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1、绝密启用前2021届普通高等学校招生全国统一考试数学预测卷(四)注意事项：L答 题 前 填 写 好 自 己 的 姓 名、班 级、考 号 等 信 息2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1 .已知集合”=卜 河 2*8,N =x|x a.若M c N有且仅有1个元素，则实数。的取值范围是()A.(0,1 B.0,1 C.(1,2 I).1,2 答案：C求出集合，根据已知条件可求得实数。的取值范围.解：因为“=x eN 2 x 8 =x eN*|x 3 =l,2,N =x|x a,结合M c N有且仅有1个元素知M c N =l,所以l 0),则二一=()1 3.1 3.3 3.3 3.A.-1
2、 B.I 1 C.I 1 D.-12 2 2 2 2 2 2 2答案：B首先计算求再利用复数的除法运算公式，化简求值.解：由|a +3 i|=JF5 ,得 Ja?+3、=V 1 5，解得 a =l.z 2 +i(2 +z)(l +z)1 3 .因为a0,所以a =l.所以z =2 +i，则;:7 =W-=+z-1 -z 1-z (l-z)(l +z)2 2故选:B3.在 平 行 四 边 形A B C。中，点E在 对 角 线A C上，点F在 边C D上，且满足A E A C,C F=CD,则 前=()1 .3 A.A B +-B C1 2 4B.1 .3 .A B-B C1 2 41 .3 C.
3、A B B C1 2 4D.1 ,3 A B+-B C1 2 4答案：A根据向量的线性运算表示出答案即可.解_ _ _ _ 3 _ _?_ 3 _ _ _ 2 _EF=EC+CF=-AC+-C D =-(AB+BC)+-BA4 3 4 33 2 1 3 =-(AB+B C)-A B AB+-B C,4 3 12 4故选：A4.互联网宽带接入用户数是指在电信企业登记注册，通过xDSL,FTTx+LAN,WLAN等方式接入中国互联网的用户，主要包括xDSL用户、LAN专线用户、LAN终端用户及无线接入用户.如图为2019年6月一2020年4月中国互联网宽带接入用户数及增速走势图.及缗速走势互联网宽
4、带接入用户敢(万户)一 增 速(%)%0 5%0.0%-05%46 50046 00045 50045 00044 50044 00043 50043 00042 50042 000利用统计知识对上图进行分析，下列说法正确的是()A.2019年6月一2020年4月中国互联网宽带接入用户数逐月增加B.2019年6月一2020年4月中国互联网宽带接入用户数增速的平均值为0.74%C.中国互联网宽带接入用户数在2019年9月增速最快，2019年11月的用户数比10月少D.中国互联网宽带接入用户数在2019年7月和2019年8月这两月的增速相同，因此用户数没有增加答案：C根据统计图对选项一一判断即可.
5、解：对于A,在2019年11月和2019年12月的增速为负值，说明用户数在减少，所以A不正确；对 于 B,互联网宽带接入用户数增速的平均值为1.0%+1.0%+1.5%+0.5%0.1%0.6%+0.6%+0.6%+0.8%+0.6%0.59%,10所以B 不正确；对于C,2 0 1 9年 9 月的增速为1.5%,增速最快，2 0 1 9年 1 1 月的增速为负值，说明2 0 1 9年 1 1 月的用户数比2 0 1 9年 1 0 月的少，所以C 正确；对于D,中国互联网宽带接入用户数在2 0 1 9年 7月和2 0 1 9年 8月这两个月的增速相同，增速均是正值，因此每一月用户数在上一月的基
6、础上是增加的，所以D不正确.故选：C.5 .建筑学中必须要对组合墙的平均隔声量进行设计.组合墙是指带有门或窗等的隔墙,假定组合墙上有门、窗及孔洞等几种不同的部件，各种部件的面积分别为5，邑，S“（单位：m?），其相应的透射系数分别为%,”,，如，则组合墙的实际隔声量 S,T,+-F S T应由各部分的透射系数的平均值T确定：件二 、一-产，于是组合墙的实+）”际隔声量（单位：dB）为R=1 0 1 g g.已知某墙的透射系数为白，面积为20m2,在墙上有一门，其透射系数为 贵,面积为2m2,则组合墙的平均隔声量为（）A.10dB B.20dB C.30dB D.40dB答案：C先根据题意求出，
