《2021年广东省汕头市高考数学三模试卷（解析版）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021年广东省汕头市高考数学三模试卷（解析版）.pdf（22页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2021年广东省汕头市高考数学三模试卷一、单项选择题(共8 小题).1 .已知复数2 =&+。是 Z 的共规复数，4=g，Z 0 在复平面内对应的点位于()ZA.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2 .已知全集U=R,集 合 A=)f v=f+2 ,集 合 B=x|9-f 0 ,则阴影部分表示的集合A.-3,2 B.(-3,2)C.(-3,2 D.-3,2)3 .现有红、黄、蓝、绿、紫五只杯子，将它们叠成一叠，则在黄色杯子和绿色杯子相邻的条件下，黄色杯子和红色杯子也相邻的概率为()1 1 1 9A.B.C.D.10 3 4 34 .已知*是数列小 的前项和，则 5“+1+2$川
2、=3$对22恒成立”是“m 是公比为2的等比数列”的()A,充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5 .已 知 是 定 义 在 R上的函数，满足V x C R,都有/(x)=/(-%),且在 0,+8)上单调递增.若a=f(/)，6=.f(si n l),c=/(c o s2),则 a,b,c 的大小关系为()A.a b c B.b a c C.a c b D.c a b6.区块链作为一种革新的技术，己经被应用于许多领域，包括金融、政务服务、供应链、版权和专利、能源、物联网等.在区块链技术中，若密码的长度设定为2 5 6比特，则密码一共有2 2 5 6种可能，
3、因此，为了破解密码，最坏情况需要进行2 2 5 6次哈希运算.现在有一台机器，每秒能进行2.5 X 1 0”次哈希运算，假设机器一直正常运转，那么在最坏情况下，这台机器破译密码所需时间大约为()(参考数据这2 七0.3 0 1 0,四 3 Q0.4 7 7)A.4.5 X 1 0 7 3 秒 B.4.5 X 1 0 65 秒 c.4.5 X 1 0 7 秒 D.2 8 秒2 27.设厂是双曲线3-J=l的右焦点，双曲线两渐近线分别为八，11,过 点 F 作直线/i的垂线，分别交/i,6于 A,8两点，若 A,8两点均在x轴上方且|O A|=3,OB=5,则双曲线的离心率e 为()A考B.2C.
4、娓D.建8 .已知定义在R 上的函数/(x)的导函数为/(x),且满足/(x)-/0,/(2021)e 2M,则不等式f (l l n x)-ABCD的棱长为a,线段BD上有两个动点E,F,且E F=u,2以下结论正确的有（）A.A C L BEB.点 A 到平面B E F 的距离为定值C.三棱锥A-B E F的体积是正方体A BCD-A B i G A体积的士12D.异面直线A E,B F 所成的角为定值1 2 .画法几何的创始人一法国数学家加斯帕尔蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.己知椭圆2 2 后C：3yg7=1 （
5、力 0）的离心率为江，FL尸 2 分别为椭圆的左、右焦点，4,Ba2为椭圆上两个动点.直线/的方程为云+砂-层-。2 =0.下列说法正确的是（）A.C的蒙日圆的方程为;+炉=3 后B.对直线/上任意点P,PAPB0C.记点A到直线/的距离为4,则 d-I A B I 的 最 小 值 为 延 7?3D.若矩形例N G”的四条边均与C相切，则矩形M N GH面积的最大值为6 三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分.1 3 .函数 =户-3+1（a 0且QWI）的图象恒过定点A,若点A在 直 线 松-1=0 上，其中?0,n 0,则m n的最大值为.1 4 .已知非零向量z，E 满 足
6、 国=2 1 口且则Z 与E的夹角为1 5 .沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时，如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为1 0 cm,细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的晟(细管长度忽略不计).若细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则 此 锥 形 沙 堆 的 高 度 为.1 6 .已知数列 斯 满足。|+3 4 2+5 4 3+(2 -1 )如=3 ,则。3=，若对任意的 6 N,如(-1)队恒成立，则入的取值范围为.四、
7、解答题：本大题共6 小题，共 70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1 7 .在 (s inB+s inC)2=s in2A+3 s inB s inC,2 c=2 a c os B+b,bc os C+c c os B -2 a c os A=0这三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答问题.在 A B C 中，内角A,B,C的对边长分别为a,b,c,月.(1)求角A的大小；(2)若 A 8 C 是锐角三角形，且 6=2,求边长c 的取值范围.1 8 .已知数列 为 的 前n项 和 为 S”，数 列 包 是首项为公差为金的等差数列，若印n 2 4表示不超过x的最大整数，如 0.
