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1、 2018第一轮复习放缩 法技巧全总结 本页仅作为文档封面，使用时可以删除 This document is for reference only-rar21 year.March 1 n(n+1)如 2放缩法在数列不等式中的应用 数列不等式是高考大纲在知识点交汇处命题精神的重要体现，在高考试题中占有重要 地位，在近几年的高考试题中，多个省份都有所考査，甚至作为压轴题。而数列不等式的求 解常常用到放缩法，笔者在教学过程中发现学生在用放缩法处理此类问题时，普遍感到困 难，找不到解题思路。现就放缩法在数列不等式求解过程中常见的几种应用类型总结如下。1.直接放缩，消项求解 例 1 在数列仏,他中宀=
2、2,勺=4,且化,成等差数列几 g 叽成等比数列.nE,(I)求 555 及乞 40，由此猜测匕,他的通项公式，并证明你的结论;(II)证明:一+二 勺+勺 a2+b2 an+bn 12 分析：(I)数学归纳法。2(n+l)n.ax+b 6 12 i if i i-+-+6 2(2x3 3x4 丄_丄+丄一丄 6 22 334 n+1 点评：数列和式不等式中，若数列的通项为分式型，可考虑对其分母进行放缩，构造等差 型因式之积。再用裂项的方法求解。另外，熟悉一些常用的放缩方法，1 1 1 I 1 1-=-=-n n+nn+1)n 2 n(n-1)一 1 n 例 2 设数列。”满足=1,。卄 1=
3、cai+l-c,ce?/*综上，原不等式成立.考大纲在知识点交汇处命题精神的重要体现在高考试题中占有重要地位在近几年的高考试题中多个省份都有所考査甚至作为压轴题而数列不等式的求解常常用到放缩法笔者在教学过程中发现学生在用放缩法处理此类问题时普遍感到列仏他中宀勺且化成等差数列几叽成等比数列求及乞由此猜测匕他的通项公式并证明你的结论证明一二勺勺分析数学归法本小题的分母可化为不相同的两因式的乘积可将其放缩为等差型两项之积通过裂项求和略解力时由知丄丄丄一再用裂项的方法求解另外熟悉一些常用的放缩方法如一例设数列满足卄其中为实数证明心曰对任意成立的充分必要条件是设证明色心丿分析数学归纳法证明结论可变形为即
4、不等式右边为一等比数列通项形式化归思路为对用放缩法构其中 c 为实数(I)证明：心曰 0,1对任意nM 成立的充分必要条件是 ceO,l;(II)设 0ci,证明：色 ni-(3c)心丿 eM;3 分析：(I)数学归纳法证明(U)结论可变形为 i-(3cr-*,即不等式右边为一等比 数列通项形式，化归思路为对 1-“”用放缩法构造等比型递推数列，即 1 一“”=“1 一 )(1+%+n_12)3c(l 解：(I)解略。(II)设 OvcJ,当八=1 时，at=0t结论成立，当空 2 时，an-陽=c(l-%-i)(l+&_+d；i)0cl,由(1)知.,0,1,所以 1+“心+诟_山 3 且:
5、A-a3c(l-a 1-a”3c(l-心 (3c)2(l-6/_2).0,糾=0,+an+-l=a2(n N*)t 记 G 1 1 1 S=q+4+a,T=-+-+-1+6(1+的)(1+勺)(1+终)(1+勺)(1+5)求证：当応“时，(I)“-2；(m)Tn 0,即证 a”1,可用数学归纳法证明(II)由 5一(厂=1 一伽累加及”1 可得（in）和式通项的分母由 1+心累乘得到的，条件中可有伽（1+昭|）=1+畋 2 得到，但（1+。如）=上比 的分子分母次数不同，可用基本不等式将其化为等比型递推数列 考大纲在知识点交汇处命题精神的重要体现在高考试题中占有重要地位在近几年的高考试题中多个
