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1、2021年安徽省安庆市高考数学模拟试卷(文科)(二模)一、选 择 题(共 12小 题).1.若集合 M=x 0 mX-X 2l恒成立，则实数，的最大值为()A.炳 B.2 7 3 C.4日D.57 3二、填 空 题(共4小 题).13.命 题u3.r GR,f-1 0,0(p 0,e为自然对数的底数，ae R.(I )当。=-1时，讨论了(%)的单调性；(I I)若函数/(x)的导函数，(x)在(0,n)内有且仅有一个零点，求。的值.2 1.已知椭圆C：+=1 (b 0)的左、右焦点分别为Q (-c,0)和F 2 (c,0),6 b2P为椭圆C上任意一点，三角形P F t F 2面积的最大值是
2、3.(I)求椭圆C的方程；(I I)若 过 点 0)的直线，交椭圆C于A,B 两 点,且Q得。)证明:俞 正 为定值.(二)选考题：共 10分.请考生从第22,2 3 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第题目计分.选修4-4：坐标系与参数方程Y=T C O S 6a(e为参数，常数 0).以坐标原点为y=r s in y极点，X轴非负半轴为极轴建立极坐标系，并在两坐标系中取相同的长度单位.曲线C 2的极坐标方程为p2-8 p s in 0+1 5=O.(I)若曲线G与C 2有公共点，求r的取值范围；(H)若r=l,过曲线G上任意一点P作曲线C 2的切线，切点为。，求I P Q的最小值.选修
3、4-5：不等式选讲(本小题满分。分)2 3.已知函数/(x)=|3 x+l|+|x -2|.(I )解不等式：f(x)5；(I I )若关于x的不等式f (x)+z在 0,3 上恒成立，求实数i的取值范围.参考答案一、选 择 题(共12小 题).1.若集合 M=x|0 xW3,N=x|+x-2 W 0,则 M C N=()A.(0,I B.(0,3J C.(0,2 D.(-2,1J解：因为 M=x0 xWl,N=*|f+x-2W 0=x|-2WxWl,所以 MCN=x0 xWl=(0,1.故选：A.2.若复数z满足z(1+i)=2-2i(i为虚数单位)，则|z|=()A.1 B.72 C.M
4、D.2解：【方法一】复数z满足z(1+i)=2-2i(i为虚数单位)，.2-2i (2-2i)(1-i)+j2)；.|z|=|-24=2.【方法二】复数z满足z(i+i)=2-2i a为虚数单位)，则|z(1+0|=|(2-2/)I，即团|l+i|=|2-2i|,；.|z|&=2 加，|z|=2.故选：D.3.机器人是一种能够半自主或全自主工作的智能机器.它可以辅助甚至替代人类完成某些工作，提高工作效率，服务人类生活，扩大或延伸人的活动及能力范畴.某公司为了研究M、N两个机器人的销售情况，统计了 2020年2月至7月M、N两店每月的营业额(单位：万 元)，得到如图折线图，则下列说法中错误的是(
5、)*/力(M店.N店A.N店营业额的平均值是2 9B.M店营业额的平均值在 3 4,3 5 内C.N 店营业额总体呈上升趋势D.M店营业额的极差比N店营业额的极差大解：对于A,N店营业额的平均值是上X (2+8+1 6+3 5+5 0+63)=2 9,所以4正确；6对 于 B,例店营业额的平均值是工X (1 4+2 0+2 6+4 5+64+3 6)=3 4 W 3 4,3 6J,所 以B6 6正确；对于C,由图象知N店营业额总体呈上升趋势，所以C正确;对于。，M店的极差为64-1 4=5 0,N店的极差为63-2=6 1,且 5 0 61,所以。错误.故选：D.4.已知函数x)=(1 -/)
