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1、学习必备 欢迎下载 课 题 等差数列求和 学习内容与过程 引入 数列na中，naaaa321称为数列na的前 n 项和，记为nS.nS与na之间的关系：由nS的定义可知，当 n=1 时，1S=1a；当 n2 时，na=nS-1nS，即na=)2()1(11nSSnSnn 知识点 1.等差数列的前n项和公式 （1）2)(1nnaanS 证明：nnnaaaaaS 1321 1221aaaaaSnnnn +：)()()()(223121nnnnnnaaaaaaaaS 23121nnnaaaaaa)(21nnaanS 由此得：2)(1nnaanS（2）2)1(1dnnnaSn 用上述公式要求nS必须具
2、备三个条件：naan,1 但dnaan)1(1 代入公式 1 即得：2)1(1dnnnaSn 此公式要求nS必须已知三个条件：dan,1（有时比较有用）总之：两个公式都表明要求nS必须已知nadan,1中三个 （3）两个公式的选择：若已知首项1a及末项na用公式2)(1nnaanS较简便；若已知首项1a及公差d用公式2)1(1dnnnaSn较好；（4）在运用2)(1nnaanS时，注意性质“m+n=p+q qpnmaaaa(m,n,p,q N)”的运用；例 1 一个等差数列前 4 项的和是 24，前 5 项的和与前 2 项的和的差是 27，求这个等差数列的通项学习必备 欢迎下载 公式.分析：将
3、已知条件转化为数学语言，然后再解.解：根据题意，得4S=24,5S2S=27，则设等差数列首项为1a,公差为 d,则 27)2)12(22()2)15(55(242)14(44111dadada解之得：231da na=3+2（n1）=2n+1.变式 1：已知等差数列na的前 5 项之和为 25，第 8 项等于 15，求第 21 项；等差数列-16，-12，-8，.，前几项的和为 72？变式 2：在等差数列na中，（1）已知856,5,10aSa求；（2）已知542548Saa，求 变式 3：已知数列na的前 n 项和nnSn2205232，求数列na的通项公式 2.等差数列前 n 项和nS的
4、性质 （1）在等差数列na中，连续m项的和仍组成等差数列，即maaa.21，mmmaaa221.,mmmaaa32212.，.仍为等差数列 （2）根据2)1(1dnnnaSn，知n)2da(n2dS12n，当d0，是一个常数项为零的二次式 因此可设BnAnSn2 （3）在等差数列na中：nnnnnSSSSS232,，.，也成等差数列，公差为dn2 若0)(pmpmSpmSS，则 若)()(,pmSpmmSpSpmpm，则 若 项 数 为 2n，则)()(1212nnnnaanaanS（1,nnaa为 中 间 两 项），1,nnaaSSndSS偶奇奇偶 若项数为2n-1，则nnanS)12(12
5、，1,nnSSaSSn偶奇偶奇 知当时当时即知识点等差数列的前项和公式证明由此得用上述公式要求必须具备三个条件但代入公式即得此公式要求必须已知三个条件有时比较有用总之两个公式都表明要求必须已知中三个两个公式的选择若已知首项及末项用公式差是求这个等差数列的通项学习必备欢迎下载公式分析将已知条件转化为数学语言然后再解解根据题意得则设等差数列首项为公差为则解之得变式已知等差数列的前项之和为第项等于求第项等差数列前几项的和为变式在等差数列中差数列即仍为等差数列根据知当是一个常数项为零的二次式因此可设在等差数列中也成等差数列公差为若则若则若项数为则为中间两项偶奇奇偶若项数为则偶奇偶奇学习必备欢迎下载若数