7、然后再计算隔声量R即可.解：由题意知组合墙的透射系数的平均值T=再+呢 =20X10 4+2X10=10-3,工+昆 20+2所以组合墙的平均隔声量R=101g2=101g*=30dB.故选：C.6.九章算术是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中卷第九勾股中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门.出东门一十五里有木.问出南门几何步而见木？”其算法为：东门南到城角的步数，乘南门东到城角的步数，乘积作被除数，以树距离东门的步数作除数，被除数除以除数得结果，即出南门X里见到.若一小城，如图所示，出东门1200步有树，出南门75 0步能见到此树，则该小城的周长的最小值为（
8、注：1里=3 00步）（）A.2j i d里 B.4 J而 里 C.6 J而里 D.8 J而里答案：DE F G F根据题意得G 4 =-，进而得 GE=B-G 4 =4 x 2.5 =1 0,再结合基本不E B等式求4(E F +G F)的最小值即可.解：因 为1里=3 00步，则由图知 3 =1200步=4里，&4 =75 0步=2.5里.由题意，得GA=GF,E B则 EFGb=E3G4=4 x 2.5 =10,所以该小城的周长为4(E F +G/)28，石 工 赤 =8加，当且仅当E F =G F =M 时等号成立.故选:D.本题以数学文化为背景考查基本不等式，解题的关键在于根据题意，
9、得出对应的边长关E F G F系，即：G A =-，再代入数据，结合基本不等式求解，同时，在应用基本不等E B式时，还需要注意“一正”、“二定”、“三相等”.7.如图，已知圆锥的底面半径为2,母线长为4,A 3为圆锥底面圆的直径，C是的中点，O是母线S A的中点，则异面直线SC与8。所成角的余弦值为()s答案：A延长AB至点E，使A5=B，连接SE,CE,OC,得到NCSE为异面直线SC与8 0所成的角（或补角），再解SCE即得解.解：延长4 5至点E，使AB=BE，连接SE,CE,0 C.因为。是母线SA的中点，所以SE/BD,所以NCSE为异面直线SC与3。所成的角（或补角）.由题意知OE
10、=6,OC=2,又C是A 8的中点，所以所以在 RtACOE 中，CE=OC2+OE2=2-因为 SA=SB AB=4,h所以80=也58=2 6，所以SE=2BO=4百.2在SCE 中，SC=4,则由余弦定理得cos ZCSE=SC SEa-C E?_ 16+48-402SCSE-2x4x473 4故选：A.SD方法点睛：异面直线所成的角的求法：方法一：(几何法)找 一 作(平 移 法、补形法)mO n7 证(定 义)指 7求(解三角形)；方法二：(向 量 法)c o s a=其中a是mn异面直线小,“所成的角，分 别 是 直 线 的 方 向 向 量.8.已 知 M为 抛 物 线 C：V=4
11、%上 一 点，过 抛 物 线 C的 焦 点 E 作 直 线x+(1)丁 =5 2 根的垂线，垂足为N,贝目+|MN|的最小值为()A.2 夜-3 B.2 5/2-2C.2 +V 2 D.3-7 2答案：D过点“作与准线垂直并交准线于点。，求出直线过定点(3,-2),然后可得N 在以 EP 为 直 径 的 圆 上，以 EP 为 直 径 的 圆 上，+的 最 小 值 为 圆(x 2 尸+(+1)2 =2上的点到准线的距离的最小值，然后可求出答案.解：抛物线C：V=4x 的焦点/(1,0),准线方程为x=1,过 点/作 与 准 线 垂直并交准线于点。.令直线/为直线x+(m l)y=5-2 相，变形
