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1、2021届重庆实验中学高考数学三诊试卷一、单选题(本大题共9小题，共45.0分)1.全集U=R,集合4=y|y=kg3X,x 3,B=x|x 2|z|,z=8 +i(i为虚数单位)，下列成立的是()A.AUB B.CMnB=U C.A n B=0 D.4 n&B),02.已知锐角三角形的两个内角A,B满足tcmA-二=tcm B,则有()sin2A、A.sin2A-cosB=0 B.sin2A+cosB=0C.sin2A 4-sinB=0 D.sin2A sinB=03.设等差数列an(nWN+)的前项和为Sn,该数列是单调递增数列,若S43 10,S5 当五-3 0时，g(x)0恒成立(g(
2、无)为函数g(x)的导函数)；对任意的x 6 R都有g(x)=g(r),又函数/(x)满足：对任意的x 6 R,都有/(遮+%)=/(%-V3)成立.当4 6 -低B 时，f(x)=/一 3x.若关于x的不等式gf(x)W g(a2-a+2)对x 一|一 2代|+2问 恒 成 立，则a的取值范围是()A.a 6/?B.0 a 1C.一工一迪 a 0,b 0)的左、右焦点分别为F i，F2,渐 近 线 分 别 为%，点 在第一象限内且在k上，若%P F 2，则双曲线的离心率是()A.V 5 B.2 C.V 3 D.V 29 .设满=鬻”通=jl嘱 建 彩=5解 ,则()A.-；r：,?“:：谢
3、B.怔/：磁,：施 C.：0,：&Y 窜；D.题Y ：T：湖二、多选题(本大题共3小题，共1 5.0分)1 0 .已知由样本数据点集合(孙)|i=1,2,n 求得的线性回归方程为J =15x+0 5,x=3.现发现两个数据点(1 83.8)和(4.2,6.2)的误差较大，去除这两个数据点后重新求得的回归直线/的斜率为1.2,则下列说法中正确的有()A.去除这两个数据点前，当变量x每增加1个单位长度时，变量y减少1.5个单位长度B.去除这两个数据点后的回归直线过点(3,5)C.去除这两个数据点后y的估计值的增长速度变慢D.去除这两个数据点后，当x=4时，y的估计值为6.21 1 .设a,b,c为
4、非零实数，且abc,则下列关系一定成立的是()1 2.A.a-b b c B.a +b 2 c C.-D.a b c如图，这是函数/(x)=A sin(a)x+(p)(A(o 0,|/)|则S9=1 5.4BC中，角 A、B、C所对的边为 a、b、c,若2=b=2c,则。=.1 6 .在我国瓷器的历史上六棱形的瓷器非常常见，因为六、八是中国人的吉利数字，所以好多瓷器都做成六棱形和八棱形.数学李老师有一个正六棱柱形状的笔筒，如图，底面边长为6 c m,高为1 7 c m(底部及筒壁厚度忽略不计).一根长度为2限c m的圆铁棒 粗细忽略不计)斜放在笔筒内部，/的一端置于正六棱柱某一侧棱的底端，另一
5、端置于和该侧棱正对的侧棱上.一位小朋友玩耍时，向笔筒内注水，恰好将圆铁棒淹没，又将一个圆球放在笔筒口，球面又恰好接触水面，则球的表面积为 cm2.四、解答题(本大题共6小题，共7 0.0分)1 7 .设A BC的内角A、B、C的对边分别是a,b,c,t a n A=,且B为钝角.(1)证明：B-A=.(2)求s比4 4-sinB+s i n C的取值范围.1 8.已知数列 an中，%=4,其前项和Sn满足：Sn=an+1+n.(I )求数列 七 的通项公式；(n)令&=若整，数列 尿 的前 项和为，证明：对于任意的J i e N*,都有意1 9.某次月考从甲、乙两班中各抽取20个物理成绩，整理
6、数据得到茎叶图如图所示，根据茎叶图解决下列问题.(1)分别指出甲乙两班物理样本成绩的中位数；(2)分别求甲乙两班物理样板成绩的平均值；(3)定义成绩在80分以上为优秀，现从甲乙两班物理样本成绩中有放回地各随机抽取两次，每次抽取1个成绩，设 表示抽出的成绩中优秀的个数，求6的分布列及数学期望.甲城乙班89533 5 6 6X7723 5 6 7 87987522 3 4 6 768 5 5 4 255585204602 0.如图，在直四棱柱4 8。-4/1 6。1中，底面四边形A 8 C O 是直角梯形，其中4 B1 4。，48 =B C =1 且4。=夜 44=2.(1)求证：直线1 平面AC
