2021届新高考数学三轮冲刺训练：导数及其应用【含答案】.pdf

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1、2021届新高考数学三轮冲刺训练导数及其应用从高考对导数的要求看，考查分三个层次，一是考查导数公式，求导法则与导数的几何意义：二是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；三是综合考查，如研究函数零点、证明不等式、恒成立问题、求参数范围等.除压轴题，同时在小题中也加以考查，难度控制在中等以上.应特别是注意将导数内容和传统内容中有关不等式、数列、函数图象及函数单调性有机结合，设计综合题，考查学生灵活应用数学知识分析问题、解决问题的能力.e知识必备1、基本初等函数的导数公式(1)(犬)=犷、(a为常数)；(2)()=avln_a(a0 且“#1)；(3)(1 0 )=；loge=J 30

2、，且 a#D；(4)(e)=e；(5)(ln x)=：；(6)(sin x)=cos_x；(7)(cos x)=sin_x.2、导数的运算法则（i）（/u）土 g（x）r =f（x）g（X）；(2)/Ug(x)=/(x)g(x)+r)g(x)；r./(-v)T (x)g(x)/(x)g (x)l g(x)g 2(g(x)#0)3、复合函数的导数若 y=A），u=a x+b,则 y x=y u-u x,即 y*=y a（1）函数的单调性在某个区间（。，份内，如果/（x）0,那么函数y=r）在这个区间内单调递增；如果/（x）0,那么函数y=/（x）在这个区间内单调递减.（2）函数的极值判断/Uo）

3、是极值的方法一般地，当函数人x）在点xo处连续时，如果在X 0附近的左侧/(x)0,右侧，(x)0,那么兀加是极大值；如果在岗附近的左侧/(x)0,那么人次)是极小值.求可导函数的极值的步骤 求/；求方程/(x)=0的根：检查/(x)在方程/(x)=0的根的左右两侧导数值的符号.如果左正右负，那么式x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么./U)在这个根处取得极小值.(3)函数的最值(1)在闭区间 3勾上连续的函数1x)在 a,4上必有最大值与最小值.(2)若函数於)在缶，句上单调递增，则%)为函数的最小值，加)为函数的最大值；若函数於)在 a,上单调递减，则|a)为函数的最大值，式力为函

4、数的最小值.(3)设函数“r)在 a,6 上连续，在，与内可导，求人刈在 a,上的最大值和最小值的步骤如下：求人的在区间，份内的极值；将共x)的各极值与/(a),犬b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.(4)方法技巧1、利用导数的符号来判断函数的单调性；2、已知函数的单调性求函数范围可以转化为不等式恒成立问题；3、H x)为增函数的充要条件是对任意的x e (a,6)都 有/(x)2 0且在(a,6)内的任一非空子区间 上/(x)#0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解.(1)导函数的零点并不一定就是函数的极值点.所以在求出导函数的零点后一定要注意分析这个零点是不是函

5、数的极值点.(2)若 函 数 尸/(X)在区间(a,6)内有极值，那 么y=f(x)在(a,6)内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值.(1)求解函数的最值时，要先求函数y=f(x)在 a,6 内 所 有 使(x)=0的点，再计算函数y=f(x)在区间内所有使F(x)=0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得.(2)可以利用列表法研究函数在一个区间上的变化情况.逻辑推理是得到数学结论，构建数学体系的重要方式，是数学严谨性的基本保证.利用两个经典不等式解决问题，降低了思考问题的难度，优化了推理和运算过程.(1)对数形式：x 2 l +l n x(x 0),当且仅当尤=1时，等号成立.(2

6、)指数形式：e x+l(x G R),当且仅当x=0时，等号成立.进一步可得到一组不等式链：e，x+1 X 1 +l n龙(R 0,且 x W 1).2、一般地，若 公犷)对不。恒成立，则只需4 U)m a x；若。勺(工)对。恒成立，则只需4 ,使”/(沏)成立，则只需。勺5)m a x.由此构造不等式，求解参数的取值范围.1、分类讨论法：常见有两种情况，一种先利用综合法，结合导函数零点之间大小关系的决定条件，确定分类讨论的标准，分类后，判断不同区间函数的单调性，得到最值，构造不等式求解；另一种，直接通过导函数的式子，看出导函数值正负的分类标准，通常导函数为二次函数或者一次函数.提示：求解参

