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1、等差数列、等比数列 1.（2014 山东青岛二模）数列an为等差数列，ai,a?,免成等 比数列，a5=1,贝卩aio=_ 2.（2014 河北邯郸二模）在等差数列an中，3（as+a5）+2+aio+a13）=24,则该数列前 13 项的和是 _ 3.（2014 河北唐山一模）已知等比数列an的前n项和为S，且a1 5 5 Sn+a3=：,a2+a4=：,贝 S=_ 2 4 an 4.（2014 福建福州一模）记等比数列an的前n项积为II n，若 a4 a5=2,贝打8=_ 5.（2014 辽宁卷）设等差数列an的公差为d,若数列2a1an为 递减数列，则 _ A.d0 C.a1d0 6.
2、（2014 四川七中二模）正项等比数列an满足：a3=a2+2a1,1 4 _ .若存在am,an,使得aman=16a1,则+一的最小值为 _ m n 7.（2014 安徽卷：）数列an是等差数列,若a1+1,a3+3,a5+5 构成公比为q的等比数列，则q=_.8.（2014 河北衡水中学二模）在等比数列an中，若a7+a8+a9 是河北唐山一模已知等比数列的前项和为且贝福建福州一模记等比数列的前项积为若贝打辽宁卷设等差数列的公差为若数列为递减数列则四川七中二模正项等比数列满足若存在使得则一的最小值为安徽卷数列是等差数列若构成公比取值范围是丸其中入为常数证明是否存在使得为等差数列并说明理由
3、山东荷泽一模已知数列记若对于任意成等差数列求数列的通项公式求数列的前项和九江市七校联考已知数阵一中每行的个数依次成等差数列每列的个数也依次成等淄博一模若数列满足则称数列为平方递推数列已知数列中点在函数的图象上其中为正整数证明数列是平方递推数列且数列为等比数列设中平方递推数列的前项积为即求在的条件下记并求使的的最小值求数列的前项和高考专题训练九(2014 课标全国卷I)已知数列an的前 n项和为Sn,a1=15 9 1111+a1o=：,a8a9=匚，则+一+一+=_ 8 8 a7 a8 a9 a1o 1 9.已知an是等比数列，a2=2,as=,贝 S Sn=+a2+an 4 的取值范围是 _
4、 1,an丸）,a“an+1=X n 1,其中入为常数.(1)证明：an+2 an=X；是否存在X使得an为等差数列？并说明理由.是河北唐山一模已知等比数列的前项和为且贝福建福州一模记等比数列的前项积为若贝打辽宁卷设等差数列的公差为若数列为递减数列则四川七中二模正项等比数列满足若存在使得则一的最小值为安徽卷数列是等差数列若构成公比取值范围是丸其中入为常数证明是否存在使得为等差数列并说明理由山东荷泽一模已知数列记若对于任意成等差数列求数列的通项公式求数列的前项和九江市七校联考已知数阵一中每行的个数依次成等差数列每列的个数也依次成等淄博一模若数列满足则称数列为平方递推数列已知数列中点在函数的图象上
5、其中为正整数证明数列是平方递推数列且数列为等比数列设中平方递推数列的前项积为即求在的条件下记并求使的的最小值求数列的前项和高考专题训练九a13 I 一 a23中，每行的 a33 11.(2014 山东荷泽一模)已知数列an,ai=-5,a2=-2,记 A(n)=ai+a2+an,B(n)=a2+a3+an+1,C(n)=a3+su+an+2(n N*),若对于任意 n N*,A(n),B(n),C(n)成等差数列.(1)求数列an的通项公式；求数列|an|的前n项和.I an a12 I 1.（2014 九江市七校联考）已知数阵a21 a22-a31 a32 3 个数依次成等差数列，每列的 3
6、 个数也依次成等差数列，若a22=2,_ 则这 9 个数的和为 4 2.（2014 江苏南京一模）已知等比数列an的首项为 3，公比为是河北唐山一模已知等比数列的前项和为且贝福建福州一模记等比数列的前项积为若贝打辽宁卷设等差数列的公差为若数列为递减数列则四川七中二模正项等比数列满足若存在使得则一的最小值为安徽卷数列是等差数列若构成公比取值范围是丸其中入为常数证明是否存在使得为等差数列并说明理由山东荷泽一模已知数列记若对于任意成等差数列求数列的通项公式求数列的前项和九江市七校联考已知数阵一中每行的个数依次成等差数列每列的个数也依次成等淄博一模若数列满足则称数列为平方递推数列已知数列中点在函数的图
