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1、2021年各地中考真题汇编几何证明类31.（2 0 2 1.山西省历年真题）综合与实践问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图，在。A B C。中，B E LA D,垂足为E,尸为CO的中点，连接E F,B F,试猜测E F 与 8尸的数量关系，并加以证明.独立思考：（1）请解答老师提出的问题；实践探究：（2）希望小组受此问题的启发，将办B C O 沿着B F（F 为 CD 的中点）所在直线折叠，如图，点 C的对应点为C ,连接C C 并延长交A B 于点G,请判断AG与 BG的数量关系，并加以证明.问题解决：（3）智慧小组突发奇想，将 口 A B C。沿过点3的直线折叠，如图，点 A
2、的对应点为4,使A B J.C D 于点儿 折 痕 交 于 点/，连接4M,交 C3于点N.该小组提出一个问题：假设此。A B C D 的面积为2 0,边长4 B =5,B C =2 近，求图中阴影局部（四边形B H N M）的面积.请你思考此问题，直接写出结果.图 图 图2.（2 0 2 1 浙江省杭州市历年真题）如图，在AABC中，N A B C 的平分线班交 AC边于点4 E J.B C 于点E.N A B C =60 ,Z C =4 5 .（1）求证：A B =B D；（2）假设4 E =3,求 A B C 的面积.5EC3.(2021湖南省怀化市历年真题)：如图，四边形ABCD为平行
3、四边形，点 E、A、C、F在同一直线上，A E=CF.求证：(1)4DE三 CB尸;(2)EDBF.4.(2021.湖北省武汉市.历年真题)问题提出如图(1),在4 A B Ci DEC中,Z4CB=乙 D CE=90,B C=A C,EC=D C,点 E A A B C内部，直线AO与 BE于点尸.线段AF,B F,CF之间存在怎样的数量关系？问题探究(1)先将问题特殊化如图(2),当点D,尸重合时，直接写出一个等式，表示A居B F,C尸之间的数量关系；(2)再探究一般情形如图(1),当点。，F 不重合时，证明(1)中的结论仍然成立.问题拓展如图(3),在ABC和DEC中，44cB=NDCE
4、=90。，B C=kA C,EC=kD C(k是常数)，点 E 在AABC内部，直线4。与 BE交于点F.直接写出一个等式，表示线段AF,B F,CF之间的数量关系.5.(2 0 2 1湖南省常德市历年真题)如图1,在A B C中，A B =A C,N是B C边上的一点，。为A N的中点，过点A作2 C的平行线交。的延长线于7,且4 7=B N,连接8T.(1)求证：B N=C N；(2)在 图1中A N上取一点O,使4。=O C,作N关于边AC的对称点M,连接M T、M O、O C、O T、C M 得图 2.求证：ATOMS AAOC；设T M与A C相交于点P,求证：P D C M,PD
5、=CM.图1图26.(2 0 2 1湖北省黄冈市历年真题)如图，在/8。和4 DE C中，乙4 =乙D,4 B CE=A CD.(1)求证：4 ABC F DE C；(2)假设S-B C：Sh D E C=4：9,B C=6,求 E C 的长.EB7.(2021浙江省宁波市历年真题)【证明体验】(1)如 图 1,A。为AABC的角平分线，44。=60。，点 E 在 AB上，4E=4C.求证：DE平分N4DB.【思考探究】(2)如图2,在(1)的条件下,F 为4 8 上一点，连结FC交4。于点G.假设FB=FC,DG=2,CD=3,求 BQ的长.【拓展延伸】(3)如图3,在四边形4 8 8 中，
6、对角线AC平分NB4),=2NDC4 点 E 在 AC上，4EDC=N4BC.假设BC=5,CD=2A/5,AD=2AE,求 AC的长.图1图2图38.(2021四川省达州市历年真题)某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：【现察与猜 测】(1)如 图1,在 正 方 形ABC D中，点E,P分别是AB,4。上的两点,连 接D E,CF,D E 1 CF,那么差的值为_;CF 如 图2,在矩形ABCO中,AC=7,CD =4,点E是AO上的一点，连 接CE,BD,且CE 1 B D,那 么 累 的 值 为 ;DD【类比探究】(3)如 图3,在 四 边 形ABC。
