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1、吉林省吉林市船营区2021年中考数学一模试卷一、选 择 题（共 6 小题）.1.2021的倒数是（）A.-2021 B.C.202120212.柜子里有5双鞋，取出一只鞋是右脚鞋的概率是（）1D.-2021D.1103.如图，是一个几何体的表面展开图，则该几何体是A.正方体 B.长方体 C.三棱柱D.四棱锥4.如图，赵师傅透过平举的放大镜从正上方看水平桌面上的菱形图案的一角，那么/A与放大镜中的/C的大小关系是（）C.ZA一3时，y随x的增大而增大C.二次函数的最小值是一2 D.抛物线的对称轴是直线x=-326.图1是一个地铁站入口的双翼闸机.如图2,它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与8之间的
2、距离为10am双翼的边缘AC=B=54cro,且与闸机侧立面夹角NPCA=ZBe=30.当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（）A.(5 4百+1 0)c m B.(5 4-2 +1 0)cm C.6 4 cm D.54cm二、填空题7 .分解因式：Sa2-2a=.8 .若关于x的方程k x 2+2 x-1=0 有实数根，则 k的 取 值 范 围 是.9 .九章算术中记载一问题如下：“今有共买物，人出八，盈三：人出七，不足四，问人数、物价各几何？”意思是：今有人合伙购物，每人出8 钱，会多3 钱；每人出7 钱，又差4钱，问人数、物价各多少？设有了人，依 题 意 列 方 程 得.1 0
3、.如图，在中，A C=B C,N B =65。,分别以点A、C为圆心，大 于;AC的长为半径作弧，两弧相交于两点，过这两点作直线。E，分别交AC、8。于点。、E,连接AE,则 NAEO的度数为 度.1 1 .如图，点4在双曲线y =&（左 0）上，点 B在双曲线y 上，且 A 5/X 轴，点C和点。在 x轴上.若四边形ABCQ为矩形，且矩形A B C。的面积为2,则人的值为试卷第2页，总7页12.如图，AB为半圆0 的直径，现将一块等腰直角三角板如图放置，锐角顶点P 在半圆上，斜边过点B,一条直角边交该半圆于点Q.若 A B=2,则线段BQ的长为13.如图，r-ABCD的顶点B 在矩形AEFC
4、的边EF上，点 B 与点E、F 不重合.若4 ACD的面积为3,则图中的阴影部分两个三角形的面积和为三、解答题14.如图，在平面直角坐标系中，点 P 为抛物线y=x2-g a x+a 的顶点，点 A、B 在 x轴上且A B=2,当点P 在 x 轴上方且4P A B 面积最大时，a 的值为.15.先化简，再求值：(a 一(a+b)(a/?),其中a=-3 =2.16.甲、乙两人都握有分别标记为A、B、C 的三张牌，两人做游戏，游戏规则是：每人各出一张牌，若两人出的牌相同，则为平局.用树状图或列表等方法，列出甲、乙两人一次游戏的所有可能的结果，并求出平局的概率.17.如图，点 E、F 在 BC 上
5、，BE=CF,AB=DC,NB=/C.求证：N A=N D.1 8.某小区为了铺设一段全长为480米的道路，为减少施工对居民生活的影响，需缩短施工时间，实际施工时每天的工作效率比原计划提高20%,结果提前2天完成任务.求原计划每天铺设多少米？19.如图，是6 x 6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1.线段AB的两个端点均在小正方形的格点上.(1)如图，点P在小正方形的格点上，则sin/PAB=.(2)在图中画出以线段PA为边的格点正方形.(3)在图，图中分别画出以线段A 3为边和对角线的矩形(面积不为8),且另外两个顶点C、。均在小正方形的格点上.分别写出你所画
6、出矩形的面积.20.钓鱼岛历来就是我们中国的固有领土，是神圣不可侵犯的！如图是钓鱼岛中某个岛礁上的斜坡A C,我海监船在海面上与点C距离200米的D处，测得岛礁顶端4的仰3角为26.6。，以及该斜坡坡度是tana=:，求该岛礁的高A6(结 果 取 整 数).(参4考数据：sin 26.6 0.45,cos 26.6 0.89,tan 26.6 0.50)21.如图，BE是 f 的直径，点A和点。是 f 上的两点，过点A作 f 的切线交BE延长线于点C.(1)若NAOE=25。，求NC的度数;(2)若AB=AC,CE=2,求 半 径 的 长.试卷第4 页，总7 页2 2.在建设港珠澳大桥期间，大