6、+、12XRD.-*-4(左R)是 R上的奇函数，则/(2)/(-2)=()C 225-16D 莘解：根据题意，函数/(x)=(1 -r)2A+-(r e R)是 R上的奇函数,2X则/(0)=(1 -f)2 +衰 =1 -f+I=0,解可得 f=2,所以 6)=2-2.贝,(2)=劣-22 2故 f(2)f(-2)=-f2(2)=_ g .162 154，故选：C.5.在 A B C 中，a,b,c 分别是/A,NB,/C的对边.若m 儿 c 成等比数列，且/+后,=j+a c,则N A 的大小是（)A.工6c空1D 冗3【解答】解析：由已知得b 2 二a2+V3bc=c2+ac可化为b2+
7、c 2-a 2=b c.于是c。正当，7T故选：A.6.设首项为1 的等比数列 斯 的前 项和为S”且$6=9 5 3.则Iog2（ia2 a3.20）=（）A.200 B.190 C.180 D.170解：由题意q/1,由9s3=S6得:9(l-q3)_ l-q61-q 1-q解得q=2.A an=2n-1,nN*,al a2 a3 a2 0-(.a 1a2 0)-2，l o g2(a j1 a2 a3.a2 0)=l o g221 9 0=1 9 0.故选：B.2 27.顶点在坐标原点，焦点是双曲线工一工-=1 的左焦点的抛物线标准方程是()4 5A.x=2 y B.y1=-12x C.y
8、2=-4x D.y2=l2x解：因为 J=4+5=9,，c=3,AF(-3,0),-3,:.p=6,/.y2=-12x.故选：B.R 1 IT8.已知 sin(a-4 n)=,贝 U cos(-2 a)=()6 3 3A.B.C.D.3 3 9 9解：由已知s i n(a4 7 i)=，6 3可得s i na）=s i n兀-（a 兀）=E6 6 3jr jr 1 7所以 co s （2 a）=1 -2 s i n2（a）=1 -2 X=.3 6 9 9故选：D.2 x-y+209.如果点P （x,y）在平面区域（x-2 y+l0上，则 弓 的 取 值 范 围 是（）乂3-2 4 0A.-2,
9、g1 B.-2,啕2 c -2,1寺 1D.-卷，2 O N o u解：如图，先作出点尸（X,y）所在的平面区域.要 表 示 动 点P与定点。（2,-I）连线的斜率.x-2/x-2y+l=0/x=l联乂 ，解得 x+y-2=0 Iy=l千日1 1+1 c.0+1 1十小=言-2,kQF=7r r=T-因此-2 4吗4分.x-2 31 0.执行如图所示的程序框图，若输入的f为区间 士，1 0 内任意一个数，则输出的M取值范围为（）A.(-8 ,-2)U,+8)B.-2,卞C.0,-U2,+8)D.(-oo,-2)U0,解:由题意知，M(t)=(l g t V+ll g tl g t,l g t+
10、1 1t ll t 1 0当系t l时，、”驾等=l g t+自2,当且仅当土斗寸取等号当 14W 10 时，M(t)=7 -=1 1 是增函数,0 4M(t)心|-对恒成立，则实数机的最大值为()A.aB.2百C.4 73D.5百解：f,(x)=2(a+l)x=2(a+1)X+a-X X.因 为/(1)=-7,所以金 J +二-7,a=-3.f(x)=-3 lnx-2 x2+l.2因此(x)=-4-3 f(x)在(0,+8)内单减.x.不妨设为%2 0，则/(为)m|为-刈 就 是/(X 2)-f(X l)m(X|-%2)即/(X 2)+/n r 2 /(X )+小恒成立.令g (x)=f(
11、x)+?x,x 0,则 g (x)在(0,+8)内单减，即 g,(x)W O.g (x)=f7(x)+m=-4x+n t 0，X。.而X 小巧，当且仅当X岑 时，+4x取到最小值孰行，所以 n t 44V .故选：C.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.1 3 .命题“m x e R,f -1 /3X_-解：根据全称命题的否定是特称命题，得；命 题F x e R,X-的否定是：“V x CR,x-1.故答案为：“v x e R,f 示.1 4.设“，n G R,向量;=(?,1),(-1,0)若1 1 章1 1 n=2，则的值是3解：因为Z j_ E，所 以-+=().又 因 为