7、。1；(2)试求三棱锥A I 一 4C D1的体积.2 1.已知椭圆M；5=i(a b 0)的一个焦点与短轴的两端点组成一个正三角形的三个顶点,且椭圆经过点N(夜 冷.(1)求椭圆M的方程；(2)若斜率为-的直线匕 与椭圆M交于P,。两点(点P,。不在坐标轴上)；证明：直线OP,PQ,O Q 的斜率依次成等比数列.(3)设直线。与椭圆加交于A，8两点，且以线段A 8 为直径的圆过椭圆的右顶点C,求 A B C 面积的最大值.2 2 .已知函数/(%)=Inx x2 4-a x,(1)当X W (1,+8)时，函数/(%)为递减函数,求的取值范围；(2)设/(%)是函数/(X)的导函数，Xi，X
8、2 是函数/(X)的两个零点，且 血%2,求证(炉)1 一.【答案与解析】1.答 案:D解析：解：,全集U =R,集 合/=y|y =l o g?%,%3 =y y 1,B =xx|z|,z =V 3+i （i 为虚数单位）=xx 2）,A C yB =XX 2,:.A D（C（/B）=x|l x 2 0.故选：D.求出集合4,B,从而求出Q B,由此能求出4 n （Q B）.本题考查交集、并集、补集的求法，考查交集、并集、补集的运算等基础知识，考查运算求解能力,是基础题.2.答案：A解析：解：锐角三角形的两个内角A,8满足t a m 4-三=sin2AsinA 1 sinB ,cosA 2s
9、inAcosA cosB即为2我24T=西里,2sinAcosA cosBn ri-cos2a sinB即有-=-，sin2A cosB即有 c o s 2 Ac o s B +sin2A sinB=0,即 c o s(2 4-8)=0,即有2 4-B =k i r+l kE Z,由。4 g,0 B p可得一g 2 4 B 0.若S4 10,S5|4al+6d 10,4d|6d 工10(T)5QI+lOd 15 设 Q4=%+3d=?i(-401 6d)+6(5。1+lOd),1n=-23m=-5J，+g W 4,即以 45 Q4 4 4.故选A.4.答案：c解析：解：4 不=I话 I I近
10、I,cos 0，cos AB,AC 90.为钝角三角形，故选C.由 五 9 0 ,由此可知4 4 8c的形状.本题考查平面向量的数量积，解题时要注意公式的灵活运用.5.答案：C解析：本题考查了两角和与差得正切函数公式，以及特殊角的三角函数值.观察所求式子中的角度的和为1 2 0,联想到利用120。角的正切函数公式是解本题的关键，属于基础题.观察发现：78。+42。=120。，故利用两角和的正切函数公式表示出匕11(78。+42。)，利用特殊角的三角函数值化简，变形后即可得到所求式子的值.解：由tanl2(r =tan(78+42)_ tan420+tan780 _ 6-l-tan420tan7
11、80-得至+tan42=V3(l tan78otan42),则tm78+tan420-V3tan78-tan42=-V3.故选：C.6.答案：C解析：不妨设AC=A4X=1,建立空间直角坐标系如图所示，则 B(0,-l,0),A (0,0,l),A(0,0,0),1),_ BAy-AC 1.cos(B A,j C=同画=不飞=5(可，AC=60.异面直线3A l与 AC 所成的角为60。.7.答案：D解析：解：因为函数g(x)满足：当x 0 时，9(%)0恒成立且对任意6/?都有9(%)=9(-%),则函数g(x)为 R上的偶函数且在 0,+8)上为单调递增函数，且有g(|x|)=g(x),所
12、以 g /(x)-a+2)在 R 上恒成立=1/(%)I a2-a +2|对 x G -|-2V3,|+2 b 恒成立，只要使得定义域内l/QOImax工|2 一 Q+2|加 力 由于当 6 一返,8 时，/(%)=/一 3%,求导得:fx=3 x2-3 =3(%4-l)(x -1),该函数过点(-7 5,0),(0,0),(V 3,0),且函数在x =-1处取得极大值/(-1)=2,在 =1处取得极小值/(I)=-2,又由于对任意的久e R都有/(遮+X)=-/(X)=/(2V 3 +x)=-/(V 3 +x)=/(%)成立，则函数f(x)为周期函数且周期为7 =2V 3.所以函数/(x)在