6、列与均为等差数列且前项和分别是则证明例学习必备 欢迎下载 若数列na与nb均为等差数列，且前n项和分别是nS，nT，则1212mmmmTSba（证明：1212121121121121)12(2)12(222mmmmmmmmmmTSmbbmaabbaababa）例2 在等差数列na中，1101001010,100SSS，求 变式 1：已知非常数等差数列na的前 n 项和nS满足 5)1(222310mnnmnSmn(nN,mR),求数列35 na的前 n 项和.解：由题设知，nSlg(5)1(2223mnnmnm)lgm2nlg35)1(2mnnmlg2,即 nS2lg5)1(mn2(lg32l
7、g5m)nlgm2,na是非常数等差数列，当 d0，是一个常数项为零的二次式 2lg5)1(m0 且 lgm20,m1,nS(52lg2)n2(lg351lg2)n,则 当 n=1 时，1a2lg533lg 当 n2 时,nanS1nS(52lg2)(2n1)(lg351lg2)2lg513lg2lg54 n na2lg513lg2lg54 n，d=nnaa 1=2lg54 35 na=2lg513lg2lg)35(54n=2lg5113lg2lg4 n 数列35 na是以8a=2lg5313lg为首项,5d=2lg4为公差的等差数列，数 列 35 na 的 前n项 和 为n (2lg5313
8、lg)21n(n 1)(2lg4)nn)2lg5213(lg2lg22 例 3 涉及一个有限的等差数列的奇数项和与偶数项和之比问题，一般宜用性质来求解 一个等差数列的前 12 项和为 354，前 12 项中偶数项的和与奇数项的和之比为 32:27，求公差 d.解：设这个数列的首项为1a,公差为 d，则偶数项与奇数项分别都是公差为 2d 的等差数列，由已知得27323063063546612121dadada,解得 d5.知当时当时即知识点等差数列的前项和公式证明由此得用上述公式要求必须具备三个条件但代入公式即得此公式要求必须已知三个条件有时比较有用总之两个公式都表明要求必须已知中三个两个公式的
9、选择若已知首项及末项用公式差是求这个等差数列的通项学习必备欢迎下载公式分析将已知条件转化为数学语言然后再解解根据题意得则设等差数列首项为公差为则解之得变式已知等差数列的前项之和为第项等于求第项等差数列前几项的和为变式在等差数列中差数列即仍为等差数列根据知当是一个常数项为零的二次式因此可设在等差数列中也成等差数列公差为若则若则若项数为则为中间两项偶奇奇偶若项数为则偶奇偶奇学习必备欢迎下载若数列与均为等差数列且前项和分别是则证明例学习必备 欢迎下载 解法 2：设偶数项和与奇数项和分别为 S 偶，S 奇，则由已知得2732354奇偶奇偶SSSS,求得 S 偶192，S 奇162，S 偶S 奇6d,d
10、5.变式 1：项数为 2n+1 的等差数列na的奇数项的和与偶数项的和之比为 例 4 涉及两个等差数列前 n 项和之比问题，一般是利用公式将它转化为两项和之比的问题，再利用函数思想来解决问题 两个等差数列，它们的前 n 项和之比为1235nn,求这两个数列的第九项的比 解：38)(217)(217171717117117117199SSbbaabbaaba.变式：已知等差数列na、nb的前 n 项和分别为nS和nT，若132nnTSnn，求88ba 3.等差数列前 n 项和nS公式与二次函数 区别 联系 nS 定义域为N 图像是一系列孤立的点 解析式都是二次式)(xf 定义域为 R 图像是一条
11、光滑的抛物线 （1）设BnAnSn2，利用二次函数的相关性质及图像可求其最值，但并不一定是ABn2时，nS有最大值（或最小值），而是当NAB2时，ABn2；而当NAB2时，n取与AB2最接近的正整数即可 （2）BnAnSn2，即n)2da(n2dS12n，由二次函数性质可知，0d时，nS有最小值；0d时，nS有最大值 （3）10a，0d 时，nS有最大值；10a，0d 时，nS有最小值；nS最值的求法：若已知nS，可用二次函数最值的求法（nN）；若已知na，则nS最值时n的值（nN）可如下确定100nnaa或100nnaa 知当时当时即知识点等差数列的前项和公式证明由此得用上述公式要求必须具备