12、|=2，所 以+1=4,/=3.于是 m nnf3.故答案为：3.1 5.已知过点（0,1）且斜率为k的直线/,与 圆C：（x-2）2+（y -1）2=2交 于M,N两点，若弦M N的长是2,则 上 的 值 是 _ 返 _.3解：直线/的方程为=丘+1，即A x-y+l=0,.圆C：（x-2）2+（y-I）2=2的圆心坐标为（2,1）,半 径 为 且 弦M N的长是2,.n-|2 /|2 k-l+l|s 2解 得 仁 士 返.3故答案为：土浮.OTT n1 6.已知函数/（x）=2s i n （o）x+（p）（a）0,0 （p -）,工=-为/（工）的一个零点，X=；为y=f（X）图象的一条对
13、称轴，且/（X）在（二 不，3）内不单调，则 3 的320 21 6最 小 值 为 学.一4-解：由题意知47 T.33+0 =k 1 兀1，则nn 2 4=k2K-t-由0 野看 j2 4 2得，-4k 0,当舟=0时，3撩，则f （x）=2 s i n 0 x。）.ST C T：百 冗c 3 兀,兀，CT T k ,8 n兀/冗 8 n兀由-+2 nx+2 n,一冗+-x 2 4 2.n n+15=/|+岳+瓦,/.Sn=2-23+3-24+-+n-2n+1+(n+l)-2n+2.2S=2-24+3-25+-+-2,+2+(+1)-2H+3.-S=2-23+24+25+-+2n+2-(n+
14、1)-2+3=2?+隼-岁 一 (n+1)2n+3=2+3-n-2n+3-2+3=-n-2n+3.S n=n.293.19.如图是矩形4 B C D和以边A B为直径的半圆组成的平面图形，A B=2 A D=2 a.将此图形沿A B折叠，使平面ABC。垂直于半圆所在的平面.若点E是折后图形中半圆。上异于A,8的点.(I )证明：E A C；(I I )若 异 面 直 线A E和DC所 成 的 角 为 多，求 三 棱 锥D -A C E的体6解：(I).平面ABC。垂直于圆0 所在的平面，两平面的交线为AS BCu平面ABC。,BCVAB,.8C垂直于圆。所在的平面.又 E4在圆。所在的平面内，
15、.BCLEA.是直角，：.BE EA.而 BEu平面 EBC,8Cu平面 EBC,.EA_L平面 EBC.又ECu平面 EBC,：.EAEC.jr(I I)因为在矩形ABCD中，A B/C D,直线AE和 0 c 所成的角为一，6过 E 作E F 1 A B于F,则 EF_L平面ABCD.又 AB=2a,NBAE=t，所以 AE二 a,EF=-a,i19因此 S 2 U C D 4xA D X C D qX aX 2a=a.于是VD-ACE=VE-ACDX S&C DX E FX a?x 条书a?即三棱锥。-ACE的体积是返.62 0.已知函数/(x)=e*+acosx,其中x0,e 为自然对
16、数的底数，ER.(I)当。=-1时，讨论/(x)的单调性；(I I)若函数f (x)的导函数，(X)在(0,n)内有且仅有一个零点，求。的值.解：(I)当。=-1 时，f(x)=/-cosx,则(x)=/+siav,因为x 0,所以储 1,-lsi nxl,因此，(x)0,故函数/(x)在(0,+)内单调递增.(II)由/(x)=e -si nx=0,得 4 si nx=/,因为 xW(0,7 1),所以 si nx 0,因此 a=-，si nx令g=二，0 x n,则g si nx si n xIT由 g (x)=0,得 x=,，4jr jr当0 X 1-时，g(x)0；当 丁 0,4 4j
17、r K故g CO在(0,；)单调递减，在n)单调递增，4 4所以式x)1d l i=g(?)=V 4,J T故 r -a=v 2e2 221.已知椭圆C：=且7=1(b 0)的左、右焦点分别为Q(-c,0)和F 2(C,0),6 b2P为椭圆C上任意一点，三角形P F tF 2面积的最大值是3.(I)求椭圆C的方程；(1 1)若 过 点 。)的直线,交椭圆C于4 8两 点,且。得。)证明：前取定值.解：(I )由题意知。2=6 -戍.a分)当 尸 点 位 于 椭 圆C短 轴 端 点 时，三 角 形PF iF i的 面 积S取 最 大 值，此时sm a x4x 2 c X b=b c=3-.所以
