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1、2021年广西桂林市、崇左市高考数学联考试卷（理科）（3 月份）（二模）一、选 择 题（共12小题）.I .若集合 A=x|x N -1,B=4 x 2+x o ,则 ACB=（）A.（-1,0）B.-1,0）C.（-1,0 D.-1,02 .复数2=篝 的 模 为（）1+1A.1 B.&C.5/3 D.23.某医院医疗攻关小组在一项实验中获得一组关于症状指数y与时间 之间的数据，将其整理得到如图所示的散点图，以下回归模型最能拟合y与 1之间关系的是（），4 0X一一.工5 21.5I-0.5“1 2 4 S 6 7 R 9 1011 12 I1 I4 IS I6 I7 IB A.y=kt2
2、B.y=l og 2/C.y=t3 D.y=Cyf2）4.元朝时，著名数学家朱世杰在 四元玉鉴中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，与店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的=0,问一开始输入的X=（）r=ix=2x-li=i+l 结束5.数列 满足：0=。2=1，an=an-+an-2（2 3,吒N*）,将数列。的每一项除以4所得的余数构成一个新的数列 儿，则历1=（）A.1 B.2 C.3 D.06.已 知（x-曳）（1-X）4的展开式中含尤2项的系数为4,则实数。=（）XA.2 B.4 C.-2 D.47.己 知 向 量
3、 b满足 aJ=2，b=（2，且入a+b=O（入 wR）,则I入 1=（）A.返 B.2 C.J 7 D.428.将函数=&in（3x+；）+2（3 0）的图象向右平移三个单位长度后与原函数2 6 3图象重合，则实数3 的最小值是（）A.2 B.3 C.6 D.92 29.过双曲线C：用_%=1 （“0,b 0）的一个焦点尸做垂直于x 轴的直线交C 于 A,8 两点，坐标原点为。，且 0 4 8 为等腰直角三角形，则此双曲线的离心率为（）A.7 2 B.代 C.2 D./10.已知四面体 P-ABC 中，ABLAC,A B 1 P B,且 A B=PB=24C=2,P C=3,则该四面体的外接
4、球的体积为（）A.9TI B.全 C.8ir D.11.若 3。+（M 2）b 3b+（/2）&（a,beR）,则（）A.B.C.D.3巾 切22212.已知椭圆三-+）a=l的上顶点为A,B、C为椭圆上异于A的两点，且A B L 4 C,则直线4BC过 定 点（）A.（1,0）B.（百，0）C.（0,）D.（0,）2 5二、填 空 题（共4小题）K x13.已知实数x,y满足x+yl，则z=2x+y的 最 小 值 是.x-2 y-l4 014.已知等差数列“）的前项和为S”,且43+a4+a5+。6+47=1 5 0,则$9=.15.设点P是直线3 x-4附7=0上的动点，过点P引 圆（x-
5、I）2+）2=启（，（）的切线帖,JTPB（切点为A B）,若N AP8的最大值为g,则该圆的半径r等于.16.已知函数/（x）=如-3/+3,有下列命题：函数y=/（x）的图象在点（1,/（1）处的切线为3x+y-4=0；函数y=f（x）有3个零点；函数y=f（x）在x=2处取得极大值；函数y=f（x）的图象关于点（1,1）对称.上述命题中，正 确 命 题 的 序 号 是.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求做答。（一）必考题：共60分17.某汽车美容公司为吸引顾客，推出优惠活动：对首次消费的
6、顾客，按200元/次收费,并注册成为会员，对会员逐次消费给予相应优惠，标准如表：消费次第第1次第2次第3次第4次 2 5次收费比例10.950.900.85 0.80该公司从注册的会员中，随机抽取了 100位进行统计,得到统计数据如表：消费次第第1次第2次第3次第4次 第5次频数6020105 5假设汽车美容一次，公司成本为1 50元，根据所给数据，解答下列问题:(1)估计该公司一位会员至少消费两次的概率;(2)某会员仅消费两次，求这两次消费中，公司获得的平均利润;(3)以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，设该公司为一位会员服务的平均利润为X元，求X的分布列和数学期望E (X).1 8.已