7、数范围时，一般会涉及分离参数法，理科试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，通常需要设出导函数的零点，难度较大.判断、证明或讨论函数零点个数的方法 利用零点存在性定理的条件为函数图象在区间俗，勾上是连续不断的曲线，且共幻7(6)0.直接法：判断一个零点时，若函数为单调函数，则只需取值证明八 )7)0；分类讨论法：判断几个零点时，需要先结合单调性，确定分类讨论的标准，再利用零点存在性定理，在每个单调区间内取值证明火”)6)l)y=/o g a x(a l)y=xn(n 0)在(0，+8)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图像的变化随 X的增大逐

8、渐表现为与y轴平行随 X的增大逐渐表现为与X 轴平行随 n值变化而各有不同值的比较存在一个X O 当 X X o时，有/f gaX Xn+1 =-2（x 1）,即y =-2尤+1.故选：B.2、若 直 线/与 曲 线 广 石 和N+y=（都相切，则/的方程为A.y=2 x+l B.y=2 x+1 1 1C.y=x+1 D.y=x+2/2 2【答案】D【解析】设直线/在曲线y=4上的切点为自，嘉 ），则%0,L，1 ,_ 1函数y=4的导数为y=5厂，则直线/的斜率2 =3廊设直线/的方程为y 一1一%)，即x-2A/y+X o =0,1 x0 1由于直线/与圆/+y =一 相切，则丁“一=y，

9、5 V1+4 j vo J 5两边平方并整理得5x：4 x0 T =0,解 得/=1，x0=-（舍）,则直线/的方程为x-2 y+l =0,即y=l x +_L.2 2故选：D.3、已知曲线y=+xl n x在 点（1,ae）处的切线方程为y=2 x+b,则A.a=e,b=-lB.a=e,b-C.a e b=1D.a=e-h=【答案】D【解析】；y =ae*+l n v+l,.,.切线的斜率 k=y|v=1=ae +1=2 ,.=e-i,将(1,1)代入y=2 x+b,得2+6 =l,b =-l.故选D.4、已知a e R,设函数/*)=,*一2 *+2 “L若关于的不等式/(乃？。在R上恒成

10、立,x-anx.x.则。的取值范围为A.0,1 B.0,2 C.0,e D.l,e【答案】C【解析】当x=l时，/(1)=1 -2 a+2 a=l 0恒成立；当 x 0 2 d f 2令g(九)=,x-1则 g(x)=-(1-%1)2=-(D：l-x l-x 1=一(1 7+1一 2 M 2 .一一当1 x=1,即x=0时取等号，l-x/.2 a g(x)max=0,则。0.x当 x l 时，f(x)=x-a l n x 0,即 I n/x、l n x-1令/Z(X)-L，则。(x)=2，I n x(I n x)恒成立,x-2(l-x)+l-x=0,7-恒成立，当x e 时，hx)0,函数力(

11、x)单调递增,当0 x e 时，(x)0,函数(x)单调递减，则x=e 时，(x)取得最小值(e)=e,二 a /z(x)min=e,综上可知，。的取值范围是0,e.故选C.x,x 05、已知a/c R,函数/(x)=|l 3 1 2 八,若函数y=/(%)一一)恰 有 3 个x (Q+1)X+ctx x 013 2零点，则A.a-,b0 B.a0C.a-,b-,b0【答案】C=W【解析】当 x0 时，y=f(x)-ax-b 2(a+1)f+ax-ax-b 7 2(a+1)x2 b,y =x2-(tz+l)Xr当 iz+l 0,即-1 时，令 y 0 得 3+1,+oo),此时函数单调递增，令

12、 y o 1 4(a+1)3-4(a+l)(a+1)2-&-2解得匕 0,b 6(+l)3,则 a-l,Z xO.故选C.6,曲线y=3(/+x)e，在点(0,0)处的切线方程为.【答案】3 x-y=0(解析y =3(2 x+l)ex+3(x2+x)el=3(x2+3 x+l)e 所以切线的斜率A=了1=0=3,则曲线y=3(犬+x)e 在点(0,0)处的切线方程为y=3 x,即3 x_ y=047、在 平 面 直 角 坐 标 系 中，P是曲线y=工+。0)上的一个动点，则点P到直线x+y =0的x距离的最小值是一 .【答案】444【解析】由 y=i+(x 0),得 y =l一一y,xx44设

13、斜率为一 1的直线与曲线y=x+(x 0)切于(%,天+一)，X%0由1一m二一1得(%=一0舍去)，X()工曲线y=%+-4(x 0)上，点尸(、万7-,3&L)到直线+y=0的距离最小，最小值为x2+3阀V i2+ir =4故答案为4.8、设函数/(x)=e+ae-*为 常 数).若”x)为奇函数，贝 U用；若/(x)是 R上的增函数，则。的取值范围是.【答案】一1 (F,。【解析】首先由奇函数的定义得到关于。的恒等式，据此可得。的值，然后利 用/(幻2 0 可得a的取值范围.若函数/(x)=ev+aex 为奇函数，则/(-%)=-/(%),即 e-v+ae*=-(eA+tie-1),即(