12、可得加(y+2)=y x+5 ,y+2 =0,y-x +5 =0,x=3,y=-2,解得则直线/经过定点(3,-2).设尸(3,-2),连接EP,取 EP 的中点为E，则 E的坐标为(2,-1),|E P|=J 5.若 F N 上1 ,则 N在 以 EP 为 直 径 的 圆 上，以 EP 为 直 径 的 圆 上，其方程为(x-2)2+(y+l)2=2.又由=W MF +MN=MD+MN ,如图，+的最小值为圆(x 2)2+(y+l)2=2上的点到准线的距离的最小值,过点 作ED与准线x=-1垂 直 并 交 于 点 与 圆E交于点N ,与抛物线交于点M ，则|)W 即 为|MD|+|MN|的 最
13、 小 值，即(MF+l A fiV l)=DN=ED-r=3-2.9.已知等比数列 4公比为夕，前项和为S“，且满足4 =8%，则下列说法正确的是()A.4为单调递增数列 B.*=9 C.S3,S6,S9成等比数列 D.S,=2 a“一q答案：BD根据=8%利用等比数列的性质建立关系求出4=2,然后结合等比数列的求和公式，逐项判断选项可得答案.解：由4=8%，可得。4=8%，则4=2,当首项4 0时，可得 4为单调递减数列，故A错误;S6_l-26由 S,1-23=9,故B正确;假设S3,S9成等比数列，可 得 昭=$9乂项,即(1 -2 6 1=(1 -2 3)(1 -2 9 )不成立,显然
14、S3,S6,S9不成等比数列，故。错误;由 4公比为q的等比数列,可得S,=任黄=T，1=2%-4:.Sn=2 a-at,故)正确；故选：B D.关键点睛：解答本题的关键是利用=8%求得4=2,同时需要熟练掌握等比数列的求和公式.1 0.已知函数/(x)=l o g 2(m +4X+8),me R,则下列说法正确的是()A.若函数/(x)的定义域为(-8,+8),则实数机 的取值范围是(g,+8)B.若函数/(x)的值域为 2,+8),则实数机=2(4 2 C.若函数f(x)在区间-3,+8)上为增函数，则 实 数 加 的 取 值 范 围 是、3D.若加=0,则不等式/*)1的解集为J x x
15、 答案：A C对于A,首先要对加分类讨论，然后在定义域为R的条件下再求”?的取值范围；对于B,使内层函数的最小为4即可；对于C,一是要考虑内层函数的单调性，二是要考虑定义域；对于D,在解对数不等式时，一定要从定义域为基本前提出发.解：对于A,由题意知/nx 2+4 x +8 0对xeR恒成立，由于当加=0时，不等式4 x+8 0不恒成立，所以m w O.当机H 0时，由，m 0,1 C解得机 一，所以A正确;=1 6 -3 2 m 0,-0,解得4 2 ,所以C正确;9 3对于D,若丁=0,则不等式/(x)l等价于Io g 2(4 x+8)1,3则0 4 x+8 2,解得2x二，所以D不正确.
16、2故选：A C.方法点睛：判断复合函数的单调性要注意把握两点：一是要同时考虑两个函数的定义域；二是同时考虑两个函数的单调性，正确理解“同增异减 的含义，即增增一增，减减f 增，增减一减，减增一减.1 1.已知函数“r)=Gco s 2 x+s inx co s x ，则下列说法正确的是()J7F JTA.函数f(x)的单调递增区间为一五+上万，五+左 万(Ze Z)B.若 玉,)=|，%,飞,则co s 2/=1J(71 乃乃C.函数y =/X-77在 区 间-不上的最大值和最小值分别为1和-2k 1 2；6 3 J71 7万D.若函数g(x)=/(x)2加-s in2 x在 区 间 上有唯一
17、零点，则实数？的取值范围为，-=小 三=sin 2x+,根据角取值范围即可求得最值；对 于D,化为(兀、Ji 742，”=cos|2x+：|在 上有唯一实根，y=cos6,6sI 6)|_12 12 _71 4万T T,画出函数y=cos。的部分图像，根据图像求得结果.&力 /、厂 1 +cos2x 1 .八 J3 1 .八 A/3-/C 兀用 军：/(%)=v3x-d-sin2x=sin 2x-i cos 2x-sin 2x+2 2 2 2 2 I 3,兀j对于 A：令-F2kji K 2xH F2k汽，k eZ ,2 3 257r 7t解得-J-k 冗 x F k 冗，k eZ ,12 1
