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1、 对弧长的曲线积分 2 2 ，其中曲线 C 是 y 2ax x 2 在 0 x 2a 的一段弧 a 0 、计算 x y ds 。1 C 解：C 的参数方程为 x 2a cos2 0 y 2a cos sin 2 02 2a cos 2 2 02 4a2 cos 4a2 原式 2a sin 2 2a cos2 d 4 4 2、计算 x 3 y3 ds，其 中 L 星 形 线 x a cos3 t,y a sin3 t 在 第 一 象 限 的 弧 L 0 t。2 4 cos4 t sin4 t 7 sin6 t cos6 t 2 7 解：原式 2 a3 3a cost sin tdt 3a 3 a
2、3 0 6 0 3、计算 xyzds，其中 为折线 ABC，这里 A,B,C 依次为点 0,0,0,1,2,3,1,4,3。x t x 1 解：AB 段参数方程 y 2t 0 t 1，BC 段参数方程 y 2 2t 0 t 1 z 3t z 3 xyzds xyzds 1 6 14t 3dt 1 12t dt 原式 012 AB BC 0 3 1 1 3 14t 4 12t 6t2 14 18 0 2 0 2 4、计算 x2 y2 ds，其中 为螺旋线 x t cost,y t sin t,z t 上相应于 t 从 0 到 1 的弧。解：方法一 1 2 2 1 原式 t2 sin t t co
3、st t 2 2 t 2 dt cost t sin t 1dt 0 0 1 1 2 2 1 2 1 t 2 t 2 t dt t 2 t 2 t 2 2 0 2 0 1 2 1 t 2 2 2 t 2 dt 2 t 0 2 t 2 3 3 1 2 2 t 2 dt 1 2 t 2 dt 2 t 0 0 3 3 1 1 3 3 1 1 1 原式 2 t 2 dt 2 ln t 2 t 2 4 2 4 2 t 2 t 0 2 0 3 1ln 1 2 3 2 2 方法二、原式 1 2 cost 2 sin t t cost 2 1 2 2 t 2 dt t t sin t 1dt t 0 1 1
4、t 2 2 t 2 1 1 1 2 2t dt u 2 u du 0 2 0 2 1 u 2 1 1 1 2 0 2 du u 1 1 0 1 2 u 1 1du 0 1 1 u 1 2 u 1 1 2 0 1 2 1 2 1 u 1 1du 0 2 1 0 1 du 2 u 1 1 1 1 2 1 2 1 3 u 1du ln u 1 u 1 1 1 2 0 2 0 3 1 1 u 2 1du 1 ln 2 3 1 2 0 2 原式 3 1 2 3 2 ln 4 方法三、1 2 2 1 原式 t2 sin t 1dt t 2 2 t 2 dt 0 cost t sin t t cost 0
5、因为 t 3 2 t 2 3 t 2 2 t2 t4 4 2t 2 2t 2 t 2 2 t 2 1 t 2 4 4 2 t 2 2 2 t 2 t 2 t 2 t2 t2 2 t 2 2t 2 t 2 2 t 2 2 2 2 ln t 2 t2 t 1 t 2 1 2 t 1 t 2 2 t 2 2 所以 t 3 2 t 2 1 2 1 ln t 2 t 2 t 2 2 t 2 4 t 2 t 2 4 中为折线这里依次为点解段参数方程段参数方程原式计算其中为螺旋线上相应于从到的弧解方法一原式原式方法二原式原式方法三原式因为所以其中原式计算解曲线的参数方程为原式计算直线在第一象限内所围成的其中
6、为圆周扇形为的均匀圆弧线密度的质心解设圆的方程为所求质心坐标为对坐标的曲线积分计算下列对坐标的曲线积分周其中为按逆时针方向绕椭圆变到解椭圆的参数方程为从原式其中是点为顶点的三角形边界按逆时针方向解从变到原式计算曲其中是圆柱螺线的一段弧从到解原式计算式中是从点沿到点再由点沿回到点的闭曲线从到解的参数方程为从到的参数方程为原式设力的大小等于作用点的横坐标的平方沿抛物线而方向依轴的负方向求质量为的质点从点移到时求力所 t 3 1 t 2 t 2 1 ln t 1 3 1 ln 1 1 ln 2 原式 2 t 2 2 t 2 3 4 4 2 0 2 2 2 5、计算 x2 y 2 ds，其中 L:x2