12、三个条件但代入公式即得此公式要求必须已知三个条件有时比较有用总之两个公式都表明要求必须已知中三个两个公式的选择若已知首项及末项用公式差是求这个等差数列的通项学习必备欢迎下载公式分析将已知条件转化为数学语言然后再解解根据题意得则设等差数列首项为公差为则解之得变式已知等差数列的前项之和为第项等于求第项等差数列前几项的和为变式在等差数列中差数列即仍为等差数列根据知当是一个常数项为零的二次式因此可设在等差数列中也成等差数列公差为若则若则若项数为则为中间两项偶奇奇偶若项数为则偶奇偶奇学习必备欢迎下载若数列与均为等差数列且前项和分别是则证明例学习必备 欢迎下载 例 5 在等差数列na中，9171,25SS
13、a，求nS的最大值 变式 1 在等差数列na中，941,0SSa，则nS取最大时，n=变式 2 等差数列na的前 n 项和为nS，公差0d，若存在正整数 m（3m），使得mmaS，则当mn时，有nS na 巩固练习 1an是首项 a11，公差为 d3 的等差数列，如果 an2 005，则序号 n 等于 2等差数列an中，a1=1，a3+a5=14，其前 n 项和 Sn=100，则 n=变式：等差数列an中如果 a6=6，a9=9，那么 a3=3数列的通项52nan ，则其前n项和nS 4设 Sn是数列an的前 n 项和，且 Sn=n2，则an是（）A.等比数列 B.等差数列 C.等差数列且等比
14、数列 D.既非等比数列又非等差数列 5等差数列an 中，S15=90，则 a8=()(A)3 (B)4 (C)6 (D)12 变式：等差数列an中，a3+a4+a5+a6+a7=450，求 a2+a8=()(A)45 (B)75 (C)180 (D)300 6数列an的前 n 项和为 Sn，若2462,10,SSS则等于（）（A）12 （B）18 （C）24 （D）42 变式：等差数列an 的前 m 项和为 30，前 2m 项和为 100，则它的前 3m 项和为()(A)130 (B)170 (C)210 (D)160 7在项数为 2n+1 的等差数列中，若所有奇数项的和为 165，所有偶数项
15、的和为 150，则 n 等于 (A)9 (B)10 (C)11 (D)12 变式：等差数列an的公差为21，且 S100=145，则奇数项的和 a1+a3+a5+a99=()(A)60 (B)80 (C)72.5 (D)其它的值 8.已知一个等差数列的前 5 项的和是 120，最后 5 项的和是 180，所有项的和为 360，此数列的项数为 A12 项 B13 项 C14 项 D15 项 9若数列an是等差数列，首项 a10，a2 003a2 0040，a2 003a2 0040，则使前 n 项和 Sn0 成立的最大自然数 n 是 10若两个等差数列)(27417,NnnnBABAnbannn
16、nnn且满足和项和分别为的前则 的值是1111ba 知当时当时即知识点等差数列的前项和公式证明由此得用上述公式要求必须具备三个条件但代入公式即得此公式要求必须已知三个条件有时比较有用总之两个公式都表明要求必须已知中三个两个公式的选择若已知首项及末项用公式差是求这个等差数列的通项学习必备欢迎下载公式分析将已知条件转化为数学语言然后再解解根据题意得则设等差数列首项为公差为则解之得变式已知等差数列的前项之和为第项等于求第项等差数列前几项的和为变式在等差数列中差数列即仍为等差数列根据知当是一个常数项为零的二次式因此可设在等差数列中也成等差数列公差为若则若则若项数为则为中间两项偶奇奇偶若项数为则偶奇偶奇
