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1、2021届高三第二次模拟考试卷文 科 数 学（一）第I卷一、选 择 题：本 大 题 共12小题，每 小 题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.I.设集合/=x|（x +l）（x-5）0,x w Z,B=M x（x-2）20,x e Z,则 A（|B=（）A.（）,2,3,4 B.0,2 C.3,4 D.0,1,2）4i2.复 数 下 瓦 的 虚 部 为（）A.1 B.-1 C.-i D.i3.已知。f og?7,Z?=l og38,c=O.30 2,则 a,b,。的大小关系为（）A.a b c B.c b a C.b c a D.c a b4.命 题p：3x w x|l
2、W x W 9 ,x2-av +3 6 3 1 B.a13 C.a i2 D.a 0）,若/（可 有2个零点，则。的取值范围 是（）A.(0,G B.（0,叫C.(&咐D.Fr,+x18.（1 2分）在某地区的教育成果展示会上，其下辖的一个数育教学改革走在该地区前列的县级民族中学近几年升入“双一流”大学的学生人数（单位：个）有如下统计表：第n卷二、填空题：本 大 题 共4小 题，每 小 题5分.c.2 113.正实数x,）满足：2 x+y =,则当一+一取最小值时，x=_ _ _ _ _.k y14.已知圆C:（x 2）2+（y _ l）?=5及点A（0,2）,点p、。分别是直线x+y +2=
3、0和圆C上的动点，贝H P A I+IP QI的最小值为.r 215.设函数/（彳）=2川+;，若对D xwR,不等式氏）？/（/+4）成立，则实数机的取值范围是.16.在 A B C中，。，b ,c,分别为角A ,B ,C的对边，且6（si n C-詈 法）=。.若 A 8 C的内切圆面积为4兀，则 A B C面积S的最小值.三、解答题：本 大 题 共6个大题，共7 0分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17 .（12分）已知数列 4 的前项和为S”，若5 =一/+如（让 可），且S”的最大值为25.（1）求k的值及通项公式,；（2）求数列，/-”的前项和7；.年份2 0 1 52
4、0 1 62 0 1 72 0 1 82 0 1 92 0 2 0年份代码X123456学生人数M个）666770717274（1）根据表中数据，建汇），关于x的线性回归方程$，=6:+4；（2）根据线性回归方程预测2 0 2 1年该民族中学升入“双一流”大学的学生人数（结果保留整数）.附：对于一组数据（M，X），（%,力），（王，”），其回归直线方程），=八+4的斜率和截距的最小汽（-）（%-到 6二乘估计分别为右二与二-，歹=反一位；（参考数据：戊-6.=28）.Z（）21 9.（1 2分）如图，在直三棱柱A8 C-A4G中，底面AB C是等边三角形，。是AC的中点.（1）证明：4月平面B
5、 G。：（2）若 例=2AB,求点用到平面B CQ的距离.2 1.(1 2 分)已 知 函 数=(1)当=1时，求/(工)的极值；(2)若/在 0,+8)上恒成立，求实数。的取值范围.2 22 0.(1 2分)已知椭圆C:*+方=l(a 0)的两焦点为耳(一1,0),月(1,0),点尸在椭圆C上，且AP K6的面积最大值为(1)求椭圆C的标准方程；(2)点M为椭圆C的右顶点，若不平行于坐标轴的直线/与椭圆C相交于48两 点(A,8均不是椭圆C的右顶点)，且满足求证：直线/过定点，并求出该定点的坐标.请考生在2 2、2 3两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.2 2.(1 0分)【
6、选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系x Q v中，以。为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线G的参数方 x =s i n a 兀程为 .(a为参数)，直线C,的极坐标方程为。=一二.y=c o s 2 a -6(1)将G的参数方程化为普通方程，Q的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求与直线C?平行且与曲线G相切的直线/的直角坐标方程.23.(10分)【选修4 5：不等式选讲】已知函数/(x)=|3工一1|+2|1一3|.(1)若关于x的方程|3x l|+2|x-3|二a有两个不同的实数根，求。的取值范围;(2)如果不等式/(天)工云的解集非空，求力的取值范围.文 科 数 学
