u 平面B E F,则4D平面BEF；（3）取4E中点0,连接O。，则DO1AE,又平面ADE 1平面A B C E,且平面ADE n平面ABCE=AE,D。_L平面A B C E,在RtaADE 中，可得。0=乌2 F为CD的三等分点
20、户（靠近C）,F到平面ABCE的距离为工x立=23 2 6可得四棱锥F-ABCE的体积为2 x 工(1+2)x 2 x 避=涯.解析：(1)由平面与平面垂直的性质结合已知可得BE _L平面ZM E,进一步得到4D 1B E；(2)连接4c交BE于G,在线段CD上取CO的三等分点F(靠近C),可得4 D/F G,再由直线与平面平行的判定可得40平面BEF；取 AE中点。，连接D。，则DO_LAE,证得。J_平面ABCE,求出D。，可得F到平面4BCE的距离，再由棱锥体积公式求四棱锥尸-4BCE的体积.本题考查直线与平面平行、垂直的判定与性质，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力,是中档题
21、.19.答案：解:(I)由列联表可得K 2=n(ad-bc)2 _ 3 0 x(4 x 2-8 x i6)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)12x18x20 x10=10 7,879,所以能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为使用智能手机对学习成绩有影响;(口)根据题意，所抽取的5名同学中“学习成绩优秀”有1名同学，”学习成绩不优秀”有4名同学;(皿)学习成绩不优秀的4名同学分别记为4,B,C,D；“学习成绩优秀”有1名同学记为E；则再从中随机抽取3人构成的所有基本事件为：(4B,C),(4B,D),(A,C,D),(4&E),(4D,E)，(B C D),(B,C,E),(B,
22、D,E),(C,D,E)共有 10种;抽取3人中恰有2名同学为“学习成绩不优秀”所含基本事件为：(4 S E),(4C,E),(4D,E),(B,C,E),(B,D,E),(C,D,E)共有6种，故所求的概率值为P=|.解析：(I)由列联表计算观测值，对照临界值得出统计结论；(H)利用分层抽样原理求得抽取的“学习成绩优秀”和“学习成绩不优秀”的同学人数;(in)利用列举法计算基本事件数，求对应的概率值即可.本题考查了独立性检验与古典概型的概率计算问题，是基础题.20.答 案:解：(1)根据题意,/(X)=ax4+bx2+c的图象经过点(0,1),则c=l.又/(X)=4ax3 +2 bx,所以
23、/(l)=4a+2b=1.易知切点为(1,1),所以a+b+c=1,所以a=|,=-p故/O)=jx4-|x2+1.(2)/,(x)=10 x3 9 x.由1 0/一9%0,解得一纪更%里四，10 10所以f(x)的单调递增区间为(一 察,0),(邛?+8).解析：(1)根据题意，将(0,1)代入函数的解析式可得c=1,对其求导可得/(x)=4ax3+2 bx,将x=1代入r(x)可得(1)的值，即可得切线的斜率，求出切点的坐标，由直线的点斜式方程计算可得答案；(2)由(1)的结论，对其求导可得/(X)=1 0/-9x,令1 0/一 9 x 0,解可得x的取值范围，由导数与函数单调性的关系分析
24、可得答案.本题考查利用导数分析函数的单调性和切线方程，注意正确计算函数的导数.21.答案：解：(/)设椭圆的标准方程为2+2=l(a b 0)，则 椭圆C的离心率为去 其中一个顶点是抛物线产=-4 g y 的焦点，b=V3,-1 c2=a2 b2 a=2,c=1,二椭圆的标准方程为兰+日=1;4 3()若存在过点P(2,l)的直线/满足条件，则，的斜率存在设方程为y=k(x-2)+l,代入椭圆方程，可得(3+4 k 2)x 2-8 k(2 k-l)x +1 6/c 2-i6 k-8 =0设4(%1，y。，8(%2，丫 2)，则由=32(6k+3)0,可得日 Y a Y 8k(2k-l)16k2
25、-1 6 k-8H/l +X2 _ 3 +4 k2，Xl%2-3+:：PA-PB=-4Q i-2)(X2-2)+(yx-l)(y2-1)=;%ix2-4(%i+x2)+4(1+/c2)=、竺 上 笠 一4 吟 富+4(1+1)=三L 3+4k2 3+4/C2 八 J 44k2+4 5:.-=3+4-4v/O-1,：.k =1存在过点P(2,l)的直线/与椭圆C交于不同的两点4,B满 足 万 两=：,其方程为y=解析：(/)设出椭圆方程，利用椭圆C的离心率为点 其中一个顶点是抛物线/=-4 g y 的焦点，求出几何量，即可得出椭圆的标准方程；()设出直线方程，代入桶圆方程，利用韦达定理，结合向量
26、知识，即可求得结论.22.答案：(I).p=2 述 sin。,p2=2遍 psin。，所以，圆C的直角坐标方程为/+y2 _ 2 岳 y=o,即/+(y-V5)2=5,(U)将直线，的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得(3-当 t)2+咨 t)2=5，即产一3近 t+4=0,解得t=V 2,或亡=2A/2代入直缴的参数方程得，；：3+1 端:t+2所以4,B的坐标为(2,通+1),(1,75+2),点P坐标为(3,而)，PA PB=J(3-2)2+(V 5-V 5-l)2-J(3-+(遮一遮一 2尸=4解析：(/)圆C的极坐标方程两边同乘p,根据极坐标公式进行化简就可求出直角坐标方程，最后再利
27、用三角函数公式化成参数方程；(H)将直线，的参数方程代入圆C的直角坐标方程，求出4,B点的坐标，根据两点间的距离公式计算即可.此题考查学生会将极坐标方程和参数方程分别化为直角坐标方程和普通方程，掌握直线参数方程中参数的几何意义，是一道中档题.23.答案：解：(1)函数的定义域为(0,+8),令/=2-？=0,则x=电,当a 4 0时，f(x)递增区间为(0,+8),没有递减区间；a 0 时，当x e(0,J|)时，f(x)0,所以f。)的递减区间为(0,J j),递 增 区 间 为+oo).(3分)(2)f)x)x,即%2%a(lnx+1)0,原不等式等价于a 2。对x e(1,e)恒成立，令
28、M x)=则*(X)=*：?；0对 G (l,e)恒成立，x-e时，/i(x)7 h(e)=子，故所求a的范围为a e ,+oo).(8分)(3)由(2)知不等式工2-%a(lnx 4-1)对任意的 6(l,e)和a e 卢”,+8)恒成立，则2-x 3(仇%+1)对任意的 6(l,e)恒成立，令x=牛(k e N)得：1 V T=0 T -1)3。号+1)，k=1,2,.,n,再迭加即可，得：1+3+3+“+；3 +3仇5 +1).(12 分)解析：(1)求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；22(2)问 题 等 价 于 急 对 x e (l,e)恒成立，令h(x)=急，根据函数的单调性求出a的范围即可;(3)根 据(筌-1)3(ln g i+1),累加即可证明结论.本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，考查不等式的证明，转化思想，是一道综合题.