7、 y2 ax a 0 L 解：x2 y 2 ax r a cos ，曲线 L 的参数方程为 x a cos2 cos 2 2 y a sin 原式 2 a cos a2 sin2 2 a2 cos2 2 d 2a2 2 cos d 2a2 2 0 6 e y2 ds,x y a，直线 y x,y 0 在第一象限内所围成的、计算 x2 其中 L 为圆周 2 2 2 L 扇形的边界。解：如右图，线段 OA 的参数方程为 x t 0 t 2 a y 2 t 弧 AB 的参数方程为 x acost 0 t O y asin t 4 线段 OB 的参数方程为 x t t a y 0 0 2 a a 2
8、a a 2t a t 2t 2 a t 原式 2 e 2dt 4 e t 4 e adt e dt ae e 0 0 0 0 0 0 ea 1 a ea ea 1 ea 2 a 2 4 4 7、求曲线 x at,y a t 2 ,z a t 3 0 t 1 的质量，其密度 2y。2 3 a 解：m 2 y ds t a2 1 t2 t 4 dt a 1 a 0 2 1 u t 2 1 u u2 du 0 a 2 1 0 2 a 23 3 1 3 2 1 u du 1 s ds s u 4 2 22 4 2 3a 3 1 2s 2 2 s a3 3 1 h2 dh 2 3 h s 8 21 3
9、3 8 3 3 中为折线这里依次为点解段参数方程段参数方程原式计算其中为螺旋线上相应于从到的弧解方法一原式原式方法二原式原式方法三原式因为所以其中原式计算解曲线的参数方程为原式计算直线在第一象限内所围成的其中为圆周扇形为的均匀圆弧线密度的质心解设圆的方程为所求质心坐标为对坐标的曲线积分计算下列对坐标的曲线积分周其中为按逆时针方向绕椭圆变到解椭圆的参数方程为从原式其中是点为顶点的三角形边界按逆时针方向解从变到原式计算曲其中是圆柱螺线的一段弧从到解原式计算式中是从点沿到点再由点沿回到点的闭曲线从到解的参数方程为从到的参数方程为原式设力的大小等于作用点的横坐标的平方沿抛物线而方向依轴的负方向求质量为
10、的质点从点移到时求力所 3a 1 ln h 1 h2 3 h 1 h2 8 2 3 3 3ln 3 3 a 16 3 8、求半径为 a，中心角为 的均匀圆弧（线密度 1）的质心。解：设圆的方程为 x acos 0 y asin xds 2 cos d a sin yds 2 sin da 1 cos x L 0 a ，y L 0 a a a a a 所求质心坐标为 a sin,a 1 cos。对坐标的曲线积分 1、计算下列对坐标的曲线积分 1）x y dx x2 y2 1周。x y dy，其中 L 为按逆时针方向绕椭圆 b2 L a2 x2 y2 x a cos 0 变到 2 解：椭圆 b2
11、1的参数方程为 b sin 从 a2 y 2 a cos bsin a sin a cos b sin b cos d 原式 0 2 2 2 ab cos2 a b sin 2 d 0 0 2 2）y dx x dy，其中 L 是点 A 1,0,B 0,1,C 1,0 为顶点的三角形边界（按 L 逆时针方向）。x 1 t x t x 1 2t 解：AB:t BC:1 CA:，t 从 0 变到 1 y y t y 0 1 2t dt 1 1 t dt 1 2t dt 1 原式 1 t 0 0 0 3）计算曲线积分 12xy ey dx cos y xey dy，其中 L 为由点 A 1,1 沿抛
12、物线 L y x2 到点 O 0,0，再沿 x 轴到点 B 2,0 的弧段。中为折线这里依次为点解段参数方程段参数方程原式计算其中为螺旋线上相应于从到的弧解方法一原式原式方法二原式原式方法三原式因为所以其中原式计算解曲线的参数方程为原式计算直线在第一象限内所围成的其中为圆周扇形为的均匀圆弧线密度的质心解设圆的方程为所求质心坐标为对坐标的曲线积分计算下列对坐标的曲线积分周其中为按逆时针方向绕椭圆变到解椭圆的参数方程为从原式其中是点为顶点的三角形边界按逆时针方向解从变到原式计算曲其中是圆柱螺线的一段弧从到解原式计算式中是从点沿到点再由点沿回到点的闭曲线从到解的参数方程为从到的参数方程为原式设力的大