7、知正方体ABC)-4 BICIG 的棱长为2,E,F,G分别为A 8,BC,CG的中点.(1)画出平面E F G截正方体各个面所得的多边形，并说明多边形的形状和作图依据;(2)求二面角G-EF-S的余弦值.且 A G+2 A B=5.(1)求N A B C的值;(2)若P是 A B C内一点，且/4尸8=卫62 0.已知实数a W O,设 函 数/(冗)-ax.9 J T/C P B=3,求 t a n N P B A.4(1)当a=l时，求函数/(x)的极值;(2)当。,若对任意的在 -1,+8),均有f(x)卷(N+1),求a的取值范围.2 1.已知抛物线及y 2=4 x的焦点为F,准线为
8、/,O为坐标原点，过尸的直线切与抛物线E交于A、B两点，过/且 与 直 线m垂直的直线附与准线/交于点M.(I)若直线机的斜率为遥，求 他|B r的值;(2)设4 8的中点为N,若0、M、N、尸四点共圆，求直线 的方程.(二)选考题：共10分。请考生在第22、2 3题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。选修4-4:坐标系与参数方程2 2 .在平面直角坐标系x Oy中，以坐标原点。为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线M 的极坐标方程为p =2 c o s 0,若极坐标系内异于0的三点A(p i,(p),B(p 2,0)都在曲线 M 上.6(1)求证：V 3 P I =p 2+
9、p 3；x=2-t(2)若过8,C 两点直线的参数方程为J 2(，为 参 数)，求四边形O B A C 的面晨1 t积.选修4-5:不等式选讲2 3.已知实数a,b,c,满足a+b+c=l.(1)若 ，6 CR+,c=0,求证：(a+工)2+(/?+)2 2 空;a b 2(2)设 a 6 c,t z2+Z 2+c2=1,求证：a+h 1.参考答案一、选 择 题(共12小 题).1.若集合 A=R x 2-1,B=x|x2+x 1,a解得：e=Y 2故选：D.10.已知四面体尸-A B C 中，ABAC,ABA.PB,且 A B=P B=2A C=2,P C=3,则该四面体的外接球的体积为()
10、A.9 n B.%C.8T T D.2 4解：四面体 P-A B C 中，ABAC,A B L P B,且 A B=P 8=2A C=2,PC=3,可知 B C=VAB2+A C2=V4+l=V5;可知：PB2+BC1=P C1,所以 P B _L B C,A B C B C=B,所以尸8_L平面 A B C,所以平面P A B,平面A B C,所以A C L P A,可得P C是四面体外接球的直径,外接球的半径为：-1,所以四面体的外接球的体积为：萼4)3=旦；故选：B.11.若 3+(Z n 2)仁3&+(/n 2)(.a,/?GR),则()A.3fl+fe 1B.3卜2 2C.3b2iD
11、.3m M 22解：因为 3+(ln2)*3*+(ln2)a,则 3 -(勿2)30-(ln2)b,令/(x)3X-(M2)x,因为y=3*在R上为单调递增函数，y=(历2)、在R上为单调递减函数，故函数/(x)在R上为单调递增函数，又一(“)K(b),所以。2从 即所以3。“2301.故选：C.212.已知椭圆三_+产=1的上顶点为A,B、C为椭圆上异于A的两点，且AB_L AC,则直线4B C过 定 点()A.(1,0)B.(J3,0)C.(0,)D.(0,-)V 2 5解：因为A B L A C,所以匕的c=-l 0,所以直线B C斜率存在，y=k x+m设直线/BC：y=kxm(mW
12、l),B(x i,y i),C(及，”)，联立方程，9 9，+4y=4消 y 得(4 f c2+l )x2+Skmx+4m2-4=0,X+X2=,l+4 kJl+4 k2p yi又心血c=-y2-i_一1,X1 x2整 理 得(y i-1)(”-1)+x iX 2=0,即(kxi+m-1 )(kxi+m-1)+及=0,所 以(N+l)xX2-k tn-1)(X 1+X 2)+Cm-1)2=0 (*),代入得：.蚣2山 2也 煞2赋工(相70,l+4 k2 l+4 k2整理得5切+3=0得，=-彦，所以直线B C过 定 点(0,-1).5 5故选：D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.y
13、C x13.已知实数x,y满足x+y 4 l ，则z=2x+y的 最 小 值 是-3.x-2y-l 4 0解：由题中给出的三个约束条件，可得可行域为如图所示阴影部分，易知z=2x+y经过可行域的A时，直线在y轴上的截距取得最小值，此时z=2x+.y取得最小值，由 产X ,.x-2y-l=0解得 A(-1,-1)z=2x+y在(-1,-1)处的最小值为-3,故答案为：-3.14 .已知等差数列 的前n项和为Sn,且。3+4+5+6+。7=15 0,则$9=27 0 .解：因为等差数列 中，3+4+。5+6+7 =5。5=15 0,0)的切线P A,P B(切点为A B),若N A P8 的最大值