8、5 =0,%4 9 9 =2.(1)求数列”“的通项公式；(2)若 d=如,J,求数列 儿 的前2 0 2 0 项的和.1 9 .已 知 是 正 三 角 形，线段A E和 CD 都垂直于平面A 8 C,且 A E=2 C =2,F为 BE的中点，设平面B D E C 平面A B C=/.(1)求证：DF/1；TT(2)当平面8 0 E 与平面A 8 C 所成的锐二面角为七时，求几何体4 8 C L 陀的体积.2 0.已知圆C：/+(y-2)2=1 与定直线I：y=-l,且动圆M 与圆C 外切并与直线/相切.(1)求动圆圆心M的轨迹E的方程；(2)已知点P 是直线小 y=-2 上一个动点，过点尸
9、作轨迹E 的两条切线，切点分别为 A,B求证：直线AB过定点.求证：Z P C A =ZPCB.21.第 13届女排世界杯于2019年 9 月 14日在日本举行，共 有 12支参赛队伍，本次比赛启用了新的排球用球，M 1K SA-V200W,已知这种球的质量指标(单位：g)服从正态分布 N(270,52).比赛赛制采取单循环方式，即每支球队进行11场比赛(采取5 局 3 胜 制)，最后靠积分选处最后冠军，积分规则如下：比赛中以3：0 或 3：1取胜的球队积3 分，负队积0 分;而在比赛中以3：2 取胜的球队积2 分，负队积1 分.已 知 第 10轮中国队对抗塞尔维亚队，设每局比赛中国队取胜的概
10、率为p(0 p l)(1)若比赛准备了 1000个排球，请估计质量指标在(260,265 内的排球个数(计算结果收整数).(2)第 10轮比赛中，记中国队3：1取胜的概率为f (p).(i)求出/(p)的最大值点po；(i i)若以po作为p 的值，记 第 10轮比赛中，中国队所得积分为X,求 X 的分布列及数学期望.参考数据：若 XN(n，。2),则(N-。Xn+o)0.6826,p(p-2 o X 0 ,则阴影部分表示的集合A.1-3,2 B.(-3,2)C.(-3,2 D.-3,2)解:集合 A=y|y 2 2,B=x-3x所以。+|=2，2,所以从第二项开始，斯 是公比为2的等比数列，
11、由于不知道m与 s的关系，故无法判断 斯 是公比为2的等比数列，故不满足充分性;当 知 是公比为2的等比数列，*.Sn+i-S”=2(Sn-S-1),”22.S“+i+2Se=3S对附2恒成立，满足必要性；故S6+2si=3 S“对 恒 成 立”是“m是公比为2的等比数列”的必要不充分条件.故 选:B.5.已知/(x)是定义在R上的函数，满足VxeR,都有/(x)=/(-x),且在 0,+8)上单调递增.若a=f(/)，8=/(sinl),c=/(cos2),则a,b,c的大小关系为()A.abc B.bac C.acb D.cab解：由题意，得f(x)为偶函数且在 0,+8)上单调递增，因为
12、 0V-cos2V返Vsinl,2所以/(-cos2)=f(cos2)/(y),即 ba,因为-co s2 V*,所以f(-co s2)=f(cos2)ac.故选：B.6.区块链作为一种革新的技术，己经被应用于许多领域，包括金融、政务服务、供应链、版权和专利、能源、物联网等.在区块链技术中，若密码的长度设定为256比特，则密码一共有2256种可能，因此，为了破解密码，最坏情况需要进行2256次哈希运算.现在有一台机器，每秒能进行2.5X10次哈希运算，假设机器一直正常运转，那么在最坏情况下，这台机器破译密码所需时间大约为（）（参考数据这2弋0.3010,卜 3处0.477）A.4.5X1073
13、 秒 B.4.5X 1065 秒 C.4.5X 10,秒 D.28 秒解：设这台机器破译密码所需时间大约为x 秒，则:x2.5X 1011=2256,两边同时取常用对数得：l g（X-2.5X1011）=/煜256,：.lgx+lg2.5+lg 10=256/g2,Igx+lg5-/g2+l 1 =256/g2,.lgx+1-g2-/g2+l 1 =256/g2,：.lgx=258lg2-12=258X0.301-12=65.658,.X g 1065-658=1065 X IQ0 6 5 8,而/g4.5=/g_1=2/g3-/g2心0.653,A 1006584.5,.x4.5X KF,故