7、中，乙4=48=90。，点 石 为4 8上一点，连 接。E,过 点C作DE的 垂 线 交 的 延 长 线 于 点G,交A。的延 长 线 于 点F,求 证：D E-A B =C F-A D；【拓展延伸】(4)如图 4,在RtAZBC中，/.B A D=90,A D =9,tanZ.A D B =将 ABD沿 B D 翻折,点A落 在 点C处得A C B D,点E,尸分别在边AB,AO上，连 接。E,CF,D E 1 CF.求 票 的值；连 接8尸，假设4E=1,直 接 写 出BF的长度.9.(2 0 2 1湖南省岳阳市历年真题)如图,在R t A B C中，乙4 cB =9 0。，4=6 0,点
8、。为A 8的中点，连接C ,将线段。绕点。顺时针旋转a(6 0。a 的面积(填“、=或 Jk2+1-FC.5.证明:(1),AT/BC,Z-ATD=乙BCD,点。是A N的中点，：AD=DN,在47。和NCD中，Z-ATD=乙 BCDZ.ADT=乙 CDN,AD=DN4 7 7&N C D(A 4 S),/.CN=AT,TD=DC,:AT=BN,BN=CN；(2)4T=BN,A T/B N,四边形AT3N是平行四边形，-AB=ACf BN=CN,AN 1 BC,平行四边形A78N是矩形，:.Z.TAN=90,点M,点N关于A C对称，：CN=M C,乙477=乙4cM,.AT=CM,v OA=
9、OC,.Z.OAC=Z-OCAr Z.OAC 4-ACN=90,乙。CA+乙ACM=90=乙。CM,Z,OCM=乙TAN,又 AT=CM,OA=OC,4OwaMCO(S4S),：,O T=O M,乙TOA=CCOM,/.Z.TOM=/-A O C,案=穿，OA O C*.TOM AOC；如 图2,将CM绕点M顺时针旋转，使点C落在点E上，连接AM,TE,图2 EM=CM=AT,乙MEC=乙MCE,-Z.CAN Z-ACN=90,(CAN+Z-ACM=90,乙TAN+乙NAC+Z.ACM=180,Z.TAC+Z-ACM=180,又 Z.AEM+乙 CEM=180,Z.TAC=Z.AEM,:AT“
10、EM,四边形ATEM是平行四边形，TP=PM,又：TD=DC,PD/CM,PD=CM.6.证明：4BCE=N4CD.:.乙BCE+Z-ACE=Z.ACD+Z-ACE,Z-DCE=Z-ACB,又 Z.A=Z,D,*A B C DEC；(2)ABC DEC；.S-A B C _()2 _ iSDEC kCEJ _ 9,又 BC=6,A CE 9.7(1)证明：如 图1,丁/。平分NBAC,:.Z.EAD=Z-CAD,v AE=AC,AD=AD,E A D a CADSAS:./.ADE=Z-ADC=60,Z.BDE=180-Z.ADE-Z-ADC=180-60:.Z-BDE=Z-ADE,:.OE平
11、分乙4DB.(2)如图2,FB=FC,*.Z-EBD=乙GCD；v Z-BDE=Z.CDG=60,BDEX CDG 9.BD DE*C D -D G；EAD=L CAD,DE=CD=3,E l60=60,B D C图2 DG=2,(3)如图3,在AB上取一点尸，使=连结。尸.4C平分4BAD,：Z.FAC=Z.DAC,-AC=ACt/FCwa4DC(S4S),CF=CD,Z-FCA=/-DCA,Z.AFC=.ADC,v Z-FCA+Z,BCF=.BCA=2/LDCA,:.Z.DCA=乙BCF,即乙DCE=乙BCF,v Z-EDC=Z.ABC,KPzFDC=zFBC,DCEL BCF,.BC=5
12、,CF=CD=2后.4=空=生 肥=4：Z.AED+乙DEC=180,4AFC+(BFC=180,Z.AED=Z.AFC=Z.ADC,EAD=4。4c(公共角)，E A D f DAC,.AE _ AD _ 1 =,AD AC 2 AC=24D,AD=2AEf4 4 16A AC=4AE=-CE=-x 4 =.3 3 3 四边形ABC。是正方形，=Z.FDC=90,AD=CD,DE 1 CF,Z.DGF=90,/.Z-ADE+Z-CFD=90,Z-ADE+4AED=90,/-CFD=Z-AED,在4ED和OFC中，(44=乙FDCZCFD=Z-AED,(40=CDMAEDW2DFC(AAS),
13、.DE=CF,DE y.bl；图2 四边形ABC。是矩形,NA=Z.EDC=90,v CE 上 BD,乙DGC=90,Z,CDG+乙ECD=90,Z-ADB+Z-CDG=90,4 ECD=Z.ADB,乙CDE=乙4,DECL.ABD,CE _ DC _ 480-A。-7故答案为:4-7(3)证明：如图3,过点C作C H 1A尸交A F的延长线于点H,图3CG _ 1 _ EG 91-4G=4 =90,四边形A3C”为矩形，AB=CH,Z,FCH+乙CFH=Z.DFG+乙FDG=90,.Z.CFH=乙DFG=Z.ADE,Z.A=Z.H=90,心 D E A fC F H,DE _ AD CF-C