7、象上其中为正整数证明数列是平方递推数列且数列为等比数列设中平方递推数列的前项积为即求在的条件下记并求使的的最小值求数列的前项和高考专题训练九 3 1 1-,其前n项和为S,若A4 026 的n的最小值.是河北唐山一模已知等比数列的前项和为且贝福建福州一模记等比数列的前项积为若贝打辽宁卷设等差数列的公差为若数列为递减数列则四川七中二模正项等比数列满足若存在使得则一的最小值为安徽卷数列是等差数列若构成公比取值范围是丸其中入为常数证明是否存在使得为等差数列并说明理由山东荷泽一模已知数列记若对于任意成等差数列求数列的通项公式求数列的前项和九江市七校联考已知数阵一中每行的个数依次成等差数列每列的个数也依
8、次成等淄博一模若数列满足则称数列为平方递推数列已知数列中点在函数的图象上其中为正整数证明数列是平方递推数列且数列为等比数列设中平方递推数列的前项积为即求在的条件下记并求使的的最小值求数列的前项和高考专题训练九高考专题训练（九）等差数列、等比数列 A 级一一基础巩固组 一、选择题 1.（2014 山东青岛二模）数列an为等差数列，ai，a2，&成等 比数列，a5=1，则aio=（）A.5 B.1 C.0 D.1 a+d 2=a1 a+2d,解析设公差为d,由已知得 Ia1+4d=1,a1=1,解得 所以a1o=a1+9d=1,故选 D Id=0,答案 D 2.（2014 河北邯郸二模）在等差数列
9、an中，3（a3+aj+2 佝+a1o+a13）=24,则该数列前 13 项的和是（）是河北唐山一模已知等比数列的前项和为且贝福建福州一模记等比数列的前项积为若贝打辽宁卷设等差数列的公差为若数列为递减数列则四川七中二模正项等比数列满足若存在使得则一的最小值为安徽卷数列是等差数列若构成公比取值范围是丸其中入为常数证明是否存在使得为等差数列并说明理由山东荷泽一模已知数列记若对于任意成等差数列求数列的通项公式求数列的前项和九江市七校联考已知数阵一中每行的个数依次成等差数列每列的个数也依次成等淄博一模若数列满足则称数列为平方递推数列已知数列中点在函数的图象上其中为正整数证明数列是平方递推数列且数列为等
10、比数列设中平方递推数列的前项积为即求在的条件下记并求使的的最小值求数列的前项和高考专题训练九A.13 B.26 是河北唐山一模已知等比数列的前项和为且贝福建福州一模记等比数列的前项积为若贝打辽宁卷设等差数列的公差为若数列为递减数列则四川七中二模正项等比数列满足若存在使得则一的最小值为安徽卷数列是等差数列若构成公比取值范围是丸其中入为常数证明是否存在使得为等差数列并说明理由山东荷泽一模已知数列记若对于任意成等差数列求数列的通项公式求数列的前项和九江市七校联考已知数阵一中每行的个数依次成等差数列每列的个数也依次成等淄博一模若数列满足则称数列为平方递推数列已知数列中点在函数的图象上其中为正整数证明数
11、列是平方递推数列且数列为等比数列设中平方递推数列的前项积为即求在的条件下记并求使的的最小值求数列的前项和高考专题训练九S3=13 ai+ai3 13 a4+aio 2=26.C.2门-1 D.2n 1 C.52 D.156 解析.03+a5=2a4,a7+aio+ai3=3aio,.6a4+6ao=24,即 a4+ao=4,答案 B 3.（2014 河北唐山一模）已知等比数列an的前n项和为S,且 5 5 Sn a1+a3=,a2+a4=_,则=()2 4 an A.4n1 B.4n1 5 a1+a3=2,解析 丁 i+=5 a2+a4 L 4 是河北唐山一模已知等比数列的前项和为且贝福建福州
12、一模记等比数列的前项积为若贝打辽宁卷设等差数列的公差为若数列为递减数列则四川七中二模正项等比数列满足若存在使得则一的最小值为安徽卷数列是等差数列若构成公比取值范围是丸其中入为常数证明是否存在使得为等差数列并说明理由山东荷泽一模已知数列记若对于任意成等差数列求数列的通项公式求数列的前项和九江市七校联考已知数阵一中每行的个数依次成等差数列每列的个数也依次成等淄博一模若数列满足则称数列为平方递推数列已知数列中点在函数的图象上其中为正整数证明数列是平方递推数列且数列为等比数列设中平方递推数列的前项积为即求在的条件下记并求使的的最小值求数列的前项和高考专题训练九2n 1 选 D.f 5 ai+aiq2=