13、小等于作用点的横坐标的平方沿抛物线而方向依轴的负方向求质量为的质点从点移到时求力所 解：原式 0 3 x2 2x cosx 2 2x 2 x 2 2 12x e e dx 1dx 1 0 3x 4 sin x 2 x2 0 2 3 sin1 e 2 e sin1 1 xe 1 4）xdx ydy x y 1 dz，其中 是从点 1,1,1 到点 2,3,4 的一段线段。解：的参数方程为 1 x 1 t y 1 2t，t 从 0 变到 1 z 1 3t 1 原式 1 t 2 1 2t 3 1 3t dt 6 14t dt 13 0 0 5）ydx xdy dz，其中 是圆柱螺线 x 2cos t
14、,y 2sin t,z 3t 从 t 0 到 t 2 的一段弧。2 4sin 2 t 4cos2 t 3 dt 2。解：原式 0 2、计算 2x y2 dx 2 y x2 dy，式中 L 是从点 O 0,0 沿 L1:y x2 到点 A 2,2，L 2 再由点 A沿 L2:x y2 回到点 O 的闭曲线。2 x t x 1 t 2 解：L1 的参数方程为 y 1 t2，t 从 0 到 2；L2 的参数方程为 2，t 从 2 到 0 y t 2 2 1 t 4 dt 0 1 t 4 dt 0。原式 2t 2t 0 4 2 4 3 而方向依 y 轴的负方向，求质量为 m 的质点、设力 F 的大小等
15、于作用点的横坐标的平方，沿抛物线 1 x y2 从点 1,0 移到 0,1 时，求力 F 所做的功。解：F 0,x2，抛物线 L 的参数方程为 x 1 t 2，t 从0到1。y t 1 2 2 3 t5 1 W x 2 1 t 2 t dy dt t L 0 3 5 0 8 15 4、设 为曲线 x t,y t 2 ,z t3 上相应于 t 从 0 变到 1的一段曲线弧，把对坐标的曲线 积分 Pdx Qdy Rdz化为关于弧长的曲线积分。中为折线这里依次为点解段参数方程段参数方程原式计算其中为螺旋线上相应于从到的弧解方法一原式原式方法二原式原式方法三原式因为所以其中原式计算解曲线的参数方程为原
16、式计算直线在第一象限内所围成的其中为圆周扇形为的均匀圆弧线密度的质心解设圆的方程为所求质心坐标为对坐标的曲线积分计算下列对坐标的曲线积分周其中为按逆时针方向绕椭圆变到解椭圆的参数方程为从原式其中是点为顶点的三角形边界按逆时针方向解从变到原式计算曲其中是圆柱螺线的一段弧从到解原式计算式中是从点沿到点再由点沿回到点的闭曲线从到解的参数方程为从到的参数方程为原式设力的大小等于作用点的横坐标的平方沿抛物线而方向依轴的负方向求质量为的质点从点移到时求力所 解：dx 1,dy 2t ,dz 3t 2 dt dt dt cos 1 1 1 4t2 9t 4 1 4 y 2 9xz cos 2t 2x 1 4
17、t2 9t 4 1 4 y 2 9xz cos 3t2 3y 1 4t 2 9t 4 1 4y 2 9xz Pdx Qdy Rdz P cos Q cos R cos ds P 2xQ 3yR ds 1 4 y 9xz 格林公式及其应用 1、利用曲线积分，求下列曲线所围成的平面图形的面积 1）星形线 x a cos3 t,y a sin3 t。解：S 2 3a2 cos4 t sin 2 tdt 12a2 2 cos4 t cos6 t dt xdy 0 0 L 12a2 3 5 3 3 a2。16 6 16 8 方法二、1 1 S ydx xdy 2 L 2 2 2 sin 4 t cos2
18、 t 3a2 sin2 t cos4 t dt 3a 0 3a2 2 2 2 3a2 2 sin 2 3a2 2 1 cos4t 3a2 sin t cos tdt 0 2tdt 0 dt 2 0 8 8 2 8 2）9x2 16 y2 144。解：S xdy 2 12cos2 tdt 48 2 cos2 tdt 12。0 L 0 2、计算 x y dx x y dy，其中 L 为反时针绕椭圆 x2 y2 1 一周。a2 b2 L 解：利用格林公式 中为折线这里依次为点解段参数方程段参数方程原式计算其中为螺旋线上相应于从到的弧解方法一原式原式方法二原式原式方法三原式因为所以其中原式计算解曲线的
19、参数方程为原式计算直线在第一象限内所围成的其中为圆周扇形为的均匀圆弧线密度的质心解设圆的方程为所求质心坐标为对坐标的曲线积分计算下列对坐标的曲线积分周其中为按逆时针方向绕椭圆变到解椭圆的参数方程为从原式其中是点为顶点的三角形边界按逆时针方向解从变到原式计算曲其中是圆柱螺线的一段弧从到解原式计算式中是从点沿到点再由点沿回到点的闭曲线从到解的参数方程为从到的参数方程为原式设力的大小等于作用点的横坐标的平方沿抛物线而方向依轴的负方向求质量为的质点从点移到时求力所 原式 2 dxdy 2 ab D 3、计算2xy3 y2 cosx dx 1 2y sin x 3x2 y2 dy，其中 L 为抛物线 2