14、W，,DE _ AD CF 茄DE-AB=CF-ADx(4)如图4,过点。作CG _L4D于点G,连接AC交BO于点H,CG与O E相交于点O,图4 CF 1 DE,Z-BAD=90,ZFCG+(CFG=Z-CFG+Z.ADE=90,乙FCG=2LADE,乙BAD=乙CFG=90,DEAL CGF,.D E _ AD 而 一CG，1在出 ABC中，tan乙4。8=AD=9,:.AB=3,在中，tanADH=AH _ 1 *一，DH 3设4H=a,那么DH=3Q,/AH2+DH2=AD2,a2+(3a)2=92,a=g(负值舍去)，AH=-V10,DH=VT0,.-.AC=2/1H=|V 10,
15、SADC=AC-DH=AD-CG,.-.ix-V To x VTo=i x 9CG,2 5 10 2“27 CG=，.DE _ AD _ 9 _ 5,万 一茄一春 5；-.MC=|VTo,CG=y,AAGC=90,AG=y/AC2-CG2=CF 1 DE,CG 1 AD,Z.EOC+Z-FCG=乙 DOG+Z.EDA=90,v Z-EOC=乙DOG,Z-FCG=Z-EDAi又 Z,EAD=乙 CGF=90,CFG DEA,CF FG,=DE AE-r-t DE 5 AL 又不=9 A E =1FG=I，9 3 6AF=AG-FG=5 5 5 BF=VAB2+AF2=J32+2=|V 29.9证
16、明：(1).四边形A5CD是矩形，AB=CD,Z.ABC=Z-DCB=90,AD=BC,AD/BCf /,ABE=乙DCF=90,在 ABE和DC/中，(AB=DCABE=乙DCF,VBE=CFABEW ADCF(SAS),(2)v BE=CF,BE+EC=C77+EC,:.BC=EF=AD f又 r AD I IBC,二.四边形AEFD是平行四边形.9 解：（1）在RtAABC中，N4CB=90。，点。为 AB 的中点,AD CD=BD,乙4=60,.乙8=30,ABD是等边三角形，Z,DCB=30,乙 CDE=a=90,/.tanzCGD=tan600=V3,D GG D _V3C D 3
17、,线段CD绕点。顺时针旋转a（60。a l=sm45=BEBE _ /2BC-10-72-2 BE=10,又 在 Rt ABE 中，AB=20,BE=10,Z.BAE=30,又 ABC=ADC,/.BAD=Z.BAE+Z.DAC=2j BAE=2 x 30=60.11(1)证明：40B为等边三角形，Z.BAO=Z.AOB=60,OA=OB,四边形ABCD是平行四边形11A OB=OD=-2B D2,OA=OC=-A Cf BD AC,.QABCC是矩形；(2)解：4BC 是矩形，ABAD=90,v/.ABO=60,N/WB=90-60=30,AD=y3AB=4。12.(1)解：如 图 1 中，
18、由图形的拼剪可知，&=DCA,故答案为：DCA.图2v Z.ADC+乙ABC=90,U D E=/.ABC,Z.ADE=Z.ADC+乙 CDE=90,AD2+DE2=AE2.故答案为：AD2+DE2=AE2.(3)证明：如图3 中，连接O C,作AAOC的外接圆O O.B图3 .点。是4CC两边垂直平分线的交点二点。是AADC的外心，:.Z-AOC=2/.ADC,v 0A=0C,:.Z-OAC=Z.OCA,/,AOC+Z.OAC+Z-OCA=180,L.OAC=AABC,2ADC+2ABC=180,(ADC+Z-ABC=90.解：如图4 中，在射线。的下方作NCDT=448。，过点。作于7.v
19、 Z-CTD=LCAB=90,Z.CDT=/-ABC,CT Ds 公 CAB,:,乙 DCT=A C B,C B C A 。l DCB=乙TCACT CA DCBA TCA,tBD _ CB AT-CA9AB 仁v =2,AC AC-.BC-.BC=CT-.DT-.CD=1:2:遍，BD=V5AT,V AADT=/.ADC+CDT=AADC+AABC=90,DT=n,AD=m,5 AT y/AD2+DT2 Jm2+n)2 Jm2 4-1n2.BD=V57n2+4九2.13.解：四边形ABC。为矩形,/.=ZF=ZC=90,GH/AB,乙B=乙GHC=9 0,乙A=乙PGD=90,v EF/AD
20、,乙PGD=乙HPF=90,四边形PFCH为 矩 形,同理可得，四边形AGPE、GDFP、均为矩形，,4G=a,AE=/?,AG：GD=AE：EB=1：2,:PE=a,PG=b,GD=PF=2a,EB=PH=2b,四边形EBHP的面积=PE-PH=2 a b,四边形GPFD的面积=PG PF=2ab,故答案为：=;(2)v PPi=PG,PP2=PE,由(1)知PEPH=2ab,PG PF=2abf PP2 PH=PPPF,即 生=空，1 PPi PH又 Z,FPP2=乙 HPP,PP2 尸 PPH APFP2=乙PHPi，.:乙 PiQF=幺PzQH,PFQA P2HQ；(3)连接P1P2、
