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1、25.（2006 年上海春卷）已知数列3021,aaa，其中1021,aaa是首项为 1，公差为 1的等差数列；201110,aaa是公差为d的等差数列；302120,aaa是公差为2d的等差数列（0d）.（1）若4020a，求d；（2）试写出30a关于d的关系式，并求30a的取值范围；（3）续写已知数列，使得403130,aaa是公差为3d的等差数列，依次类推，把已知数列推广为无穷数列.提出同（2）类似的问题（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？25.解（1）3,401010.102010ddaa.4 分 （2）)0(11010222030ddddaa，8 分 432110
2、230da，当),0()0,(d时，307.5,a.12 分 （3）所给数列可推广为无穷数列na，其中1021,aaa是首项为 1，公差为 1 的等差数列，当1n时，数列)1(1011010,nnnaaa是公差为nd的等差数列.14 分 研究的问题可以是：试写出)1(10na关于d的关系式，并求)1(10na的取值范围.16 分 研究的结论可以是：由323304011010ddddaa，依次类推可得 .1),1(10,1,11101101)1(10dndddddannn 当0d时，)1(10na的取值范围为),10(等.18 分 26（2006 年陕西卷）已知正项数列na，其前n项和nS满足2
3、1056,nnnSaa且1215,a aa成等比数列，求数列na的通项.na 26.解:10Sn=an2+5an+6,10a1=a12+5a1+6,解之得 a1=2 或 a1=3.又 10Sn1=an12+5an1+6(n2),由得 10an=(an2an12)+6(anan1),即(an+an1)(anan15)=0 an+an10 ,anan1=5(n2).当 a1=3 时,a3=13,a15=73.a1,a3,a15不成等比数列a13;当 a1=2 时,a3=12,a15=72,有 a32=a1a15,a1=2,an=5n3.27（2006 年广东卷）已知公比为)10(qq的无穷等比数列
4、na各项的和为 9，无穷等比数列2na各项的和为581.()求数列na的首项1a和公比q；()对给定的),3,2,1(nkk,设)(kT是首项为ka，公差为12ka的等差数列.求数列)(kT的前 10 项之和；()设ib为数列)(iT的第i项，nnbbbS21，求nS，并求正整数)1(mm，使得 mSnnlim存在且不等于零.(注：无穷等比数列各项的和即当n时该无穷数列前 n 项和的极限)27解:()依题意可知,32358119112121qaqaqa()由()知,1323nna,所以数列)2(T的的首项为221at,公差3122 ad,15539102121010S,即数列)2(T的前 10
5、 项之和为 155.()ib=121iiaia=112iaii=1321231iii，2132271845nnnSnn，mnnnSlim=nlim mnmmnnnnnn2132271845 当 m=2 时，mnnnSlim=21，当 m2 时，mnnnSlim=0，所以 m=2 28（2006 年福建卷）已知数列na满足*111,21().nnaaanN （I）求数列na的通项公式；（II）证明：*122311.().232nnaaannnNaaa 28本小题主要考查数列、不等式等基本知识，考查化归的数学思想方法，考查综合解题能力。满分 14 分。（I）解：*121(),nnaanN 112(
6、1),nnaa 1na是以112a 为首项，2 为公比的等比数列。12.nna 即 2*21().nanN （II）证法一：1211144.4(1).nnkkkkna 12(.)42.nnkkknnk 122(.),nnbbbnnb 12112(.)(1)(1).nnnbbbbnnb ，得112(1)(1),nnnbnbnb 即1(1)20,nnnbnb 21(1)20.nnnbnb ，得 2120,nnnnbnbnb 即 2120,nnnbbb *211(),nnnnbbbb nN nb是等差数列。证法二：同证法一，得 1(1)20nnnbnb 关系式并求的取值范围续写已知数列使得是公差为的
7、等差数列依次类推把已知数列推广为无穷数列提出同类似的问题应当作为特例并进行研究你能得到什么样的结论解分分时当分所给数列可推广为无穷数列其中是首项为公差为的等是由依次类推可得当时的取值范围为等分年陕西卷已知正项数列其前项和成等比数列求数列的通项解解之得或又由得即当时不成等比数列当时有满足且年广东卷已知公比为的无穷等比数列各项的和为无穷等比数列各项的和为求数列不等于零注无穷等比数列各项的和即当时该无穷数列前项和的极限解依题意可知由知所以数列的的首项为公差即数列的前项之和为当时当时所以年福建卷已知数列满足求数列的通项公式证明本小题主要考查数列不等式等基本知识考 令1,n 得12.b 设22(),bd
8、 dR 下面用数学归纳法证明 2(1).nbnd （1）当1,2n 时，等式成立。（2）假设当(2)nk k时，2(1),kbkd 那么 1222(1)2(1)1.1111kkkkbbkdkdkkkk 这就是说，当1nk 时，等式也成立。根据（1）和（2），可知2(1)nbnd 对任何*nN都成立。1,nnnbbdb 是等差数列。（III）证明：1121211,1,2,.,12122(2)2kkkkkkakna 12231.2nnaaanaaa 11121111111 1.,1,2,.,2122(21)23.22223 2kkkkkkkkakna 1222311 111111.(.)(1),2