18、25万 7 1所以函数f(x)的单调递增区间为一五+&,五+左,k e Z,所以选项A正确；兀T C 2 对于B:因为飞 ，所以2玉)+工 一丁/，_ 6 3 J 3|_ 3所以若=2 即sin；|xo+g=|,则3(2%+事=一1,贝 ij cos 2x0=cos4 1 3 y/3 3/3 4匚 匚 、,生存n 丁 工 之=x|x-=-,所以选项 B 正确；5 2 5 2 10对于 C：y=f%-=sin 2x+,当xw-7时，2x+GI 12；I 6)1 6 3 6 6 6所以 X nin=sin-?)=-；,ymax=siny=l,所以选项 C 不正确；上有唯一零点等价于 2m=sin
19、2x+-I -sin 2x=-sin 2x+cos 2x=cos 2x+I 3j 2 2 I 6)4 77,-a.q 万7万皿冗，n 乃，4万 人 小 式 八在 上有唯一实根，由工 -2%+,令2工 十 7二。12 12 12 12 3 6 3 6对于 D：g(x)=sin(2x+工)-2 m一sin2x在设y =co s e,e w y,依题意可知y =2m与y =co s夕的图像有唯一交点,T n 4 7 r函数y =co s 6,8 e -j,的图像如图，2 2 4 4 2故实数用的取值范围为“m-m,所以选项D不正确.4 4 2故选：A B.（乃、71 7 4关键点点睛：对 于D,转
20、化 为2 z =co s 2 x +丁在上有唯一实根，设I 6）|_1 2 1 2y =co s 6 ,6 e y,画出函数y =co s。的部分图像，根据图像求得结果.1 2.已知双曲线C:0-4=1（“0力 0）与双曲线。:三-汇=1有相同的渐近线，且a b-1 8 3 2过点尸伍,4后），F,乃 为双曲线。的左、右焦点，则下列说法正确的是（）A.若双曲线C上一点加到它的焦点耳的距离等于16,则点M到另一个焦点F?的距离 为10B.过点（3,0）的直线/与双曲线C有唯一公共点，则直线/的方程为4 x 3y-12 =0C.若N是双曲线C左支上的点，且|布卜|班|=3 2,则的面积为162 2
21、D.过点。（2,2）的直线与双曲线乂-=1相交于A,8两点，且Q（2,2）为弦a2-7 b2-SA8的中点，则直线A8的方程为4 x-y-6 =0答案：C D先求出双曲线C的方程.对于A,根据双曲线的定义可以判断；对于B,要考虑相切与相交两种情况，相交只有一个交点是与渐近线平行的直线；对于C,配方和定义结合使用；对于D,利用点差法求解.2 2 2 2解：由题意设双曲线C的方程为二 二=%（%0）,则匚=1（女 0）,18 32 18 4 3 2 k将点尸（6,4 6）的 坐 标 代 入 得 至 四=1（%0）,解得出=L ）侬 3 2 k 22 2所以双曲线。的方程为二一匕=1,则a =3,b
22、=4,c =5.9 16对于A,由双曲线的定义可知|M用 一阿用|=2匹即116 T M曰=6,解得|摩|=10或2 2,所以选项A不正确；对于B,因为点（3,（）为双曲线。的右顶点，所以过点（3,（）与双曲线C相切时，直线/与双曲线C有唯一公共点，直线/的方程为x =3：X V当直线/与双曲线。的渐近线一上=0平行时，直线/与双曲线。有唯一公共点，3 44 4此时直线/的斜率为士,所以直线/的方程为y=g（x -3）,即4 x-3y-12 =0或4 x +3y-12 =0,所以选项B不正确；对于C,N是双曲线C左支上的点，则|叫卜|凡娟=6,则|峭|2 _ 2加 剧.加 国+加 瑞=36,将
23、|明卜|”|=32 代入可得|N 4+|N段2=36 +2 x 32 =100,即|A|2+W E|2 =旧6=I。，所以耳”为直角三角形，所以5防 修=|-|-|=1x 32 =16,所以选项C正确；2 2对于D,由题意得双曲线为三汇=1,设8（孙 必），2 82 2 2 2 2 2 2 2则五一$_ =i,_ 2 =i,两式相减得五二E 2L =（）,2 8 2 8 2 8即（受 二2）（4乜）_（）1一）2.）（也+）2）=0.因为。（2,2）为弦A 8的中点，2 8所 以 西+=4,%+%=4,且直线A 3的斜率存在，所以(%*J*4 _ (x 刈)x 4=0,所以直线AB的斜率 =1