13、x G -|-2V 3,|+2 b的最大值为2,所以令2 1或a 0时，g (x)0恒成立(g (x)为函数g(x)的导函数)；对任意久e R都有g(x)=g(-久)，这说明函数g(x)为R上的偶函数且在 0,+8)上为单调递增函数，且有g|(x|)=g(x),所以g /(x)W g(a 2-a +2)=|/(x)|W l a?-a +2|对x e -|-26,|+2遮 恒成立，只要使得|/。)|在定义域内的最大值小于等于l a?-a +2|的最小值，然后解出即可.此题考查了利用导函数求得函数在定义域上为单调递增函数，还考查了函数的周期的定义，及利用周期可以求得当x e 时.，/(%)=x3-
14、3 x的值域为 2,2,还考查了函数恒成立.8.答案：B解析：试题分析：由双曲线捻、=l(a 0,b0)的左、右焦点分别为F i，F2,渐近线分别为12,点P在第一象限内且在k上，知F i(c,0)F 2(c,0)P(x,y),由渐近线，1的直线方程为y =gx,渐近线，2的直线方程为y =一豪，I2HPF 2,知a y =bc-bx,由a y =b x,知P&蜘，由此能求出离心率.双曲线接一3=l(a 0,b0)的左、右焦点分别为6，F2,渐近线分别为5%，点 在第一象限内且在上，(一 c,0)F2(c,0)P(x,y),渐近线。的直线方程为y =x,渐近线。的直线方程为y =-x,”2 P
15、尸2，二=，B P a y =be bx,点P在k上即a y =bx,bx be b x即 =j,/.P(p ),v I2 PF1 9:,差(一，)=1,即3Q2=b2,2因为小+川=c2,所以4a2 =c2,即c=2a,所以离心率e=：=2.故 选B.9.答案：A解析：试题分析：满=渭 1 0,c-b c-b,所以 a +b 2 c,故 8 正确；对 于C：当Q=3,b=2,c =0时，工无意义，故C错误；C对于。：由于abc,所以Q-cb-c0,故 兰1,故。正确.D-C故选：B D.直接利用不等式的性质，赋值法的应用判断4、B、C、。的结论.本题考查的知识要点：不等式的性质，赋值法，主要
16、考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题.12.答案：B C D解析：解：对于选项A,由图可知，最小正周期7 =久居+=兀，即选项A错误；对于选项 8,：4 =2,0)=2,/(x)=2sin(2x+p),又 点 噌,2)在f(x)的图象上，2 s i n(2 x +(p)=2,即豆+p =2/C T T+,k Z,(p=2/C7 r-p f c 6 z,(p p 所以以功4+sinB 4-s出C的取值范围(1,1+V2J.解析：本题主要考查了同角基本关系及正弦定理，诱导公式在三角化简中的应用，还考查了辅助角公式，二倍角公式的应用，还考查了二次函数的性质，属于中档题.(1)由已知结合同角基
17、本关系及正弦定理进行化简，然后结合诱导公式即可证明；(2)结合已知角的关系及诱导公式，二倍角公式进行化简，然后换元亡=s in/+c o s 4 结合同角平方关系转化为二次函数，结合二次函数的性质可求.18.答案：(I)解：当几2 2时，由S九=%+1+71,得Qn=Sn Sn_i=an+1+n-an-(n-1),：an+1=2an-1,即a九+i-1=2(an-l)(n 2),又=S Q，2+1，=4,C Z-2 =3,an-1=(a2-1)-2n-2,an=2n-1+l(n 2).综上，数列 a j 的通项公式为a”=:金星1；l 乙 I J L /1 1 W 乙(H)证明:由于勾2/T+