7、答 案第I卷一、选择题：本 大 题 共12小题，每 小 题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】A【解析】由集合A=MX+1)(L5)0,xG z|=工|工4 0或Z,所以43=0,23,4,故选 A.2.【答案】A4i 4i(l J5i)【解析】-7-=-H-=V3+i,所以虚部为1,故选A.1 +V3i 4【解析】因为y=log2x在(0，+8)上单调递增，因为4 7 8,所以2=k)g24vlog27vlog28=3,所以2 a =1。83工在(，田)上单调递增，389,所以I=log3 3vlog38vlog39=2,所以1 b0,所以00.32。3=1
8、，即0 C1,所以c v b c a ,故选B.4.【答案】C【解析】.命题p：3Aex|lKxK9),使/_ 依+360为真命题，即使 工2一 妆+364()成立，即+迎能 成立，x设/(X)=x+?，则/(x)=x+3N2 x =12.当且仅当=次，即x=6时，取等号，即/(x)1 1 1 1n=12,2 12,X故。的取值范围是a 2 1 2,故选C.5.【答案】A【解析】因为函数/()图 象 的 个对称中心为(3,0),所以龙+3=A兀，k e Z,所以。=E-型，k w Z、4 4又帆|3，所以0=(，所以，(x)=2sinQ x+：),因为8(力=2 8 5:x=2 行1(弓1+5
9、)=25出(?1+1)+：),所以为了得到g(x)=2cos：A的图象，只需将函数/(x)的图象向左平移I个单位长度，故选A.6.【答案】B【解析】函 数 “二邓；亍 署 工的定义域为R,且/(一”=/(力，3.【答案】B所以函数/(4)为偶函数，其图象关于)轴对称,排除选项A,D；9.【答案】C因为/(O)=g a4,故立春的展长比立秋的唇长长，故 D 正确，故选C.8.【答案】C【解析】宜角三角形的斜边长为J G+”2=1 7,设三角形内切圆的半径为，面积为S,利用等面积法可知S=；x8 xl5 =；x(8+15+17)r,解得/=3,向该直角三角形内随机抛掷100颗米粒，设落在三角形内切
10、圆内的米粒数大约为x,y jr V 22 TT X 2?X 100则利用几何概型可知念=、,解得x=彳=45颗，1 0 0 2x8x15,8 x 1 52 2所以落在三角形内切圆内的米粒数大约为4 5,故选C.【解析】由题可得抛物线焦点为(0,1),则=1,即 P=2,则抛物线方程为,d=4 y,.直线A B 的倾斜角为60。，则 斜 率 为 故 直 线 的 方 程 为 y=J I r+l，fx2=4v、L联立直线与抛物线 L，可得f 一4瓜 一 4=0，y=V3x+1设 A(x，y J,则不+吃=4后，与 工 2=与，贝|J|A8|=,(4 6 丫 一4X(T)=16，故选 C.10.【答案
11、】C【解析】；对任意f e R 恒有I。-te a-e,|a-/e|2|fl-e|2,即，一2 s-e +产/a-2a e+e2,即一(Zz e +2。e-1N 0 对任意t e R 恒成立，则/=(2 a e)2-4(2 a e-l)=4(a e-iy w 0,:.a e=,故。和e 不垂直，故 A 错误；,：a e,|e|=l,.a(a-e)=a2-a e =a2-0,故 B 错误：,.e(a-e)=a-e-e2=11 =0 e (a-e),故 c 正确：(a+e)(a-e)=a2-e2-a2-0,故 D 错误，故选C.11.【答案】B【解析】设四极锥P ABC。外接球的球心为O,过 O
12、作底面4 8 c o 的垂线，垂足为M ,因为四边形ABCD是长方形，所以M 为底面中心，即对角线AC、B。的交点，过。作三角形AP。的垂线，垂足为N,所以N 是正三角形APO 外心，设外接球半径为人 外 接 球 的 体 积 为 包 生 二 生，所以r=拒，即。4=&，3 3过N 作 NE_LA。，则 E 是 4 D 的中点，连接EM,所以=A8=1 ,E M 上A D,2因为平面A P D1 平面A B C D,平面A P D D 平面A B C D =A D ,所以NE_L平面A8C。，所以N E/O M ,所以EM _L平面A P O,所以E M/O N ,所以四边形M E N O是平行