21、FH,竺 _ 乌 _ 工 PPi _ b _ 1 CH 2a 2f CF 2 b 2f.PP2 _ PPi ,，CH CFBHV 乙P1PP2=乙C=9 0,，C F H,P1P2 _ PPl _ 1 SAPPP2 _ Z ip2x2 _ 1 FH-CF-2 S&CFH-I FH)-4，由(2)中PIF QS PZH Q，得 鬻=骨，.也=也 FQ-HQ，v 4 P1QP2=乙F Q H,*,.P、Q P 2 sA F Q H,.S&P1QP?_ 伫)2 _ 1 S1=SAp1 Pp2+SP1Q P2,S2=S2CFH+S“QH，S i=SA C F H+4 4 那么8H=BD+DH=2+6=
22、8,CH=HE CE=6 2=4,在Rt A BCH中，tan4 CBH=段=：=：,BH 8 2在 Rt BDF 中，DF=BDtanz.CBH=2 x|=1,AF=AD-DF=6-1 =5；连结C E,延长EC和 B。交于点H,连接。E,由(1)BC=CE且BD 1 C E,即N=90。,由作图知，ADE为等腰直角三角形,设 CE=BD=%,在R taB U C 中，Z,HBC=30,BC=42AB=V2-V6=2A/3,1 C H =-BC,BH=BCcos300=3,那么OH=B H-x =3-x,EH=CH+CE=x+遮,那么 D E Z =2 A D2=DH2+E H2,即(3 -
23、%)2+(遍 +x)2 =2 X (4 +百)，解得x=2-百(舍去)或1,即 8 D =x=1,过点。作DN 1BC于点N,在R t A B C C中，Z.CB D=3 0 ,B C=2相,B D=1,那么N O =B D =1,B N =B D cos3 0=,那么C N=CB -BN =2f3-=2 2ND 1那么 t a M B C D =,2现，么 s in ziB C D =.1 41 5(1)证明：.四边形A B C。是矩形，/,D A B =Z.B =9 0 ,v D E 1 A F,乙 D A B =4 A GD =9 0 ,/.ABAF+ADAF=9 0 ,Z.A D E+
24、Z.D A F=9 0 ,Z.A D E=乙 B A F,v D E =A F,4 D E w 2 kB 4 F(/L 4 S),:.A D =A B f 四边形A B C。是矩形，四边形A B C。是正方形；图1(2)解：4AHF是等腰三角形，理由：四 边形48C。是矩形，Z.DAB=Z-ABH=90,AB=DA,BH=AEf,AH=DE,v DE=AF,：.AH=AF,4HF是等腰三角形；(3)解：延长C8到点“，使BH=4E=6,连接A”,/.AD/BC,AB=AD,:.Z.ABH=乙BAD,BH=AE,n 4 E 4 8”(S/S),AH=D E,乙AHB=Z.DEA=60,v DE=
25、AF,.AH=AFf 4HF是等边三角形，.AH=HF=HB+BF=AE+BF=6+2=8,：DE=AH=8.16.解：（1）过点E作EM I AC于点M,/.AME=LEMC=90,四边形ABC。是边长为1 的正方形，DE=11 2皿。=45。，A E=A D-D E =l-=-EM=AM=AE-sinCAD=|x AC=，：.CM=AC-A M =y f 2-=3 3Vz“l EM V 1 tan 乙4CE=古=-；CM 2V2 23(2)v G H l/lD,AB LAD,:GH”AB,DHG DAF9.HG _ DH 赤一荷 .一y _-i-yX 1y=X x yf y=(0 x 1)
26、；(3)当U O F=Z_ACE时，EG 1A C,理由如下：tanZ.ADF-tanzXCE:.AF=-X=1,AD 1 211 =-,V=一,2)3HA=GH=31 EH=A D-D E-AH=3EG=7 GH2+EH2=J（$2+（1）2=日,.EG=EM,又 EM 1AC,二点G 与点M 重合，EG 1 AC.17.解：（1）四 边 形 是 菱 形，理由是:v DEHAB,DF/AC,四边形AFDE是平行四边形，4。平分 NB4C,Z.FAD=Z-EAD,DE/AB,:.Z.EDA=Z.FAD,:.Z-EDA=Z.EAD,:.AE=DE,二平行四边形AFDE是菱形；（2）乙BAC=90,四边形AFDE是正方形，v AD=2VL AF=DF=DE=AE=-=2,四边形AFDE的面积为2 x2=4.