14、选：B.2 27.设 F 是 双 曲 线 三-七=1 的右焦点，双曲线两渐近线分别为/”h,过点尸作直线的垂线，分 别 交,2于 4,B 两点，若 A,8 两点均在X轴上方且|OA|=3,|O B|=5,则双曲线的离心率e 为（）A.零 B.2 C.娓 D.巫解：在直角三角形AO8中，|。4|=3,OB=5,可得依8|=痣 2 7 =4,可得 tan Z/1 0 B=-L=4;|0A|3由直线/i：j=x,直线，2：y=-x,a a由直线/l到直线/2的角的正切公式，可得b bt a n N A O B=-=,b、b 31+()a a化简可得b=2a,即有e故选：c.8 .已知定义在R 上的函
15、数f(x)的导函数为/(x),且满足/(x)-/(x)0,/(2 02 1)=/。2 1,则不等式f(llnx)当q的解集为()eA.(e2 02 1,+8)B.(0,e2Q21)C.(/2吟+oo)D.(0,e2 02,9解：令g(x)=4 g,则g(X)工(x)；f(x)o,e e：.g(x)在 R 上单调递增,1 f(2 02 1)令 t=lnx 则(-lnx)/,即为 1 2 02 1 ，即为 g(，)g(2 02 1),.2 02 1,即!lnx 2 02 1,解得 0 x b 0)的离心率为在，F t,尸 2 分别为椭圆的左、右焦点，4,Ba bJ 2为椭圆上两个动点.直线/的方程
16、为6 x+a y -层-接=0.下列说法正确的是()A.C的蒙日圆的方程为f+产=3/B.对直线/上任意点P,p A p B 0C.记点A到直线/的距离为d,则d-g F z l的最小值为3D.若矩形M N G H的四条边均与C相切，则矩形M N G H面积的最大值为砧？解：对于4因为点Q S,b)在蒙日圆上，所以方程为/+)2=a2+b2,又e=Jl*:=返，所 以 层=2 ，故A正确；a V a2 2对于&因为/过顶点P(b,a),而又。满足蒙日圆方程，所以点P在圆/+)2=3加上，当A,B恰为切点时，而 丽=71=tr,即点F i到直线/的距离d=卜-I=1咛1+1=林 氏,A/a2+b
17、2 /a2+b2 3所以|d -AF2min=-b -2 a,故 C 不正确；3对于力：当矩形四边形与椭圆C相切时，它为蒙日圆的内接矩形，对角线为蒙日圆的直径，设边长为x,y,则 好+二(2 r)2=4 3=1 2，2上2所以5矩=662,故力正确；2故选：AD.三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分.1 3.函数y=a3+i(q o且 的 图 象 恒 过 定 点A,若点A在直线a+丫 -1 =0上,其中机0,0,贝卜的最大值为 义 .一 2 4 1解：因为当 x=3 时,y=a33+=2f所以函数y=-3+i（）且 a H l）的图象恒过定点A（3,2）,又点A在直线mx+ny
18、-1=0 ,所以 3/H+2H-1=0,即 3?+2=1,因为20,0,6 6 2 6 4 2 4当且仅当3m=2n=，即m=，n 时取等号，2 6 4所以m n的最大值为2 4故答案为：77-.2 4TT14.已知非零向量Z，芯满足|口=2阴，且（二-芯）b 则Z与工的夹角为一.O解：.非零向量Z，E满足q =2后|,且（a-fe）1 b 设之与芯的夹角0，则（；-0 元=；,。3 2=2 后卜后际8-I、。，L s s e T，二。=3,4oIT故答案为：.15.沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成,开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流