20、x y2 上由 点 0,0 到,1 的一段弧。2 解：设 P x,y 2xy3 y2 cos x,Q x,y 1 2 y sin x 3x2 y2 因为 P 6xy2 2 y cos x Q，所以此曲线积分与路劲无关，y x 1 3 2 2 1 2 y2 dy y y2 y3 原式 1 2 y 0 4 4 0 4 4、计算 yexy 3x y 1 dx xexy 3 x y 3 dy，其中 L 为椭圆 x2 y2 1的正 L a2 b2 向一周。解：利用格林公式 原式 exy xyexy 3 exy xyexy 1 dxdy 4dxdy 4 ab x2 y2 1 x2 y2 1 a 2 2 2
21、 b 2 b a x y dx x y dy 2 y 2 1。4）x2 y2 ，其中 L 为正向椭圆 x L 4 8 解：在 L 的内部以原点为圆心以很小正数 为半径作取正向的圆周 C，其参数方程为 x cost 2 2 ，t 从 0 到2 。由于 P x 2 xy y Q，利用格林公式有 y sin t y x2 y2 2 x 原式 x y dx x y dy 2 sin t cost sin2 t cos2 t sin t cost dt x 2 y 2 0 C 2 1dt 2。0 5、计算曲线积分 I L f x sin ydx f x cos y x dy，其中 f x 为连续函数 L
22、 是 沿圆周 x 1 2 y 2 1 2 y A 按逆时针方向由点 A2,2 到点O0,0 D 的弧段。解：P f x sin y ,Q f x cos y x x O 中为折线这里依次为点解段参数方程段参数方程原式计算其中为螺旋线上相应于从到的弧解方法一原式原式方法二原式原式方法三原式因为所以其中原式计算解曲线的参数方程为原式计算直线在第一象限内所围成的其中为圆周扇形为的均匀圆弧线密度的质心解设圆的方程为所求质心坐标为对坐标的曲线积分计算下列对坐标的曲线积分周其中为按逆时针方向绕椭圆变到解椭圆的参数方程为从原式其中是点为顶点的三角形边界按逆时针方向解从变到原式计算曲其中是圆柱螺线的一段弧从到
23、解原式计算式中是从点沿到点再由点沿回到点的闭曲线从到解的参数方程为从到的参数方程为原式设力的大小等于作用点的横坐标的平方沿抛物线而方向依轴的负方向求质量为的质点从点移到时求力所 P x cos y ,Q f f x cos y y x x 2t 变到 1 OA:t 从 0 y 2 t 原式 D dxdy f x sin ydx f x cos y x dy OA 1 2 1 2 t dt sin 2 t 2 f 2t cos2 t4 2 f 2t 2 0 2 4 2t sin 2 t 2 2 t 2 1 2 4 2 2 3 2 4 2 f 0 2 4 2 4 4 6、计算 xdy ydx，其中
24、 L为 L x2 y2 1）圆周 x 2 y 2 1（按反时针方向）；1 1 2）闭曲线 x y 1（按反时针方向）。解：设 P x,y y 2 ,Q x,y x ，它们在 0,0 处无定义。2 y x 2 y 2 x P y2 x2 Q y x2 y2 2 x 1）因为 0,0 不在圆周内，所以 xdy ydx 0；x2 y2 L 2）因为 0,0 在闭曲线内，所以可在闭曲线内作圆周 Cr:x2 y2 r 2（取反时针方向）xdy ydx xdy ydx 2 d 2。x 2 y 2 x 2 y 2 0 L Cr 7、证明下列曲线积分在 xoy 平面内与路径无关 2,1 3 dx x2 4xy
25、 3 dy 1）2xy y4 1,0 解：因为 2xy y4 3 2x 4 y3 x2 4xy3，所以以上曲线积分在 xoy 平面 y x 内与路径无关。2,1 2xy y4 3 dx x2 4xy3 dy 2 1 4 8 y3 dy 5 1,0 3dx 0 1 中为折线这里依次为点解段参数方程段参数方程原式计算其中为螺旋线上相应于从到的弧解方法一原式原式方法二原式原式方法三原式因为所以其中原式计算解曲线的参数方程为原式计算直线在第一象限内所围成的其中为圆周扇形为的均匀圆弧线密度的质心解设圆的方程为所求质心坐标为对坐标的曲线积分计算下列对坐标的曲线积分周其中为按逆时针方向绕椭圆变到解椭圆的参数
