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1、抛物线中的定值、定点问题 例 1 过抛物线)0(22ppxy的焦点的一条直线和此抛物线交于),(11yxA，),(22yxB两点，求证：221pyy.【规范解答】证法一：因直线AB过焦点)0,2(pF，可设其方程为2pmyx，代入pxy22 得)2(22pmypy，即.0222ppmyy该方程的两根就2pmyx是两个交点BA,的纵坐标21,yy，由韦达定理：221pyy.证法二：因BA,在抛物线上，故可设).,2(),2(222121ypyBypyA 又)0,2(pF，故),22(121yppyFA),22(222yppyFB因BFA,三点共线，所以 122221)22()22(yppyypp
2、y 移项分解因式得：0)(21221yypyy，其中,21yy 故221pyy.证法三：如图 1，过点FBA,分别作准线的垂线，垂足为.,111FBA要证明221pyy，只要证明.211111FFFBFA 21,1AAAF；同理.43而011180BFBAFA（AA1BB1），故 01804321，所以.9031001190 FBA.由直角三角形的性质得：.211111FFFBFA【回顾】（1）从解题方法来看，对于直线与圆锥曲线相交的问题，一般有“设线”（证法一）和“设点”（证法二）两种选择，但也可考虑通过定义用“几何方法”来解答（证法三）（特别是与焦点有关的问题）；（2）从解题细节来看，证法
3、一选择设直线方程为2pmyx而非)2(pxky，为什么首先，这样代入可消去x直达目标221pyy，运算便捷；其次，本题中直线可能与y轴平行而斜率不存在，但不可能与y轴垂直，设2pmyx省去了讨论的麻烦；证法二中用向量表达三点共线而没有使用斜率也有同样的考虑；（3）从知识内容来看，抛物线的方程和定义是解题的依据，韦达定理及三角形和向量的有关知识是解析几何的常用工具，而所证明的结论表明：对于抛物线而言，虽然过焦点的弦有无数条，但每一条焦点弦的两端到对称轴的距离之积总等于.2p“寓定于变”展示了几何图形的美妙和谐！借题发挥 在证法一中若改变 AB直线的预设并在联立方程中消去 y 后,观察21,xx之
4、积得：变式 1 条件同例 1，则4221pxx=定值。以AB为直径作圆，考察该圆与准线的位置关系得：变式 2 条件同例 1，则以AB为直径的圆与准线相切。设直线AB的倾斜角为，计算AB弦长得:变式 3 条件同例 1，设直线AB的倾斜角为，则2sin2|pAB.（由此立刻得到：当090时焦点弦最短，,2minpAB我们称这条弦为通径）在变式 2中,计算AOBS得:变式 4 条件如变式 3，则AOBS.sin22p.提示：给出倾斜角为，意味着斜率tank（先验证090时pAB2），设直线AB的方程为)2(pxky代 入pxy22可 得21xx，由 于AB过 焦 点，依 据 抛 物 线 的 定 义
5、可 得 焦 点 弦pxxAB21，代入后化简可得结论.同学们也可以尝试在图 1 中用几何方法证明.结合抛物线定义与韦达定理,研究AF、BF例数之和得：变式 5 条件同例 1，求证：|1|1BFAF为定值p2.将结论视作条件，逆向变式得：变式 6 一条直线与抛物线)0(22ppxy交于),(11yxA，),(22yxB两点，满足：221pyy(或设其方程为代入得即该方程的两根就是两个交点的纵坐标由韦达定理证法二因在抛物线上故可设又故因三点共线所以移项分解因式得其中故证法三如图过点分别作准线的垂线垂足为要证明只要证明同理而故所以由直角三角形的性质定义用几何方法来解答证法三特别是与焦点有关的问题从解
6、题细节来看证法一选择设直线方程为而非为什么首先这样代入可消去直达目标运算便捷其次本题中直线可能与轴平行而斜率不存在但不可能与轴垂直设省去了讨论的麻烦证达定理及三角形和向量的有关知识是解析几何的常用工具而所证明的结论表明对于抛物线而言虽然过焦点的弦有无数条但每一条焦点弦的两端到对称轴的距离之积总等于寓定于变展了几何图形的美妙和谐借题发挥在证法一中若改变4221pxx)，则这条直线过此抛物线的焦点.我们可以把上面的变式归纳如下：方法点拨 抛物线焦点弦的两端点的横（纵）坐标之积为定值是一个经典结论，若增设已知条件、改变设问方式、变换研究问题视角包括逆向考虑可得很多优美结论.小结论 通径公式：2sin
7、2|pAB 变式 7 一条直线与抛物线)0(22ppxy交于),(11yxA，),(22yxB两点，满足：0 OBOA，则这条直线过定点.变式 8 一条直线与抛物线)0(22ppxy交于),(11yxA，),(22yxB两点，满足：2 OBOA，则这条直线过定点.设其方程为代入得即该方程的两根就是两个交点的纵坐标由韦达定理证法二因在抛物线上故可设又故因三点共线所以移项分解因式得其中故证法三如图过点分别作准线的垂线垂足为要证明只要证明同理而故所以由直角三角形的性质定义用几何方法来解答证法三特别是与焦点有关的问题从解题细节来看证法一选择设直线方程为而非为什么首先这样代入可消去直达目标运算便捷其次本题中直线可能与轴平行而斜率不存在但不可能与轴垂直设省去了讨论的麻烦证达定理及三角形和向量的有关知识是解析几何的常用工具而所证明的结论表明对于抛物线而言虽然过焦点的弦有无数条但每一条焦点弦的两端到对称轴的距离之积总等于寓定于变展了几何图形的美妙和谐借题发挥在证法一中若改变