14、a+l)(eA+e-)=0 对任意的x 恒成立，则 Q+1 =0,得 Q=1.若函数 x)=e+a e r是 R上的增函数，则/(x)=e-四一 2 0 在 R上恒成立，即aWe?*在 R上恒成立，又 e2 t ()，则 a W 0.即实数的取值范围是(一 8,0.9、已知函数/(尤)=e+2-x.(1 )当时，讨论/(X)的单调性；(2)当xK)时，f(x)-x3+l,求的取值范围.【解析】(1)当。=1时、/(X)=铲+亢2 羽 则r(x)=e+2x 1.故 当 入 e (-co,0)时，fx)0.所以/(%)在(TO,0)单调递减，在(0，+8)单调递增.(2)/(幻 N；V+1 等价于

15、 g 1 一如?+x+l)e-*0),则1 3gx)=-(-x-ax2+x+x2+2ax-)ex=_(2。+3 +4 a+2 e-2=x(x 2 a l)(x 2)e ,2(i)若 2 a+l W 0,即“W-g,贝 I 当 xG(0,2)时，g(x)X).所以 g(x)在(0,2)单调递增，而g(0)=1,故当xW (0,2)时，g(x)1,不合题意.(i i)若 0%+12,即则当 xd(0,2 fl+l)U(2,+o o)时，g(x)0.所以g(x)在(0,2+1),(2,+8)单调递减,在(2 4+1,2)单调递增.由于g(0)=l,所以g(x)W l7-e2当且仅当g(2)=(7-4

16、)e 2 q,即论-.4一 7-e2 1所以当-。-,则g(x)W(gx3+犬+1把 一 二7 _ p2 1 1由于0 w 二 为)，故 由(i i)可得(/V+x +De T q.故当 时，g(x).综上，的取值范围是 土7-e,2+o o).410、已知函数/(X)=s i n 2 xs i n 2 x.(1)讨论/U)在区间(0,兀)的单调性；(2)证明：|/(刈4逋；8邛(3)设EN”,证明：s i n2xs i n22 xs i n24 x -s i n22nx .4【解析】(1)fx)=co s x(s i n xs i n 2 x)+s i n x(s i n xs i n 2

17、x)f=2 s i n xco s xs i n 2 x+2 s i n2 xco s 2 x=2 s i n xs i n 3 x.当穹 时，小）皿当X吗 争 时，小）。.所以“X）在区间（0,堂,（学，兀）单调递增，在区间q,学）单调递减.（2）因为因0）=。兀）=0,由（1）知，/（X）在区间 0,。的最大值为最小值为/（空）=-孑 叵.而A x）是周期为兀的周期函数，故|f（x）区 延.3 8 8(3)由于(sjn2 xs i n2 2x-s i n2 2%).=|sin3 jcsin32x-sin3 2 x=|sinx|sin2 xsin 2xsin，2lxsin 2x|sin2 X

18、 x=sin x f(x)f(2 x).f(2-x)|sin2 2 x|!时，/(X)只有小于-1的零点.2 4 4由题设可知44 4当c=-时，f(x)只 有 两 个 零 点 和1.4 2当c=l 0寸，/(%)只有两个零点-I和工.4 2当一-c l 时，hr(x)=l+-=1-|0,由此可得x x x y x J/i(x)在工+oo)单调递增，所以当力 1 时，h(t)h(y),RP/-21nr0.t因为冗2 21，/一3产+3/1 =。一Ip 0/2 3,所以，石(3/+31 1)+女 一；一2hn)(f3 3产+3，一1)3(/一；一2hn)=/3+61n，+1.t由(I)(ii)可

19、知，当/1 时，gQ)g(l),即/-3r+61n/+l,t3故户3户+6hw+己一l0.t由可得(王一与+(与)_2(/(x J _/(w)0.所以，当后2 3时，对任音的 XX eH+0 0)I I V r+/(%)一/仇)，同、L I J 尤 ,X)1,+0 0),.I.L X y X 2,rl 2x,-x213、已知函数/(x)=12 f.(I)求曲线y=/(x)的斜率等于-2的切线方程;(I I)设曲线y=/(x)在点,/)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为s ),求SQ)的最小值.【解析】(I )因为/(x)=12-所以r(x)=2x,设切点为(与2一%),则-2 4=-2,即%