7、桥的规划选线须经过中华白海豚国家级自然保护区一区域A 或区域民为实现白海豚“零伤亡，不搬家”的目标，需合理安排施工时间和地点，为此，海豚观察员在相同条件下连续出海20天，在区域A,8 两地对中华白海豚的踪迹进行了观测和统计，过程如下，请 补 充 完 整.（单位：头）（收集数据）连续20天观察不同中华白海豚每天在区域A,区域B 出现的数目情况，得到统计结果，并按从小到大的顺序排列如下：区域A 0 1 3 4 5 6 6 6 7 8 8 9 11 14 15 15 17 23 2530B 1 1 3 4 6 6 8 9 11 12 14 15 16 16 16 17 22 2526 35（整理、描
8、述数据）（1）按如下数段整理、描述这两组数据，请补充完整：海豚数X0 x78r1415 人 2122 人 2 829x 0,抛物线开口向上，A不正确；B.-2=-2,当时，y随x的增大而增大，B不正确；2a 2 25 9 9C.y=x2+5%+4=（x H ）2-，二次函数的最小值是,C不正确;2 4 4h 5 5D.=-二，抛物线的对称轴是x=-,D正确.2a 2 2故选D.6.C【详解】2 2同理可得，B F=2 7 cm,又：点A与B之间的距离为1 0cm,.通过闸机的物体的最大宽度为2 7+1 0+2 7=6 4 （cm）,故选C.7.2 a（4-1）【分析】直接提取公因式2 a,进而
9、得出答案.解：8 a 2-2 a =2 a（4 a 1）.故答案为：2 a（4。-1）.【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握提取公因式法是解题的关键.8.k -l答案第2页，总20页【分析】首先讨论当k =0时，方程是一元一次方程，有实数根，当Z/0时，利用根的判别式 =b2-4 a c=4+4 k 0,两者结合得出答案即可.【详解】当人=0时，方程是一元一次方程：2x-l =0,x =L方程有实数根；当ZwO时，方程是一元二次方程，产 _ 4 ac =4+4 Z 2 0,解得：Z2 1且 左。0.综上所述，关于x的方程自2+2%一 1 =0有实数根，则人的取值范围是攵？-1.故答案为k 2-
10、1.【点睛】考查一元二次方程根的判别式，注意分类讨论思想在解题中的应用，不要忽略攵=()这种情况.9.8 x 3 =7 x +4【分析】分配问题，依据题意，等量关系式为：第一次分配时的物价=第二次分配的物价，据此列写等量方程即可.【详解】根据等量关系式：第一次分配时的物价=第二次分配的物价即：8%一3 =7%+4故答案为：8%一3 =7尤+4【点睛】本题考查列写一元一次方程，解题关键是根据题意，找出对应的等量关系式.10.4 0【分析】由作图可知，DE是线段4C的垂直平分线，得出C E =AE,由等腰三角形的性质得出/C =/C4E,由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出N C =5 0,即
11、可得出结果.解：由作图可知，Q E是线段AC的垂直平分线，C E =A E ,二 Z C =ZCAE,答案第3页，总20页A C =B C,N B =6 5。，；N B A C =65,Z C =18 0-2x 6 5 =5 0 ,Z C A E =50,，Z A E D =40 ,故答案为：4 0.【点睛】本题考查尺规作图-线段垂直平分线、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等内容，根据尺规作图明确O E是线段A C的垂直平分线是解题的关键.11.3【分析】延长B A交y轴于E,根据反比例函数k的几何意义得到S BCOE=网,5矩 形 E=1，则网一1 =2,解得即可.解：延 长 交
12、y轴于E,如图，.四边形A B C。是矩形，二四边形A O O E是矩形，四边形B C O E是矩形，k1 点4在双曲线y =（攵 0）上，点8在双曲线了=上,x x,S矩形6 c O E =1，S矩形4 O O E 网，,矩形A B C。的面积为2,S矩形AOOE-S矩形6 c O E =2，即网一1=2,答案第4页，总20页而%0,故 答 案 为3.【点 睛】本题考查了反比例函数k的几何意义，矩形的性质，熟练掌握反比例函数大的几何意义是解题的关键.12.V2【分 析】连 接AQ,BQ,根据圆周角定理可得出N 043=NP=45-,NAQB=90,故 厂 板8为等腰直角三角形，再根据锐角三角
