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1、第十六章 分式 一、知识总览 本章主要学习分式的概念，分式的基本性质，分式的约分、通分，分式的运算（包括乘除、乘方、加减运算），分式方程等内容，分式是两个整式相除的结果，且除式中含有字母，它类似于小学学过的分数，分式的内容在初中数学中占有重要地位，特别是利用分式方程解决实际问题，是重要的应用数学模型，在中考中，有关分式的内容所占比例较大，应重视本章知识的学习 知识点一：分式的定义：一般地，如果 A，B表示两个整数，并且 B中含有字母，那么式子BA叫做分式，A为分子，B为分母。知识点二：与分式有关的条件：分式有意义：分母不为 0（0B）分式无意义：分母为 0（0B）分式值为 0：分子为 0 且分
2、母不为 0（00BA）经典例题 1、在2x，1()3xy，3，5ax，24xy中，分式的个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4 2、当1a 时，分式211aa（）A.等于 0 B.等于 1 C.等于1 D.无意义 3、已知分式11xx的值是零，那么 x 的值是（）A-1 B0 C1 D 1 4、当x 时，分式11x有意义 5、下列命题中，正确的有（）A、B为两个整式，则式子AB叫分式；m为任何实数时，分式13mm有意义 分式2116x 有意义的条件是4x；整式和分式统称为有理数.w A.1 个 B .2 个 C.3 个 D.4 个 知识点三：分式的基本性质 分式的分子和分母同乘（或除以）一个
3、不等于 0 的整式，分式的值不变。字母表示：CBCABA，CBCABA，其中 A、B、C是整式，C0。拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即BBABBAAA 注意：在应用分式的基本性质时，要注意 C0 这个限制条件和隐含条件 B0。知识点四：分式的约分 定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。注意：分式的分子与分母为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。分子分母若为多项式，约分时先对分子分母进行因式分
4、解，再约分。最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。知识点五：分式的通分 分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定。最简公分母的定义：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。确定最简公分母的一般步骤：取各分母系数的最小公倍数；单独出现的字母（或含有字母的式子）的幂的因式连同它的指数作为一个因式；相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最大的。保证凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取。注意：分式的分母为多项式时，一般应先因
5、式分解。经典例题 1、把分式aab的分子、分母都扩大 2 倍，那么分式的值（）A.不变 B.扩大 2 倍 C.缩小 2 倍 D.扩大 4 倍 2、下列各式与xyxy相等的是（）（A）()5()5xyxy（B）22xyxy（C）222()()xyxyxy（D）2222xyxy 3、下列化简结果正确的是（）A.222222xyyxzz B.220()()abab ab C.63233x yxx y D.231mmaaa 4、约分：222_20aba b；通分：222,693xyzaba bcabc 5、已知511ba)(ba，求)()(baabbaba的值.知识点六分式的四则运算与分式的乘方 分式
6、的加减法则：同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减。式子表示为：cbacbca 异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，然后再加减。式子表示为:bdbcaddcba 整式与分式加减法：可以把整式当作一个整数，整式前面是负号，要加括号，看作是分母为 1 的分式，再通分。分式的乘除法法则：运算分式方程等内容分式是两个整式相除的结果且除式中含有字母它类似于小学学过的分数分式的内容在初中数学中占有重要地位特别是利用分式方程解决实际问题是重要的应用数学模型在中考中有关分式的内容所占比例较大应重知识点二与分式有关的条件分式有意义分母不为分式无意义分母为分式值为分子为且分母不为经典例题在当时分式中分式
7、的个数为等于等于等于无意义已知分式的值是零那么的值是当时分式有意义下列命题中正确的有为两个整式式质分式的分子和分母同乘或除以一个不等于的整式分式的值不变字母表示其中是整式拓展分式的符号法分式的分子分母与分式本身的符号改变其中任何两个分式的值不变即注意在应用分式的基本性质时要注意这个限制条件和隐含条分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。式子表示为：dbcadcba 分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。式子表示为ccbdadbadcba 分式的乘方：把分子、分母分别乘方。式子nnnbaba 分式的混合运算:先乘方、再乘除、后加减，同级运算中，谁在前先算谁，