13、四边形，即O M =N E,设 A O =2 x,则=，N E =：P E =；x今 A D =.x，所以 O M =N E =x.3由勾股定理得O A 2=O M2+A M 2,即2=r+x 2+,解 得 =且，3 2所以 A O =GnALD =-2 A D2 4s i n 60 =，因为 A B/C D/OM,所以 A 8 _L 平面 4 P D,C D J.平面 A P D,所以 P A _L A 8,P D 上 C D,S gA 产 S fC D =g x A B x A P =6因为 P B =P C =y/J 次 丁 第=百，B C =6作尸 _L 8C于 ，所以为B C的中点，
14、所以耽=,2-（。-=后4所以S a c=g x尸H x B C =上 ，S炬照收 =2 G 所以 4 =S&A O +A P C D+S矩 形 钻 B =6 G,故选 B.12.【答案】C【解析】/(x)=0可转化为e +ea-x-2 =-x2+a2 nx.设8(力=炉-。+一2,由基本不等式得e +eax-2.7 一2=0，当且仅当x =。时，g(力取到最小值0.设 hx）=一;V+a 2 1n M ），则厅（汇）=x当0 x 0,(力单调递增;当时，”(x)v0,力(x)单调递减，所以当x =a时，力(1)取到最大值：/+/ln a.若/(x)有2个零点，则g(力与力(力有两个交点，此时
15、一弓/+a In a 0,解得a&，故选C.第n卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.1答案】；【解析】x。，y 0,2x+y =l,=f-+-2x+y)=5+5+2=5+2/4=9,x y yx y)x y x y当且仅当区=在，即=：时，等号成立.x y 3故答案为g.14.【答案】2-75r解析】如图所示：设点A关于直线/：x+y +2=0的对称点为A (.r,y).二 +空+2=0则2、2，解得 一2,)，=一2因 为 网=|两 卜 所 以 网+同|的最小值为|西-r =J(-4-2)2+(-2-炉-=2 G故答案为2石.15.1答案】-4,41解析】函数/(x)=2川+E
16、的定义域为R,/(-x)=2+A+=2-w+4=f(.v),所以，函数/(x)为偶函数，14-(-X)1 +工当x N O时,/(x)=2,-,+=+v-l -八/1+x2 2l l +x223由于函数y 为减函数，%在 ，+刃)上为减函数，所以，函数/(x)=2 W+在 0,-KX)上单调递减，由秋丫)之+4)可得/(帆q)2/(.，+4),可得|1 7对 Wx2+4,所以，/一|巾忖+4 2 0对任意的16 11恒成立，设r =凶N 0,则t2 一|3/+4 2 0对任意的7 2 0恒成立，由于二次函数y =产一|立+4的对称轴为直线”之0,.-.d =/2-1 6 x 48x T=,2即
17、A 3。面积S的最小值为12 J 5，故答案为1 2 G .三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.4 3+41 7.【答案】(I)k=l0,a“=-2 +ll(N)；(2)Tn=-r-【解析】(1)由题可得S,=-(-g)+g keZ,所以当*为偶数时，(S.)a =7=2 5,解得左=1 0：2 4&2 _ 当上为奇数时，(S)=5*1=；=2 5.此 时k无整数解,练上可得：女=1 0,=-n2+1 0n.=1时，4=5 =9.当 2 2 时，an-S,-5 _ 1 =(一 *+1 0)一卜(-+1 0(/2-1)1 =-2/J+1 I,当九=1时
18、也成立.综上可得为=-2 +1 1,1 2 n 1 _ 1 2 n-1 n _=不+不+不 =下+不+丁+尹 所以2 =1 0,4二-2九 +1 1(eN*).(2)十,两式相减得工1 1 1 n-.1-+4-,4 42 4 4n+,3 T 445n 1 I _44+i .3 3 .4“4,+,4则4=9,4-n 4 3/2 +4则7=歹 了F1 8.【答案】（1），=1.6式+6 4.4；（2）7 5.【解析】（1）由题意，x=1+2+3+4+5+66=3.5 ,y=6 6 +6 7 +7 0+7 1 +7 2 +7 4”-=7 U,6(X.-X)2=(-2.5)2+(-1.5)2+(-0.