13、函数即可得出答案.【详 解】连 接AQ,BQ,NP=4 5-，NQA8=NP=4 5-,且 NAQB=90,为等腰直角三角形AB=2,.内 QB QB V2sin/QAB=sin 45-=-=-=AB 2 2QB=y/2【点 睛】本题主要考查了圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题关键.13.3.【详 解】答案第5页，总20页.四边形ABCD是平行四边形，ACD的面积=ACB的面积.又ACD的面积为3,.ACB的面积为3.VA ACB的面积矩形AEFC的面积的一半，.阴影部分两个三角形的面积和=ACB的面积=3.故答案为：314.8【分析】利 用 配 方 法 得 到 产 炉-工
14、a)2-cfi+a,则顶点P的坐标为(。，-cT+a),2 4 16 4 161根据三角形面积公式得到底以8=7*2刈-1 /,+。)=-1 2,+。，然后根据二次函数的性2 16 16质可确定 P A B面积最大时a的值.解：Vy=x2 ax+a=y=(x a)2 cfi+a,2 4 161 1 7,顶点P 的坐标为(一，-CT+。)，4 16,点P 在工轴上方，1 2*-a+c i 0,16SA PAB x2x(-ci+c i )=-cr+a=-(a-8)_+4,2 16 16 16.”=8时，PAB面积最大，故答案为8.【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，解题的关键是将面积最大值问题转
15、化为求二次函数最大值问题.15.2 +2 b 2,20【分析】利用完全平方公式，平方差公式展开化简，然后代入值计算即可.解：(a-b)-(a +b)(a-b)=a2-2ab+b2-a2+b2=-2ab+2b2，答案第6 页，总 20页当。=-3,。=2 时，原式=-2x(-3)x 2+2x 2?=2 0.【点睛】本题考查了完全平方公式，平方差公式，合并同类项，熟练运用完全平方公式，平方差公式对代数式进行化简是解题的关键.11 6 .-3【分析】画树状图，观察图形得出概率.【详解】开始/T/4/1乙 4 B C A B C 4 B C由图形可知，共有9种可能，其中平局有3种可能3 1所以P(平局
16、).9 3【点睛】本题考查求解概率，常见的方法有3种；树状图法、列表法和穷举法.1 7 .答案见解析【分析】由B E=C F可得B F=C E,再结合A B =D C,N B=N C可证得 A B Fg/D C E,问题得证.【详解】解：B E=C F,；.B E+E F=C F+E F,即 B F=C E.在A A B F和 D C E中,ABDCE =5 0,：.Z C =9 0-ZAOE答案第10页，总2 0页=90-50=40；(2)V AB=AC,：.N8=NC,，/农E=E，ZAOC=2ZB,：.ZAOC=2 Z C ,：ZOAC=90,：.NAOC+NC=90。，3NC=90。，
17、ZC=30,：.OA=-O C,2设i的半径为r,VCE=2,r=g(r+2),解得：r=2,二f的半径为2.2 2.(1)2,1；(2)3 0,8,6；(3)2 2 x ,将(1 00,300)和(2 00,800)代入可求得 y2=5 x-2 00,由 2 t+34 0-(5 t-2 00)=6 0,解得：t=1 6 0秒；所以当t=30或 1 6 0时乙同学领先甲同学6 0米.2 4.(1)相等；(2)(3)图见解析；5.【分析】(1)根据线段垂直平分线的性质即可得到结论；(2)先根据直线的函数解析式可得点A,8 的坐标，从而可得。的长，再根据线段垂直平分线性质可得A Z)=8 0,然后
18、在RZLB4O中，利用勾股定理即可求得；(3)根据旋转的性质将线段A B绕点A顺时针旋转9 0得到线段A B ,画出线段AB,即可；I Q先利用待定系数法求得AB垂直平分线的表达式为y =-x+-,从而可得设点P的坐标为P(根，-+)，然后利用两点之间的距离公式可得=7 0川+1 4 5 ,3 3 3据此利用二次函数的性质求解即可得.解：(1)；点 C是 A8 中点，C D L A B,P是 CO上任意一点，P A =P B,故答案为：相等；(2)由题意得：当x =0 时，y =l；当 y =0 时，尤=3；答案第12页，总2 0页/.A（3,O）,B（O,1）,O A=3,O B=1,设8。