18、(3n-2)an，得瓦bn=(n 2),则当k 2时，有比=由 号(3 i：(3 J)=*六 一 六)，.当 nN 2时，有n19T 4+Lb k 41 +31 l(21-51)+(51-81)+-+(31-31i)k=21,1,1 1 5=I (-)V-H-X-=：4 3、2 3n-l7 4 3 2 12又当n=1时，=必=；*对于任意的n 6 N*,都有7；2),由等比数列的通项公式求数列 册 的通项公式；由于匕=急，得d=4 击(丑2),可 得 当 心 2时，忧=$0,且 1 4-x2=27n 0,xxx2 2（mz 1）0；故 为为=（一 ）1+加）-i%1%2-1m(%1+x2)+m
19、2=k 11 ok_%先 _?6 2-5 (巧+&)+，*_ _ .0 P Q xtx2 xtx2 4 PQ即直线O P、PQ.OQ 的斜率依次成等比数列.42 2z+y=i,x=ky-n消去 x 得(A 2+4)y 2+2kny 4-n2 4=0.设4(乙,%)，5(x2,y2),则有y i+丫2=能，y/2 =W，因为以线段A B 为直径的圆过椭圆的右顶点C(2,0),所 以 源.方=0，由石5=(%1-2,%),CB=(X2-2,y2)，则(右 一 2)(X2-2)+y iy2=0,将 1=ky1 4-n,x2=ky2+九 代入上式并整理得(1+l)y1y2+k(n-2)(yx+y2)+
20、(n -2)2=0,则 直 邛 曰 +n(n-2)+5 -2)2=0,化简得(5九-6)(n -2)=0,解得几=&或九=2,因为直线=k y +n 不过点C(2,0),所以几H2,故7 i =g.所以直线/恒过点。,0).故 分 九=打 11%一月1=2 x (2 R J(%+丫 2)2-4y l y 25 心2+H+4_ _8_/25(N+4)五-25 yl(H+4)2，设”品(由，消去 V，得/-2mx+匕+产=12(m 2-i)=o利用韦达定理，转化求解直线的斜率乘积，然后说明直线。尸、P Q、。的斜率依次成等比数列.(X_,2 _ 1(3)设直线丫的方程为x=k y+TI,联立八+一
21、，消去x 得(V +4)y2+2kny+层-4=0.设kx=ky+n力(%i，yi),B(x2,y2),利用韦达定理，结合斜率的数量积为0,转化求解“得到直线恒过的定点，推出三角形的面积，然后求解最大值.本题考查椭圆方程的求法直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是难题.22.答案：(1)解：.e(l,+8)时,函数f(x)为递减函数，f(x)=i-2 x +a 0在(1,+oo)恒成立，即a 1,X故 Q 1；(2)证明：/(%)的图象与0 轴交于两个不同的点4(3,0),5(%2,0),二方程仇%2 4-ax=0的两个根为%1，3则，n%i 好+ax1=0,，lnx2
22、好+ctx2=0,，两式相减得a =(x i+X2)-。一 竽,xl-x2又/(%)=)%2 4-ax,/(%)=2%4-a,则(华)=熹 一。1+不)+。2 lnx1-lnx2Xi+x2 x1-x2 要 证 告 一 屿 也 0,Xj+%2%-42即证明u(t)=*2+Int 0在0 t 1上恒成立,ur(t T)2又0 t 0,在(0,1)上是增函数，则(t)u(l)=0,从而知,biXi-2n%2 0Xi+%2 X1-X22故 八 臂)0成立;(3)证明:令a=l,由(1)得：/(乃在(1,+8)递减,/(%)=Inx-x2+x /(I)=0,故 1时，T -Inx x(x-l)分别令=2
23、,3,4,5,.n,ii iii i i口 乂 ln2 ln3 Inn 1x2 2x3 n(n-l)nf-1-,1-1-,1-4,-1-、1Y -1,ln2 ln3 Inn n即得证.解析：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、考查通过研究函数的单调性解决问题的方法，考查了转化能力、推理能力与计算能力，属于难题.(1)求出函数的导数，问题转化为即a I n称,令=于,0 打 如4 XJTX2(1一42+1%2 人 2x2o t l,即证明(t)=叫/+Int 0在0 t 1上恒成立，根据函数的单调性证明即可；(3)利用前面小问的结论构造新函数且满足I nx 结合列项相消法，分别令x =2,3,4,5,.n,即可得证.