8、有括号的先算括号里面的，也要注意灵活，提高解题质量。注意：在运算过程中，要明确每一步变形的目的和依据，注意解题的格式要规范，不要随便跳步，以便查对有无错误或分析出错的原因。加减后得出的结果一定要化成最简分式（或整式）经典例题 1、下列运算正确的是（）A.62xxx B.0 xyxy C.1xyxy D.axabxb 2、下列各式的计算结果错误的是（）A.bnybnxamxamy B.bnybmyamxanx C.bnybmxamxany D.()bnybmxamxany 3、知识点七整数指数幂 1、引入负整数、零指数幂后，指数的取值范围就推广到了全体实数，并且正整数幂的法则对负整数指数幂一样适
9、用。即：其中 m，n 均为整数。nmnmaaa mnnmaa nnnbbaa nmnmaaa （0a）nnbaban na1 na （0a）10a（0a）（任何不等于零的数的零次幂都等于 1）经典例题 计算：（1）3132)()(bca （2）2322123)5()3(zxyzyx 已知51xx，求（1）22xx的值；（2）求44xx的值.运算分式方程等内容分式是两个整式相除的结果且除式中含有字母它类似于小学学过的分数分式的内容在初中数学中占有重要地位特别是利用分式方程解决实际问题是重要的应用数学模型在中考中有关分式的内容所占比例较大应重知识点二与分式有关的条件分式有意义分母不为分式无意义分母
10、为分式值为分子为且分母不为经典例题在当时分式中分式的个数为等于等于等于无意义已知分式的值是零那么的值是当时分式有意义下列命题中正确的有为两个整式式质分式的分子和分母同乘或除以一个不等于的整式分式的值不变字母表示其中是整式拓展分式的符号法分式的分子分母与分式本身的符号改变其中任何两个分式的值不变即注意在应用分式的基本性质时要注意这个限制条件和隐含条2、科学记数法 若一个数 x 是 0 x10 的数则可以表示为n10a（10a1，即 a 的整数部分只有一位，n 为整数）的形式，n 的确定 n=比整数部分的数位的个数少 1。知识点八分式方程。1、定义：含分式，并且分母中含未知数的方程叫做分式方程。2
11、、分式方程的解的步骤 去分母，把方程两边同乘以各分母的最简公分母。解整式方程，得到整式方程的解。检验，把所得的整式方程的解代入最简公分母中：如果最简公分母为 0，则原方程无解，这个未知数的值是原方程的增根；如果最简公分母不为 0，则是原方程的解。注：产生增根的条件是：是得到的整式方程的解；代入最简公分母后值为 0。经典例题 1.解分式方程：22322xxx 2.交叉法解方程：23313222xxxx 3.比例法：解方程xxababb110()4.换元法：解方程yyyy324830 5.分离常数法：解方程 87329821xxxxxxxx 6.解含有字母的方程)0(dcdcxbax 7.倒数法：
12、21323221174xxxx 已知：xxxx 1212122，求_。8.若关于x分式方程432212xxkx有增根，求k的值。运算分式方程等内容分式是两个整式相除的结果且除式中含有字母它类似于小学学过的分数分式的内容在初中数学中占有重要地位特别是利用分式方程解决实际问题是重要的应用数学模型在中考中有关分式的内容所占比例较大应重知识点二与分式有关的条件分式有意义分母不为分式无意义分母为分式值为分子为且分母不为经典例题在当时分式中分式的个数为等于等于等于无意义已知分式的值是零那么的值是当时分式有意义下列命题中正确的有为两个整式式质分式的分子和分母同乘或除以一个不等于的整式分式的值不变字母表示其中
13、是整式拓展分式的符号法分式的分子分母与分式本身的符号改变其中任何两个分式的值不变即注意在应用分式的基本性质时要注意这个限制条件和隐含条知识点八列分式方程 基本步骤 审仔细审题，找出等量关系。设合理设未知数。列根据等量关系列出方程（组）。解解出方程（组）。注意检验 答答题。经典例题 1.A城市每立方米水的水费是 B城市的 1.25 倍，同样交水费 20 元，在 B城市比在 A城市可多用 2 立方米水，那么 A、B两城市每立方米水的水费各是多少元？2.某超级市场销售一种计算器，每个售价 48 元后来，计算器的进价降低了4%，但售价未变，从而使超市销售这种计算器的利润提高了5%这种计算器原来每个进价
14、是多少元？3.在我市南沿海公路改建工程中，某段工程拟在 30 天内（含 30 天）完成现有甲、乙两个工程队，从这两个工程队资质材料可知：若两队合做 24 天恰好完成；若两队合做 18 天后，甲工程队再单独做 10天，也恰好完成请问：（1）甲、乙两个工程队单独完成该工程各需多少天？（2）已知甲工程队每天的施工费用为 06 万元，乙工程队每天的施工费用为 035 万元，要使该工程的施工费用最低，甲、乙两队各做多少天（同时施工即为合做）？最低施工费用 运算分式方程等内容分式是两个整式相除的结果且除式中含有字母它类似于小学学过的分数分式的内容在初中数学中占有重要地位特别是利用分式方程解决实际问题是重要的应用数学模型在中考中有关分式的内容所占比例较大应重知识点二与分式有关的条件分式有意义分母不为分式无意义分母为分式值为分子为且分母不为经典例题在当时分式中分式的个数为等于等于等于无意义已知分式的值是零那么的值是当时分式有意义下列命题中正确的有为两个整式式质分式的分子和分母同乘或除以一个不等于的整式分式的值不变字母表示其中是整式拓展分式的符号法分式的分子分母与分式本身的符号改变其中任何两个分式的值不变即注意在应用分式的基本性质时要注意这个限制条件和隐含条