24、 0 =4,2 8%一则直线4 B的方程为4x-y 6=0,所以选项D正确.故选：CD.b方法点睛：已知双曲线的渐近线y=-x求双曲线的方程，可将双曲线方程设为a2 2x y/一 记=2(2丰0),再利用其他条件确定4的值.三、填空题13.(x+1)答案：-100函数展开式中含x的项的系数为中的常数项，一部分是的含X的项,首先原式变形为x解：原式=x，再分别求两部分含x项的系数.,展开式中含工的项包含两部分，一部分是展开式 的 通 项 为=C(J 6=(2)rC/-，令3 f =0,解得r=3,4=(-2)3.或=一160；令 3 f =1,解得 r=2，7；=(-2)2.=60 x,所以(x
25、+1)7=)展开式中含x的项的系数为 160+60=100.故答案为：1001 4.已知定义域为-4,4的函数/(x)的部分图像如图所示，且/(x)-/(-x)=0,函数/(l g )l,则实数。的取值范围为答案：，o由题意可得f M是偶函数，然后结合单调性可解出答案.解：由题意知/(一幻=/(幻，且函数f(x)的定义域为-4,4 ,所以f(x)是偶函数.由图知/(1)=1,且函数/(x)在 0,4 上为增函数，则不等式/(l g a)1 等价于/(|l g|)0._ e JLe因为函数/(x)=m(l n x-x)(m R)的图像与g(x)=/-21 n x的图像在区间-,e_ e上存在关于
26、x轴对称的点，等价于方程m(l n x-x)+x2-21 n x=0,口“x 2-2 1 n x-L 1 ,*左 力 人，/、x2-2nx 1即 加=-在区间 一,e 上有解.令Z z(x)=-，xG ,e,x-nx Le J x-n x Le _1,e,所以x+2 2 2 21 n x,e.f.(x-1)(-+2 21 n x)则 瓮)=J-3，因为则由(x)=0,得尤=1,当xe 寸，(x)0,所以(x)在，/)上单调递减，在(l,e上单调递增.又h-21 n；i+2e21-ln le ee+e2，A(l)=1-lnl=1,/z(e)e一2 In e e 一 2e-ln ee-11 +2/
27、c 2 e-l c2 -e+e=e+le-1e-1e-1 2,l-21nl2e+ee2-2所 以 实 数 的 取 值 范 围 为1,-e-1,e-2故答案为：1,-e-1方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.四、解答题17 在 /?sin B+csin C=-bsinC+a sin A；cos?C+sin5sinC=s
28、in2 5+cos2 A；2=2acosC+c这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答.在口 A BC中，角A、8、C所对的边分别是。、b、c,.(1)求角A；(2)若a=l(),QABC的面积为86，求ElABC的周长.7 T答案：(1)条件选择见解析，A=一；(2)24.3(1)选择：利用正弦定理边角互化结合余弦定理可求得tan A的值，结合角A的取值范围可求得角A的值；选择：由同角三角函数的平方关系结合正弦定理、余弦定理可求得cosA的值，结合角A的取值范围可求得角A的值；选择：利用正弦定理结合边角互化、两角和的正弦公式可求得cos A的值，结合角A的取值范围可求得角A的值：(2)
29、由三角形的面积公式可求 得 税 的值，结合余弦定理可求得b+c,进而可得出口 ABC的周长.解：(1)选择：因为 bsin B+csinC=-bsinC+a sin A,、3 y(2J3、7/7所以由正弦定理可得/+。2=二 一bsinC+a a,即/+一/=上。加询C，I 3)3则由余弦定理可得 2bccosA=2 曲sinC，所以 sin Ceos A=Xsin Asin C.33;C e(O,4)，则 sin C 0,所以 cosA=sin A，即 tanA=J因为Ae(O,%),所以A=?；选择：由 cos2 C+sin BsinC=sin2 B 4-cos2 A,得l-sin?C+s