14、为勺，则该圆的半径r等 于 1 .解：圆(x -1)2+y2=(r 0)的圆心为C(l,0),半径为八若N A P B 最大时，则/A P B=/A P C 也最大，又s i n/A P C 给 福，2P C P C故N A P C 最大，则 P C 最小，因为点P是直线3x-4 y+7=0 上的动点，C 为圆心，|3-0+7|八故P C的最小值即为点C到直线3x -4 y+7=0 的距离-=2,V 32+(-4)2所以W u s i n-，故 r=1.故答案为：L16 .已知函数/(x)=3-3/+3,有下列命题：函数y=f (x)的图象在点(1,/(1)处的切线为3x+y-4=0；函数y=
15、f(x)有 3 个零点；函数y=/(x)在 x=2 处取得极大值；函数y=/(x)的图象关于点(1,1)对称.上述命题中，正确命题的序号是 .解：f(x)=3x2-6x=3x(x -2),则/(1)=-3,又/(I)=1,所以函数y=f(x)的图像在点(1,/(I)处的切线为y-1=-3(x-1),即 3x+y-4=0,故正确；令/(x)=0,可得 x=0 或 x=2,令，(x)0,可得 x 2,令/(x)0,极小值为/(2)=-10,所 以 在(-1,0),(0,2),(2,3)上/(x)各有一个零点，故正确；令 g(x)=/(x+1)-1 =(x+1)3 -3(x+1)2+3-1 =*3-
16、3x,则 g(-x)=-尤 3+3尤=-g(x),所以g(X)为奇函数，关于原点对称，所以/(X)关 于 点(1,1)对称，故正确，所以正确命题的序号是.故答案为：.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第 17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23题为选考题，考生根据要求做答。(一)必考题：共 60分1 7.某汽车美容公司为吸引顾客，推出优惠活动：对首次消费的顾客，按 200元/次收费，并注册成为会员，对会员逐次消费给予相应优惠，标准如表：消费次第第 1次第 2 次第 3 次第 4 次 5 5 次收费比例10.950.900.85 0.80该公司从注册的会员中
17、，随机抽取了 100位进行统计,得到统计数据如表：消费次第第 1次第 2 次第 3 次第 4 次 第 5 次频数6020105 5假设汽车美容一次，公司成本为150元，根据所给数据，解答下列问题：(1)估计该公司一位会员至少消费两次的概率；(2)某会员仅消费两次，求这两次消费中，公司获得的平均利润；(3)以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，设该公司为一位会员服务的平均利润为 X 元，求 X 的分布列和数学期望E(X).解：(1)100位会员中，至少消费两次的会员有40人，.估计一位会员至少消费两次的概率为P 喘-o.4.（2）该会员第一次消费时，公司获得利润为2 0 0 -1 5 0=5
18、0 （元），第 2次消费时，公司获得利润为2 0 0 X 0.95 -1 5 0=4 0 （元），公司这两次服务的平均利润为独詈-4 5 （元）.（3）由（2）知，一位会员消费次数可能为1 次，2次，3次，4次，5次，当会员仅消费 1 次时，利润为5 0 元，当会员仅消费2次时，平均利润为4 5 元，当会员仅消费3次时，平均利润为4 0 元，当会员仅消费4次时，平均利润为3 5 元，当会员仅消费5次时,平均利润为3 0 元，故 X的所有可能取值为5 0,4 5,4 0,3 5,3 0,X的分布列为：X5 04 54 03 53 0P0.60.20.10.0 50.0 5X 数学期望为 E（X）
19、=5 0 X0.6+4 5 X0.2+4 0 X0.1 +3 5 X0.0 5+3 0 X0.0 5=4 6.2 5 （元）.1 8.己知正方体ABCQ-4BCQ1的棱长为2,E,F,G分别为A 8,BC,CG的中点.（1）画出平面E F G 截正方体各个面所得的多边形，并说明多边形的形状和作图依据;（2）求二面角G-E F-Bi的余弦值.解：（1）取“，/,/分别为 C i。，D yA,的中点，连结 G ,HI,IJ,JE,截面多边形为如图所示正六边形E FG HIJ,作图依据如下：由作图过程可知，H,I,J 分别为CIOI,DIAI,/L 4 i 的中点，因为FG/BC,所以7 7 尸 G
