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1、课题 用函数的观点看一元二次方程 教学目标 1、复习巩固用函数 yax2bxc 的图象求方程 ax2bxc0 的解 2、函数 yx2和 ybxc 的交点的横坐标是方程 x2bxc 的解的探索过程，掌握用函数 yx2和 ybxc 图象交点的方法求方程 ax2bxc 的解。3、提高学生综合解题能力，渗透数形结合思想。重难点透视 重点:用函数图象法求方程的解以及提高学生综合解题能力 难点：提高学生综合解题能力，渗透数形结合的思想 知识点剖析 序号 知识点 预估时间 掌握情况 1 相关知识点 30 分钟 2 例题精讲 50 分钟 3 课堂练习 40 分钟 教学内容 一、复习巩固 1如何运用函数 yax
2、2bxc 的图象求方程 ax2bxc 的解?2完成以下两道题：(1)画出函数 yx2x1 的图象，求方程 x2x10 的解。(2)画出函数 y2x23x2 的图象，求方程 2x23x20 的解。函数 y2x23x2 的图象与 x 轴交点的横坐标分别是 x112和 x22，所以一元二次方程的解是 x112和 x22。二、例题 例 1：已知二次函数 yx23xm(m为常数)的图象与 x 轴的一个交点为(1，0)，则关于 x的一元二次方程 x23xm 0 的两实数根是(B)Ax11，x21 Bx11，x22 Cx11，x20 Dx11，x23 解析：二次函数的解析式是 yx23xm(m为常数)，该抛
3、物线的对称轴是：x32.又二次函数 yx23xm(m为常数)的图象与 x 轴的一个交点为(1，0)，根据抛物线的对称性质知，该抛物线与 x 轴的另一个交点的坐标是(2，0)，关于 x 的一元二次方程 x23xm 0的两实数根分别是：x11，x22.故选 B 例 2已知关于 x 的方程 x2(2k 3)x k210 有两个不相等的实数根 x1，x2.(1)求 k 的取值范围；(2)试说明 x10，x20；(3)若抛物线 yx2(2k 3)x k21 与 x 轴交于 A，B两点，点 A，点 B到原点的距离分别为OA，OB，且 OA OB 2OAOB 3，求 k 的值 解：(1)由题意可知：(2k
4、3)24(k21)0，即12k50，k512(2)x1x22k30，x1x2k210，x10，x20(3)依题意，不妨设 A(x1，0)，B(x2，0)OA OB|x1|x2|(x1x2)(2k 3)，OA OB|x1|x2|x1x2k21，OA OB 2OAOB 3，(2k 3)2(k21)3，解得 k11，k22.k512，k2 例 3、已知抛物线 y12x28xk8 和直线 y2mx1 相交于点 P(3，4m)。(1)求这两个函数的关系式；(2)当 x 取何值时，抛物线与直线相交，并求交点坐标。解：(1)因为点 P(3，4m)在直线 y2mx1 上，所以有 4m3m1，解得 m1 所以
5、y1x1，P(3，4)。因为点 P(3，4)在抛物线 y12x28xk8 上，所以有 41824k8 解得 k2 所以 y12x28x10 (2)依题意，得yx1y2x28x10 解这个方程组，得x13y14，x21.5y22.5 所以抛物线与直线的两个交点坐标分别是(3，4)，(1.5，2.5)。例 4、如图，已知二次函数 yx2bx3 的图象过 x 轴上点 A(1，0)和点 B，且与 y 轴交于点 C，顶点为 P.(1)求此二次函数的解析式及点 P的坐标；(2)过点 C且平行于 x 轴的直线与二次函数的图象交于点 D，过点 D且垂直于 x 轴的直线交直线CB与点 M，求BMD 的面积 的探
6、索过程掌握用函数和图象交点的方法求方程的解提高学生综合解题能力渗透数形结合思想重难点透视重点用函数图象法求方程的解以及提高学生综合解题能力难点提高学生综合解题能力渗透数形结合的思想序号知识点相关知识的解完成以下两道题画出函数的图象求方程的解画出函数的图象求方程的解函数的图象与轴交点的横坐标分别是和所以一元二次方程的解是和二例题例已知二次函数为常数的图象与轴的一个交点为则关于的一元二次方程的两实数根对称性质知该抛物线与轴的另一个交点的坐标是关于的一元二次方程的两实数根分别是故选例已知关于的方程有两个不相等的实数根求的取值范围试说明若抛物线与轴交于两点点点到原点的距离分别为且求的值解由题意可知即依