20、=1,所以切点为(1,11),由点斜式可得切线方程：y-l l =-2(x-l),即2x+y-13 =0.(I I)显然因为=/(力 在点9,12-产)处的切线方程为：一。2-产)=-2XT),/2 1 17令x=0,得y =r+1 2,令y =0,得无=2 t所以 S(r)=；x(产+12)聚，不妨设，0。0,得 f 2,由 S (f)0,得 0 f 2,所以S(。在(0,2)上递减，在(2,+8)上递增，所以=2时，S(f)取得极小值，也是最小值为5(2)=3*=3 2.O14、已知1。42,函数x)=e、-x-a,其中e=2.7 18 28 是自然对数的底数.(I )证明：函数y =x)

21、在(0,物)上有唯一零点；(I I )记xo为函数y =/(x)在(0,钙)上的零点，证明：(i )Ja-1 )(e-l)(a-l)a.【解析】(I )因为/(0)=1-0,/(2)=e2-2-a e2-4 0,所以 y =f(x)在(0,”)上存在零点.因为r(x)=e -l,所以当x 0时，r(x)0,故函数f(x)在 0,内)上单调递增，所以函数以y =f(x)在(0，”)上有唯一零点.(I I )(i)令 g(x)=e*-；/一x-l(xN O),(x)=er-x-1 =/(%)+a-1 ,由(I)知函数g(x)在 0,+x)上单调递增,故当x0时，g(x)g(O)=O,所以函数g(x

22、)在 0,内)单调递增，故g(x)g(0)=0.由 g(j 2(q T)20得/(7 2(-1)=e 时-J2(a-1)-a O =f(xo),因为f M在 0,小单调递增，故闻 二 五 与.令/z(x)=e*-x2-x-l(Ox 1),h(x)=ex-2 x-l,/zl(x)=ev-2 x-l(0 x l),砧x)=e*-2,所以X0(0,ln 2)I n 2(I n 2,1)1砧x)-10+e 2九(x)0e-3故当0 x l时，九(x)0,即(x)0,所以。x)在 0,1 单调递减,因此当O V x M l时，/z(x)/1)=6 码-/1-4 0 =/(%),因为/(x)在 0,转)单

23、调递增，故二T 4 x().综上，Ja-4X。4 J2(a 1).(i i )令”(x)=e“一(e-l)x-l,u,(x)=ex-(e-1),所以当x l 时，(x)。,故函数u(x)在区间 L+o o)上单调递增,因此u(x)w(l)=O.由 eA =%+。可得 大0/(铲)=x0/(x0+a)=(e“T濡 +a(e -2)x0 (e-l)a x(j,由 x0 y/a-得/化)(e-l)(t z-V)a.1 5、已知函数/(x)=a eT-I n x +ln a .(1)当a =e 时，求曲线y mX x)在 点(1,/(I)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;(2)若了(x)1,求“的

24、取值范围.【解析】/(x)的定义域为(0,叱)，r(x)=e-.X(1)当 a =e 时，/(x)=ev-I n x +1,/z(l)=e-l,曲线 y =f(x)在点(1,/(D)处的切线方程为 y -(e+1)=(e-l)(x-1),即 y =(e l)x+2 .直线y =(e-l)x +2在X 轴，y 轴上的截距分别为二3，2.e-12因此所求三角形的面积为一-.e-1(2)当O v a v l 时、/(l)=a +ln a v l.当。=1 时，f(x)=ei-ln x,fx)=ex-.X当 x e(0,l)时,r(x)0.所以当X =1 时，/(X)取得最小值，最小值为了=1,从而当

25、 a 1 时，/(x)=a e_1-I n x +I n a eV-1-I n x 1.综上，。的取值范围是口,田).1 6、己知函数/(x)=s i n x-ln(l+x),/(x)为/(x)的导数.证明：T T(1)/(X)在区间(-1,一)存在唯一极大值点；2(2)/(x)有且仅有2个零点.【答案】(1)见解析；(2)见解析.【解析】(1)设 g(x)=7(x),则 g(x)=c o s x ,g(x)=s i n x +1 +x (1 +x)当 一 用 时，g(x)单调递减，而 g(O)O,g 或)0；当时，g(x)0.所以g(x)在(一1,a)单调递增，在(a,单调递减，故 g(x)