20、,即 E,F,G,”四点共面，因为 HG/CD,所以 F/”G,所以 F,G,H,/四点共面，故 E,F,G,H,/五点共面，因为G/。，E F/CA,所以G J E F/所以E,F,G,J四点共面，所以点J在 E,F,G,”，/五点确定的平面内，故 E,F,G,H,l,1/六点共面：(2)建立如图所示的空间直角坐标系，则 D(0,0,0),Bi(2,2,2),(2,1,0),F(1,所 以 函=(2,2,2),EF=(-1,1,0),可=S,1由(1)可 知 函=(2,2,2)为平面EFG的一个法向量，2,0),2),设平面EFBi的法向量为n=(x,y,z)，则 .n,EF=0-,即1n
21、E B j=0-x+y=Oy+2z=0令 y=2,则 x=2,z=-1,所以n=(2,2)-1)nDB 6 _ V3|n|D B；|-2 V 3 X 3-1-，所以c o s V ii，DB；=且 A a+2A 8=5.(1)求/AB C 的值;（2）若 是 A 8 C内一点，且/4日8=豆匚，N C P B=,求t a n/尸3 A.6 4解：（1）A A B C 中，A B=J B C=a，得 B C=&,因为 AC+2AB=5f所以4 G=5-2愿,由余弦定理得,w c=%需产2+3-5+2愿 _近2 X 7 2 7 3 V冗由/A B C为三角形内角得，Z A B C ；4TT TT(
22、2)因为N P 8 A+/P 8 C=，N PCB+N P B C=n -N B P C=,4 4所以 N P B A=/P B C,设/尸8 A=a,P B 二 B C P B C中，由正弦定理得，s i n C l 而一，s i n :-所以 P B=2 s i n a,P B _ _ _ _ _ _ _ _ _ A BP B A中，由正弦定理得，.n一=泰丁，sin(,-T-a.)sin c所以 P B=2，s i n (-Q ),所以 s i n a=整理得，t a n a?，5故 ta n/P 8 A=返.520.已知实数a W O,设函数f(x)=尸-.（1 ）当4=1时，求函数/
23、（X）的极值；（2）当时，若对任意的x e -l,+8）,均有/（x）卷（/+1）,求a的取值范围.解：(1)当 a=l 时，f(x)=ev-x,则/(x)=*-1,当 诧（0,+8）时，f（x）0,故f （冗）的单调递增区间为（0,+8）,当（-8,0）时，/（x）0,故f（尤）的单调递减区间为（-8,0）,所以/（X）的单调递增区间为（0,+8）,单调递减区间为（-8,0）；(2)F(x)旦(/+1),即 尸 包(x+1)2.(*)2 2令x=0,得1且，则*0,F(x)单调递增；a9当 在(-1,+8)时，F(x)0,F(x)单调递减.a因此 F(x)(-1)=2ln-2+a+ln=a-
24、2-In,a a 2 2令函数 g(Q)=a-2-In,其中工V a W 2,令 g(a)=1-=-=0,得 a=l,2 2 a a故当(，1)时，g(a)0,g(a)单调递增，1 2又 g(1)=/4-多 0,g(2)=0,故当a 0)都在曲线 M上.6(1)求证：V 3 P I =p 2+p 3；x”返 t(2)若过8,C两点直线的参数方程为4 2(f 为参 数)，求四边形0 8 4 c 的面|y=y1t积.兀T T【解答】解(1)由 p i=2c o s(p,p 2=2c o s(p+-),p 3=2c o s(p -,则 p 2+p 3=6 62c o s(喙)，C(2,0)冗则 P
25、2=l,P 3=2,(p=；又得 p i=.6即四边形面积为SOBAC=%ip 2sin-H-p I p 3sin-=2巨为所求.2 6 2 6 4 选修45:不等式选讲23.已知实数a,b,c,满足a+b+c=l.(1)若 a,旄 R+,c=0,求证：(a+工)2+(/?+)2 2 空；a b 2(2)设 a 6 c,a2+b2+c2=1,求证：a+h 1.【解答】证明：(1)c=0 时，+b=l,3 工)2+但 工)2 (a+)2+(b T)2+2(a+/)(b+/)a b-2-_ (a+-)+(b+)2_ (144)2-_ a b-a b，22 ，Z?G R+,a+b=l.(-)(a+b)=2a b a b a从而（吟斗（咤.”21争+b=l当且仅当4a即 时 取 等 号;a b(2)假设 +b W l,则由 a+b+c=l,知 c 0,故。c，0,又由(+8+。)2=d1-h2+c1+2ah+ahc+2ac=1,得 ab+bc+ac=Of但由 a b cO,知 ab+bc+acOf 矛盾,故假设a+bW 1不成立,则a+b I.