26、方程为从原式其中是点为顶点的三角形边界按逆时针方向解从变到原式计算曲其中是圆柱螺线的一段弧从到解原式计算式中是从点沿到点再由点沿回到点的闭曲线从到解的参数方程为从到的参数方程为原式设力的大小等于作用点的横坐标的平方沿抛物线而方向依轴的负方向求质量为的质点从点移到时求力所 2）,2 ey cosx m dx ey sin x my dy 0,0 ey cosx m ey cosx ey sin x my xoy 平 解：因为 y x，所以以上曲线积分在 面内与路径无关。,2 ey cosx m dx ey sin x my dy cosx m dx 2 m2 0,0 0 mydy 0 8、计算
27、ey x dx xey 2 y dy，其中是过三点 A 0,0,B 0,1,C 1,2 的圆周。L 解：设 L 围成的区域为 D，利用格林公式得 ey x dx xey 2 y dy ey ey d 0 L D 9、设 f x 在,上具有连续的导数，计算 1 y2 f xy x 2 f xy 1 dy y dx y 2 y L 其中 L 为从点 3,2 到点 1,2 的直线段。3 1 y2 f xy x 2 y 1 f xy xyf y2 y f xy 1 解：因为 y y2 xy ，所以此曲 x 线积分与路劲无关。取路径沿曲线 xy 2从点 3,2 到点1,2 3 2 2 f 2 x dx
28、x 2 1 原式 1 f 2 x 4。1 3 x x 2 4 3 10、验证 P x,y dx Q x,y dy 在整个 xoy 平面内是某个函数的全微分，并求出一个原 函数。1）x y ex ey dx ex x 1 ey dy 解：因为 x y ex ey ex ey ex x 1 ey，所以上式在 xoy 平面内是某个 y x 函数的全微分。u x,y x 1 dx y x 1 ey dy xex ex ex y x 1 ey xex ex 0 0 2）3x2 y 8xy2 dx x3 8x2 y 12 yey dy 中为折线这里依次为点解段参数方程段参数方程原式计算其中为螺旋线上相应于
29、从到的弧解方法一原式原式方法二原式原式方法三原式因为所以其中原式计算解曲线的参数方程为原式计算直线在第一象限内所围成的其中为圆周扇形为的均匀圆弧线密度的质心解设圆的方程为所求质心坐标为对坐标的曲线积分计算下列对坐标的曲线积分周其中为按逆时针方向绕椭圆变到解椭圆的参数方程为从原式其中是点为顶点的三角形边界按逆时针方向解从变到原式计算曲其中是圆柱螺线的一段弧从到解原式计算式中是从点沿到点再由点沿回到点的闭曲线从到解的参数方程为从到的参数方程为原式设力的大小等于作用点的横坐标的平方沿抛物线而方向依轴的负方向求质量为的质点从点移到时求力所 3x2 y 8xy2 3x2 16xy x3 8 x2 y 1
30、2 yey xoy 平面内 解：因为 y x ，所以上式在 是某个函数的全微分。u y x3 8x2 y 12yey dy x3 y 4x2 y2 12yey 12ey y x,y 0 0 x3 y 4x2 y2 12 yey 12ey 12 3）2x cos y y2 cosx dx 2y sin x x2 sin y dy 2x cos y y2 cosx 2y cosx 2x sin y 2 ysin x x2 sin y 解：因为 y x ，所以上式 在 xoy 平面内是某个函数的全微分。u x 2xdx y 2 ysin x x2 sin y dy x2 y 2 sin x x2 y
31、 x,y 0 cos y 0 0 y2 sin x x2 cos y 11、设有一变力在坐标轴上的投影为 X x y2 ,Y 2xy 8，这变力确定了一个力场，证明质点在此场内移动时，场力所做的功与路径无关。x y2 2 y 2xy 8 证明：因为 y x，所以场力所做的功与路径无关。对面积的曲面积分 1、计算下列对面积的曲面积分 1）z 2x 4 y dS，其中 为平面 x y z 1在第一卦限中的一部分。3 2 3 4 4 1 16 x y 1,x 0,y 0 围城的区域 解：原式 4 dxdy，其中 D xy 由 3 D xy 9 2 4 61 2 3 4 61 3 2 3 x x 2