7、题三、练习 1如图，抛物线 yax2bxc(a 0)的对称轴是过点(1，0)且平行于 y 轴的直线，若点 P(4，0)在抛物线上，则 4a2bc 的值_ 2如图，已知二次函数 yx2bxc 过点 A(1，0)，C(0，3)(1)求此二次函数的解析式；(2)在抛物线上存在一点 P使ABP的面积为 10，求点 P的坐标 3如图，以扇形 OAB的顶点 O为原点，半径 OB所在的直线为 x 轴，建立平面直角坐标系，点B的坐标为(2，0)，若抛物线 y12x2k 与扇形 OAB的边界总有两个公共点，则实数 k 的取值范围是_ 4.如图，一元二次方程 x2+2x3=0 的两根 x1，x2（x1x2）是抛物
8、线y=ax2+bx+c与 x 轴的两个交点 B，C的横坐标，且此抛物线过点 A（3，6）（1）求此二次函数的解析式；（2）设此抛物线的顶点为 P，对称轴与线段 AC相交于点 Q，求点 P点 Q 的坐标；（3）在 x 轴上有一动点 M，当 MQ+MA 取得最小值时，求点 M 的坐标 的探索过程掌握用函数和图象交点的方法求方程的解提高学生综合解题能力渗透数形结合思想重难点透视重点用函数图象法求方程的解以及提高学生综合解题能力难点提高学生综合解题能力渗透数形结合的思想序号知识点相关知识的解完成以下两道题画出函数的图象求方程的解画出函数的图象求方程的解函数的图象与轴交点的横坐标分别是和所以一元二次方程
9、的解是和二例题例已知二次函数为常数的图象与轴的一个交点为则关于的一元二次方程的两实数根对称性质知该抛物线与轴的另一个交点的坐标是关于的一元二次方程的两实数根分别是故选例已知关于的方程有两个不相等的实数根求的取值范围试说明若抛物线与轴交于两点点点到原点的距离分别为且求的值解由题意可知即依题5 如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点 P 到 x 轴的距离是 4，抛物线与 x 轴相交于 O、M 两点，OM=4，矩形 ABCD的边 BC在线段的 OM 上，点 A、D在抛物线上（1）请写出 P、M 两点坐标，并求这条抛物线的解析式；（2）设矩形 ABCD的周长为 L，求 L的最大值；（3）连结 OP
10、、PM，则PMO 为等腰三角形，请判断在抛物线上是否还存在点 Q（除点 M外），使得OPQ 也是等腰三角形，简要说明你的理由 6 若两个二次函数图象的顶点，开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”(1)请写出两个为“同簇二次函数”的函数；(2)已知关于 x 的二次函数 y12x24mx2m21，和 y2ax2bx5，其中 y1的图象经过点 A(1，1)，若 y1y2与 y1为“同簇二次函数”，求函数 y2的表达式，并求当 0 x3 时，y2的最大值 解：(1)本题是开放题，答案不唯一，符合题意即可，如：y12x2，y2x2(2)函数 y1的图象经过点 A(1，1)，则 24m 2m
11、211，解得 m 1.y12x24x32(x1)21.y1y2与 y1为“同簇二次函数”，可设 y1y2k(x 1)21(k 0)，则 y2k(x 1)21y1(k 2)(x 1)2.由题可知函数 y2的图象经过点(0，5)，则(k 2)125.k 25.y25(x 1)25x210 x5.当 0 x3 时，根据 y2的函数图象可知，y2的最大值5(3 1)220 总结 的探索过程掌握用函数和图象交点的方法求方程的解提高学生综合解题能力渗透数形结合思想重难点透视重点用函数图象法求方程的解以及提高学生综合解题能力难点提高学生综合解题能力渗透数形结合的思想序号知识点相关知识的解完成以下两道题画出函数的图象求方程的解画出函数的图象求方程的解函数的图象与轴交点的横坐标分别是和所以一元二次方程的解是和二例题例已知二次函数为常数的图象与轴的一个交点为则关于的一元二次方程的两实数根对称性质知该抛物线与轴的另一个交点的坐标是关于的一元二次方程的两实数根分别是故选例已知关于的方程有两个不相等的实数根求的取值范围试说明若抛物线与轴交于两点点点到原点的距离分别为且求的值解由题意可知即依题