30、inBsinC=sin2 B+l-sin2 A，即 sin2 B+sin2 C-sin2 A=sinBsinC，2 2 2 1由正弦定理得2+c2_/=bc，由余弦定理得cosA=+：2bc 2因为4e(O,)，所以A=q；选择：由 2Z =2acosC+c,结合正弦定理得2sinB=2sin AcosC+sinC.因为 A+8+C=，所以 sin8=sin一(A+C)=sin(A+C),则 2sin(A+C)=2(sin AcosC+cos AsinC)=2sin AcosC+sinC,所 以2cos Asin C=sin C.因为。(0,)，所以sin C 0,故cosA=；.因为Ae(O
31、,)，所以A=?；7 1(2)由(1)知4=一.3因为=g csin A=g csing=8/,所以。c=32.由余弦定理得，a2=h2+c2 2Z?ccos A=(/?+c)-3hc，即(Z?+c)2 =a 2+3 b c =1 0 0+3 x3 2 =1 9 6,所以。+c=1 4,所以口4 8。的周长为a+6 +c =2 4.方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：(1)若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；(2)若式子中含有。、。、c的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”
32、；(3)若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；(4)代数式变形或者三角恒等变换前置；(5)含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；(6)同时出现两个自由角(或三个自由角)时，要用到三角形的内角和定理.1 8 .已知正项数列%+2”1的前项和为S.,且4 S=a；+(2”+2)a+4-+2 -3.(1)求数列 ,的通项公式；2(2)记c，=1+2亡2)(a+2刃求数列%的前项和(.答案：(1)。“=2 +1-2”，(2)-.2 +1(1)根据数列的和与通项关系以及等差数列的定义和通项公式求得结果；(2)先化简数列c“，再用裂项相消法法求和.解：(1)由题知 4 S“=a；,+
33、(2n+2)a,+4 -1+2(1-3 =(+2-+2(4 +)3 ,令-e,则4 S“=f+2 2-3,当 2 2 时，4 s,i =+2 5-3,由-，得助“=片 一 喙、+2”2”一,整 理 得 电-4.2)他+%)=0.因为2 0,所以勿。“=2(2 2).又4 s l =牙+2 4一3,即月一2 4一3 =(),解得4=3或4=1 (舍去)，所以数列 ,是以3为首项，2为公差的等差数列，则 勿=2+1,所 以 凡=a一2|=2+l-2 i._ 2_ 2 _ 1 _ 1_(2)因为+2T 2)(a“+2T)一 (21-1)(2+1)-2 一 1 -2+1 所以-I 3)(3 5)(2-
34、1 2/J+1J 2+1 2 n+l给出S”与。”的递推关系，求知,常用思路是：一是利用%=S“-S,i转化为。”的递推关系，再求其通项公式；二是转化为S”的递推关系，先求出S“与n之间的关系，再求19.如图，S是以平行四边形A3C0的边AO为直径的半圆弧上一点，Za4D=60,SA=4 6，S D =4,D C=SB =8,且E为AO的中点.(1)求证：平面SBE_L平面SW；(2)求二面角8 S D-C的正弦值.4答案：(1)证明见解析；(2)(1)由已知证线面8 E 1平面SAD,进一步证面面垂直.(2)建系算出二面角两平面的法向量，从而得出二面角8 一。的正弦值.解：(1)【证明】因为
35、S是以平行四边形ABCD的边AO为直径的半圆弧上一点，所以S O L S 4,所以=8.因为E为 的 中 点，所以SE=AO=4.2由题可知A B =D C=8,所以A B =AD .因为484)=60。，所以 回 )为正三角形，所以BE=A B =4百，且BELAD.2则SB2=3炉+SE?，所以BE工SE.因为SEcAO=E,SE,A D u平面领，所以B E 1平面SAD.因为B E u平面S B E,所以平面SBE_L平面封。.(2)【解】由(1)知，B E 1平面SAO,B E u平面A8CD,所以平面5X0_L平面ABC。.以E为坐标原点，以E4,EB所在直线分别为x轴，轴，以过点