32、4 61 0 dx 2 dy 3x 3 0 3 4 0 2）xy yz zx dS，其中 是锥面 z x2 y2 被柱面 x2 y2 2ax 所截得的有限 部分。中为折线这里依次为点解段参数方程段参数方程原式计算其中为螺旋线上相应于从到的弧解方法一原式原式方法二原式原式方法三原式因为所以其中原式计算解曲线的参数方程为原式计算直线在第一象限内所围成的其中为圆周扇形为的均匀圆弧线密度的质心解设圆的方程为所求质心坐标为对坐标的曲线积分计算下列对坐标的曲线积分周其中为按逆时针方向绕椭圆变到解椭圆的参数方程为从原式其中是点为顶点的三角形边界按逆时针方向解从变到原式计算曲其中是圆柱螺线的一段弧从到解原式计
33、算式中是从点沿到点再由点沿回到点的闭曲线从到解的参数方程为从到的参数方程为原式设力的大小等于作用点的横坐标的平方沿抛物线而方向依轴的负方向求质量为的质点从点移到时求力所 解：原式 xy x y x2 y 2 2dxdy 2 x x2 y2 dxdy x2 y2 2ax x2 y2 2ax d 2a c o s 3 cos dr 8a 4 2 cos 5 d 8a 44264 a 4 2 0 r 5 3 15 2 0 3）x2 y2 z2 dS，其中 为球面 x2 y2 z2 2ax。解：原式 2 2a 2 x dxdy 2 2a dx 2ax x2 2a 2 x dy 2ax x 2 y 2
34、0 2ax x2 2ax x 2 y 2 x2 y2 2 ax 2a 2ax x2 1 a2 y 2 ax x2 4a2 xdx dy 4a2 arcsin dx x 0 0 2ax x2 y2 0 2ax x2 0 4a2 2a xdx 4 a4。0 2 2、ydS，其中 是平面 x y z 4 被柱面 x2 y2 1截的有限部分 解：原式 3 ydxdy 2 d 1 3r 2 sin d 0 0 0 x2 y2 1 3、求球面 x2 y 2 z2 a2 含在柱面 x2 y 2 ax 内部的那一部分面积。解：S 2 dS，其中 :z a 2 x2 y 2 在 xoy 面投影为 x 2 y2
35、ax 围成的区域 2 a dxdy 2 2 d a cos ar dr 2 2 a2 a2 sin d x2 y2 ax a 2 x 2 y2 2 0 a 2 r 2 2 4a 2 2 1 sin d 2a2 2 0 4、求抛物面壳 z 1 x2 y 2,0 z 1 的质量，此壳的面密度大小为 z。2 解：m zdS 1 x 2 y2 1 x2 y2 dxdy x2 y2 2 2 2 2 1 3 1 r 2 dr 2 2 1 u 1 udu（其中 u r 2）d r 4 0 0 2 0 2 1 u 1 u 6 3 2 1 5 2 3 3 1 2 1 u 2 2 3 6 3 1 15 0 5 1
36、5 15 5、设圆锥面 z h x2 y2（a 为圆锥面底面半径，h 为高），其质量均匀分布，求其重心。a 解：由对称性可得 x 0,y 0，无妨设其密度为 1，中为折线这里依次为点解段参数方程段参数方程原式计算其中为螺旋线上相应于从到的弧解方法一原式原式方法二原式原式方法三原式因为所以其中原式计算解曲线的参数方程为原式计算直线在第一象限内所围成的其中为圆周扇形为的均匀圆弧线密度的质心解设圆的方程为所求质心坐标为对坐标的曲线积分计算下列对坐标的曲线积分周其中为按逆时针方向绕椭圆变到解椭圆的参数方程为从原式其中是点为顶点的三角形边界按逆时针方向解从变到原式计算曲其中是圆柱螺线的一段弧从到解原式计
37、算式中是从点沿到点再由点沿回到点的闭曲线从到解的参数方程为从到的参数方程为原式设力的大小等于作用点的横坐标的平方沿抛物线而方向依轴的负方向求质量为的质点从点移到时求力所 zdS 1 h y2a2 h2 z h2 h2 x2 dxdy a a2 a a2 x2 y 2 a 2 a a h d r 2 dr 2 h 2 a a 3 0 0 3 所求重心为 0,0,2 h。3 6、计算 dS ，其中 是四面体 x y z 1,x 0,y 0,z 0 的边界。2 1 x y 解：原式 1 dxdy 1 dydz 1 dxdz 3 dxdy 2 1 y 2 2 2 D xy 1 x y D yz Dxz