17、学习必备欢迎下载若数列与均为等差数列且前项和分别是则证明例学习必备 欢迎下载 A47 B23 C34 D7178 11.数列通项公式为 ann25n4，问（1）数列中有多少项是负数？（2）n 为何值时，an有最小值？并求出最小值.12.设等差数列na的前 n 项和为nS，已知3a12，12S0，13S0，(1)求公差 d 的取值范围；(2)指出1S,2S,3S,12S中哪一个最大，说明理由 解：(1)0212131302111212113112daSdaS06011211dada,3a1a2d12,代入得 030724dd,724d3,(2)13S137a0,7a0,6a7a0,6a0,6S最
18、大.课后作业 1.在等差数列na中，已知9015S，那么8a等于（）A.3 B.4 C.6 D.12 2.在等差数列na中，若daSS1412,8则等于（）A.109 B.910 C.2 D.32 3.已知等差数列na的公差为 1，且99.999821aaaa，则999663.aaaa()A.99 B.66 C.33 D.0 4.在项数为 2n+1 的等差数列na中，所有奇数项的和为 165，所有偶数项的和为 150，则 n 等于（）A.9 B.10 C.11 D.12 5.若一个等差数列的前 3 项的和为 34，最后 3 项的和为 146，且所有项的和为 390，则这个数列有（）A.13项
19、B.12项 C.11项 D.10项 6.等差数列na中，0,0,076761aaaaa则使其前 n 项和0nS成立的最大自然数 n 是（）A.11 B.12 C.13 D.14 7.等差数列na中，nS是其前 n 项的和，若4325,20aaaS则=（）A.15 B.18 C.9 D.12 8.等差数列na和nb中，100,75,2510010011baba，则数列nnba 的前 100 项的和为（）A.0 B.100 C.1000 D.10000 知当时当时即知识点等差数列的前项和公式证明由此得用上述公式要求必须具备三个条件但代入公式即得此公式要求必须已知三个条件有时比较有用总之两个公式都表
20、明要求必须已知中三个两个公式的选择若已知首项及末项用公式差是求这个等差数列的通项学习必备欢迎下载公式分析将已知条件转化为数学语言然后再解解根据题意得则设等差数列首项为公差为则解之得变式已知等差数列的前项之和为第项等于求第项等差数列前几项的和为变式在等差数列中差数列即仍为等差数列根据知当是一个常数项为零的二次式因此可设在等差数列中也成等差数列公差为若则若则若项数为则为中间两项偶奇奇偶若项数为则偶奇偶奇学习必备欢迎下载若数列与均为等差数列且前项和分别是则证明例学习必备 欢迎下载 9.若两个等差数列37,nnTSTSnbannnnnn且满足和项和分别为的前则的值是55ba A7 B32 C827 D
21、421 10.等差数列na中，24321aaa，78201918aaa，则20S 11.等差数列na中，14S,48S，则20191817aaaa 12.设数列na是公差不为零的等差数列，nS是数列na的前 n 项和，且242234,9SSSS，求数 列na的通项公式 13.数列na是公差不为零的等差数列，且2152910,1aaa；（1）求na的通项公式；（2）求数列na的 的前 n 项和nS 知当时当时即知识点等差数列的前项和公式证明由此得用上述公式要求必须具备三个条件但代入公式即得此公式要求必须已知三个条件有时比较有用总之两个公式都表明要求必须已知中三个两个公式的选择若已知首项及末项用公式差是求这个等差数列的通项学习必备欢迎下载公式分析将已知条件转化为数学语言然后再解解根据题意得则设等差数列首项为公差为则解之得变式已知等差数列的前项之和为第项等于求第项等差数列前几项的和为变式在等差数列中差数列即仍为等差数列根据知当是一个常数项为零的二次式因此可设在等差数列中也成等差数列公差为若则若则若项数为则为中间两项偶奇奇偶若项数为则偶奇偶奇学习必备欢迎下载若数列与均为等差数列且前项和分别是则证明例