13、?，5 aiq+aiq3=一，L 4 1+q2 1 由除以可得市=2 解得q=2,代入得a1=2,-rm 2X 1 一 n/、-12丿（1/Sn=4 1 I 1 i 2n丿，1 2 1 4 1 _ Sn 2n,=an 答案 D 4.(2014 福建福州一模)记等比数列an的前n项积为II n，若 a4 a5=2,则 18=()A.256 B.81 玄=2 x 4=2n，4 是河北唐山一模已知等比数列的前项和为且贝福建福州一模记等比数列的前项积为若贝打辽宁卷设等差数列的公差为若数列为递减数列则四川七中二模正项等比数列满足若存在使得则一的最小值为安徽卷数列是等差数列若构成公比取值范围是丸其中入为常
14、数证明是否存在使得为等差数列并说明理由山东荷泽一模已知数列记若对于任意成等差数列求数列的通项公式求数列的前项和九江市七校联考已知数阵一中每行的个数依次成等差数列每列的个数也依次成等淄博一模若数列满足则称数列为平方递推数列已知数列中点在函数的图象上其中为正整数证明数列是平方递推数列且数列为等比数列设中平方递推数列的前项积为即求在的条件下记并求使的的最小值求数列的前项和高考专题训练九C.16 D.1 解析 由题意可知 a4a5=aia8=a2a7=a3a6=2,则 H 8=ai a2a3a4a5a6a7a8=a5）4=24=16.答案 C 5.（2014 辽宁卷）设等差数列an的公差为d,若数列2
15、aian为 递减数列，则（）A.d0 C.a1d0 解析 依题意得 2a1 an2a1an+1,即（2a1）an+1 an1,从而 2a1d1,所以 a1d-15+2 卞 J -1=61 弋m n丿 2 答案 D 二、填空题 7._ (2014 安徽卷擞列 an 是等差数列,若ai+1,a3+3,a5+5 构成公比为q的等比数列，则q=.解析 设等差数列的公差为d,则a3=a1+2d,a5=a1+4d,(a1+2d+3)2=(a1+1)+4d+5),解得 d=1.a3+3 a1 2+3 q=1.a1+1 a1+1 答案 1 8.(2014 河北衡水中学二模)在等比数列an中，若ay+a8+a?
16、15 9 1111 +a10=,a8 a9=，贝卩+=_.是河北唐山一模已知等比数列的前项和为且贝福建福州一模记等比数列的前项积为若贝打辽宁卷设等差数列的公差为若数列为递减数列则四川七中二模正项等比数列满足若存在使得则一的最小值为安徽卷数列是等差数列若构成公比取值范围是丸其中入为常数证明是否存在使得为等差数列并说明理由山东荷泽一模已知数列记若对于任意成等差数列求数列的通项公式求数列的前项和九江市七校联考已知数阵一中每行的个数依次成等差数列每列的个数也依次成等淄博一模若数列满足则称数列为平方递推数列已知数列中点在函数的图象上其中为正整数证明数列是平方递推数列且数列为等比数列设中平方递推数列的前项
17、积为即求在的条件下记并求使的的最小值求数列的前项和高考专题训练九8 8 a7 a8 a?a10是河北唐山一模已知等比数列的前项和为且贝福建福州一模记等比数列的前项积为若贝打辽宁卷设等差数列的公差为若数列为递减数列则四川七中二模正项等比数列满足若存在使得则一的最小值为安徽卷数列是等差数列若构成公比取值范围是丸其中入为常数证明是否存在使得为等差数列并说明理由山东荷泽一模已知数列记若对于任意成等差数列求数列的通项公式求数列的前项和九江市七校联考已知数阵一中每行的个数依次成等差数列每列的个数也依次成等淄博一模若数列满足则称数列为平方递推数列已知数列中点在函数的图象上其中为正整数证明数列是平方递推数列且
18、数列为等比数列设中平方递推数列的前项积为即求在的条件下记并求使的的最小值求数列的前项和高考专题训练九 a7 aio a7aio a8 a9 a8a9 解析 1 1 a7+aio 1 1 a8+a9 而 a8a9=a7a1o,15 111 1 a7+a8+a9+a1o 8+_+一=a7 a8 a9 a。a7a1o 9 8 答案 1 9.已知an是等比数列,a2=2,as则 4 Sn=a1+a2+an 的取值范围是 _.解析因为仙是等比数列，所以可设an=agn1.1 因为 a2=2,as=,4 I a1q=2,a1=4,所以 1 4 a1q=4 解得 是河北唐山一模已知等比数列的前项和为且贝福建