38、 1 x D xy 1 xy 1 1 x 1 3 dy 1 dx 1 x 1 dz dx 2 2 0 2 0 0 1 x y 0 1 x 1 1 x 1 x 1 3 dx 2 1 dx 0 1 x y 0 1 x2 0 1 1 3 1 1 dx 2 1 2 2 1 dx 0 1 x 2 0 1 x 1 x 1 2 1 1 3 ln 1 x x 2 ln 1 x 2 0 1 x 0 3 3 3 1 ln 2 2 对坐标的曲面积分 ，其中 是柱面 2 2 1 zdxdy xdydz x y 1 、计算 0 及 z 3 所截得 被平面 z 的在第一象向部分的前侧。解：在 xoy 上的投影区域 Dxy
39、 为一段圆弧；在 xoz面上投影区域为 Dxz:0 z 3,0 x 1 在 yoz 面上投影区域为 Dyz:0 z 3,0 y 1 中为折线这里依次为点解段参数方程段参数方程原式计算其中为螺旋线上相应于从到的弧解方法一原式原式方法二原式原式方法三原式因为所以其中原式计算解曲线的参数方程为原式计算直线在第一象限内所围成的其中为圆周扇形为的均匀圆弧线密度的质心解设圆的方程为所求质心坐标为对坐标的曲线积分计算下列对坐标的曲线积分周其中为按逆时针方向绕椭圆变到解椭圆的参数方程为从原式其中是点为顶点的三角形边界按逆时针方向解从变到原式计算曲其中是圆柱螺线的一段弧从到解原式计算式中是从点沿到点再由点沿回到
40、点的闭曲线从到解的参数方程为从到的参数方程为原式设力的大小等于作用点的横坐标的平方沿抛物线而方向依轴的负方向求质量为的质点从点移到时求力所 1 y 2 dydz 1 x2 dxdz 2 1 3 1 1 x2 dx 3 原式 x2 dxdz 2 dz 0 Dyz D xz Dxz 0 2 2、计算曲面积分 I z2 x dydz zdxdy，其中 为旋抛物面 z 1 x2 y 2 下侧介 2 于平面 z 0 及 z 2 之间部分。解：原式 z2 2z y2 dydz D yz z2 2z y2 dydz 1 x2 y2 dxdy Dyz Dxy 2 2 2 z 2 2z y 2 dz 2 2 z
41、 2 2z y 2 dz 2 d 2 1 r 3 dr dy y2 dy y2 2 2 2 2 2 0 0 2 2 2 1 3 2 2 2 2 2z y dz 4 2 2z y dy 4 2 dy y2 2 3 2 y2 2 2 2 1 2 3 1 4 64 3 1 2 y 2 dy 4 4 2 16cos tdt 4 4 4 3 3 4 2 2 2 3 0 8 这里用换元法计算定积分，（令 y 2sin t）及 2 cosn tdt 的计算公式。0 3、计算 ex y2 dydz，其中 为半锥面 z x2 y2 及平面 z 1,z 2 所围成立体 x2 表面外侧。解：曲面分成四部分 1:z
42、1 x2 y2 1,2:z 2 x2 y2 4 3:x z2 y2 ,4:x z2 y2，1,2 在 yoz 面上投影区域面积为零，3 ,4 在 yoz 面的投影为梯形 D yz 由 z 1,z 2,z y,z y 围成，所以 ex dydz 2 z e z2 y2 2 dz z e z2 y2 x2 y2 1 dz z z dy 1z z dy 定积分无法求出，题目有问题。、计算 xydydz yzdzdx xzdxdy，其中 是平面 x 0,z 0,y 0,x y z 1 所 4 围成空间区域整个边界的外侧。解：原式 xzdxdy xydydz yzdzdx 1 2 3 中为折线这里依次为
43、点解段参数方程段参数方程原式计算其中为螺旋线上相应于从到的弧解方法一原式原式方法二原式原式方法三原式因为所以其中原式计算解曲线的参数方程为原式计算直线在第一象限内所围成的其中为圆周扇形为的均匀圆弧线密度的质心解设圆的方程为所求质心坐标为对坐标的曲线积分计算下列对坐标的曲线积分周其中为按逆时针方向绕椭圆变到解椭圆的参数方程为从原式其中是点为顶点的三角形边界按逆时针方向解从变到原式计算曲其中是圆柱螺线的一段弧从到解原式计算式中是从点沿到点再由点沿回到点的闭曲线从到解的参数方程为从到的参数方程为原式设力的大小等于作用点的横坐标的平方沿抛物线而方向依轴的负方向求质量为的质点从点移到时求力所 xydyd
44、z yzdzdx xzdxdy 4 0 0 0 1 1 y x y dx 0 dy x 1 0 1 1 x z dz 1 1 y y z dz dx z 1 x dy z 1 0 0 0 0 2 1 y 3 2 1 dy 1 y x 1 x y dx 3 1 1 y y 1 y dy 3 0 0 2 3 2 0 3 4 1 1 y y4 y3 y2 3 3 3 1 3 1 y 6 12 8 3 4 24 12 24 8 0 2 5、计算曲面积分 axdydz z a dxdy，其中 下半球面 z a2 x2 x2 y2 z2 a 为大于零的常数。解：对应侧的法向量为 n x ,y,1 a2 x