19、到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时，如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为0crn,细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的弓（细管长度忽略不计）.若细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则此锥形沙堆的高度为2.96cm.（精,细沙的体积为 X 兀当=2。黑 三力,设细沙流入下部的高度为加，根据细沙体积不变，可知看X 7 l X 2 5 X h 上缥工，解得9 6c mo 1 o l 1 Z f故答案为：2.96c/n.1 6.已知数列数夕满足ai+3 a2+5的+(2 -1)斯=3 ,则。3=_学_，若对任意的吒N*,5仇(-1)队恒成立，则人的取值范
20、围为-3,2.解：数列 斯 满足“1+3。2+5。3+(2 n-1)an=3 ,当=1 时，0=3,当”2 时，1+3 a 2+5 的+(2-3)an-i=3n -得：(2 n-l)a n=瞑-3 n T=2 X 3 n T,所以a =2X 3,(首相不符合通项)，n 2 n-l3(n=l)故 aj 2 X 3 k l1 2n-l(n2)所以 b对任意的吒N*,(-1),恒成立,所以当n为奇数时，-入，即 入 2-。恒成立，即入，(-an)max,所以入 2-1 选条件，因为 bcosC+ccosB-2QCOSA=0,sinBcosC+sinCcosB-2sinAcosA=0.sin(B+C)
21、=2sinAcosA,即 sinA=2sinAcos4因为 OVAVn,sinAWO.-A 1 CSA=5，（2）因为A-了，ZVIBC为锐角三角形,所以1 23在ABC 中，一 一二sinC,2 兀所 以 二 2 sin(3 TsinB即9 +1tanB由可得,6 2所以0 二/tanB v。,解 得?B 萼上 6 2T2sinB a 13)_ 2 宁osB守i n B)避cosB+sinB，sinB sinBtanB,所以 l c当 心 2 时，a=S-S J l l _(n-l)24 n-l=n,an dn dn-l 4 4 2又 a1 也适合上式，所以 a n=f(n N*)bn=lg
22、 an=lg y 当=1 时，-l/g i 0；当 zi=2,3,4,19 时，0W/ga“l；当=20,21,2 2,，199 时,lW/gq“V 2；当”=200,201,2 0 2,，1999 时，2W/gz3；当=2000,2 0 0 1,，2020 时，3W/ga“-2)2=1与定直线/：y=-1,且动圆M与圆C外切并与直线/相切.(1)求动圆圆心M的轨迹E的方程；(2)已知点P是直线/i：y=-2上一个动点，过点P作轨迹E的两条切线，切点分别为 A,B求证：直线A B过定点.求证：/P C A=N P C B.解：(1)依题意知：M到C的距离等于M到直线y=-2的距离，动点M的轨迹
23、是以C为焦点，直线y=-2为准线的抛物线，设抛物线方程为5=2外(p 0),则=2，.卬=4,.抛物线的方程为炉=8)，,故动圆圆心M的轨迹E的方程为：x2=8 y；(2)证明：由_x 8 4设 A(X ，春 X；)，B(X n，4 X n)P 股-2),(X|声 X 2),则切线P A的方程为：y _ 1 x：=?(x-X i)，同理，切线P 8的方程为：y=-y X n x x 94巳 8/由,_ 1 1 2y Txlx1 xl解得：，,1 1 2一 中 2x=2-X 1+X 2少 2_xlx27n _XlX22 g即：X,+x2=2 t 1 X1X2=-16,V A(X1，京X。，B(x