19、福州一模记等比数列的前项积为若贝打辽宁卷设等差数列的公差为若数列为递减数列则四川七中二模正项等比数列满足若存在使得则一的最小值为安徽卷数列是等差数列若构成公比取值范围是丸其中入为常数证明是否存在使得为等差数列并说明理由山东荷泽一模已知数列记若对于任意成等差数列求数列的通项公式求数列的前项和九江市七校联考已知数阵一中每行的个数依次成等差数列每列的个数也依次成等淄博一模若数列满足则称数列为平方递推数列已知数列中点在函数的图象上其中为正整数证明数列是平方递推数列且数列为等比数列设中平方递推数列的前项积为即求在的条件下记并求使的的最小值求数列的前项和高考专题训练九 门 1 因为 0 n,所以 4Sn8
20、.2 2 答案4,8)三、解答题 10.(2014 课标全国卷I)已知数列an的前n项和为Sn,ai=1,an丸，anan+1=X n-1,其中入为常数.(1)证明：an+2 an=X；(2)是否存在X使得an为等差数列？并说明理由.解 由题设，anan+1=X n 1,an+1an+2=X n+1 1.两式相减得 an+1(an+2 an)=X a+1.由于an+1丸,所以an+2 an=X(2)由题设，a1=1,a1a2=X 1 1,可得 a2=X 1.由(1)知，a3=X+1.令 2a2=a1+a3,解得 X=4.故an+2 an=4,由此可得 a2n 1是首项为 1,公差为 4 的等差
21、数列，a2n 1=4n 3;所以 Sn=+a2+an=是河北唐山一模已知等比数列的前项和为且贝福建福州一模记等比数列的前项积为若贝打辽宁卷设等差数列的公差为若数列为递减数列则四川七中二模正项等比数列满足若存在使得则一的最小值为安徽卷数列是等差数列若构成公比取值范围是丸其中入为常数证明是否存在使得为等差数列并说明理由山东荷泽一模已知数列记若对于任意成等差数列求数列的通项公式求数列的前项和九江市七校联考已知数阵一中每行的个数依次成等差数列每列的个数也依次成等淄博一模若数列满足则称数列为平方递推数列已知数列中点在函数的图象上其中为正整数证明数列是平方递推数列且数列为等比数列设中平方递推数列的前项积为
22、即求在的条件下记并求使的的最小值求数列的前项和高考专题训练九a2n是首项为 3,公差为 4 的等差数列，a2n=4n 1.所以 an=2n 1,an+1 an=2.因此存在X=4,使得数列an为等差数列.11.(2014 山东荷泽一模)已知数列an，ai=5,a2=2,记 A(n)=a1+a2+an,B(n)=a2+a3+an+1,C(n)=a3+su+an+2(n N*),若对于任意 n N*,A(n),B(n),C(n)成等差数列.(1)求数列an的通项公式；求数列|an|的前n项和.解(1)根据题意A(n),B(n),C(n)成等差数列，A(n)+C(n)=2B(n),整理得 an+2
23、an+1=a2 a=2+5=3.数列an是首项为5,公差为 3 的等差数列，an=5+3(n 1)=3n 8.3n+8,n3,记数列|an|的前n项和为Sn.n 5+8 3n 3n2 13 当 n 3.B 级 能力提高组 an a12 a13 1.（2014 九江市七校联考）已知数阵a21 a22 a23中，每行的-a31 a32 a33 3 个数依次成等差数列，每列的 3 个数也依次成等差数列，若a22-2,则这 9 个数的和为（)A.16 B.18 C.9 D.8 1 an a12 a13 解析 已知数阵a21 a22 a23中，每行的 3 个数依次成等差 -a31 a32 a33 数列，
24、每列的 3 个数也依次成等差数列，若a22=2,由等差数列的 性质得：a“+a12+a13+a21+a22+a23+a31+a32+a33=9a22=18.是河北唐山一模已知等比数列的前项和为且贝福建福州一模记等比数列的前项积为若贝打辽宁卷设等差数列的公差为若数列为递减数列则四川七中二模正项等比数列满足若存在使得则一的最小值为安徽卷数列是等差数列若构成公比取值范围是丸其中入为常数证明是否存在使得为等差数列并说明理由山东荷泽一模已知数列记若对于任意成等差数列求数列的通项公式求数列的前项和九江市七校联考已知数阵一中每行的个数依次成等差数列每列的个数也依次成等淄博一模若数列满足则称数列为平方递推数列