26、在-1,存在唯一极大值点，即又/(o)=o,/图f(x)在 存 在 唯 一 极 大 值 点.(2)f(x)的定义域为(一 1,”).(i)当XG(-1,0 时，由(1)知，尸(X)在(一1,0)单调递增，而/(0)=0,所以当X G(-l,0)时，/(x)0；当时，尸(x)0 .从而，/(x)在 o.没有零点.(i i i)当兀 时，f (x)(),/(兀)l,所以/(x)0,所以当 x e 0弓2名校预测一、单选题1、已知函数 力=-一2%-1 (其中e为自然对数的底数)，则y =/(x)图象大致为()【解析f(x)=ex-2 x-l,该函数的定义域为R,且/(力=，-2,令 广(力 0,可

27、得x =/(力 单调递减；令/(力 0,可得x ln 2,此时，函数 =/(力 单调递增.所以，函数y=/(x)的极小值为/(1112)=*2-21112 1 =1-2山20.因此，函数y=/(x)的图象为C选项中的图象.故选；C.2、已知/(x)=gx2H n x在区间(0,2)上有极值点，实数”的取值范围是()A.(0,2)B.(-2,0)U(0,2)C.(0,4)D.(0r-，解得。6(0,4).yja 2故选：D.3、已知。，b为正实数，直线y=x a与曲线y=ln(x+6)相切，则 的 最 小 值 是()a bA.2 B.472 C.4 D.272【答案】C【解析】y =/(x +b

28、)的导数为y=一,由 切 线 的 方 程 可 得 切 线 的 斜 率 为1,可得切点的横坐标为1 一匕，所以切点为(1-,0),代入 y =x。，得 a+/?=l,故选：C4、若幕函数/(x)的图象过点手,；，则函数g(x)=D的递增区间为()A.(0,2)B.C.(-2,0)D.(-o o,-：【答案】A【解析】设/(X)=X。，代入点小技则(4627=,解得 0,解得0 x 0,解得：x x 2即函数y =/(x)的增区间为(注，+o o)2故选：C6、已知函数/(x)=Q x 2 x -ln x有两个零点，则实数。的取值范围是()A.g,l)B.(0,1)C.(7,第 D.。笔【答案】B

29、【解析】函数/二 一%一 加 其 工。)有两个零点In r-I-r由题意得方程a 二f P 有两个根.X设、几 g(/x)、=ln x7+x ，则H i I g，(X)=(-X+l)x2-(I n x+x)(2 x)=t l-,2 1 n x-xX X2设(x)=l-2 1 n x-%,则“(x)=-1 0,g(x)0,所以 g (x)在(0,1)上单调递增,当 X G(L+O)，M x)，g(x)，所以 g(龙)在(1,+8)二单调递减，11-1 2又g(l)=l,g(-)=7=e /0，则g(x)o(1)所以存在与e(0,l)，g(无o)=O,即在(0,题)上g(x)0作出函数g(x)的大

30、致图象如下.所以方程。=与匕 有 两 个根，即g(x)的图象与y =a有两个交点，所以实数。的取值范围是(0,1)，故选：B7、已 知 函 数 力=:若 工 产 且%)=/伍)，则1%一引的最大值为(A.2 7 2 B.2 C.y/2 D.1【答案】B【解析】如卜图所示：设点A的横坐标为再，过点4作V轴的垂线交函数 =/(%)于另一点B,设点B的横坐标为并过点5作直线y =x+l的平行线/,设点A到直线/的距离为d,|看一%|=01，由图形可知，当直线/与曲线y =x l n x相切时，d取最大值，当尤 0时,/(x)=x l n x,令/(x)=l n x+l =l,得 =1,切点坐标为(1

31、,0),此时,d =聂.小一如=V 2 x 5/2 =2 故选 B.二、多选题exl x 18、函数/(力=l,()A.2 B.-2 C.0 D.1【答案】ABC【解析】:g(x)=/(x)-x+a只有一个零点，函数y =/(x)与函数y =x-a有一个交点,作函数函数f (x)=ex,x 1,与函数y =x-a的图象如下,结合图象可知，当时；函数y =/(x)与函数y =有一个交点；当a()时，y =l n(x l),可得y =一,令L=i可得 =2,所以函数在尤=2时，直线与X -1 X 1丁 =1。(九-1)相切，可 彳 导。=2.综合得：或。=2.故选：ABC.9、设函数若函数g(x)