36、且与平面A B C。垂直的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系,则 网 0,4 6,0),C(-8,4 7 3,0),D(-4,0,0),S(-2,0,2 到,所 以 方=(2,0,2 6),D f i =(4,4 7 3,0),DC=(-4,4 7 3,0).设平面5 B Z）的法向量为勺=（x,y,2）,则 元.京=0,%-D B=0,即 2 x+2 Z 3z,=0,4%+4 月 弘=0,取则 y=Z=-l,则 勺=（石,一 1,一。.设平面SOC的法向量为%二（%,%，22卜n2-D S =0,4 D C 0,则即 2X2+2c z 2 =0,4%2+4 3 y 2=0,取 七=百
37、，则 必=1，Z2 =-1 则%=（布,L -I b所以co s（晨 元）%_ 3 _ 3丽飞X6 口故二面角3 SDC的正弦值为关键点睛：当二面角的平面角不易作出时，常通过建系求两面的法向量，再求法向量夹角的三角函数值.20.20 20 年 12月 16日至18日，中央经济工作会议在北京召开.会议指出，近期社会上对于房屋租赁市场的一些乱象讨论颇多，此次会议也明确提出，要降低租赁住房税费负担，整顿租赁市场秩序，规范市场行为，对租金水平进行合理调控.为了解居民对降低租赁住房税费的态度，某社区居委会随机抽取了 5 0 0 名社区居民参与问卷调查，并将问卷情况统计如下表：认为对租赁住房影响大认为对租
38、赁住房影响不大年龄在4 0 岁以上12515 0年龄在4 0 岁以下7515 0（1）判断是否有9 9%的把握认为居民对降低租赁住房税费的态度与年龄有关？（2）从“认为对租赁住房影响大”的居民中，按照年龄进行分层抽样，共抽取8 人，分析租赁住房需求，再从中随机抽取3 人参与座谈，若这3 人中年龄在4 0 岁以下的有占人，求 J的分布列与数学期望.附：K2n(ad-bc)2.-=0 +6+c+d).(a +b)(c +d)(a+c)(b +d)临界值表:P(K2k0)0.150.100.0 50.0 250.0 100.0 0 50.0 0 1k02.0 722.70 63.84 15.0 24
39、6.6357.87910.8289答案：（1）有；（2）分布列见解析，.8（1）据 2 x 2 列联表计算出K?，对比临界值表中数据即可.（2）由分层抽样的特征确定各年龄层抽取的人数，确定随机变量J的所有可能取值,再求出对应的概率，列出随机变量J的分布列，进一步求解数学期望.解：（1）由题意建立2 x 2 列联表如下:认为对租赁住房影响大认为对租赁住房影响不大合计年龄在4 0 岁以上1 2 51 5 02 7 5年龄在4 0 岁以下7 51 5 02 2 5合计2 003 005 00K?=5 00 x 02 5 x 1 5。-7 5 x 1 5 0)2 “.6,6 3 5 ,2 00 x 3
40、 00 x 2 7 5 x 2 2 5所以有9 9%的把握认为居民对降低租赁住房税费的态度与年龄有关.（2）由题意可知，分层抽样抽取的8人中，年龄在4 0 岁以上的有5人，年龄在4 0岁以下的有3 人，则随机变量J的所有可能取值为0,1,2,3.Pe =O)=PC=2)=上c；二5_ 1 5%=1)=中2 82 8，C c：_ 1 513 3,P(4 =3)=U7 955 6C；5 6所以随机变量4的分布列为40123P52 81 52 81 55 615 6()=0 x +l x +2 x +3 x =-2 8 2 8 5 6 5 6 82 22 1.已知4，4分别为椭圆。：鼻+卓=1 3