25、已知数列中点在函数的图象上其中为正整数证明数列是平方递推数列且数列为等比数列设中平方递推数列的前项积为即求在的条件下记并求使的的最小值求数列的前项和高考专题训练九答案 B 4 2.(2014 江苏南京一模)已知等比数列 仙的首项为一，公比为 3 1 1 3,其前n项和为$，若A S：也对n N*恒成立，则B-A的 最小值为 _ f 1、8 41 1 解析易得Sn=1 3 严9,1丿.1,3，而尸Sn-sn在 8 4 17 7 _9,3 上单调递增，所以亦，12?【A，B，因此B-A的最 7*17、59 小值为一一=12 V 72 丿 72 59 答案 72 3.(2014 山东淄博一模)若数列
26、An满足An+1=A2,则称数列 An为 平方递推数列”.已知数列an中,a1=9,点(an,a“+1)在函 数f(x)=x2+2x的图象上，其中n为正整数.(1)证明数列an+1是 平方递推数列”，且数列lg(an+1)为等比 数列;设(1)中平方递推数列”的前n项积为Tn,即Tn=(a1+1)(a2+1)-(an+1),求 IgTn;是河北唐山一模已知等比数列的前项和为且贝福建福州一模记等比数列的前项积为若贝打辽宁卷设等差数列的公差为若数列为递减数列则四川七中二模正项等比数列满足若存在使得则一的最小值为安徽卷数列是等差数列若构成公比取值范围是丸其中入为常数证明是否存在使得为等差数列并说明理
27、由山东荷泽一模已知数列记若对于任意成等差数列求数列的通项公式求数列的前项和九江市七校联考已知数阵一中每行的个数依次成等差数列每列的个数也依次成等淄博一模若数列满足则称数列为平方递推数列已知数列中点在函数的图象上其中为正整数证明数列是平方递推数列且数列为等比数列设中平方递推数列的前项积为即求在的条件下记并求使的的最小值求数列的前项和高考专题训练九IgTn 在(2)的条件下，记bn=,求数列bn的前n项和 lg an+1 S,并求使Sn4 026 的n的最小值.解(1)由题意得:a“+1=a2+2an,即 an+1+1=(an+1)2,则an+1是平方递推数列”.对 an+1+1=(cln+1)2
28、 两边取对数得 lg(an+1+1)=2lg(an+1),w 所以数列lg(an+1)是以 Ig(a1+1)为首项，2 为公比的等比数 列.(2)由(1)知 lg(an+1)=lg(a1+1)2=2n-1 lg Tn=lg(a1+1)(a2+1)(an+1)=lg(a1+1)+lg(a2+1)+1-1-2n 是河北唐山一模已知等比数列的前项和为且贝福建福州一模记等比数列的前项积为若贝打辽宁卷设等差数列的公差为若数列为递减数列则四川七中二模正项等比数列满足若存在使得则一的最小值为安徽卷数列是等差数列若构成公比取值范围是丸其中入为常数证明是否存在使得为等差数列并说明理由山东荷泽一模已知数列记若对于
29、任意成等差数列求数列的通项公式求数列的前项和九江市七校联考已知数阵一中每行的个数依次成等差数列每列的个数也依次成等淄博一模若数列满足则称数列为平方递推数列已知数列中点在函数的图象上其中为正整数证明数列是平方递推数列且数列为等比数列设中平方递推数列的前项积为即求在的条件下记并求使的的最小值求数列的前项和高考专题训练九lg(a n+1)=1-2=2n 1 bn=lg lgTn an+1 2n 1(1 -=2 n1 2n 1 2 Sn=2n 1 1 _ 2 2n 2+1 1 又 Sn4 026,即 2n 2+不4 026,n+巧2 014 1 又 02n1，所以 nmin=2 014.是河北唐山一模已知等比数列的前项和为且贝福建福州一模记等比数列的前项积为若贝打辽宁卷设等差数列的公差为若数列为递减数列则四川七中二模正项等比数列满足若存在使得则一的最小值为安徽卷数列是等差数列若构成公比取值范围是丸其中入为常数证明是否存在使得为等差数列并说明理由山东荷泽一模已知数列记若对于任意成等差数列求数列的通项公式求数列的前项和九江市七校联考已知数阵一中每行的个数依次成等差数列每列的个数也依次成等淄博一模若数列满足则称数列为平方递推数列已知数列中点在函数的图象上其中为正整数证明数列是平方递推数列且数列为等比数列设中平方递推数列的前项积为即求在的条件下记并求使的的最小值求数列的前项和高考专题训练九