32、=/(x)b有三个零点，则实数b可取的值可能是()1 1A.0 B.-C.D.13 2【答案】BCD【解析】函数g(x)=/(X)-匕有三个零点等价于y =力与y =人 有三个不同的交点当xWO时,x)=(x +l)e*,则 r(x)=e*+(x+l)e*=(x+2)e*所以/(x)在(8,2)上单调递减，在(-2,0 上单调递增且 -2)=-,0)=1,M”(x)=0从而可得/(x)图象如下图所示:通过图象可知，若y=.f(x)与y =有三个不同的交点，则。e(O,l 故选：B C D1 0、(2 0 2 0.鱼台县第一中学高三月考)对于函数/()=1 6 1 1 1(1 +幻+/-1 0，

33、下 列 正 确 的 是()A.x =3是函数/(x)的一个极值点B./(x)的单调增区间是(一1,1),(2,+0 0)C.在区间(1,2)上单调递减D.直线y =1 6 1 n 3-1 6与函数y =/(x)的图象有3个交点【答案】A C D【解析】“K/n 、1 6 -,2,x 8 x+6 ,H I，迦j-f(x)=-F 2 x-1 0 =-,x -1，l+x l+x令2天2一8%+6 =0,可得x =l,x =3,则X)在(T l),(3,小冷)上单调递增，在(1,3)上单调递减，x =3是函数/(x)的一个极值点，故A C正确，B错误；因为1)=1 6 1 1 1(1 +1)+1 2

34、1 0 =1 6 1 n 2-9,y(3)=i 6 1 n(l +3)+32-1 0 x 3 =1 6 1 n 4-2 1,又 y =1 6 1 n 3-1 6 =f ,根据/(x)在(1,3)上单调递减得/(1)/(2)/(3)得 1 6 1 n 3 1 6 1 6 1 n”2 1,所以宜线y =1 6 1 n 3 T 6与函数y =/(x)的图象有3个交点，故D正确.故选：A C D.+2/7 1 Y +/X 0有四个零点，则实数，的取值可以为()A.1 B.e C.Ie D.3e【答案】C D【解析】因为E(x)=/(x)+/(-x),可得尸(x)=F(x),即尸(x)为偶函数，由题意可

35、得x0时，/有两个零点，当 x ()时，一 2 e,/.m e,故选：C D.1 2、已知函数/(x)=x l n x +x 2,%是函数/(x)的极值点，以下几个结论中正确的是()A.0 x0 c./(x0)+2 x0 O【答案】A C【解析】函数/(x)=x I n x+x2,(-0),/.f(x)=I n x +1 +2 x,./是函数/(工)的极值点，二/(%)=0，即.,.l n x()+l +2 x o =0,v x-0,/(x)o o,0 /即 A选项正确,B选项不正确；e/(%)+2 Ao 片+2 7,u/O nAo+Ao+ZT-%K+D c O,即 C 正确,D 不正确.故答

36、案为:A C.1 3、设定义在H上的函数“X)满足/(-x)+/(x)=f,且当xwo时，/(x)/(l-x)-(l-x)21,且 X。为函数g(x)=e*-&x-a(a e R,e 为自然对数的底数)的一个零点，则实数。的取值可能是()A.-B.C.-D.4e2 2 2 、【答案】B C D【解析】1 .0:令函数T(x)=/(x)-/x 2 ,因为/(-X)+/(X)=X-,T(X)+n-x)=/(x)-l x2+f(-x)-1 (-x)2=./-(%)+f(-x)-x2=O,，r(x)为奇函数，当 X,0 时，T(x)=f(x)-x 0,函数单调递增，；.x=2是f (x)的极小值点，即

37、A错误;B.y f(x)-x=2 I-Inx-x,.y=-2-4-1 -1=-r-2-+-y-2-0,f(2)-2 =l +/n 2-2=/n 2-KO,，函数y=/(x)-x有且只有1个零点，即B正确；、,”门,7 2 Inx./、2 Inx 皿,，、-A+x-xlnxC.右 f(x)kx,口J倚&V H-,令 g (x)=-T-H-,则 g (x)=-,XX XX X令 h(x)=-4+x -xlnx,则 hr(x)=lux,在(0,1)上，函数力(x)单调递增，x e (1,+o o)上函数人(%)单调递减,：.h(x)/?(1)0,：.gf(x)区 恒 成 立，即C不正确；D令 r e

38、 (0,2),则 2TG(0,2),2+r 2,2 2令 g (r)=f(2+r)(2 -/)=-+ln(2+f)-In(2 -r)2+t 2-tli，.,(l.4(产一4)一82-t 2-t+2 +t-4-16 4(-4)2 2 +t(2-/)2(/-4)2 4-/2 4)2：.g(z)在(0,2)上单调递减，则 g(f)2+/,则 XI+X2 2 -/+2+l=4,4r*4,22 +t+In-2-t当X2 4时，Xl+X2 4显然成立,，对任意两个正实数X I,X2,且X 2 X 1,若/(X I)=f(X2),则X l+X 2 4,故正确故正确的是B D,故选：B D.1 5、设函数J(