24、2 yxp-(X 卢X 2)，2 工 2直线AB的方程为：1 2_8_X2 TX1 (、，化简得：yl*2yTXl 一 丁G-X i)7 8 X 8即：y x+2，故直线AB过 定 点(0,2)；由知：直线AB的斜率为kAR=。，(/)当直线P C 的斜率不存在时，直线A 8 的方程为：y-2,：.PC1.AB,J.Z P C A ZPCB,()当直线P C 的斜率存在时，-：P a,-2),C(0,2),.直线 PC 的斜率k p c=-=T，-k k p c=x T*。：.PCL AB,.ZPCA=ZPCB,综上所述：NPCA=/P C B 得证.2 1.第 13届女排世界杯于2019年
25、9 月 14 日在日本举行，共 有 12支参赛队伍，本次比赛启用了新的排球用球，M I K SA-V 2 0 0 W,已知这种球的质量指标S(单位：g)服从正态分布 N(270,52).比赛赛制采取单循环方式，即每支球队进行11场比赛(采取5 局 3 胜 制)，最后靠积分选处最后冠军，积分规则如下：比赛中以3：0 或 3：1取胜的球队积3 分，负队积0 分;而在比赛中以3：2 取胜的球队积2 分，负队积1 分.已 知 第 10轮中国队对抗塞尔维亚队，设每局比赛中国队取胜的概率为p(OVpV l)(1)若比赛准备了 1000个排球，请估计质量指标在(260,265 内的排球个数(计算结果收整数)
26、.(2)第 10轮比赛中，记中国队3：1 取胜的概率为/).(i)求出/(p)的最大值点po：(ii)若以po作为p 的值，记 第 10轮比赛中，中国队所得积分为X,求 X 的分布列及数学期望.参考数据：若 X N(p,。2),则 p(厂 o X n+o)弋0.6826,p(-2o Xn+2o)=0.9544.解：(1)因为 t N(270,52),则P(2 60 g 2 65)-P(2 60&2 8。)/(2 65(,)3p2(3-4 p),Q令 f(p)=0,得pW(p=o 舍 去)，当PE(o,1)时，/5)o,函数/5)单调递增，当P号，1)时，/3。，函数f(p)单调递减，所以/(P
27、)的最大值点p0V.(H)X可能取的值为0、1、2、3,当X=3时，前三均全赢，或者前三场赢两埸，第四场必赢，故 p(x=3)=e)3+*e)3 x！矍,当X=2时，前四场赢两场，第五场必赢，故p(X=2)=C：X 号)3、(2号,当X=1时，前四场赢两场，第五场必输，故p(X=l)=C卜号)2x弓)3号,当x=o时，前三场全输，或者前三场赢一场，第四场必输，故p(X=oY)3+C；X X 号)3嗡所以X的分布列为:X3210P1 89812 71 32 5651 251 22 56则 E(X)=3X 端+2 X 品+1 X 系2 2.已知函数f(xh e X-x2-a x-l,g(x)=c
28、o s x+yx2-l-(1)当a=l时，求证：当x0时，f(x)2 0；(2)若/(x)+g(x)2 0在 0,+8)上恒成立，求a的取值范围.【解答】(1)证明：当。=1时，式乂)=9、4乂2七-1，所以7 (x)-X-1,则/(X)=-1 2 0 恒成立，故/(%)在 0,+8)上单调递增，所以/(x)2/(0)=0,则/(x)在 0,+8)上单调递增，故/(X)2/(。)=0,故原式得证；(2)解：因为/(x)+g(x)=ev+c o s x-ax-2,令 h(x)=d+c o s j i -QX-2,即求解力(x)2 0恒成立,因为(x)=6 -s i n x-a,h (x)=ex-c o s x,又-I Wc o s xWl,故(x)2 0,所以“(X)在 0,+8)上单调递增，则(x)2 (0)=1-。，当1 -a 2 0,即时，H(%)2 0,故Z z (%)在 0,+8)上单调递增,故/(x)2 (0)=0.此时原式成立，故 满 足 题 意；当 1 -a0f 即时，h(0)0,当 x-*+8时，h(x)f+8,故 土 布(0,+8),使得(xo)=0,所 以 当 在(0,刈)时，H(x)0,则(%)在(0,出)上单调递减，故(x)h(0)=0,矛盾.综上所述，的取值范围为(-8,1 .