41、6 0)的左、右顶点，3为椭圆C的上顶点，点4到直线4台的 距 离 为 生 色，椭圆C过点7 后.S 7(1)求椭圆C的标准方程;(2)设直线/过点4,且与x轴垂直，P,。为直线/上关于x轴对称的两点，直线A 2 P与椭圆。相交于异于4的点。，直线OQ与x轴的交点为E，当 P&Q与口尸石。的面积之差取得最大值时，求直线A 2 P的方程.2 2答案：(1)y+-=l；(2)3 x+而y 6 =0或3 x-#y -6 =o.(1)由点到直线的距离得一个。涉 的关系式，已知点的坐标代入又得一个关系式，两者联立解得。力，得椭圆方程;(2)设直线为夕的方程为 =，芍+2(m。0),依次求得p点，。点，。
42、点，E点坐标，然后计算面积之差S 桃 再 结 合 基 本 不 等 式 求 得 最 大 值.由此可得直线方程.b解：(1)由题意知4(凡0),A(一凡0)，B(O,b),则直线48的方程为y =x +/7,a即bx-ay+a b O,所以点&到直线AB的距离d=2 ab 4n bJ/+/7即A勺2=3.a2 4又椭圆。过点1 4 2,V2 ,所 以=+言=1.3 a2 b27联立，解得。2=4，b1=3.故椭圆C的标准方程为上+工=1.4 3（2）由（1）知4 2（2,0）,直线/的方程为x =-2.由题意知直线右尸的斜率存在且不为0,设直线劣尸的方程为x =my+2（/7?。0）,联立x=-2
43、,x =+2,x=-2,解得，4y =l m联立x=my+2(m w 0),2 2J 匕=1,1 4 3消去 X 整理得(3 m2+4)/+12 my=0,1 o解得y=或由点。异于点为可得。-6 4+8 1 2 m )、3 m2+4 3 m2+4)所以直线QQ的 方 程 为 孕-W(x+2)-(锣 二 +2(丁一3 =0,3 m +4 m)1 3 勿 厂+4 J m)令 片含3，所以=2-/1 2 m23 m2+2所以 P Q与口尸后。的面积之差为SPA iQ-S 总0=2 S g .（利用点的对称关系，将面积差问题转化为求S时后）”-9 1 1 2 m2因 为 时 _ 了571上粤*4 8
44、 太m 3 +2 3|句 +2 m当且仅当用=逅时取等号.3（在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧）故当 叫。与口口。的面积之差取得最大值时，直线4 P的方程为3x+逐y 6=0或3x y 6=0.关键点点睛：本题考查求椭圆方程，考查直线与椭圆相交问题，解题方法是解析几何的基本方法：设 直 线 方 程 为 工=阳+2(加。0),直线与直线相交得交点坐标，直线与椭圆相交得交点坐标，然后求得三角形面积(之差)，再结合基本不等式求得最大值,得出结论.22 2.已知函数 f(x)=ax-F1(Q G R).ex(1)若函数/(x)在区间(1,)上单调递增，求实数。的取值范围；(2)
45、当Q HO时，讨论函数g(x)=/(x)-。一3的零点个数，并给予证明.答案：(1)(2)当a 0时，函数g(x)有两个零点，证明见解析.2 2(1)由题意得/(幻2 0,即。之二在区间(1,+8)上恒成立，求取丁 最大值即可；e e(2)对参数分类讨论，通过对函数求导，分析单调性再结合零点定理即可得出结果.2解：(1)f (x)=a-2由题意得r w o,即。之 在 区 间a，y)上恒成立.e2(2、2当X(1,”)时，e 0,-,所以e I ej e故实数。的取值范围为：，+8；2(2)由已知得 g(九)=-U 2,en ,2 tze _ 2则 g(x)=a-1 =.当a0时，g(x)0,
46、g(l)=一 一2 0时,令g(x)v。，得元 0,得xln,函数g(x)单调递增,(In x v 在(0,+8)上恒成立)由于x ln x,所 以 竺2 2 n 2,所以g(x)在 n 2,二 上存在一个零点.a a a a a)(.2)(Q2+Q+2)2 2又g ln -=a a-n-,且In-0 在(0,+)上恒成2a2+a+2 a2+a+2立，故以。)在(0,+a)上单调递增.而入(0)=0,所以(a)0在(0,+8)上恒成立，所以g(ln-丁 2二 0,I a+a+2 J所以g(x)在(in-2_ ,卜-|上存在一个零点.综上所述，当a 0时，函数g(x)有两个零点.思路点睛：利用导数的方法判定函数零点个数时，一般需要先对函数求导，利用导数的方法判定函数单调性，确定函数极值和最值，即可确定函数零点个数.(有时也需要利用数形结合的方法进行判断)