39、x)=l nx,且、X|、/(0,+8),下列命题正确的是()A.若,贝占山)一玉 x2/、/x i f M-f MB.存在玉)(石,%2)，使得=-；一 X。Xj x2C.若%1，则八 八2J 1Xj-x2D.对任意外 ，总有毛(玉,9)，使得了(%0)e/(?；()【答案】B C【解析】/、/、/(X)-f(x A 1利用函数g(X)=x-l n x-1在(0,1)上的单调性可判断A选项的正误;证明出 _ 八2/,可判断B选项的正误；利用函数g(x)=x-l n x-l在。,内)上的单调性可判断C选项的正误；取再=3,x2=4,可判断D选项的正误.【详解】I 比 一I对于A选项，构造函数g

40、(x)=x-l n x-l,其中x e(O/)，则g x)=l、=g(l)=0,/因为九2 玉 0，则 0 一 0 ,即一 In 玉一In%,工2(即马 马%2所以，生县i =A选项错误；x2 Xj-X2 冗1一 2 x-1对于 B 选项，当x c(l,+o o)时，g(x)=x-l n x-l,g(x)=l =-0,所以，函数g(x)在(1，内)上单调递增，当x e。,”)时，g(x)g =0,因为工2 玉 0，则 1,则 g|-I -In -1 0 ,即一=In%2 In 玉,%J X X 玉1 In x,-In x.In x,-In x,1 1所以，:=一一，结合A选项可知，一 八 、一

41、,X X2 西%一“2%2 X X?%若一1 二/(x.)-/(x2),则1一 一1 一1,所以，玉 /x2 1,则 g(x j g(w),即 4 In%14-I n/-1，则%也改一In 9 ,所以，l n A|-l n A-1,即二/02)1,C选项正确；不一 王一赴1 f(x.-f(x?)1对于D选项，取X1=3,X2=4,由A B选项可知，)一,D 选项错误.X1 一%2故选：B C.三、填空题1 6、设点P是曲线y=/+x 2上任一点，则点尸到直线了一y一1 =0的最小距离为【答案】V2【解析】由题，过点P作曲线y=/+x2的切线，则y=+2 x，设点。伍,%),则k=e%+2 x0

42、,当切线与直线x-y-l =O平行时点p到该直线距离最小，则*+2/=1,即%=0,所以点尸为(0,1)，则点尸到直线x y 1 =0的最小距离为 美=V 2 ,故答案为：J 51 7、曲线y=(x+l)e 在点(0,1)处 的 切 线 的 方 程 为.【答案】y=2 x+l【解析】y (x+2)ev：.k=2：.y-=2 x,y=2 x+l1 8、直线y=x与曲线y=2 1 n(x+/)相切，贝i j?=.【答案】2-2 1 n2【解析】2函数y=2 1 n（x+根）的导函数/=-,x+根设切点坐标（后,凡），则（=2；+），解得：%0=21n2,m=2-21n2.I两+机故答案为：2 2

43、1 n21 9、若函数/（%）=依一h w在区间（I,一）内不单调，则k的取值范围是【答案】（0,1）【解析】因为一_ 1,且Lw），X X当女31时，r（x）o恒成立，所以“X）在（1,转）上单调递增，不符合；当 心0时，尸（力0恒成立，所以/在（I,”）上单调递减，不符合；当0 Z l H寸，若无贝i J/（x）0,若x e（：,+c c j,则r（x）0,所以/（x）在 上 单 调 递 减,上单调递增，符合题意,综上可知：Z e（O,l）.故答案为：（0,1）.2 0、己知直线y=2 x+b是曲线y=l nx+3的一条切线，则b=.【答案】2-l n2.【解析】对y=l nx+3,由 y

44、 =，=2,得x=L时，y=I n +3 =3 I n2,x x 2 2所以3 l n2 =2 x 1+b,b=2-n2.2故答案为：2-l n2.2 1、已知是正整数，/（x）=l +ta n2,x-有零点，则”的最小值为5 0 0 c o s x【答案】1 0【解析】由/(x)=。得s i n x+c o s?x =0,s i n2x=r 则c o s 2=l-r,0 f 1,令g )”+(l T)七(0/1),由g(/)=p i _(l T)T =(),得/=；,当0，；时，g (f)0,g单调递减，当g f l时，g (f)0,g(f)单调递增,故g Q)在 处 取 得 最 小 值 由