19、的长为。，点。是AB中点，8,48交0人于点。,二 A D =B D =a,0D=3 a,在中，Z B O D=9 0 ,O B2+O D2=B D2.即+（3-4）2 =4,解得a =3,即3 0 =2.3 3故6。的长为:；3（3）如图，线段A B 即为所求.（91/inra 占 R（d a A n m过AB的中点作AB的垂直平分线，点P是该平分线上一点,A B 的中点的坐标为 于,)又 Z B A B =90,A B 的垂直平分线与直线y =-g x+l平行，则设A B 的垂直平分线的解析式为y=-x+b,3 1 7 R一 =x +b,解得b =；,2 3 2 3答案第13页，总2 0页
20、1 QAB垂直平分线的表达式为y =设点+AP=J(L 3)2+-g 2 +1 1 =1，1 0病 一7 0 2 +1 4 5 ,-7 0V l()0,故A P有最小值，当z =-=3.5时，A P有最小值,2 x 1 01Q当z =4或3时，加+不是整数；3 3I Q 1 Q当加=5时，根+=1,是整数，当机=2时，一加+=2,是整数,3 3 3 3此时AP的最小值为-V10 X 22-70 X 2+145=6 ,3PB=AP=5又 AB=J(4-3 +(3-0)2 =回,AP2+PB2=AB2，.LM B 是等腰直角三角形，且N A P 8 =9 0。，与题意矛盾，舍去；1 8当加=6或1
21、时，m+不是整数；3 31Q当2 =7或0时，加+不是整数；3 31 Q 1 Q当2 =8时，6+=0是整数，加=一1时，m+=3是整数，3 3 3 3此时 AP 的 最 小 值 为:0 X(_ 1)2 _ 7 0 x (_ 1)+4 5 =5 ,.I P B =A P =5,又 AB=J(4 3尸+(3 0)2 =而,AP2+PB2*AB2，.4钙B 不是等腰直角三角形，即N A P B r 9 0,符合题意，则点*8,0)或(1,3)；综上，A尸长度的最小值为5,答案第14页，总2 0页故答案为：5.2 5.(1)yfix；(2 )x =；3后(0 =/3 2 二 后(3-x+6V3x 乂
22、，32 126 3一 X,一、5 2解：(1),等边中，AB=6.NA=60。，,:AP=2x,，sinNA=四 =四=近AP 2x 2 PD=6X；(2)当 点 尸 落 在 边 上 时，如 图 1,图144c为等边三角形，四边形P O E F1是矩形,/.PF/AC,：.4 FPB=NA=NB=60,.P 3 F 为等边三角形，PF=PB，/3x =-X2+6&X.-2 23后(0%,2 6.(1)y=x2-2 x-3,顶点。的坐标为(L-4)；(2)存在，点 P的坐标为(2,5)或(1,-4)；(3)加0或T ，3【详解】(1)将点A、C的坐标代入抛物线表达式得：9 +3 b+c =0c-
23、34=-2,c=-3.此抛物线的解析式y =/一2 x-3 .V y =x2-2 x-3 =(x-l)2-4,.顶点。的坐标为(1,一 4)；(2)存在；当N P A C =9 0 时：(如图1)；NOAC=NOC4=4 5.答案第18页，总2 0页ZPAB=45,yP=彳 户，即 f _ 2x _ 3=3 x%=-2,x2=3(舍)2(-2,5)；当NPC4=9()时：(如图2):NOCA=45,NPCQ=45。，XP=yc-yp 即一3x?+2%+3=尤.，.=1,x2=0（舍）P（l，-4）.符合条件的点尸的坐标为（一2,5）或（1,T）；（3）由图象可得加0时，PAC的面积为S随着根的增大而减小;顶点D的坐标为（1,一4），点A的坐标是（3,0）,由图象可得1 加3时，过点P作P N x轴交A C于点N,答案第19页，总2 0页设直线AC的解析式y =h+6,.点A的坐标是（3,0），点c的坐标是（0,3）,.线AC的解析式y =x -3,设点P的坐标是（加，加 则点N（乙加一3）,.0 4 0的面积为5 =工 2 3-（m2-2 2 3）乂3 =-。2 2）+2 21 2 J 83当m=一时，APAC的面积有最大值，23 一 加 3时;S随着?的增大而减小.2面积S随着m的增大而减小时m的取值范围为m 0或3根3.2答案第20页，总20页