45、2 y2 a2 x2 y2 z a 2 原式 xdydz dxdy a a2 x2 y2 2 x 2 a d x d y a2 x2 y2 a x2 y2 a 2 3 2 2 r 3 a 2 r 2 2 d a r cos 2a r 2ar dr 0 0 a2 r 2 a sin 2 2 1 2 3 a 2r 4 2 2 2 2 2 2 2 r 2 2 2 a r a r ar a 2 4 0 3 0 4a 3 3 a3 2 a3 1 a3 2 2 y2 的上侧，a 3 r 2 2 0 6、把对坐标的曲面积分 P x,y,z dydz Q x,y,z dzdx R x,y,z dxdy 化为对
46、 面积的曲面积分：1）是平面 3x 2 y 2 3z 6 在第一象限的部分上侧。2）是抛物面 z 8 x2 y2 在 xoy 面上方部分的上侧。解：1）对应侧的法向量为 n 3,2,2 3 中为折线这里依次为点解段参数方程段参数方程原式计算其中为螺旋线上相应于从到的弧解方法一原式原式方法二原式原式方法三原式因为所以其中原式计算解曲线的参数方程为原式计算直线在第一象限内所围成的其中为圆周扇形为的均匀圆弧线密度的质心解设圆的方程为所求质心坐标为对坐标的曲线积分计算下列对坐标的曲线积分周其中为按逆时针方向绕椭圆变到解椭圆的参数方程为从原式其中是点为顶点的三角形边界按逆时针方向解从变到原式计算曲其中是
47、圆柱螺线的一段弧从到解原式计算式中是从点沿到点再由点沿回到点的闭曲线从到解的参数方程为从到的参数方程为原式设力的大小等于作用点的横坐标的平方沿抛物线而方向依轴的负方向求质量为的质点从点移到时求力所 n 3,2,2 3 n 5 5 5 3P x,y,z 2Q x,y,z 2 3R x,y,z dS 原式 5 2）对应侧的法向量为 n 2x,2y,1 n 2x 2y 1 n 4x2,4x 2 4 y 2 1,21 4 y 2 1 4x 2 4 y 2xP x,y,z 2yQ x,y,z R x,y,z dS 原式 4x2 4y2 1 高斯公式和斯托克斯公式 1、利用高斯公式计算曲面积分 1）求 I
48、 x2 dydz 2 y2 dxdz 3 z2 4 x2 y2 dxdy，其中 为 z x2 y2 与 z 2 围 成的立体的表面，取外侧。解：利用高斯公式可得 I 2x 4 y 6z dxdydz dxdy 2 2x 4y 6z dz x2 y2 x2 y2 4 2 x 4 y 2 x2 y2 3 4 x2 y2 dxdy x2 y2 4 2 d 2 r 3 2cos 4sin 12r 3r 3 dr 0 2r 2 0 2 8 cos 16 12 d 24 0 sin 3 3 2）利用高斯公式计算曲面积分 8 y 1 xdydz 2 1 y2 dxdz 4 yzdxdy，其中 是由 曲线 z
49、 y 1 x 1 y 3 0 绕 y 轴旋转一周所成曲面，它的法向量与 y 正方向夹角 1 中为折线这里依次为点解段参数方程段参数方程原式计算其中为螺旋线上相应于从到的弧解方法一原式原式方法二原式原式方法三原式因为所以其中原式计算解曲线的参数方程为原式计算直线在第一象限内所围成的其中为圆周扇形为的均匀圆弧线密度的质心解设圆的方程为所求质心坐标为对坐标的曲线积分计算下列对坐标的曲线积分周其中为按逆时针方向绕椭圆变到解椭圆的参数方程为从原式其中是点为顶点的三角形边界按逆时针方向解从变到原式计算曲其中是圆柱螺线的一段弧从到解原式计算式中是从点沿到点再由点沿回到点的闭曲线从到解的参数方程为从到的参数方
50、程为原式设力的大小等于作用点的横坐标的平方沿抛物线而方向依轴的负方向求质量为的质点从点移到时求力所 恒大于。2 解：曲面 为 x2 z2 y 1 1 y 3，并取左侧。作辅助曲面 1:y 3 x2 z2 2，并取右侧，利用高斯公式可得 8y 1 xdydz 2 1 y2 dxdz 4yzdxdy 8y 1 4 y 4 y dxdydz 8 y 1 xdydz 2 1 y2 dxdz 4 yzdxdy 1 dxdydz 16 dxdz dxdz 3 2 dz 32 2 2 r 3 dr 32 1 x 2 z d 2r x2 z2 2 x2 z2 2 0 0 34 3）设函数 f u 由一阶连续的