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1、二项式定理典型例题分析 例 1 的近似值（精确到）是 分析 例 2 除以 100 的余数是 分析：转化为二项式的展开式求解 上式中只有最后两项不能被 100 整除8281 除以 100 的余数为 81，所以除以 100 的余数为 81 例 3（l）若的展开式中，的系数是的系数的 7 倍，求；（2）已知的展开式中，的系数是的系数与的系数的等差中项，求；（3）已知的展开式中，二项式系数最大的项的值等于 1120，求 解：（l）依题意，即，由可整理，得，解得.（2）依题意，整理，得 ，解得.（3）依题意，整理，得，两边取对数，得，解得或.，或.点评 的展开式及其通项公式，是，四个基本量的统一体，已知
2、与未知是相对的，运用方程的思想方法，应会求其中居于不同位置，具有不同意义的未知数 例 4 （1）已知，那么=_.（2）=_.分析 （1）令，得，而；（2）在二项展开式中，令，则左式，右式 .点评 这是一组求二项展开式的各项系数和的题目，求解的依据是 与.这两个等式都是恒等式，因此赋予字母，及以某些特定数值时，等式依然成立 例 5 （1）展开式中常数项是 （2）的展开式中的系数为 （3）展开式中，的系数等 于 分析：（1），展开式的常数项恰为中间项 （2），其展开式的系数为 本题也可把看作 5 个的因式连乘，欲得到含的项，只需在 5 个因式中送 1 个含，其余 4 个选常数 2，则它的系数是：（
3、3）所求项的系数即为展开式中含项的系数是：例 6 （1）在的展开式中，若第 3 项与第 6 项系数相等，则 （2）的展开式奇数项的二项式系数之和为 128，则展开式中二项式系数最大项是 分析：（1）由已知，所以 （2）由已知，而，展开式中二项式系数最大项是第 5 项 后两项不能被整除除以的余数为所以除以的余数为例若的展开式中的系数是的系数的倍求已知的展开式中的系数是的系数与的系数的等差中项求已知的展开式中二项式系数最大的项的值等于求解依题意即由可整理得解得依题意整理的运用方程的思想方法应会求其中居于不同位置具有不同意义的未知数例已知那么分析令得而在二项展开式中令则左式右式点评这是一组求二项展开
4、式的各项系数和的题目求解的依据是与这两个等式都是恒等式因此赋予字母及以某为中间项其展开式的系数为本题也可把看作个的因式连乘欲得到含的项只需在个因式中送个含其余个选常数则它的系数是所求项的系数即为展开式中含项的系数是例在的展开式中若第项与第项系数相等则的展开式奇数项的二项式系 例 7 已知，那么 分析 用特殊值法 令，得，令，得，例 8 的值等于（）A111105 B111111 C12345 D99999 分析 由已知式子的结构，可构造二项式 原式故选 C 后两项不能被整除除以的余数为所以除以的余数为例若的展开式中的系数是的系数的倍求已知的展开式中的系数是的系数与的系数的等差中项求已知的展开式中二项式系数最大的项的值等于求解依题意即由可整理得解得依题意整理的运用方程的思想方法应会求其中居于不同位置具有不同意义的未知数例已知那么分析令得而在二项展开式中令则左式右式点评这是一组求二项展开式的各项系数和的题目求解的依据是与这两个等式都是恒等式因此赋予字母及以某为中间项其展开式的系数为本题也可把看作个的因式连乘欲得到含的项只需在个因式中送个含其余个选常数则它的系数是所求项的系数即为展开式中含项的系数是例在的展开式中若第项与第项系数相等则的展开式奇数项的二项式系