9、3 22223223nnnnaaannnaaa *122311.().232nnaaannnNaaa 29（2006 年安徽卷）数列na的前n项和为nS，已知 211,1,1,2,2nnaSn an nn（）写出nS与1nS的递推关系式2n，并求nS关于n的表达式；（）设 1/,nnnnnSfxxbfppRn，求数列nb的前n项和nT。解：由 21nnSn an n2n 得：21()1nnnSn SSn n，即 221(1)1nnnSn Sn n，所以1111nnnnSSnn，对2n 成立。由1111nnnnSSnn，121112nnnnSSnn，2132121SS相加得：1121nnSSnn
10、，又1112Sa，所以21nnSn，当1n 时，也成立。（）由 111nnnnSnfxxxnn，得/nnnbfpnp。而23123(1)nnnTpppnpnp ，234123(1)nnnpTpppnpnp ，23111(1)(1)1nnnnnnppP Tpppppnpnpp 30（2006 年全国卷 I）设数列na的前n项的和 关系式并求的取值范围续写已知数列使得是公差为的等差数列依次类推把已知数列推广为无穷数列提出同类似的问题应当作为特例并进行研究你能得到什么样的结论解分分时当分所给数列可推广为无穷数列其中是首项为公差为的等是由依次类推可得当时的取值范围为等分年陕西卷已知正项数列其前项和成等
11、比数列求数列的通项解解之得或又由得即当时不成等比数列当时有满足且年广东卷已知公比为的无穷等比数列各项的和为无穷等比数列各项的和为求数列不等于零注无穷等比数列各项的和即当时该无穷数列前项和的极限解依题意可知由知所以数列的的首项为公差即数列的前项之和为当时当时所以年福建卷已知数列满足求数列的通项公式证明本小题主要考查数列不等式等基本知识考14122333nnnSa，1,2,3,n （）求首项1a与通项na；（）设2nnnTS，1,2,3,n，证明：132niiT 30解：（I）21114122333aSa ，解得：12a 2111144122333nnnnnnnaSSaa11242nnnnaa 所
12、以数列2nna 是公比为 4 的等比数列 所以：111224nnnaa 得：42nnna （其中 n 为正整数）（II）1114124122242221 213333333nnnnnnnnSa 1123231122212121 21nnnnnnnnTS 所以：1113113221212niniT 31（2006年江西卷）已知数列an满足：a132，且 ann1n13nan2nN2an1（，）（1）求数列an的通项公式；（2）证明：对于一切正整数 n，不等式 a1 a2 an 2 n！31解：（1）将条件变为：1nnan11n113a（），因此1nna为一个等比数列，其首项为 111a13，公比
13、13，从而 1nnan13，据此得 annnn 331（n 1）1 （2）证：据 1 得，a1 a2 an2nn111111333！（）（）（）为证 a1 a2 an 2 n！只要证 n N时有2n111111333（）（）（）122 显然，左端每个因式都是正数，先证明，对每个 n N，有 2n111111333（）（）（）1（2n111333）3 用数学归纳法证明 3 式：（i）n1 时，3 式显然成立，（ii）设 nk 时，3 式成立，即2k111111333（）（）（）1（2k111333）关系式并求的取值范围续写已知数列使得是公差为的等差数列依次类推把已知数列推广为无穷数列提出同类似的
14、问题应当作为特例并进行研究你能得到什么样的结论解分分时当分所给数列可推广为无穷数列其中是首项为公差为的等是由依次类推可得当时的取值范围为等分年陕西卷已知正项数列其前项和成等比数列求数列的通项解解之得或又由得即当时不成等比数列当时有满足且年广东卷已知公比为的无穷等比数列各项的和为无穷等比数列各项的和为求数列不等于零注无穷等比数列各项的和即当时该无穷数列前项和的极限解依题意可知由知所以数列的的首项为公差即数列的前项之和为当时当时所以年福建卷已知数列满足求数列的通项公式证明本小题主要考查数列不等式等基本知识考则当 nk1 时，2kk1111111113333（）（）（）（）1（2k111333）（k
15、1113）1（2k111333）k113k113（2k111333）1（2k111333k113）即当 nk1 时，3 式也成立。故对一切 n N，3 式都成立。利用 3 得，2n111111333（）（）（）1（2n111333）1n11133113（）1nn1111 112322 3（）（）12 故 2 式成立，从而结论成立。关系式并求的取值范围续写已知数列使得是公差为的等差数列依次类推把已知数列推广为无穷数列提出同类似的问题应当作为特例并进行研究你能得到什么样的结论解分分时当分所给数列可推广为无穷数列其中是首项为公差为的等是由依次类推可得当时的取值范围为等分年陕西卷已知正项数列其前项和成等比数列求数列的通项解解之得或又由得即当时不成等比数列当时有满足且年广东卷已知公比为的无穷等比数列各项的和为无穷等比数列各项的和为求数列不等于零注无穷等比数列各项的和即当时该无穷数列前项和的极限解依题意可知由知所以数列的的首项为公差即数列的前项之和为当时当时所以年福建卷已知数列满足求数列的通项公式证明本小题主要考查数列不等式等基本知识考