18、6 2c 2=9,即/(6 -Z?2)=9,解得力2=3.2 2故椭圆C的 方 程 为 壬 义-二1.6 3(I I )(方法1)当直线/的斜率不为0时，设直线/：x=my+2交椭圆于A(xi,y),B(X2，7 2).由了 产2=一x=my+2Lx2+2y2=64m消 去 x 得，（/+2 ）/+4/n y-20则2而QA=（xf yiy2=T T -m+N m+N1个，y 1，而=2告,y2）所以 9 9 2 1 1QA-QB=（X 1）（X2-）+y 2 =（1+D y iy 2-1 m（y i+y 2）F（W+D（一m2+2 4 皿？+2 1 6 产+2 1 6 16当直线/的 斜 率
19、 为 0 时，A（V 6.0），B（-V 6.0）则QA-QB=（V 6-7-。）.（-五之。）=-6+=.4 4 l b l b故QA QB为定值且为-.（方法2）当直线/的斜率存在时，设直线/：y=k（x-2）交椭圆于A Cxi，yi）,B（%2.y2）.y=k（x-2）,.由10 9 消去），得，（2 炉+1）*2-8 启什8&2-6=0.txJ+2y=6m 8k2 8k2-6则 X 1 +x9=-9-Xi Xo=-9-.2k，l 2 k 4 l而QA=（X告，y j）QB=（x2-1-V2）-所以QAQB=（X等）（x 2-*）+y 1丫2=（k2+l）X x2-（2k2号）（X+x2
20、）+4k2tI=（k M）.-4-（2k24）-+4k24 12k2+1 4 2k2+1 16-12k2-6 81.81 15=-4 =-h+=-.2k2+1 16 16 16当 直 线/的 斜 率 不 存 在 时，可 求 得 A （2,1）,B（-2 ,1 ）,则 赢 砾（2-J，1）“2年，-1）=与-1=-竽.4 4 16 16故赢瓦为定值，且为一 看.（二）选考题：共 10分.请考生从第22,2 3 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第题目计分.选修4-4：坐标系与参数方程2 2 .在直角坐标系X。)，中，曲线G：x=r c,s(。为参数，常数，().以坐标原点为l y=r s i
21、 n B极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，并在两坐标系中取相同的长度单位.曲线C2的极坐标方程为p2-8 p s i n 9+15=0.(I )若曲线G与C2有公共点，求/的取值范围；(II)若r=l,过曲线G上任意一点P作曲线C2的切线，切点为Q,求 的 最 小 值.解：(I )曲线C1的普通方程为/+尸=/(r 0),曲线C2的普通方程为，+(y-4)2=1若 G 与 C2 有公共点，则|r-1 1 4*7(0-0)2+(4-0)r+1)所以3W:W5.(II)设 一(c o s a,s i n a),由|P Q|2=|P C2 I 2-I C2Q|2=|P C2 l l，得|P Q)
22、=c o s%+(s i n a -4)2-1 =16-8 s i n a 16-8=8.当且仅当s i n a=l时取最大值，故IP QI的最小值为2页.选修4 5 不等式选讲(本小题满分0 分)2 3.已知函数/(X)=|3x+l|+|x-2|.(I )解不等式：f(x)5；(II)若关于X的不等式/(X)；?+加在0,3上恒成立，求实数，的取值范围.解：(I )由|3x+l|+|x-2|5 得，x5解得xV -1或1 V x V 2或亢2 2,故不等式/(x)5的解集为(-8,-1)u (1,+8).(II)由题意知，当xW 0,3时,|3x+l|+|x-+?恒成立.若 0 W x V 2,贝ij 3x+l+2 -%2/+机，可得m w (-X2+2X+3)”加=3；若 2 W x W 3,贝!J 3x+l+x-2 2,+相，m W(-f+4冗-1)而=2.综上可知，实数/(x)的取值范围是(-8,2 .K2 3X+1+X-253x+l-x+25 l+l+x/