45、 题 意 可 知：g ，g=2-5 0 0.故的最小值为i o.故答案为：1 02 2、已知函数/(X)的定义域为R,且/(-1)=2.若对任意x w R,f (x)2,则/(x)2 x+4的解集为.【答案】(-1,+8)【解析】设 g(x)=/(%)-2 x-4 ,则 g (x)=7 (x)-2 ,因为对任意x e R,尸(力 2,所以g (x)0,所以对任意x e R,g(x)是单调递增函数，因为/(-1)=2,所以g(_ l)=/(_ l)+2 _ 4 =4 _ 4 =0,由 g(x)g(-l)=。，可得 x l,则/(x)2 x+4的解集(一1,内).故答案为：(1,+).2 3、设函

46、数/(x)=e*(x+l)的图象在点(0,1)处的切线为丁=以+力，若方程|优一4=加有两个不等实根，则实数，的取值范围是.【答案】(0,1)【解析】由/(x)=e*(x+1)可得/(X)=/(x+1)+e*=e*(x+2),在点(0,1)处的切线斜率为k=/(0)=2 e=2,所以a=2,将点(0,1)代入、=依+力 可得b=l，所以方程ax-h m即归-1|=加有两个不等实根,等价于y=|2 一与y=m图象有两个不同的交点，作y=|2 1的图象如图所示：由图知：若y=|2、1|与丁=旭图象有两个不同的交点则0“0)在区间 J 上存在极大值，则实数a的取值范围是.【答案】仕2【解析】/(%)

47、=1 +In x-2 ax=x1 +lnx.-2 ax设 g(x)=1 +lnx/-(x0)令g(x)0,解得x l,即g(x)在 )上单调递增;令g (x)l,即g(x)在(l,e)上单调递减;2且=g(D=l，乂g(e)=一 ,e则当即a e g,j时，尤)先增后减，即函数存在极大值故答案为：四、解答题2 5、已 知 函 数=一办-1.(1)当4 =2时，求曲线在(1,7(1)处的切线方程；若g(x)=/(x)r 2,且g(x)在 0,+8)上的最小值为0,求。的取值范围.【答案】(1)(e 2)xy 1 =0；(2)a 0,.在(0,+8)上，ex-x-l Q故在(0,1)上,(x)0力

48、 的最小值为Ml)=e _ 2,二aW e-22 6已知函数f(X)=21n(x+(+sinx+l,函数g(x)=cu-l-/H nx(a,b&R,ah0).(1)讨论g(x)的单调性；(2)证明：当xNO时，/(x)-l时，/()(%2+2x+2)esinv.【解析】解：g(无)的定义域为(0,+8),g()，6 0,则g(x)在(),+8)上单调递增；当a(),/()时，令g(x)0,得x 2,令g(x)0,得0 x 0时,g(x)0,则g(x)在(0,+力)上单调递减；当 0,万 0,得 0 c x 2,令/(%)(),得 则 g(x)在(0,2)上单调递增，在+=o)上单调递减；/、/

49、2(2)证明:设函数/z(x)=x)-(3x+l),则 (x)=j+cosx-3.2因为x 2 0，所以；je(0,2,COSXG-1,1,则 (x)W0,从而(x)在(),+*)上单调递减,所以/?(x)=/(x)-(3 x+l)/z(O)=O,即/(x)1 时，(x+1)2 0,(x+1)2es i nj 0.贝|(x+1)?e s*l +l n(x+l)2es i nj t,BP(x+l)-es i nx 2 1 n(x+l)+s i nx+l.又(%2 +2%+2产 (犬+1)%叫所以(J +2 x+2 2 1 n(x+l)+s i nx+1,即/3 fx)3 x2 x+2 )所 以(

50、0)=2,又/(0)=l,所以曲线y=/(x)在点(o,/(o)处切线方程为y l =2 x,即2 x-y+l =0.(2)因 为/(x)=3/一X+Q,因为函数/(x)在x=l处有极小值，所以/(1)=2 +。=0 =。=-2 ,所以 fx)-3 x2-x-2/、2由/(x)=。，得 工=一百或x=l,2当或xl 时，/,(x)(),2当一一%1 时，r（x）o,3所以/（x）在1 2,上是增函数，在（一 /）上是减函数,因为,吟（2、4 9所以/（X）的最大值 为/-=.2 8、己知函数/（x）=e*-o r-a.（1）当a =l时，求过点（0,-1）且与曲线y =/（x）相切的直线方程；