19、5+o 5 2 +1.5?+2S=1 7.5,i-i 7 _ 2%/一7工)，28-=永=1 6 ,金=：一痂 =7 01.6 x 3.5 =6 4.4，Z(2 1 7.5;=l故三棱锥G-A 8力的体 积 为 正X4=N ,3 2 3由直棱柱的性质可知平面ABC _ L平面A C G A，则B）_ L平面A C G A ,因为GD u平面A C G A ,所以4D_ LG ,又CD=NCC：+C D2=后,所以 8 G。的面积 为:x J 5 x，万=粤，设点A到平面B G。的距离为力，则_ lx避1 =辿，解得h=勺 叵,3 2 3 1 7故点用 到平面B CQ的距离为 生 叵.关于V的线
20、性回归方程为y=1,6 X +6 4.4.（2）由（1）可知，当年份为2 02 1年时，年份代码x=7,此时 =1.6 x 7 +6 4.4=7 5.6,保留整数为7 5人，所以2 02 1年该民族中学升入“双一流”大学的学生人数为7 5人.1 9.【答案】（1）证明见解析；（2）生 叵.1 7【解析】（l）设4 Cn8G=E,连接D E,由直棱柱的性质可知四边形6 C G片 是矩形，则后为4 c的中点，因为。是4 C的中点，所以D EA B因为A 4 a平面B G。，DE u平面B C D,所以A g平面8 00.（2）连接A,由（1）知A g平面8 G。，所以点4到平面8Go的距离等于点A
21、到平面B G。的距离，因为底面A B C是等边三角形，。是A C的中点，所以B O 1 A C,因为AB=2,所以A D =1,则8 Q =G，I C从而48。的面积为=,2 22 0.【答案】（1）工+汇=1：（2）证明见解析，定点坐标为【解析】（1）由椭圆的对称性可知：当点P落在椭圆的短轴的两个端点时，鸟的面积最大,此 时;x2 x/?=J i,解得b =G，由/=从+1?,得 a?=3 +1 =4,椭圆C的 标 准 方 程 为 二+二=1.4 3（2）设4（%,y）,B（孙 为）,直线/的方程为丁 =京+7,y=kx+rn联立，f y2 _，得（3 +4攵2 b 2+8/履+4（M？-3
22、）=0,丁不一则 A=6 4*攵2 _ 6（3 +4左*）（W2-3）0,即3 +4 一/0,.-8 /4（1-3）,2 3+4二*三、3（/r-4I2）/.yy2=（H 1 +z）（g +m）=k”0+m k（xt+x2）+nf=止 ,.,椭圆的右顶点为M（2,0）,A M I BM ,:,MA M B =O.,.（内 一2）（演-2）+yly2=0,即 yxy2+式也一2a+.q）+4=0,3（4 0 4（3）1 1 6&1 0.3+4-3+花 3+花整理可得 7，+16km+4 k2=0，2 k解得my=-2 k,?2=一,，（码，nh 均满足3 +4 k2-nV 0）.当z =-24时
23、，/的方程为y=A（x 2）,直线/过右顶点（2,0）,与已知矛盾;当?2=一 学 时，/的方程为y=k（x-），过定点（g，o），二直线/过定点，定点坐标为（5，）.21.【答案】（1）极小值0,无极大值；（2）（Y o,e-2.【解析】（1）当“=1 时，fx=ec-x-,所以=当x 0时，f x）0.所以/（x）在（HO,0）上单调递减，在（0,+8）上单调递增，所以当x=0时，函数/（X）有极小值/（0）=0,无极大值.（2）因为/（x R x2在0+R）上恒成立，所以，一 工2 一3 1 2 0在0,+8）上恒成立.当x=0时，0 2 0恒成立.此时a eR：当x0时，aW+在（。,
24、+8）上恒成立.x x令g（x）=j）,则 以 加9 2_（斗.”）5叨.由（1）知x 0时，f M 0,即/一（工+1）0.当 Ovxvl 时，g (x)l 时，g x)0,所以g（x）在（0,1）上单调递减，在（l,+o o）上单调递增,所以当无=1时，g C Y）mi n=e-2，所以ae-2,综上可知，实数。的取值范围是（-8,e-2.22.【答案】(1)C,:y=l-2x2,G：岳+3 y=0,(x20)；(2),=一 浮 工+葛.【解析】（1）因为曲线G的参数方程为x=s i n a=cos2 j a为参数)所以A=s i n a、,c 2，消去a，得y=l-2xLy=l-2s i
25、 n2a因为直线G的 极 坐 标 方 程 为 十所以 t an。=t an即上X兀ps i n。_ 66)夕 c o s。3所以G x+3 y =0,(x20).（2）设切线方程为），+b,3由y=-x+b-3y=-2 x2得 2/-X+ZJ-1 =0 3所 以/=8x(6 1)=0,25解得。=，所 以 切 线 方 程 是 广 一 争+看23.【答案】(I)L|a y 1?(2)b b 3【解析】/(x)=|3x-l|+2|x-3|=-x+5,-x 3,3 5x+7,1x -3当xN 3时，函数/(x)单调递增，并且/(x)N 8；当*3时，函数/(单调递增，并且/)若：1 1 A当x w，综上：当x g时，函数/(X)单调递增，当x 与.8(2)因为/(3)=8,记点”(3,8),坐标原点为。(0,0),则直线O M的斜率为当直线 二也(与丁=-54+7平行时，无交点，0所以当-5或b Z,时，该直线与函数f(x)=|3 x-l|+2|x-3|的图象相交.因为不等式f)V bx的解集非空，所以b的取值范围是 用-5或6 z g .