6、省份都有所考査甚至作为压轴题而数列不等式的求解常常用到放缩法笔者在教学过程中发现学生在用放缩法处理此类问题时普遍感到列仏他中宀勺且化成等差数列几叽成等比数列求及乞由此猜测匕他的通项公式并证明你的结论证明一二勺勺分析数学归法本小题的分母可化为不相同的两因式的乘积可将其放缩为等差型两项之积通过裂项求和略解力时由知丄丄丄一再用裂项的方法求解另外熟悉一些常用的放缩方法如一例设数列满足卄其中为实数证明心曰对任意成立的充分必要条件是设证明色心丿分析数学归纳法证明结论可变形为即不等式右边为一等比数列通项形式化归思路为对用放缩法构（I）解略。（D）解略。（皿）证明：由如+5+i=i+“r 2,得 _!W加伙=
7、2S,2 1,1+叽 2 汝 所以（n）.（z）FE 于是 E許审心），故当心 3 时，7；1+1+*+.+士 3,又因为 77；工 1，12 求证：0 s 色一 言伙=12）.分析：有时数列不等式的证明可以在数列单调性的前提下进行放缩。证明：若有某个兔 VO,则ak ak-+ak+2 0,令仇=s-,k=1,2,由心一 2%+%2 得心一 一2,即如如 1 亲=12由于 1 n+色+代 考大纲在知识点交汇处命题精神的重要体现在高考试题中占有重要地位在近几年的高考试题中多个省份都有所考査甚至作为压轴题而数列不等式的求解常常用到放缩法笔者在教学过程中发现学生在用放缩法处理此类问题时普遍感到列仏他
8、中宀勺且化成等差数列几叽成等比数列求及乞由此猜测匕他的通项公式并证明你的结论证明一二勺勺分析数学归法本小题的分母可化为不相同的两因式的乘积可将其放缩为等差型两项之积通过裂项求和略解力时由知丄丄丄一再用裂项的方法求解另外熟悉一些常用的放缩方法如一例设数列满足卄其中为实数证明心曰对任意成立的充分必要条件是设证明色心丿分析数学归纳法证明结论可变形为即不等式右边为一等比数列通项形式化归思路为对用放缩法构 Tn 1 1 1 1+切 1+2 要证7；b+2b2+3b3+kbk（1+2+3+幻乞 2 女 故从亠壬 x k（k+D k2 点评：本题考虑了数列an9 bn的单调性，然后利用放缩法进行证明。又如，
9、例 3 的第三问也可用单调性证明：an 0,二-!-!-r,（1+绚）（1+如（1+山）（1+勺）只要证；士金即勺舟而 2 字所以问题得证 1+4 4.放缩法在数学归纳法的应用 数列不等式是与自然数有关的命题，数学归纳法是证明与自然数有关的命题的重要方 法。应用数学归纳法证明时，通常要利用放缩法对条件进行适当的转化，才能实现由猝=时成立到n=k+时也成立的过渡。举例略。综合以上分析，我们发现，在数列不等式的求解过程中，通过放缩法的应用，主要使数 列不等式转化为以下两种类型:（1）可直接裂项的形式，再求和证明求解。（等差型）（2）等比型递推数列，”|1 时，数列前”项和有界。（等比型）数列不等式
10、是一类综合性较强的问题，我们可以利用上述思路对数列不等式进行分析、求解。在解题过程中要充分挖掘题设条件信息，把条件合理的转化.加强、放缩，同时结合 问题的结构.形式等特征，使条件与结论建立联系，从而使解题思路通畅。其中合理.适当 的放缩是能否顺利解题的关键。考大纲在知识点交汇处命题精神的重要体现在高考试题中占有重要地位在近几年的高考试题中多个省份都有所考査甚至作为压轴题而数列不等式的求解常常用到放缩法笔者在教学过程中发现学生在用放缩法处理此类问题时普遍感到列仏他中宀勺且化成等差数列几叽成等比数列求及乞由此猜测匕他的通项公式并证明你的结论证明一二勺勺分析数学归法本小题的分母可化为不相同的两因式的乘积可将其放缩为等差型两项之积通过裂项求和略解力时由知丄丄丄一再用裂项的方法求解另外熟悉一些常用的放缩方法如一例设数列满足卄其中为实数证明心曰对任意成立的充分必要条件是设证明色心丿分析数学归纳法证明结论可变形为即不等式右边为一等比数列通项形式化归思路为对用放缩法构